Квадратное уравнение (стр. 1 )

«Посредством уравнений, теорем я уйму всяких реазрешил проблем...»

Чосер

Английский поэт средних веков

Квадратное уравнение

Определение. Уравнение вида

где любые действительные числа, причем а переменная, называется квадратным уравнением.

В уравнении  называют первым коэффициентом,  вторым коэффициентом и свободным членом.

Выражение называется дискриминантом  квадратного уравнения и обозначается буквой

Формула    читается так: корни квадратного уравнения равны дроби, знаменателем которой является удвоенный первый коэффициент, а числителем – второй коэффициент, взятый с противоположным знаком, плюс и минус квадратный корень из дискриминанта уравнения.

Число корней квадратного уравнения зависит от значения дискриминанта. Здесь имеют место три случая.

При   уравнение имеет два различных корня. В этом случае корни находим по формуле При   уравнение имеет два равных корня. В этом случае говорят, что уравнение имеет один корень, который вычисляется по формуле   При уравнение не имеет корней.

Я придумал для них хорошую теорему,

а они все равно решают через дискриминант

Франсуа Виет

Французский математик

Теорема Виета

Разделив обе части на первый коэффициент уравнения можно получить приведенное квадратное уравнение:

Приведенное квадратное уравнение принято записывать в виде

Сопоставив и , можно заключить, что

Теорема. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Решение текстовых задач с помощью квадратных уравнений

Квадратные уравнения применяются при решении многих задач. Значительная часть задач, решаемых при помощи уравнений первой степени, может быть решена и чисто арифметически, хотя иногда гораздо более трудным путем. Задачи же, приводящиеся к квадратным уравнениям, как правило, совсем не поддаются арифметическому решению.

Основные этапы составления квадратных уравнений по условиям задачи те же, что и при решении задач, приводящихся к уравнениям первой степени.

При решении задач с помощью уравнений можно придерживаться следующей схемы:

Необходимо изучить ее условие так, чтобы определить зависимость между величинами, о которых говорится в тексте задачи; Искомую величину обозначить буквой. Очень часто решение задачи и составление уравнения упрощается, если обозначить буквой какую-нибудь вспомогательную переменную, через которую выражается искомая; Выразить искомую переменную через данные и вспомогательные величины, обозначенные буквами; Составить уравнение, т. е. два выражения, представляющие одну и ту же величину, и приравнять их; Найти корни (решения) составленного уравнения; Проверить, удовлетворяют ли найденные значения условию задачи.

Пример 1. В квартире проектируются две комнаты одинаковой ширины. Длина первой комнаты в 1,5 раза больше ее ширины, а длина второй равна 7,2 м. Найдите ширину этих комнат, если площадь квартиры должна быть равной 56,7 м2.

Решение. Обозначим ширину комнат, выраженную в метрах, буквой .  Тогда длина первой комнаты будет равна м, а ее площадь – а площадь второй комнаты –

Согласно условию задачи, имеем:

Решая последнее квадратное уравнение, получим:

Оба эти числа удовлетворяют уравнению, составленному по условию задачи. Но условию задачи удовлетворяет лишь первый корень, т. е. так как ширина комнаты должна быть больше нуля. Проверка по условию задачи показывает, что 4,2 м удовлетворяет задаче.

Ответ: 4,2 м.

Пример 2. Скорый поезд был задержан у семафора на 16 мин. И ликвидировал опоздание не перегоне в 192 км со скоростью, превышающей на 10 км/ч положенную по расписанию. Найдите первоначальную скорость движения поезда.

Решение. Обозначим скорость поезда по расписанию через Если бы поезд шел на перегоне в 192 км со скоростью то на это понадобилось бы время Так как поезд на этом перегоне шел со скоростью то на этот путь он потратил и ликвидировал опоздание на 16 мин Следовательно,   корнями которого будут: Так как по условию то Выполнив проверку, убеждаемся, что 80 км/ч удовлетворяют условию задачи.