Мышление (стр. 6 )

  Опыт показывает, что большинство учащихся понимает задание «решить задачу» как необходимость ответить на вопрос и при возникающих трудностях подбирает ответ, затрудняясь объяснить, как он может быть найден. Поэтому задание «решить задачу» - это, прежде всего,  необходимость обосновать выбор арифметического действия, которое нужно выполнить, чтобы ответить на вопрос задачи.

  При использовании чертежа учащиеся, как правило, не испытывают затруднения при объяснении, так как за каждым словом стоит — образ — отрезок, а еще раньше — предметное действие.

  Овладение такой деятельностью позволит детям быть более активными участниками учебного процесса, самостоятельно справляться с решением целого ряда простых задач. Полезным при этом является решение задач с недостающими или лишними данными:

Из ведра отлили 2 ведра воды. Сколько воды было в ведре? Миша прочитал всю книгу, в которой было 16 страниц, за 2 дня. В первый день — 6 страниц. Во второй — 10 страниц. Сколько страниц было в книге?

Об этом мы будем говорить ниже.

Итак, при специальной организации учебного процесса схематический чертеж может стать для учащихся действенным средством поиска решения задачи. Кроме того, подробное обоснование учеником своих действий при построении схемы способствует развитию умения рассуждать, учит последовательно и аргументированно излагать свои мысли.

  С целью формирования умения выбирать соответствующее математическое действие рекомендует использовать такие приемы, работая с моделями:

Выбор схем.

Маша нарисовала такую схему, и Миша — свою. Кто (не) внимательно читал текст задачи? 

Выбор вопросов.

- На какие вопросы, можно ответить, пользуясь этим условием? (выбрать нужное из перечня вопросов или составить свои).

Выбор выражений. Выбор условия к данному вопросу. Выбор данных. Изменение текста задачи в соответствии с данным решением. Постановка вопроса, соответствующего данной схеме. Выбор решения задачи, прием обсуждения решений.

  2.7.  Этапы работы над задачей.

  Поскольку результаты механического прорешивания огромного количества задач более чем скромные, нужно изменить сам подход к их решению.

  В связи с выше изложенным обобщим этапы работы над задачей  и приемы, которые можно использовать  на каждом этапе ( на основании диссертации по материалам журнала «Начальная школа».) 

З А Д А Ч А

предварительное прогнозирование ее решения

прикидка результата

восприятие, осмысление текста задачи

(анализ задачи и ее схематизированная запись)

поиск метода решения и плана решения

осуществление плана решения

проверка, анализ решения

ответ

исследование задачи

Таблица 4.	Этапы  решения  задачи.
Этапы решения задачи, цели каждого этапа	Приемы выполнения
Предварительный этап — прогнозирование решения задачи. Цель: произвести прикидку результата, установить границы ответа на вопрос задачи и последующее сравнение хода решения с прогнозом. При несоответствии прогнозу — решение неверно.	Первичное чтение задачи, Установление связей между известным и неизвестным.
Восприятие и осмысление задачи ( анализ задачи) с одновременным созданием схематической модели.   Цель: проанализировать текст задачи, для того, чтобы установить зависимости, имеющиеся в задаче ( что известно, что  неизвестно),как данные связаны между собой.	1. Правильное чтение учащимися текста задачи про себя ( правильное прочтение слов и предложений, расстановка логических ударений в тексте задачи  и в вопросе). 2. Повторное прочтение задачи и выполнение графической модели. Примечание: если задача нетрудная, то можно сократить прочтение текста до 1 раза с одновременным построением модели. 3. Уточнение с помощью модели смысла каждого числового данного. 4. Выделение связей и зависимостей между числовыми данными с помощью вопросов( поверка построения модели). 5. Осознание структуры задачи ( условие на первом ( втором месте) , вопрос — на первом ) втором месте). 6. Представление ситуации, описанной в задаче, мысленное участие в ней, решение задачи от имени героя. 7. Разбиение текста на смысловые части с помощью карандаша: - дан текст с уже выделенными частями. Объяснить, правильно ли они выделены. Выясняем: что помогает понять задачу? Что мешает? - повторить текст задачи по частям ( условие — 1 ученик, вопрос — 2 ученик) 8. Переформулировка текста задачи ( изменение текста или построение словесной модели): - замена термина содержательным описанием - замена содержательного описания термином - замена некоторых слов синонимами или другими словами, близкими по смыслу - исключение части текста, не влияющей на результат решения замена некоторых слов, терминов, словами, обозначающими более общее или более частное понятие изменение порядка слов и предложений дополнение текста пояснениями замена числовых данных другими, более наглядными замена числовых данных буквенными замена буквенных данных числовыми введение произвольных единиц величин и связанные с этим другие изменения текста переформулирование текста задачи «на свой язык» (своими словами. Это делает задачу яснее, понятнее) аналогично: переформулирование вопроса (Но: не задавать новый!) варьировать условие — вопрос ( не всегда условие должно находиться на первом месте) найти в условии задачи «замаскированные» возможности для нахождения ответа на вопрос задачи расчленить задачу на все простые ( найти, сколько их), значит, столько и действий( работа с текстом задачи с карандашом или несколькими карандашами) 9. Постановка специальных вопросов. О чем задача? Что требуется узнать? Что известно? Что неизвестно? Что обозначают слова... словосочетания....предложения...? какие предметы, понятия, объекты... описываются в задаче? Какими свойствами, величинами они характеризуются? Сколько раз и как дается характеристика каждого предмета, понятия, объекта? Какая ситуация описывается в задаче? Сколько ситуаций описывается в задаче? Другие вопросы по содержанию задачи. 10.Постановка ученика как субъекта в более активную позицию: один — задает вопросы, другой — отвечает. Вывод:  главное — это сделать сами задачи, их структуру и особенности предметом особого изучения и усвоения.
Поиск метода решения и плана решения. Цель: составить план решения задачи. Общим и существенным является способ их разбора, способ их анализа. Можно научить решать задачи конкретных видов, но если не выработан  общий способ анализа, дети самостоятельно решать задачи не научатся.	1. Рассуждения «от вопроса к данным» и (или) «от данных к вопросу». Примечания:   1.1. На этом этапе также эффективно ставить учеников в более активную позицию: один — спрашивает, другой — отвечает ( роль  «учителя»  и «ученика» и меняться ролями) примечание: однако не все учащиеся умеют самостоятельно провести подобные виды разбора, потому что в курсе математики начальной школы встречаются задачи, к которым эти виды разбора применить довольно сложно, а иногда и невозможно. 1.2. различать значение слов « что можно узнать, исходя из этих данных, а что нужно найти»? 1.3. повторный анализ задачи : если сначала шел анализ от вопроса к данным, то тут же провести анализ от данных к вопросу 2. Составлять выражения, из чисел, данных в задаче, и разъяснять их смысл. Данный прием предлагается в виде памятки: -  подумай, что обозначает в задаче каждое число -  найди в задаче пары чисел, связанных между собой по смыслу - составь из них выражения - подумай, что можно узнать по этим данным - из чисел задачи и выражений попробуй составить другие выражения и объяснить их смысл - отбери те выражения, которые нужны для решения задачи Примечание: вспомогательные записи вести в черновике, а решение в тетради.   Появление в ходе поиска решения лишних действий — недостаток кажущийся, так как процесс поиска в том и состоит, что, перебирая возможные связи между объектами задачи, отбираются только те, которые приводят к нахождению искомого.    Такое тщательное изучение связей между данными задачи полезно само по себе, так как позволяет полнее выявить скрытые в тексте задачи математические зависимости, проанализировать их и перевести  на математический язык, то есть записать в виде последовательности арифметических действий, приводящих к нахождению искомого.   Вместе с тем, в результате установления связей между одними и теми же данными, ученик может получить разные способы решения задачи.   Удобно использовать этот прием при решении задач, которые имеют усложненную структуру ( условие - ? - у - - у). вот здесь — то и удобно перебирать все возможные связи.   Таким образом, установление различных связей между данными задачи и составление соответствующих им выражений, не нарушающих смысла задачи, может оказать существенную помощь ученику в самостоятельном поиске ее решения.   Для овладения этим приемом учащиеся должны овладеть двумя основными видами упражнений: составлять выражения из данных задачи, имеющих смысл по данной задаче пояснять составленные выражения «-» этого приема: а) трудоемкий б) нет общего подхода в) слабые ученики могут и не найти все связи, а неправильное выражение примут как правильное, в результате — задача не решена ( хотя «могут объяснить») г) верное выражение не смогут объяснить, в результате — задача не решена. При этом схема ( модель) — обязательны! «+» этого приема: а) устанавливаются все связи б) возможность решения разными способами в) поясняются составленные выражения г) удобно для задач с усложненной формулировкой д) посильно для большинства е) можно использовать как прием проверки решения задач
Выполнение плана решения ( решение) цель: найти ответ на вопрос задачи  (выполнить  требование задачи)	Устное выполнение каждого пункта плана Письменное выполнение каждого пункта плана 1) арифметического решения: - в виде выражения  с записью шагов по его составлению, вычислений и полученного результата этих вычислений — равенства - в виде выражения, преобразуемого после вычислений в равенство, без записи шагов по составлению выражения - по действиям с пояснениями -  по действиям без пояснений -  по действиям с вопросами 2) алгебраического решения: - в виде уравнения (неравенства) и его решения - через запись шагов составления уравнения, самого уравнения и его решения 3) графического и геометрического решения: - в виде чертежа и (или) рисунка без промежуточных шагов построения и измерения - в виде чертежа и (или) рисунка с представлением промежуточных шагов построения  измерения 4) табличного решения: - в виде таблицы с записью шагов по ее построению и заполнению - в виде таблицы и ее заполнения без предварительных промежуточных шагов 5) логического решения: -  с использованием символического языка логики - без использования символического языка логики 3. Выполнение решения путем практических действий с предметами ( реальное, мысленное)
Проверка решения. Цель: установить, соответствует ли процесс и результат решения образцу правильного решения.	1. Установление соответствия между результатом решения и условием задачи: введение в текст задачи вместо вопроса (требования) ответа на него ( утверждение о выполнении требования), получение всех возможных следствий из полученного текста, сопоставление результатов друг с другом и с информацией, содержащейся в тексте. (Если в результате будут обнаружены противоречивые утверждения, то задача решена неправильно. В противном случае — результат решения верен.). правильность хода решения не устанавливается. 2. Решение другим методом или способом. ( если в результате другим (другими) способом или методом получили тот же результат — этот результат верен,  в противном случае — неверен. Правильность хода решения и сравнения способов решения не устанавливается). 3. Составление и решение обратной задачи. (если в результате решения обратной задачи получено даное прямой задачи, то результат решения верен. В противном случае — неверен. 4. Определение смысла составленных в процессе решения выражений. (если все выражения имеют смысл и смысл последнего таков, что позволяет ответить на вопрос задачи, то выражения составлены верно и после проверки правильности нахождения значений выражений — можно утверждать, что ход и результат решения верны. В противном случае либо ход решения, либо его результат — неверны. Возможно установление правильности как хода, так и результата решения). 5.Сравнение с правильным решением — с образцом хода  и (или) результатом решения. ( При решении задачи тем же методом и способом, что и в имеющемся образце, возможно установление правильности как хода, так и результата решения). 6.Если задача решена неверно, повторное решение тем же методом и способом. ( возможно установление правильности хода и результата решения) 7.Решение задач «с малыми числами» с последующей проверкой вычислений. (возможно установление правильности хода и результата решения) 8. Решение задач с упрощенными отношениями и зависимостями с последующим восстановлением отношений и зависимостей, данных в задаче.  9.Обоснование (по ходу) каждого шага решения через соотнесение с более общими теоретическими положениями ( возможно...) 10.Рассматривание всевозможных ответов на поставленный вопрос и выбор нужного ответа 11.Построение иной модели задачи, чем та, которая была использована при решении задачи первым способом ( словесно  -  графическая модель, чертеж, схематический рисунок, таблица, предметная модель) 12.Дополнение условия задачи сведениями, не влияющими на результат решения. 13.Представление практического разрешения ситуации, описанной в задаче ( это делаете вы..., представьте, что получится). С целью привлечения жизненного опыта детей. 14.Замена данной задачи другой, по результату решения которой можно найти ответ на вопрос данной задачи.
Формулировка ответа на вопрос задачи (вывода о выполнении требования) цель: дать ответ на вопрос задачи ( подтвердить факт выполнения требований задачи)	1. Построение развернутого истинного суждения вида: «Так как, ......, то можно сделать вывод, что...(формулируется ответ на вопрос задачи полным предложением в устной и письменной форме). 2. Формулировка полного ответа на вопрос задачи  без обосновывающей части устно или письменно 3. Формулировка краткого ответа устно или письменно с помощью специальных знаков.
Исследование задачи. Цель: установить, является ли данное решение (результат решения) единственным или возможны и другие результаты (ответы на вопросы задачи), удовлетворяющие условию задачи.	Исследовательская работа над задачей заключается в в выделении способа решения тех общих принципов, которые можно перенести на другие подобные задачи; в выявлении возможных различий в задачах; нахождение различных способов решения; или дополнительная работа над уже решенной задачей ( преобразование задачи); либо установление условий, при которых задача имеет одно или несколько решений, а также установление условий изменения значения одной величины в зависимости от изменения другой.   Исследование — это этап обобщения, когда учащиеся с помощью учителя устанавливают, при каком условии задача не имеет решения или имеет одно или несколько решений.  Например, предлагается задача, в которой пропущены числа. Их надо подобрать и решить задачу. «Вова прочитал за месяц.... книг, а  Толя на.... книг (и) меньше. Сколько книг прочитал Толя?»   Проводя беседу, учитель спрашивает: - Каким действием будет решена задача? (вычитанием) - Что надо учитывать при подборе первого числа? (надо взять столько книг, сколько можно прочитать за месяц) - Сколько примерно? (10 или меньше) - Что надо учитывать при подборе второго числа? (оно должно быть меньше первого или равно ему) - Подберите числа и прочитайте задачу ( 10 и 2) - Может ли второе число равняться 10? 11?   Особую роль в формировании у учащихся культуры решения задач играет заключительный, ретроспективный анализ проведенного решения с целью выявления и усвоения общих методов и приемов решения задач. Приемы выполнения: Изменение результата решения в соответствии с его смыслом и установление  характера ( направления) изменений в отношениях между измененным результатом и условием задачи Подбор другого результата решения и установление соответствия (возможности соответствия) условию задачи. Оценка степени возможности удовлетворения условию задачи других результатов. Дополнительная работа над уже решенной задачей ( преобразование задачи) Виды работ по преобразованию задачи: ( с целью активизации творческого мышления) изменение вопроса без изменения условия изменение числовых данных в условии изменение отношений между данными и искомым ведение новых данных сравнение разных задач с одинаковым решением анализ неверного решения задачи.   Полезно и проведение специальных уроков, на которых предметом обсуждения и осознания является процесс решения задачи и на которых дети ищут ответ на вопрос: «Как мы решаем задачи?», «Почему некоторые решаются, а другие — нет?», «Чем отличается процесс успешного решения от неуспешного?».   Здесь важен не столько и не только конечный результат, сколько сам процесс обсуждения. Важно обращать внимание и спрашивать у детей: Что помогло решить задачу? Что делали, чтобы решить задачу? Что делали вначале, что — потом?   В результате обсуждения приходим к выводу: для того, чтобы решить (трудную) задачу, нужно: понять ее, понять смысл каждого слова в тексте задачи понять, о чем в задаче говорится понять, что, с чем и как связано, что отчего зависит понять, что про это известно, а что — неизвестно понять, о чем в задаче спрашивается уметь записывать задачу в виде модели, таблицы, схемы и т. д. наметить план решения ( что и в какой последовательности делать, чтобы ответить на вопрос задачи) выполнить этот план проверить, правильно ли найден ответ на вопрос задачи выяснить, все ли возможные ответы найдены.

  Подводя итог теоретической части работы, отметим, что культура решения задач заключается в том, что поиск решения совершается на базе глубокого и всестороннего анализа задачи, что каждая из совершаемых проб обосновывается и ее результаты анализируются, что после нахождения верного решения производится ретроспективный в анализ с целью выявления общих методов, примененных в этом решении, поиске более рационального решения, если это возможно. Такой культуре можно и нужно учить учащихся уже с начальной школы.