Введение в геометрию (стр. 3 )

Когда Римский оратор и общественный деятель Цицерон, живший в 1 в. до н. э., был в Сицилии, он еще видел этот заросший кустами и терновником памятник с шаром и цилиндром.

Для вычисления объемов воспользуемся исходными положениями:

Равнее тела имеют равные объемы. Объем тела, состоящего из некоторых частей, равен сумме объемов этих частей.

Процедура измерения объемов аналогична процедуре измерения площадей. Число измерения (единичных кубов) и частей единицы, содержащихся в данном теле, принимается за числовое значение объема.

Задание1: Приготовьте полые модели призмы и пирамиды с одинаковыми основаниями и одинаковой высотой. Налейте воду в модель пирамиды и перелейте её в модель призмы. Сколько раз можно повторить эту операцию? Если объем прямой призмы, равен произведению площади основания на высоту, то как найти объем пирамиды?

Задание 2: Найдите объём аквариума, изображённого на рисунке.

Окружность, круг.

В жизни мы часто встречаемся с такими фигурами, как окружность и круг. Кругами расходятся волны на воде при бросании камня, форму круга имеет блин, а форму окружности – обруч.

Математики говорят, что окружность – это множество точек, расположенных на одном расстоянии от данной точки, называемой центром окружности. Само это расстояние называют радиусом окружности. А часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой, а хорда, проходящая через центр, называется диаметром.

Задание 1: Начертите с помощью циркуля окружность с радиусом 3 см. Укажите центр окружности, проведите радиус, диаметр, хорду.

Задание 2: Начертите из одной точки три окружности с радиусами 2 см, 3 см, 4 см. Такие окружности называются концентрическими. Проведите ось симметрии полученной фигуры. Сколько таких осей можно провести?

Задание 3: Начертите окружность с радиусом 2см, разделите её при помощи циркуля на 6 равных частей. Из каждой точки деления проведите окружность такого же радиуса. На что похожа полученная фигура? Имеет ли она оси симметрии? Сколько? А центр симметрии?

Цилиндр. Конус.

Вы уже знаете, что слово "цилиндр" произошло от греческого слова "каландер", означающего "валик", "каток". На рубеже XVIII – XIX веков мужчины многих стран носили твёрдые шляпы с небольшими полями, которые так и назывались цилиндрами из-за большого сходства с геометрической фигурой цилиндром.

Какие ещё предметы имеют цилиндрическую форму?

Варианты ответов: стакан, карандаш, многие баночки, кастрюли, бидоны, часть скалки и т. д.

Высота цилиндра - это расстояние между основаниями, радиус цилиндра - радиус круга, являющегося основанием цилиндра.

Цилиндр

Задание 1:Представьте, что у каждого из вас в руках деревянный цилиндр и топорик, с помощью которого вы легко можете рассечь или расколоть цилиндр. "Аккуратно" топориком ударяем по верхнему основанию и раскалываем его. Он распадётся на две половинки. Форму какой геометрической фигуры имеет срез или по научному говорят сечение цилиндра? Нарисуйте сечение цилиндра.

А если рубить не вдоль, а поперек цилиндра, то что получится в сечении? Сделайте рисунок.

Конус, в отличие от цилиндра, имеет вершину, высоту и радиус основания.

Конус

Если вершину и верхнюю часть конуса отсечь, то мы получим так называемый усечённый конус.

Задание 1: Какие предметы имеют форму конуса или усечённого конуса?

Задание2: А сейчас снова представим, что мы рассекаем деревянный конус. Формы каких геометрических фигур могут иметь сечения конуса?

Понятие односторонней

и двусторонней поверхности.

Возьмем полоску бумаги и склеим из неё кольцо. Раскрасим одну сторону кольца в один цвет, вторую – в другой. Очевидно, что кольцо имеет две стороны, то есть это двусторонняя поверхность.

Лента Мёбиуса получается из обыкновенной бумажной полоски, склеенной концами, но не в обычное кольцо, а в кольцо, перекрученное на пол-оборота. То есть, склеивая кольцо из полосы бумаги, мы просто совмещаем верх одного ее конца с низом другого. Для того чтобы сделать ленту Мёбиуса, нужно перевернуть один конец, и тогда получится, что низ склеится с низом, или, что то же самое, верх с верхом. Иначе говоря, мы должны совместить одноименные стороны обоих концов. Что мы знаем о такой поверхности?
Мы знаем, что у нее только одна сторона, в то время как у кольца, естественно, две. То есть ставим ручку и проводим, не отрывая ее от бумаги, линию вдоль бумажной полосы, пока эта линия не замкнется. Что будет у кольца? Одна сторона – с линией, другая – пустая. Что будет у ленты Мёбиуса? Линия будет везде! Пустого места не останется. Это и означает, что лента является односторонней поверхностью. Второй стороны просто нет!
Но и это еще не все! Если разрезать обычное кольцо вдоль, получатся всего лишь два таких же кольца потоньше.

А если разрезать ленту Мёбиуса – получим ОДНУ новую ленту, но уже с двукратным перегибом.
Но ленту Мёбиуса нельзя разрезать сколько хочешь! При разрезании в первый раз она становится перекрученной дважды. А любое четное скручивание дает две стороны!

Изучением таких фигур занимается раздел математики, который носит название топологии. У людей, интересующихся математикой не всерьез, а от случая к случаю, может сложиться впечатление, что тополог — это праздный любитель забав, проводящий все свое время за конструированием листов Мёбиуса и других занимательных математических моделей. Если бы такие люди раскрыли любой современный учебник топологии, то они были бы весьма поражены, увидев страницы, сплошь испещренные математическими символами, среди которых изредка встречаются картинки или чертежи. Топология и в самом деле возникла из рассмотрения геометрических головоломок, но сейчас она давно уже разрослась в непроходимые дебри абстрактной теории. В наши дни топологи с подозрением относятся к теоремам, при доказательстве которых приходится использовать наглядные представления.

Рис. 28. Двойной лист Мёбиуса можно сделать из двух полосок бумаги (слева), перекрутив их на полоборота и склеив так, как показано на рисунке справа.

Тем не менее серьезные топологические исследования служат неисчерпаемым источником занимательных моделей самого необычайного свойства. Рассмотрим, например, двойной лист Мёбиуса. Он получится, если наложить друг на друга две полоски бумаги, перекрутить их, повернув как единое целое на пол-оборота, и соединить концы так, как показано на рис. 28.

На первый взгляд кажется, что в результате мы получаем два вложенных друг в друга листа Мёбиуса. В самом деле, просунув палец между полосками бумаги и обводя им вокруг них до тех пор, пока не возвратитесь в исходную точку, вы «докажете», что фигура состоит из двух отдельных лент. Насекомое, заползшее в щель между бумажными лентами, могло бы совершать такое «кругосветное путешествие» до бесконечности. При этом оно всегда ползало бы по одной полоске бумаги, спинка его касалась бы другой полоски, и ему нигде не удалось бы найти точку, в которой «пол» сходится с «потолком». Отсюда наделенное разумом насекомое заключило бы, что оно путешествует между поверхностями двух отдельных полосок.

Но представим себе, что наше насекомое оставило на полу метку и совершает обход вокруг полосок до тех пор, пока не встретит ее снова. Тогда оно обнаружит, что метка находится не на полу, а на потолке и что необходимо обойти еще раз вокруг полосок, чтобы метка снова очутилась на полу!

Насекомое вряд ли должно обладать недюжинным воображением, чтобы понять, что и пол и потолок образуют одну сторону одной-единственной полоски То, что на первый взгляд казалось двумя вложенными друг в друга лентами, на самом деле представляет собой одну большую ленту.

Двусторонние поверхности можно получить, разрезая односторонние.

Бутылка Клейна.

Что такое бутылка Клейна?
«Бутылка Клейна» – это односторонняя поверхность. В трехмерном пространстве она имеет линию самопересечения. Без самопересечения может быть построена только в четырехмерном пространстве.
Представьте себе обыкновенную бутылку, которая сделана из «пластичного» стекла, которое можно гнуть и скручивать. И вот мы проделываем в ее боку дырку, берем за горлышко, сгибаем, и вставляем горлышко в эту дырку. Пропускаем его внутри до самого дна. В дне проделываем еще одну дырку. Края горлышка и дырки аккуратно склеиваем. Готово!!!
Получилась тоже ОДНОСТОРОННЯЯ поверхность! Но так как ручкой по ней не повозишь – неудобно, – пустим по ней ползать муху. И вот эта муха будет ползать везде, ни разу не перейдя изнутри наружу (или снаружи вовнутрь). В отличие от любой обычной бутылки, у которой есть внутренняя и внешняя стороны, и граница между ними проходит по горлышку, у этой бутылки нет ничего внешнего и внутреннего. Она как бы ввернута сама в себя.
На картинке это выглядит вот так: