Введение в геометрию (стр. 5 )

Известен анекдот: некто давал миллион рублей каждому, кто начертит следующую фигуру. Но при вычерчивании ставилось одно условие. Требовалась, чтобы фигура эта была вычерчена одним непрерывным росчерком, т. е. не отнимая пера или карандаша от бумаги и не удваивая ни одной линии, другими словами, по раз проведенной линии нельзя уже было пройти второй раз.

Надежда стать «миллионером», решив такую легкую задачу, может заставить испортить много бумаги и потратить много времени на попытки вычертить эту фигуру, как требовалось, одним росчерком. Задача, однако, не решается, и это тем досаднее, что она не решается только «чуть-чуть»... Никак не удается провести только одной «последней» какой-либо линии. Удается даже открыть секрет, что вся трудность в том, чтобы вычертить сначала одним росчерком, не повторяя линии, еще более простую фигуру — четырехугольник с двумя диагоналями. Это, казалось бы, уже совсем просто, а все-таки... не удается.

Сомнения в невозможности решения этой задачи все-таки остаются, тем более что фигуры, гораздо более сложные и трудные с виду, легко вычерчиваются, одним росчерком. Так, например, выпуклый пятиугольник со всеми его диагоналями легко вычерчивается одним непрерывным движением без повторения, причем получается фигура, представленная на рисунке. То же самое легко удается со всяким многоугольником с нечетным числом сторон и никак не удается с квадратом, шестиугольником и т. д. — словом, с многоугольником с четным числом сторон.

Легко нарисовать окружность, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя никакую линию дважды. Это можно сделать и когда надо нарисовать окружность вместе с ее диаметром: выйдем из конца диаметра, пройдем его, а потом по окружности вернемся обратно. Но как провести и второй диаметр? Как бы мы ни старались, нарисовать такую фигуру одним росчерком пера (или одним движением карандаша) не удастся,

Какие же фигуры можно нарисовать таким образом? Впервые этим вопросом занялся упоминавшийся ранее знаменитый математик Леонард Эйлер. Он поставил задачу, можно ли совершить прогулку через мосты на рисунке, пройдя через каждый мост по одному разу и вернувшись назад. Все его попытки нарисовать такой маршрут успеха не имели.

Ответ Эйлера был очень прост: обойти всю фигуру, не отрывая карандаша от бумаги, не проходя ни одной линии дважды и вернувшись в исходную точку, можно лишь в случае, когда все вершины имеют четное число «дорог» или как говорил Эйлер «четные веса».

Эйлер выяснил и то, в каком случае можно пройти по одному разу каждую линию, если начало и конец пути не обязаны совпадать. Это оказалось возможным, если лишь две вершины имеют нечетные веса. В этом случае надо обязательно начинать с точки с нечетным весом

Если взять шахматную доску с 64 клетками, то в ней — 28 точек нечетного порядка, и, чтобы вычертить ее, надо чертить 14-кратную линию. С другой стороны, если взять треугольник, поделить каждую из его сторон на 12 (или сколько угодно) равных частей и провести из точек деления линии, параллельные другим сторонам, то полученная сетчатая фигура может быть вычерчена одним непрерывным движением без повторений. Таких примеров можно подобрать сколько угодно.

Теперь нам нетрудно будет разобраться и показать, какую из любых данных фигур можно вычертить одним росчерком, без повторения линий, а какую нет. Каждую из задач подобного рода можно свести к разобранной уже нами Эйлеровой задаче о мостах.

Простейшие задачи.

Графы часто используют для решения логических проблем, связанных с перебором вариантов. Для примера используем такую задачу: В ведре 8л воды, требуется отлить в 5-литровую кастрюлю 4л воды и оставить в ведре 4л. Имеются еще две кастрюли емкостью 5л и 3 л.

Есть 2решения этой задачи – в 7 ходов и в 8 ходов:

8 5 3 8 5 3

8 0 0 8 0 0

5 0 3 3 5 0

5 3 0 3 2 3

2 3 3 6 2 0

2 5 1 6 0 2

7 0 1 1 5 2

7 1 0 1 4 3

4 1 3 4 4 0

4 4 0

Подобным образом можно составить граф любой позиционной игры, где позиции станут вершинами, а направленные отрезки между вершинами будут означать, что одним ходом можно перейти от одной позиции к другой по направлению стрелки.

Свойства графов не зависят от того, соединены вершины отрезками или кривыми линиями. Это дает возможность изучения их свойств с помощью одной из молодых наук – топологии.

ПУТЕШЕСТВИЕ КОНТРАБАНДИСТА

Задачу о переходе через мосты можно предлагать в различных видоизменениях. Можно представить ее, например, как путешествие контрабандиста, который решил побывать во всех странах Европы, но так, чтобы через границу каждого государства ему пришлось переходить только один раз.

В данном случае очевидно, что различные страны и их границы будут соответствовать разным местностям и рукавам реки, через которые переброшено по одному мосту (для каждой границы, общей двум странам).

Исследуя разрешимость задачи, сразу видим, что Финляндия, Испания и Дания имеют нечетное число границ с соседними государствами, т. е. число нечетных местностей более двух, а, следовательно, путешествие, которое предполагает совершить контрабандист, невозможно.

Дополнительные материалы.

Золотой треугольник

Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов можно пользоваться пентаграммой.

Рис. 5. Построение правильного пятиугольника и пентаграммы

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471...1528). Пусть O – центр окружности, A – точка на окружности и Е – середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника.

Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

Рис. 6. Построение золотого треугольника		Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.
История золотого сечения Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н. э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления

. Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников. Рис. 7. Динамические прямоугольники Платон (427...347 гг. до н. э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления. В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления. Рис. 8. Античный циркуль золотого сечения В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н. э.), Папп (III в. н. э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным. В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом начертательной геометрии. Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее «божественную суть» как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок – бога отца, а весь отрезок – бога духа святого). Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное. В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет. «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать». Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица – ртом и т. д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера. Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение). Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности». Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд). Золотое сечение в музыке

Музыка - посредник между духовной и чувственной жизнью"
Арним
Один из видных деятелей русской и советской музыкальной культуры впервые применил закон «золотого сечения» в музыке. Анализируя «Хроматическую фантазию и фугу» , ученый пришел к выводу, что «она, оказывается, сотворена по естественным законам природного формообразования, подобно человеческому организму, в котором совершенно также господствуют оба закона - закон золотого сечения и закон симметрии, с такими же мелкими художественными неточностями в индивидуальном строении живого тела, которыми оно отличается от мертвых форм отвлеченного или фабричного происхождения». Определяя зону золотого сечения, можно убедиться, что она не в начале, не в середине пьесы, а ближе к концу (кульминация произведения), то есть в третьей четверти целого. В мире, живом и неживом, все связано и все взаимообусловлено, все подчинено одним законам. Человек в своей разносторонней деятельности - в науке, технике, художественном творчестве - не может не подчиняться тем же законам.

Заключение

Датский физик Нильс Бор говорил, что математика является значительно большим, чем наука, поскольку она является языком науки. И действительно, математика стала  для многих отраслей знания не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования.

Математический стиль мышления, умение рассуждать строго, без логических скачков нужны и будущим юристам и историкам, биологам и лингвистам, инженерам и врачам.

Многим из вас самим придется принять участие в решении научных проблем. И чем больше и глубже вам удастся усвоить дух математики и научиться использовать её методы хотя бы в простейших ситуациях, тем дальше и быстрее вы сможете продвинуться в своих исследованиях.

В добрый путь, друзья!

Оглавление

Введение.        33

Измерение величин.        34

Задачи на построение.        35

Измерение отрезков на местности.        36

Построение прямых углов на местности.        36

Построение плана участка.        36

Геометрические фигуры.        37

Треугольник.        37

Пирамида.        38

Четырехугольники, их свойства        39

Параллелограмм        39

Многоугольники        40

Призмы, виды призм.        41

Понятие объема.        44

Окружность, круг.        46

Цилиндр. Конус.        46

Понятие односторонней        48

и двусторонней поверхности.        48

Бутылка Клейна.        50

Понятие подобия.        50

Понятие гомотетии.        51

Применение подобия для решения задач.        52

Измерения на местности.        52

Измерение высоты.        53

Измерение расстояния до недоступной точки.        54

Понятие о графах.        55

Простейшие задачи.        57

Дополнительные материалы.        58

Золотой треугольник        58

История золотого сечения        59

Заключение        62