Введение в геометрию (стр. 1 )

6 класс

УВК «Лицей»

г. Риддер, 2011г.

Введение.

В пятом классе на уроках Введения в геометрию ты научился работать с инструментами, решать геометрические задачи, а главное, ты увидел, что геометрия – это не та скучная наука, которой тебя пугают старшеклассники. Геометрия – это жизнь, она присутствует в каждом предмете, растении, живом организме. Ты увидел, как причудливо переплетаются геометрические понятия и закономерности живых организмов. Наблюдая летом природу, ты увидел симметрию и спирали в растениях, убедился в связи чисел Фибоначчи с законами филлотаксиса.

В новом учебном году мы продолжим знакомство с замечательной наукой – Геометрией, научимся различать односторонние и двусторонние поверхности, познакомимся с графами и различными геометрическими фигурами.

Измерение величин.

Давайте мысленно перенесемся на 4 тысячи лет назад и представим себе, что мы с вами египетские мастера, которые собираются строить пирамиду. С чего начать? Возьмем кусок папируса и нарисуем на нем чертеж постройки. Теперь выберем место для постройки пирамиды и наметим на нем основание, фундамент пирамиды. Поступим так, как это делали египетские строители. Воткнем в землю отвесный шест. В полдень, когда тень от шеста будет самой короткой, она покажет нам направление на север.

Наметим на земле линию север – юг. Теперь проведем линию восток – запад. Для этого возьмем веревку с двумя колышками и сделаем построения, как на рисунке. Линии север – юг и запад – восток пересекаются под прямым углом. С помощью веревочек построим прямой угол. Значит теперь можно из планок сделать себе угольник и использовать его, если понадобится.

Для измерения величин используют основные меры (метр, грамм, литр и др.), а также производные от них. Величины образуют другие, большие и меньшие меры одинаковым образом (за исключением, названий «микрон» «центнер», «тонна»). Для образования названий мер, больших основной единицы, к названию последней спереди прибавляются греческие слова: «дека» — «десять», «гекто» — «сто», «кило» — «тысяча», «мириа» — «десять тысяч»; для образования названий мер, меньших основной единицы, к названию основной единицы прибавляются, также спереди, частицы «деци» — «десять», «санти» — «сто», «милли» — «тысяча»

Таким образом, например:

1 мириаметр = 10 километрам = 100 гектометрам= 1000 декаметрам = 10 000 метрам;

1 метр==10 дециметрам = 100 сантиметрам = 1000 миллиметрам.

Аналогично:

1 мириаграмм =10 килограммам =100 гектограммам =

1000 декаграммам =10 000 граммам;

1 грамм = 10 дециграммам = 100 сантиграммам = 1000 миллиграммам;

1 мириалитр = 10 килолитрам = 100 гектолитрам = 1000 декалитрам =10 000 литрам;

1 литр =10 децилитрам =100 сантилитрам = 1000 миллилитрам.

Долгое время в качестве единицы длины применялся микрон, то есть 0,001 миллиметра. Высококвалифицированные слесари умеют изготовлять детали с микронной точностью,

Далеко не все из указанных выше названий употребляются на практике - вряд ли кто-нибудь слышал о сантиграммах или о децилитрах. Однако в некоторых зарубежных странах в магазинах говорят: «Отпустите, пожалуйста, тридцать декаграммов сыра».

Задачи на построение.

В пятом классе ты научился решать многие задачи на построение. Сегодня мы попробуем применить эти умения к решению не совсем стандартных задач. Использовать при решении задач на построение можно только циркуль и линейку. А для решения многих задач достаточно карандаша, так как главное в этих задачах – догадаться, что нужно делать. Тогда достаточно сделать эскиз решения, и мы будем считать, что задача решена.

Задание 1.

Ты видишь на рисунках изображения геометрических фигур. Распознай эти фигуры. Меняются ли свойства фигур в зависимости от способа их изображения.

Задание 2.

Я могу разделить квадрат на 4 равные части вот так:

Как разделить квадрат на 5 равных частей?

На 7 равных частей?

Как отрезок разделить на любое число равных частей?

Задание 3

Как разделить квадрат на 6 квадратов?

А на 8?

На сколько квадратов вообще можно разделить квадрат? Как это сделать?

Задание 4

Как разделить круглый торт на 8 равных частей, сделав при этом наименьшее число разрезов? Каково это наименьшее число?

Измерение отрезков на местности.

Из-за неровностей почвы на местности невозможно произвести измерение длины отрезка непосредственно. Если расстояние меньше длины мерной ленты, то можно просто натянуть её, встав в начале и в конце измеряемого отрезка. Но если расстояние значительно больше, то сначала измеряемый отрезок «провешивают», то есть намечают путь, по которому будет производиться измерение. Для проведения таких измерений необходимо иметь вехи – длинные шесты и рулетку.

Используя вехи, определите длину и ширину пришкольного участка, размеры здания.

Построение прямых углов на местности.

Для построения прямых углов на местности приготовим несколько простых приборов.

Эккер. Чтобы изготовить эккер, нужно сколотить две дощечки под прямым углом и вбить в каждый конец дощечек по гвоздику.

Булавочный прибор. На любой дощечке наметить вершины равнобедренного прямоугольного треугольника и вбить там по булавке или гвоздику. Египетский прибор. Две веревки одинаковой длины привязать к колышкам с обеих сторон.

Задание 1.

Определите направление частей света. Провешайте линию по направлению север-юг. Постройте на местности участок прямоугольной формы. Измерьте его длину и ширину, найдите площадь.

Построение плана участка.

Используя результаты прошлых измерений, составьте план школьного участка, укажите на нем используемый масштаб и направление частей света.

Геометрические фигуры.

Треугольник.

Последователи Фалеса, занявшиеся геометрией, оказались в том же затруднении, что и все первоначинатели. Так как до Фалеса никто в Греции геометрией не занимался, у геометрических фигур еще не было названий. Греки стали называть фигуры словами, обозначавшими окружающие их предметы похожей формы. Например, для прокатки белья женщины применяли скалку, которую по-гречески называли «каландер». Поэтому все вытянутые тела с округлым сечением получили название цилиндра. А тело, изображенное на рисунке а, похоже на еловую шишку. Эту шишку по-гречески называли «конос». Поэтому и тела такой формы получили название конуса. Ну, а тело, изображенное на рисунке б, напоминает нам египетские пирамиды. Поэтому такие тела и назвали пирамидами. При этом в Египте основания пирамид были четырехугольными, а греки изучали и четырехугольные, и треугольные, и даже шестиугольные пирамиды. Да, мы забыли сказать, откуда получила свое имя сфера. По-гречески так назывался мяч, с которым играли дети. Слово «параллельный» происходит от греческого «параллелос» — идти рядом. От него уже происходят слова «параллелепипед» (рис. в) и другие.

Дали названия и частям плоскости. У фигуры, изображенной внизу, две параллельные стороны. Такой вид сбоку имел столик для еды. Его сначала называли «тетрапецион» — четырехногий, а потом название сократилось до «трапезион» (и сейчас иногда говорят «трапеза» вместо еда). Поэтому фигуру такого вида назвали трапецией.

Таким образом, сами названия геометрических фигур показывали, что геометрия возникла для решения практических задач и с самого начала была тесно связана с практикой, с человеческим трудом.

Некоторые названия пришли к нам из латинского языка. Например, слово «биссектриса» означает луч, который выходит из вершины угла и делит этот угол пополам.

В пятом классе мы увидели, что треугольники бывают разных видов. Можно различать треугольники по их углам, а можно – по сторонам.

Если у треугольника все углы – острые, то это остроугольный треугольник. Если есть прямой угол – то это прямоугольный, а если есть тупой угол, то тупоугольный.

Задание 1.

Сколько тупых или прямых углов может иметь треугольник? Почему?

Задание 2.

Изобрази треугольники разных видов в зависимости от углов. Обозначь их вершины буквами, сделай записи.

Треугольники, у которых все стороны разной длины называются разносторонними. Если равны две стороны, то это равнобедренные. А если равны все три стороны, то равносторонние.

Задание 3.

Как с помощью циркуля и линейки построить равносторонний треугольник? Какова величина углов такого треугольника?

Пирамида.

Как мы уже знаем, такая фигура называется пирамидой. Плоские многоугольники, которые её ограничивают, называются гранями. Причем одна из них, та, на которой стоит пирамида, называется основанием, а остальные – боковыми гранями. Все боковые грани у пирамиды – треугольники.

Задание 4: Нарисуйте развертку треугольной пирамиды, то есть такой пирамиды, у которой в основании лежит треугольник.

Для этого начертите окружность произвольным радиусом и отложите от любой точки три равных отрезка. Полученные точки соедините с центром окружности и последовательно друг с другом. Осталось пристроить правильный треугольник со стороной, равной отрезкам на окружности.