Введение в геометрию (стр. 4 )

Понятие подобия.

Две фигуры, имеющие одинаковую форму, но разные размеры, называются подобными. Карты одной и той же местности, имеющие разные масштабы

являются подобными. Любые две окружности подобны. Можно привести много примеров подобных фигур, в жизни мы с ними сталкиваемся на каждом шагу.

Задание1: Нарисуй две фигуры одинаковой формы, но разных размеров, например, большую и маленькую бабочки, большой и маленький треугольник, большой и маленький квадрат. Измерь длину стороны большой и маленькой фигуры, найди их отношение.

Отношение расстояний между любыми двумя соответственными точками на этих фигурах равно одному и тому же числу, называемому коэффициентом подобия. У всех изображенных здесь фигур коэффициент подобия равен 2.

Например, при увеличении фотографии все размеры увеличиваются в одном и том же отношении, т. е. происходит подобное преобразование с фотопленки на фотобумагу. Подобное преобразование совершается и тогда, когда делают уменьшенную копию чертежа, рисунка и т. д. так, например, вы поступаете, когда срисовываете чертеж с доски в свою тетрадь. Подобные фигуры имеют одинаковую форму, но различные размеры.

У подобных многоугольников соответственные углы равны, а стороны пропорциональны, т. е. А=А1, В=В1, С=С1 и

Понятие гомотетии.

Отрезки АС и А1С1 называются гомотетичными, потому что лучи А1А и С1С пресекаются в точке О так, что ОА1= к ОА и ОС1= к ОС.

То есть, чтобы построить точку, гомотетичную данной точке А, нужно через точку А и точку О провести луч и от точки О отложить отрезок ОА столько раз, каков коэффициент гомотетии. При этом получится фигура, подобная данной и коэффициент подобия будет равен коэффициенту

гомотетии.

Так на рисунке большой четырехугольник подобен маленькому, потому что они гомотетичны.

Применение подобия для решения задач.

Понятие подобия широко применяется в практической деятельности человека. Часто приходится находить расстояния, измерить которые непосредственно невозможно, например высоту большого дерева, огромного небоскреба или ширину реки. Пусть А1С1 – высота трубы, которую нужно измерить, а АС – палка в руках человека. Так как ДОАС подобен ДОА1С1, то длина трубы А1С1 во столько раз больше, чем длина палки, во сколько раз отрезок ОС1 больше отрезка ОС, которые легко измерить.

Измерения на местности.

Искусны были египетские писцы и гарпедонапты! Но однажды им пришлось устыдиться, потому что пришелец из далекой Греции оказался намного искуснее их. Это случилось в VI веке до новой эры, а пришельцем был Фалес из Милета. В те времена греки не занимались геометрией, и Фалес решил на месте познакомиться с египетской наукой. Египтяне задали ему трудную задачу: как найти высоту одной из громадных пирамид? Фалес нашел для этой задачи простое и красивое решение (а в математике очень часто простота — признак красоты). Он воткнул длинную палку вертикально в землю и сказал: «Когда тень от этой палки будет той же длины, что и сама палка, тень от пирамиды будет иметь ту же длину, что и высота пирамиды».

Чтобы сообразить это, Фалес должен был уже много знать про геометрические фигуры, а особенно про ту, которая получается, если разбить квадрат на два треугольника. Ясно, что эти треугольники равны друг другу. Кроме того, у них по прямому углу, а катеты в этих треугольниках равны друг другу. В геометрии такие треугольники называют прямоугольными и равнобедренными. А дальше, вероятно, Фалес рассуждал так. Солнце от Земли очень далеко, поэтому идущие от него лучи параллельны. Значит, и на палку, и на пирамиду лучи идут параллельно и тени от них тоже параллельны. А значит, высота пирамиды во столько раз больше высоты палки во сколько раз её тень больше тени, отбрасываемой палкой.

Измерение высоты.

На природе для определения высоты дерева можно воспользоваться шестом, длина которого равна вашему росту. Место для шеста нужно выбрать так, чтобы лежа вы видели верхушку дерева на одной прямой линии с верхней точкой шеста. Так как полученные треугольники прямоугольные и равнобедренные и они подобны, то расстояние от дерева до вашей головы будет равно высоте дерева, то есть АВ=ВС.

В качества прибора для приблизительной оценки недоступной высоты вы можете использовать свою записную книжку. Книжку нужно держать возле глаз в отвесной плоскости, а приложенный к ней карандаш bc выдвигается над верхним обрезом книжки настолько, чтобы, глядя из точки а, видеть вершину дерева В покрытой кончиком b карандаша. Тогда вследствие подобия треугольников abc и aBC высота ВС определится из пропорции BC:bc=aC:ac. Достаточно теперь прибавить к найденному размеру свой рост и вы узнаете высоту дерева.

Можно измерить высоту объекта при помощи зеркала. На некотором расстоянии от измеряемого объекта АВ на ровной земле в точке С кладут горизонтально зеркало и отходят от него назад в такую точку Е, стоя в которой наблюдатель видит в зеркале верхнюю точку А объекта. Тогда высота объекта во столько раз выше роста наблюдателя, во сколько раз расстояние ВС от зеркала до объекта больше расстояния СЕ от зеркала до наблюдателя: АВ: КЕ = ВС: СЕ.

Измерение расстояния до недоступной точки.

Не переплывая реки, измерить её ширину - так же просто для знающего геометрию, как определить высоту дерева, не взбираясь на вершину. Недоступное расстояние измеряют теми же приемами, как и недоступную высоту.

Для первого способа нам понадобится прибор с тремя булавками а, b, с на вершинах равнобедренного треугольника. Пусть требуется определить ширину реки АВ, стоя на том берегу, где точка В. Став где-нибудь у точки С держите булавочный прибор так, чтобы, смотря одним глазом вдоль двух булавок, мы видели, как обе они покрывают точки А и В. Теперь, не двигая дощечки прибора, смотрите вдоль двух других булавок (перпендикулярно прежнему направлению) и заметьте какую-нибудь точку D, покрываемую этими булавками, т. е. лежащую на прямой, перпендикулярной к АС. После этого воткните в точку С веху и идите с вашим прибором вдоль прямой СD, пока не найдете на ней такую точку E, откуда можно одновременно покрыть для глаза булавкой b шест точки С, а булавкой а – точку А. Это будет означать, что вы нашли на берегу третью вершину треугольника АСЕ, в котором угол С – прямой, а угол Е равен 45°, тогда АС = СЕ. Если измерить расстояние СЕ хотя бы шагами, вы узнаете расстояние АС. Отняв ВС найдем ширину реки.

Можно определить ширину реки, используя травинку, если вы видите на противоположном берегу два объекта, расстояние между которыми приблизительно можно определить шагами по своему берегу. Приложите травинку к глазам так, чтобы направление взгляда через один конец травинки попадало на один объект, а через другой конец – на второй объект. Тогда ширина реки во столько раз больше расстояния от глаз до травинки, во сколько раз расстояние между объектами больше длины травинки.

Понятие о графах.

Пусть несколько точек обозначают какие-то объекты, а отрезки, их соединяющие, - отношения между объектами. Такой рисунок называется графом. Существует целая теория графов и большое количество задач, решаемых с помощью графов. При взгляде на географическую карту сразу бросается в глаза сеть железных дорог. Это типичный граф: кружочки обозначают станции – вершины графа, а соединяющие их пути – ребра графа. В строительстве графы используют при планировании проведения работ, так называемые «сетевые графики строительства». Вершины графа обозначают виды работ, указаны числа – сроки исполнения работ.

Впервые основы теории графов появились в работе Л. Эйлера, где он описывал решения головоломок и математических развлекательных задач. Широкое развитие теория графов получила с 50-тых годов 20 века в связи с развитием кибернетики и вычислительной техники.