Методика решения физических задач с помощью элементов высшей математики (стр. 2 )

.        

Если при некотором значении t, существует производная функции  при этом значении, то в этой точке функция непрерывна. При этом отношение    численно равно  .

Производная функции  в точке    численно равна тангенсу угла, который составляет касательная к графику этой функции, построенной в точке  с положительным направлением с осью . Это так называемый геометрический смысл производной функции.

Из последнего определения становится ясно, почему в случае убывающей функции (рис. 3) производная отрицательна. Это объясняется тем, что  , еслибудет отрицательным.

На этом свойстве производной осно­ва­но исследование поведения функции на возрастание (убывание) на заданном отрезке. [6,135]

1.2.  Механический смысл производной.

Некоторые сведения из кинематики материальной точки.

В прямоугольной декартовой системе координат положение точки характеризуется тремя ее координатами X, Y, Z. В процессе движения точки координаты с течением времени изменяются, вообще говоря, изменяются, т. е. являются функциями времени. Если аналитический вид этих функций известен

,                                                (1)

говорят, что движение точки задано в координатной форме.

Рис. 4

       В этом случае первые производные от координат по времени равны проекциям вектора скорости на соответствующие координатные оси:

                                       (2)

Примечание: производную по времени принято обозначать не штрихом, а точкой в вверху.

Модуль вектора скорости:

                                       (3)

Первые производные от проекций вектора скорости по времени (или, что тоже самое, вторые производные от координат по времени) равны проекциям вектора ускорения на соответствующие координатные оси:

                                       (4)

Можно также ускорения записать как вторые производные от координат по времени. Модуль полного ускорения соответственно равен:

                                       (5)

В качестве примера рассмотрим движение произвольным образом брошенной материальной точки под действием силы тяжести (в однородном поле тяготения). Пусть движение точки задано в координатной форме уравнениями:

                                       (1)

Видим, что при t = 0, x = x0, y = y0. Следовательно, x0 и y0 – координаты точки в начальный момент времени. Находим проекции вектора скорости на координатные оси:

                                       (2)

При t = 0, vx = v0x, vy = v0y. Следовательно, v0x и v0y – проекции вектора скорости на координатные оси в начальный момент времени.

Находим проекции вектора ускорения на координатные оси:

                                               (3)

Рис. 5

                                               (4)

Время подъема tпод до верхней точки траектории найдем, положив в (2) vy = 0. Тогда

                                                       (5)

Все время движения tдвиж найдем из (1), подставив в качестве y ординату точки падения. При решении квадратного уравнения отбрасываем корни, лишенные физического смысла.

Ординату верхней точки траектории найдем, подставив в выражение для y (1) в качестве t все время движения tдвиж. Максимальную дальность полета по оси х находим из (1):

                                       (6)

1.3. Определение экстремумов функции.

Функция  достигает своего максимума в точке  , если ее значение в окрестности этой точки меньше, чем значение функции в этой же точке .

Функция    достигает своего минимума в точке  , если ее значение в окрестности этой точки больше, чем значение функции в этой же точке .

Из определений максимума и минимума функции и использования анализа областей возрастания и убывания функции можно сформулировать простое правило (алгоритм) поиска экстремумов (максимума или минимума) функций.

Правило поиска экстремальных точек:

1. Найти область определения функции  .

2. Найти производную функции  .

3. Определить критические точки  по ее первой производной.

4. Исследовать  на знак слева и справа от найденных точек.

5. Если слева от точки , а справа , то тогда говорят, что точка является точкой максимума.

6. Если слева от точки , а справа , то тогда говорят, что точка является точкой минимума.

7. Если слева и справа от критической точки не меняет знак, то говорят, что является точкой перегиба функции.

Функция на отрезке может иметь несколько минимумов и максимумов, которые называют точками экстремумов функции. Некоторые максимумы (точка , рис. 6) могут

быть меньше, чем точки минимума (точка на рис. 6).

Именно поэтому различают понятия "локальный максимум", "локальный минимум" от "глобального максимума", "глобального минимума" функции.

На рисунке точки и являются точками локального максимума. Но если речь идет о глобальном минимуме функции, тогда это будет наименьшее значение функции на всем интервале . На рис. 6 это точка . Аналогично точка будет являться точкой глобального максимума. В определении глобальных максимума и минимума функции могут участвовать и концы интервала и , если рассматривается отрезок или "закрытый интервал". С учетом значения функции (рис.6) на концах интервала точкой глобального минимума функции будет точка , а не , если значение функции на концах не учитывается.