Методика решения физических задач с помощью элементов высшей математики (стр. 4 )

Тогда получаем: ,                                                (4)

и искомая величина равна:

                               (5)

Из физических соображений ясно, что (5) есть условие минимума и проводить исследование на вид экстремума не обязательно.

Задача 7. Три точки А, В и С расположены не на одной прямой. Угол ABC равен 60°. Одновременно из точки А выходит автомобиль, а из точки В – поезд. Автомобиль движется по направлению к В со скоростью v1 = 80 км/ч, поезд по направлению к С со скоростью v2 = 50 км/ч. В какой момент времени (от начала движения) расстояние между поездом и автомобилем будет наименьшим, если АВ = L = 200 км?

Решение:

1. Обозначим l – расстояние между автомобилем и поездом в произвольный момент времени. По теореме косинусов имеем:

2. Возьмем производные от обеих частей:

Рис.11.

3. Замечаем, что необходимым условием Минимума l является . Это значит, что правая часть уравнения должна обращаться в ноль, то есть:

4. Отсюда выразим t:

ч.

1.4.2. Применение производной в динамике.

Задача 8. Точка движется по прямой так, что ее скорость изменяется пропорционально корню квадратному из пройденного пути. Показать, что движение происходит под действием постоянной силы.

Решение:

, где (k = const)

                                               (1)

Берем производные по времени от обеих частей (1):

,                                                (2)

но  ,   Тогда (2) примет вид:

, откуда

Умножая обе части на массу, получим:

, т. е. сила постоянна.

Задача 9. Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону

,                                        (1)

где А = 2 м/с2, В = 3 м/с. Определить импульс и кинетическую энергию тела через 3 секунды после начала движения.

Решение:

Взяв производную по времени от обеих частей (1) получим:

Находим импульс тела:

Кинетическая энергия:

1.4.3. Решение задач на нахождение экстремумов функции.

Задача 10. Угол  α, образованный наклонной плоскостью с горизонтом, может изменяться при неизменном основании b. При каком угле α время соскальзывания тела с наклонной плоскости минимально, если коэффициент трения равен k?

Решение:

  Рис.12.

На тело действуют три силы: сила тяжести  , реакции наклонной плоскости , причем и сила трения , причем

Применяем второй закон Ньютона (в проекции на наклонную плоскость):

,                        (1)

Откуда

                                       (2)

Отметим, что . Так как , то

,                                                (3)

где

,                                                (4)

– длина наклонной плоскости, t – время соскальзывания.

       Из (3), с учетом (2) и (4) находим

       (5)

Необходимое условие минимума t(α) есть , или

                               (6)

Приравнивая к нулю числитель, находим ,

                                       (7)

Примечание: так как , , .

При b = 2,1 м и k = 0,14, α = 49о, t = 1 с.

Задача 11. Брусок массы m втаскивают за нить с постоянной скоростью вверх по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Коэффициент трения равен k. Найти угол β, который должна составлять нить с наклонной плоскостью, чтобы натяжение нити было наименьшим. Чему оно равно?

Решение:

Рис. 13

Запишем второй закон Ньютона (в проекции на наклонную плоскость):

,                                (1)

Так как движение равномерное, а = 0. При этом

                               (2)

Представим (1) в виде

               (3)

Из (3), при заданном α, находим:

                       (4)

Необходимым условием максимума силы натяжения Т является , т. е.

                       (5)

Приравнивая к нулю числитель дроби в (5), находим

                                               (6)

Из (4), с учетом (6), находим самое минимальное значение силы Т: