Методика решения физических задач с помощью элементов высшей математики (стр. 1 )

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕМЕНТОВ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ.

учитель физики

МОУ «СОШ №54» г. Магнитогорск

Оглавление

Введение.        3

Глава 1. Применение дифференциального исчисления.        5

1.1. Понятие производной.        5

1.2.  Механический смысл производной.        9

1.3. Определение экстремумов функции.        11

1.4. Применение производной  в кинематике. Решение задач на механический смысл производной.        13

1.4.1.  Решение задач на нахождение экстремумов функции.        17

1.4.2. Применение производной в динамике.        20

1.4.3. Решение задач на нахождение экстремумов функции.        21

Глава 2. Применение интегрального исчисления.        25

2.1. Понятие интеграла.        25

2.2. Применение интегралов в решении физических задач.        28

Глава III «РАБОТА, ЭНЕРГИЯ»        32

3.1. Простейшие интегралы. Решение задач на нахождение работы и энергии.        32

3.2.  Решение задач на постоянный и переменный ток.        34

Заключение.        39

Список использованной литературы        40

Введение.

Предложенная мною тема «Методика решения физических задач с помощью элементов высшей математики», мне очень близка. Так как вот уже около десяти лет я собираю материал по этой теме. Были публикации по отдельным разделам, в частности по разделу «Кинематика» рассматривались задачи на равноускоренное движение с применением простейших интегралов.

Сейчас я представляю материал для методического пособия уже по нескольким разделам физики.

В своей статье я приведу лишь некоторые типичные примеры иллюстрирующие возможности использования интегрального исчисления при решении физических задач по различным разделам физики.

Настоящая методическая работа предназначена для учащихся 10-го и 11-го классов средней школы, а также для учителей физики и математики, преподающих в этих классах. Задачи могут быть предложены и студентам 1-го и 2-го курсов технических вузов.

В данной работе рассмотрены более тридцати задач физического содержания по различным разделам курса физики, решение которых требует применения производных и простейших интегралов. Приведены решения всех задач с достаточно подробными пояснениями. Считаю, что в школах эти задачи целесообразно решать в профильных классах, изучающих физику и математику, а также на дополнительных занятиях.

Изучение учащимися в 11-ого класса раздела математики «Интегральное исчисление» в основном сводиться к расчету площади ограниченной графиком функции, т. е. формируется только геометрический смысл интеграла. Такой подход в преподавании является формальным, и он не способствует более глубокому усвоению школьниками этого материала.

С моей точки зрения, на уроках математики целесообразно решать различные задания с физическим содержанием, в которых применяются простейшие интегралы. В этом случае, данный раздел будет играть более значимую роль в формировании мировоззрения учащихся. Тогда, обучение не будет носить формальный характер, и оно будет способствовать:

● более глубокому изучению раздела «Интегральное исчисление»;

● реализации метапредметных связей между математикой и физикой;

● знакомству школьников с применением интегрального исчисления в различных разделах курса физики.

Глава 1. Применение дифференциального исчисления.

1.1. Понятие производной.

Рассмотрим поступательное движение тела вдоль какой-то прямой линии; рас­стояние некоторой точки М тела от опре­деленной точки О на этой прямой (ко­ординату точки М) обозначим через Z, причем в одну сторону это расстояние будем считать положительным, а в дру­гую — отрицательным. Пусть, напри­мер, прямая, вдоль которой движется тело, расположена вертикально; точки выше О соответствуют положитель­ным z, точки ниже О — отрицатель­ным z. Удобно представлять себе, что наше тело маленькое, так что можно просто говорить об одной «материаль­ной точке» М и об ее расстоянии от определенной точки О прямой — от на­чала координат.

Задачи о движении тел с постоянной скоростью v приводят к простым ариф­метическим и алгебраическим расчетам (основанным на том, что путь равен произведению скорости на время, т. е. на элементарной формуле s = vt, где s —путь, a t — время). Однако в при­роде мы, как правило, имеем дело с движениями, скорость которых меняется с течением времени. Ис­следование таких движений приводит к важным физическим понятиям пути и скорости как функций времени; ма­тематически уже здесь возникают ос­новные понятия высшей математики — понятия производной и интеграла.

Рис.1

Процесс движения материальной точки М заключается в том, что координата z этой точки меняется с из­менением времени t. Движение тела (точки М) определяется зависимостью координаты z от времени t, т. е. оно характеризуется функцией z=z(t). Зная функцию z (t), можно найти по­ложение z тела в любой момент вре­мени t. Наглядное представление о дви­жении дает график функции z (t), для получения которого я откла­дывала по оси абсцисс (ось t) время, а по оси ординат (ось z) — расстоя­ние тела от начала отсчета О.

При равномерном движении тела (движение с постоянной скоростью v) путь s прямо пропорционален времени t, где коэффициент пропорциональ­ности равен v (здесь s=vt).  Обозначив координату тела в  момент t=0 через z0, найдем пройденный за время t путь s z (t)—z0. Таким образом, получаем

z(t)= zo +vt.

Видим, что при равномерном движении зависимость координаты z от времени t выражается линейной функцией. График зависимости z (t) при равномерном движении представ­ляет собой прямую линию на коорди­натной плоскости.

При неравномерном движении за­висимость z (t) выражается более слож­ными формулами и соответствующий график представляет собой кривую линию.

Рассмотрим теперь следующую основную задачу: задана функция z (t), т. е. зависимость координаты тела от времени; требуется найти скорость v движения тела. В общем случае не­равномерного движения скорость не остается постоянной: с течением вре­мени она меняется. Значит, скорость v есть также функция времени t, и задача заключается в том, чтобы выра­зить эту неизвестную функцию v (t) через известную функцию z (t).

Так как скорость постоянна, мы можем выбирать для ее вычисления любой интервал i2—t1=∆t. Назовем t1=t, a t2=t+∆t. Подобно этому путь

Z(t2) – z(t1) = z(t+∆t) – z(t)= ∆ z ; 

В общем случае движения с пере­менной скоростью правая часть выражает среднюю скорость дви­жения на интервале времени от t до t+∆t;

  vср = или  v(t)=

Скорость меняется постепенно, по­этому чем меньше промежуток времени, на протяжении которого измеряется пройденный путь, тем меньше успеет измениться скорость, тем ближе будет средняя скорость к мгновенному ее значению. Основной физический смысл производной заключается в том, что она равна мгновенной скорости: v = .  Производная при данном значении аргумента z = z0 есть просто число. Если же производная определяется на некотором промежутке, то она является функцией f(х).

Производная функции, описывающей движение, даёт возможность охарактеризовать быстроту движения в данный момент времени.

Теория  дифференциального исчисления позволяет исследовать функцию и процесс, описываемый этой функцией.

Примеры, выявляющие роль понятия производной:

1) При равномерном прямолинейном движении скорость есть производная пути по времени: v = . 

2) Если скорость движения изменяется с течением времени, то изменение скорости характеризуется ускорением. Производная скорости v(t) по вре­мени a(t) =   называется ускорением и обозначается обычно буквой a (acceleration — уско­рение по-французски). 

Запишем скорость в виде производной от пути по времени:

a = 

Таким образом, ускорение равно второй производной от пути по времени. Если ускорение как функция вре­мени нам известно, то значение мгновенной скорости можно записать как  V(t) = v(t0)+a(t)dt  , т. е. скорость равноускоренного дви­жения является линейной функ­цией времени.

Зная скорость движения, можно вычислить и координату z=(t), т. е. написать закон движения точки:

z (t) =  z(t0) + v(t) dt

z (t)= z0+ a

Таким образом, зависимость ко­ординаты z тела от времени t при равно­ускоренном движении является квадратичной. [4,56]

3) По аналогии, для переменного тока:

I =

Т. е. сила тока есть производная от количества прошедшего электрического заряда по времени.

Таким образом, можно сделать следующие выводы:

Если отношение  имеет предел при  этот предел называют производной функции   при заданном значении t и записывают