Методика решения физических задач с помощью элементов высшей математики (стр. 5 )

                               (7)

Глава 2. Применение интегрального исчисления.

2.1. Понятие интеграла.

Интеграл (от лат. integer - целый), одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т. п. Соответственно с этим различают неопределенные и определённые интегралы, вычисление которых является задачей интегрального исчисления.[6,79]

Определённый интеграл.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и если:

1. Разделить этот отрезок произвольным способом на n частичных отрезков длиной∆ X1, ∆ X2, ∆ X3, …, ∆ Xn.

2. Выбрать в каждом частичном отрезке по одной произвольной точке d1, d2, d3, …dn.

3. Вычислить значения функции f(x).

4. Составить сумму:                                 n

F(d1) ∆ X1+f(d2) ∆ X2+f(d3) ∆ X3+…f(d) ∆ Xn= ∑ f(d2) ∆ X1.

                                                        I=1

То она называется интегральной суммой функций f(x) на отрезке [a, b]

По-разному деля отрезок [a, b] на n частичных отрезков и по-разному выбирая в них по одной точке d, можно для каждой заданной функции f(x) и всякого заданного отрезка [a, b] составить бесчисленное множество различных интегральных сумм. При этом оказывается, что все эти различные интегральные суммы при неограниченном возрастании n и при стремлении к нулю наибольшей из длин частичных отрезков, имеют один общий предел. Этот общий предел всех интегральных сумм функции f(x) на отрезке [a, b] называется определённым интегралом от f(x) в пределах от, а до b и обозначается

b

∫ f(x)dx

a

Простейшие свойства определённого интеграла:

1. При перестановке пределов изменяется знак интеграла

b         b

∫ f(x)dx=- ∫ f(x)dx.

a         а

2. Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

b

∫ f(x)dx=0.

a

3. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

b         b         b

∫ f(x)dx= ∫ f1(x)dx+ ∫ f2(x)dx.

a         a  a

4. Интеграл от суммы функции равен сумме интегралов от всех слагаемых:

b  b  b  b 

∫ [f1(x)+ f2(x)- f3(x)]dx= ∫ f1(x)dx+ ∫ f2(x)dx - ∫ f3(x)dx.

a  a  a  a 

5. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:

b  b 

∫ сf(x)dx=с ∫ f(x)dx.

a  a 

Для вычисления определённого интеграла, когда можно найти соответствующий неопределённый интеграл, служит формула Ньютона-Лейбница:

b  b 

∫ f(x)dx=F(x) │= F(b)-F(a).

a  a 

Определённый интеграл равен разности значений неопределённого интеграла при верхнем и нижнем пределах интегрирования. [6,83]

Неопределённый интеграл

Определение: Пусть f(x)-функция, заданная на объединении интервалов вещественной оси. Набор всех первообразных для f(x) называется неопределённым интегралом от f(x) и обозначается ∫f(x)dx. Операция нахождения неопределённого интеграла по заданной функции f(x) называется интегрированием этой функции; найти неопределённый интеграл означает проинтегрировать данную функцию. Функция f(x), записанная после знака интеграла (или, как часто говорят, под знаком интеграла), называется подынтегральной функцией.

Свойства неопределенного интеграла

1. ;

2. ;

3. ;

4. [6,90]

Основные приемы интегрирования.

Для вычисления неопределенных интегралов нет такого четкого алгоритма, как для вычисления производных. Кроме того, следует иметь в виду, что бесконечно много интегралов от элементарных функций не выражаются через эти элементарные функции, а представляют собой так называемые специальные функции. Поэтому, вычисление неопределенных интегралов скорее искусство, чем работа по алгоритму. Однако два общих приема все-таки имеются.

Замена переменных

Пусть надо вычислить . Сделаем замену переменных , так что . Пусть нам каким-то образом удалось вычислить . Тогда имеет место формула

.

       

Интегрирование по частям

       Пусть и - две функции. Тогда имеет место формула

2.2. Применение интегралов в решении физических задач.

Понятия интеграл, как и производной применимы к чрезвычайно широкому кругу явлений природы, к самым различным областям науки, техники, жизни.

Задача 12. Пластинка в форме равнобедренного треугольника погружена вертикально в воду так, что ее основание лежит на поверхности воды. Основание пластинки, а, высота h. Определить силу давления F воды на каждую из сторон пластинки.

Решение:

Рис. 14

На расстоянии y от нижней вершины пластинки выделим полоску толщиной dy. Обозначим l – длину полоски. При этом .

Давление жидкости в пределах полоски

                                       (1)

Элементарная сила давления на эту полоску

                               (2)

Полную силу давления на одну из сторон пластинки найдем, интегрируя (2):

Задача 13. Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, имеющую форму равнобочной трапеции, верхнее основание которой, а = 6,4 м, нижнее b = 4,2 м, а высота h = 3 м.

Решение:

Рис. 15

Выделим на расстоянии y от дна горизонтальную полоску шириной dy. Обозначим l – длину полоски. Давление жидкости в пределах полоски:

                                       (1)

Длина полоски

                                       (2)

Учитывая (1) и (2), выразим элементарную силу давления жидкости на полоску:

                       (3)

Полную силу давления жидкости на плотину находим, интегрируя (3):

Задача 14. Деревянный поплавок цилиндрической формы, площадь основания которого S = 4⋅103 см2, а высота H = 50 см, плавает на поверхности воды. Какую работу А надо совершить, чтобы вытащить поплавок из воды? Плотность воды ρв = 1000 кг/м3, плотность дерева ρд = 800 кг/м3.

Решение:

Рис. 16

Пунктиром на рис. 16 обозначено исходное положение. На поплавок действует сила тяжести и выталкивающая архимедова сила . Сила F, которую нужно приложить при вытягивании поплавка из воды

                                       (1)

При этом ,

                               (2)

С учетом (2) запишем (1) в виде:

                               (3)