Методика решения физических задач с помощью элементов высшей математики (стр. 3 )

1.4. Применение производной  в кинематике. Решение задач на механический смысл производной.

Рассмотрим решение нескольких физических задач.

Задача 1. Точка совершает сложное колебательное движение, участвуя одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях

,                                        (1)

Имеющие одинаковые частоты и амплитуды, но сдвинутые по фазе на  (т. е. на 90о). Определить форму траектории, найти скорость и ускорение точки.

Решение:

Почленно возведем в квадрат и сложим оба уравнения (1), получим:

                                       (2)

Это есть уравнение окружности радиусом А с центром в начале координат.

Возьмем производные по времени от обеих частей (1), найдем проекции вектора скорости на координатные оси:

                                       (3)

Определим модуль скорости

                                       (4)

Взяв производные по времени от обеих частей (3), находим проекции вектора ускорения на координатные оси:

                               (5)

Модуль вектора ускорения

                                       (6)

Видим, что точка движется по окружности радиусом А с центром в начале координат равномерно с угловой скоростью  ω. При этом линейная скорость равна Аω, а ускорение есть центростремительное ускорение.

Обращаясь к (1), видим, что равномерное движение по окружности можно рассматривать как наложение (суперпозицию) двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний с одинаковыми частотами и амплитудами, сдвинутых по фазе относительно друг от друга на рад (т. е. на 90о).

Задача 2. Точка движется по прямой так, что ее координата x в каждый момент времени t равна:

                               (1)

В какие моменты времени t точка была в начале координат? Когда ее скорость равнялась нулю?

Решение:

1. Преобразуем правую часть выражения, вынеся за скобки t2:

                               (2)

2. Получаем, что х = 0 при t = 0 и при t = 8 с (решение квадратного уравнения).

3. Возьмем производную по t от левой и правой части *);

               (3)

4. Таким образом, v = 0 при t1 = 0, при t2 = 8 с и t3 = 4 c.

Последние два решения являются корнями квадратного уравнения, записанного в скобках.

Задача 3. Лестница длиной l = 10 м одним концом прислонена к вертикальной стене, а другим опирается о горизонтальный пол. Нижний конец отодвигают от стены со скоростью vx = 2 м/мин. С какой скоростью vy опускается верхний конец лестницы, когда ее основание отстоит от стены на x = 6 м?

Дано:

l = 10 м

x = 6 м

vx = 2 м/мин

Найти:

vy – ?

Решение:

Рис. 7

1. По теореме Пифагора:

2. Возьмем производную по времени от обеих частей:

3. Получаем: .

4. Так как , то:

Задача 4. Тело движется по окружности со скоростью v = 2 м/с. В центре окружности расположен фонарь. С какой скоростью перемещается тень тела по экрану, плоскость которого перпендикулярна плоскости окружности и касается окружности в той точке, от которой тело начинает движение, когда тело пройдет 1/6 часть окружности?

Решение:

1. Из прямоугольного треугольника, показанного на рис.6, видно, что:

Рис. 8

2. Возьмем производную от обеих частей:

Здесь учли, что линейная скорость v связана с угловой скоростью щ следующим образом:

3. Подставим имеющиеся значения, с учетом, что для 1/6 части окружности  α = (360°/6) = 60° и получим ответ:

м/с.

1.4.1.  Решение задач на нахождение экстремумов функции.

Задача 5. Две частицы, 1 и 2, движутся с постоянными скоростями v1 и v2 по двум взаимно перпендикулярным прямым к точке их пересечения О. В момент времени t = 0 частицы находились на расстояниях l1 и l2 от точки О. Через, сколько времени расстояние l между ними станет наименьшим?

Решение:

Рис.9

По теореме Пифагора

                               (1)

Необходимым условием минимума l является

                                               (2)

Возьмем производные по времени от обеих частей (1):

                               (3)

В силу условия (2) правая часть соотношения (3) должна обращаться в нуль:

                                       (4)

Из уравнения (4) находим искомое время:

                                               (5)

Из физических соображений ясно, что (5) есть условие минимума l, так что проводить исследование на вид экстремума не обязательно.

Задача 6. Из пункта А, находящегося на шоссе, необходимо за кратчайшее время попасть на машине в пункт В, расположенный в поле на расстоянии l от шоссе. Известно, что скорость машины по полю в k раз меньше, чем по шоссе. На каком расстоянии от точки D следует свернуть с шоссе?

Решение:

  Рис.10.

1. Обозначим v1 – скорость движения по шоссе, v2 – скорость движения по полю, AD = b, CD = х.

2. Время движения по пути ABC:  ,

где – время движения на участке AC,

– время движения на участке СВ.

3. Таким образом,                                         (1)

4. Необходимым условием минимума t является  или, из (1):

                               (2)

5. Учтем, что .                                                        (3)