Но когда поплавок свободно плавает, т. е. при y = 0, F = 0, при этом

,

откуда

                                               (4)

Подставляя (4) в (3), получим:

                                               (5)

                               (6)

С учетом (4) соотношение (6) принимает вид:

Задача15. Вычислить, какую работу А надо совершить, чтобы поплавок в задаче 14 полностью погрузить в воду.

Решение:

Рассуждения аналогичны таковым в предыдущей задаче (задача 16), но y и dy меняют знак. Изменяется и верхняя граница интегрирования.

                               (1)

С учетом соотношения (4) предыдущей задачи (задача 16) выражение (1) принимает вид:

Глава III «РАБОТА, ЭНЕРГИЯ»

3.1. Простейшие интегралы. Решение задач на нахождение работы и энергии.

Задача 16. Какую работу нужно совершить, чтобы насыпать кучу песка конической формы, радиус основания которой R, а высота h? Плотность песка ρ. Песок поднимают с поверхности земли.

Решение:

Рис. 17

Мысленно выделим в конусе поперечное сечение на расстоянии х от вершины. Обозначим S – его площадь. При этом , откуда

                                               (1)

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Элементарная (т. е. бесконечно малая) работа dA по подъему слоя песка площадью S и толщиной dx, равная приросту потенциальной энергии этого слоя:

                                       (2)

Подставим (1) в (2):

                                       (3)

или

                                       (4)

Интегрируя (4), находим:

       (5)

Так как для прямого кругового конуса , получим

При R = 1,2 м, h = 1 м и ρ = 2⋅102 кг/м3, А ≈ 8⋅103 Дж.

Задача 17. Размеры пирамиды Хеопса приблизительно таковы: высота h = 140 м, сторона основания (квадрата) а = 200 м, плотность материала ρ ≈ 2,5⋅103 кг/м3. Вычислить работу А, затраченную при ее постройке на преодоление силы тяжести.

Решение:

Рис.18

Рассуждения, аналогичные приведенным ранее позволяют вывести формулу

в данной задаче , тогда

Подставляя числовые значения, получим

А ≈ 1,7⋅1012 Дж.

Примечание: задачи такого типа легко решаются, если воспользоваться тем фактом, что центр тяжести пирамиды (или конуса) отстоит от основания на высоты (соответственно, от вершины на высоты).

3.2.  Решение задач на постоянный и переменный ток.

Задача 18 . Сила тока в проводнике меняется со временем по уравнению

i =4 + 2t, где i - в амперах, t - в секундах.

Какое количество электричества протекает через поперечное сечение за
время от t1 = 2 секундам до t2 = 6 секундам?

При какой силе постоянного тока через поперечное сечение проводника­
за это же время пройдет такое же количество электричества?

Дано : i =4 + 2t, t1 = 2 с, t2 = 6 с

Найти : q-? Iср-?

Решение:

а) Из определения мгновенного значения силы тока  i =   (1)

выражаем  dq= i·dt         (2)

Интегрируя (2), находим:

q=  (3) 

б) Силу постоянного тока, при котором через сечение провод­ника проходит за то же время такое же количество электричества, что и при данном переменном токе, называют средним значением силы данного перемен­ного тока.

Найдем его:

Iср=

  Рис. 19

На рис. 19 площадь заштрихованной трапеции числено равна q, высота прямоугольника, равновеликого трапеции, равна Iср.

Ответ: Через поперечное сечение протекает количество электричества, равное 48 Кл и среднее значение силы данного перемен­ного тока равно 12 А.

Задача 19.

Найти действующее (эффективное) значение синусоидального переменного тока.

Решение:

Действующим (эффективным) значением силы переменного тока называют силу такого постоянного тока, который в том же сопротивлении за то же время выделяет столько же теплоты, сколько и данный переменный ток. Иными словами, это сила такого постоянного тока, который в смысле теп­лового действия эквивалентен данному переменному току.

Пусть мгновенное значение силы периодического переменного тока  i=i(t). Обозначим Т - период изменения тока. По закону Джоуля - Ленца ко­личество теплоты dQ, выделяемое за время dt в сопротивлении R переменным током i:

  dQ = i2Rdt  (1)

Количество теплоты, выделяемое за один период:

  Q=  (2)

Количество теплоты, выделяемое постоянным током I за то же время: 

  Q = I2RT  (3)

Приравнивая правые части (2) и (3), имеем:

  I2RT =  R,  (4)

Откуда  I =  ,  (5)

т. е. эффективное значение силы переменного тока, по-существу, является его среднеквадратичным значением.

Мгновенное значение силы синусоидального переменного тока:

t= Im· sinщt  (6)

где Im - амплитудное значение тока, щ=  - циклическая частота.

В этом случае

  (7)

Так как:

Подставляя выражение (7) в (5), находим:

I =   (8)

Получается, что  действующее значение синусоидального переменного тока в раз меньше амплитудного.

Аналогично, действующее значение синусоидального напряжения:

U =   (9)

Отметим, что соотношения (8) и (9) справедливы именно для синусои­дального переменного тока. Если ток изменяется с течением времени, каким-то иным образом, эти соотношения перестают быть справедливыми.

Задача 20. Найти среднее значение синусоидального переменного тока

i = Im sinщt а промежуток времени от t1=0 до  t2 = (за половину периода).

Решение:

Из определения мгновенного значения силы тока:

  i=можно выразить dq=i·dt  (1)

Интегрируя (1), выразим заряд q, прошедший через поперечное сечение проводника за промежуток времени от t1 до t2:

q=  (2)  Учитывая, что  щ =   представим (2) в виде:

  q =   (3)  (3) Находим среднее значение силы тока:

  Iср =   (4) 

  Рис.20

На рис. 20 площадь заштрихованной фигуры числено, равна q, а высота равновеликого этой фигуре прямоугольника числено, равна Iср.

Заключение.

Производные и интегралы-фундаментальные математические понятия, без которых немыслимы современные естествознание, техника и физика.

Математика - не абстрактный набор знаний, а материал, с помощью которого можно разрешать конкретные жизненные ситуации, что и отражается в задачах по физике.

Открытие производной и интеграла позволило более полно и точно изучить многообразные явления окружающего мира, мира движущейся, изменяющейся материи. Различные физические явления на основе использования этих понятий получили единую трактовку.

Из материалов дипломной работы видно, что понятие производной используется при решении задач на нахождение:

    Угловой скорости Линейной плотности неоднородного стержня Теплоемкости Давления Мощности

Понятие интеграла используется при изучении процесса:

    Движение материальной точки под действием силы тяжести Радиоактивного распада истечение

В ходе работы были сделаны следующие выводы:

Данная работа позволяет значительно расширить познания в области математики, физики учащихся старших классов. Применение дифференциального и интегрального исчисления способствует более рациональному и легкому решению задач из различных разделов физики и техники в целом.

Материалы этой работы были предложены  учащимся 11 классов на дополнительных занятиях по физике, а также были показаны преимущества решения задач с использованием элементов высшей математики.

Список использованной литературы

Балаш, по физике и методы их решения.  –  М.: Просвещение, 1997   Виленкин, Ивашев–Мусатов, Шварцбурд. Алгебра и математический анализ. –  М.: Мнемозина, 2004   Сборник задач по курсу физики. - М.: Высшая школа, , Курс общей физики. - М., Высшая школа, 1989 Элементарная математика.  - М.: Наука, 1976 Зельдович. Высшая математика для начинающих и её приложение к физике. – М.: Наука, 1965 История математики. - М.: Просвещение, 1987 .Сборник вопросов и задач по общей физике, том 1,- М.: Наука, 1988   www. krugosvet. ru/ index. html http://komp-model. narod. ru / Принципы компьютерного моделирования/ http://www. vargin. mephi. ru/LekcMat. html http://www. physicon. ru/college. php/ образовательный портал «Открытый колледж/» http://www. academiaxxi. ru/WWW_Books/HM/toc. htm / Математика/ , «Применение производных и простейших интегралов в решении задач по физике. Ч.1. Механика: Кинематика. НТИ(ф)-УГТУ-УПИ,2007; -20с, Нижний Тагил «Решение задач физического содержания с применением производных и простейших интегралов». НТИ(ф)-УГТУ-УПИ, 2007; -20с. Нижний Тагил , «Применение простейших интегралов в кинематике. Равноускоренное движение». НТИ(ф)-УГТУ-УПИ, 2010; Нижний Тагил

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6