Пятое математическое дейстие (стр. 1 )

ПЯТОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДЕЙСТИЕ

       «Алгебру называют нередко «арифметикой семи действий», подчеркивая, что к семи общеизвестным математическим операциям она присоединяет три новых: возведение в степень и два ему обратных действия.

       Наши алгебраические беседы начнутся с «пятого действия» – возведения в степень.

       Вызвана ли потребность в этом новом действии практической жизнью? Безусловно. Мы очень часто сталкиваемся с ним в реальной действительности. Вспомним о многочисленных случаях вычисления площадей и объемов, где обычно приходится возводить числа во вторую и третью степени. Далее: сила всемирного тяготения, электростатическое и магнитное взаимодействия, свет, звук ослабевают пропорционально второй степени расстояния. Продолжительность обращения планет вокруг Солнца (и спутников вокруг планет) связана с расстоянием от центра обращения также степенной зависимостью: вторые степени времен обращения относятся между собой, как третьи степени расстояний.

       Не надо думать, что практика сталкивает нас только со вторыми
и третьими степенями, а более высокие показатели существуют только
в упражнениях алгебраических задачников. Инженер, производя расчеты
на прочность, сплошь и рядом имеет дело с четвертыми степенями, а при других вычислениях – даже с шестой степенью. Исследуя силу, с какой текучая вода увлекает камни, гидротехник наталкивается на зависимость также шестой степени: если скорость течения в одной реке вчетверо больше, чем в другой,
то быстрая река способна перекатывать по своему ложу камни в 46, т. е. в 4096 раз более тяжелые, чем медленная.

       С еще более высокими степенями встречаемся мы, изучая зависимость яркости раскаленного тела – например, нити накала в электрической лампочке от температуры. Общая яркость растет при белом калении с двенадцатой степенью температуры, а при красном – с тридцатой степенью температуры («абсолютной», т. е. считаемой от минус 273°). Это означает, что тело, нагретое, например, от 2000° до 4000° (абсолютных), т. е. в два раза сильнее, становится ярче в 212, иначе говоря, более чем в 4000 раз.

       Но никто, пожалуй, не пользуется так широко пятым математическим действием, как астрономы. Исследователям вселенной на каждом шагу приходитсявстречаться с огромными числами, состоящими из одной-двух значащих цифр и длинного ряда нулей. Изображение обычным образом числовых исполинов, справедливо называемых «астрономическими числами», неизбежно вело бы к большим неудобствам, особенно при вычислениях».

,
известный популяризатор математики и физики,
«доктор занимательных наук»

(из книги «Занимательная алгебра»)

«Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь»

Степень с натуральным показателем и ее свойства

§ 1. Что такое степень с натуральным показателем	4
§ 2. Таблица основных степеней	12
§ 3. Свойства степени с натуральными показателями	17
§ 4. Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями	23
§ 5. Степень с нулевым показателем	25
Ответы и решения	38
Для серьезного размышления	48
Информационные источники	50

Определение 1. Под аn, где n = 2, 3, 4, 5, …, понимаютпроизведениеn одинаковых множителей, каждым из которых является число а. Выражение аn называют степенью, число а – основаниемстепени, число n – показателем степени.

Определение 2.Степенью  числа а с показателем 1 называют само это число: а1 = а.

Операцию отыскания степени аnназывают возведением в степень.
!	Если отрицательное число возводится в четную степень, то получаетсяположительноечисло. Если отрицательное число возводится в нечетную степень, то получаетсяотрицательноечисло.	!

1. Запишите произведение в виде степени, назовите основание и показатель степени:

Решение:

2. Вычислите:

Решение:

Ответ:

2. Представьте данное число в виде степени какого-либо числа с показателем, отличным от 1:

Решение:

Попробуйте решить самостоятельно те задания, которые показались вам наиболее сложными. Если ваше решение хотя бы отчасти не совпадает с приведенным (не совпадает по существу, а не по форме), то обязательно разберитесь в причине несовпадения.

0,81	24	65	10	45	121

Если вы успешно справитесь с этим заданием, узнаете, как древние славяне называли число 1012.

Любопытные факты из мира степеней

Хотя мы и используем арабские цифры, но древние славяне тоже умели записывать большие числа, для этого у них были специальные названия для большого счета:

«тысяща» = 103  «леодр» = 1024

«тьма» = 106  «ворон» = 1048

«легион» = 1012  «колода» = 1049

Выполните вариант 1

Таблица ответов на стр. 38

8-10 верных ответов	Если ошибки есть, проанализируйте их и переходите к изучению § 2.
5-7 верных ответов	Ваши знания нестабильны. Проанализируйте ошибки. Для контроля выполните вариант 2. Если результат будет хорошим, переходите к изучению § 2. Если нет, еще раз разберите предложенные примеры и выполните вариант 3.
Менее 7 верных ответов	Не отчаивайтесь. Еще раз прочитайте краткое изложение теоретического материала, еще раз разберите рассмотренные задания, еще раз попытайтесь решить задания варианта 1 …

Проявите настойчивость. У вас обязательно получится.

И не заглядывайте в таблицу ответов пока не выполните все задания.

Это непременное условие, если вы хотите

успешно усвоить учебный материал.

С-1Определение степени с натуральным показателем

Вариант 1

1. Запишите произведение в виде степени, назовите основание и показатель степени:

2. Вычислите:

2. Представьте данное число в виде степени какого-либо числа с показателем, отличным от 1:

Вариант 2

1. Запишите произведение в виде степени, назовите основание и показатель степени:

2. Вычислите:

2. Представьте данное число в виде степени какого-либо числа с показателем, отличным от 1:

Вариант 3

1. Запишите произведение в виде степени, назовите основание и показатель степени:

2. Вычислите:

2. Представьте данное число в виде степени какого-либо числа с показателем, отличным от 1:

Это интересно

У известного художника Богданова-Бельского есть картина, изображающая занятия устным счетом. В классе возле доски сидит учитель, а около него стоят ученики, занятые устным решением трудного примера. Ученики сосредоточены и увлечены работой, так как пример действительно интересен. Вот он: