Рабочая программа дисциплины статистика (стр. 12 )

Параметры для всех уравнений связи чаще всего определяют из так называемой системы нормальных уравнений, отвечающих требованию «метода наименьших квадратов» (МНК). Это требование можно записать как → min или, при линейной зависимости, = , → min. Найдя частные производные указанной суммы по и и приравняв их к нулю, получим систему уравнений, решение которой и дает параметры искомого уравнения регрессии:

Если связь выражена параболой второго порядка = + , то система нормальных уравнений для отыскания параметров , и , выглядит следующим образом:

Вторая задача - измерение тесноты зависимости – для всех форм связи может быть решена с помощью исчисления теоретического корреляционного отношения (η): = .

Линейный коэффициент корреляции можно выразить и другими формулами: 𝑟 = ; 𝑟 = или 𝑟 = .

Линейный коэффициент корреляции может принимать по модулю значения от 0 до 1 (знак «+» при прямой зависимости и знак «–» при обратной зависимости).

Задача 1.

Пусть по 10 однотипным предприятиям имеются следующие данные о выпуске продукции (𝑥) в тыс. ед. и о расходе условного топлива (𝑦) в тоннах (графы 1 и 2 таблицы).

Требуется найти уравнение зависимости расхода топлива от выпуска продукции и измерить тесноту зависимости между ними.

Решение.

𝑥	𝑦			=1,16+0,547
5 6 8 8 10 10 14 20 20 24	4 4 6 5 7 8 8 10 12 16	25 36 64 64 100 100 196 400 400 576	20 24 48 40 70 80 112 200 240 384	3,9 4,4 5,5 5,5 6,6 6,6 8,8 12,1 12,1 14,3	16 16 36 25 49 64 64 100 144 256
125	80	1961	1218	80	770

1) Рассматривая уравнение регрессии в форме линейной функции вида = + , параметры данного уравнения найдем из системы нормальных уравнений , а необходимые для решения суммы рассчитаны выше в таблице. Подставляем их в уравнение и решаем систему: , = 1,16 и

Отсюда =1,16 + 0,547.

Подставляя в это уравнение последовательно значения 𝑥 = 5, 6, 8, 10 и т. д., получаем выравненные (теоретические) значения результативного показателя (графа 5 таблицы).

Поскольку параметры уравнения регрессии являются оценочными, то для каждого из них рассчитывается средняя ошибка, т. е. .

Конкретный расчет ошибок для и по данным нашего примера приведен далее.

2) Для измерения тесноты зависимости между 𝑦 по 𝑥 воспользуемся прежде всего линейным коэффициентом корреляции :

а) находим = 121,8; = 8; = 196,1, = 77,

= = = =

= = = .

Отсюда по формуле 𝑟 = 𝑟 = =

- характеризует не только меру тесноты зависимости вариации 𝑦 от вариации 𝑥 , но и степень близости этой зависимости к линейной;

б) воспользуемся еще одной формулой: 𝑟 = = 0,547 т. е. тот же результат.

При расчете коэффициента корреляции, особенно если он исчислен для небольшого числа наблюдений (𝑛), очень важно оценить его надежность (значимость). Для этого рассчитывается средняя ошибка коэффициента корреляции ( = , где () – число степеней свободы при линейной зависимости.

А затем находится отношение коэффициента корреляции к его средней ошибке, т. е. 𝑡 = , которое сравнивается с табличным значением 𝑡 –критерия Стьюдента.

В рассматриваемом примере средняя ошибка коэффициента корреляции: = = = = = 0,028, 𝑡 = =

По таблице приложения 9 находим, что при числе степеней свободы

𝑘 = 10 – 2 = 8 и уровне значимости α = 0,05 табличное 𝑡 равно 2,306, т. е. 𝑡табл = 2,306.

Поскольку фактическое (расчетное) 𝑡 больше табличного, т. е. 𝑡факт > 𝑡табл, то линейный коэффициент корреляции 𝑟 = 0,96 считается значимым, а связь между 𝑥 и 𝑦 - реальной.

3) кроме линейного коэффициента корреляции для измерения тесноты зависимости можно воспользоваться теоретическим корреляционным отношением: η = = , где и - дисперсии соответственно теоретических и эмпирических значений результативного показателя.

Расчет их показан в таблице:

𝒙	𝑦		𝑦 –	(𝑦 –			𝑦 –	(𝑦 –
1	2	3	4	5	6	7	8	9
5 6 8 8 10 10 14 20 20 24	4 4 6 5 7 8 8 10 12 16	3,9 4,4 5,5 5,5 6,6 6,6 8,8 12,1 12,1 14,3	–4 –4 –2 –3 –1 0 0 2 4 8	16 16 4 9 1 0 0 4 16 64	–4,1 –3,6 –2,5 –2,5 –1,4 –1,4 0,8 4,1 4,1 6,3	16,81 12,96 6,25 6,25 1,96 1,96 0,64 16,81 16,81 39,69	0,1 –0,4 0,5 –0,5 0,4 1,4 –0,8 –2,1 –0,1 1,7	0,01 0,16 0,25 0,25 0,16 1,96 0,64 4,41 0,01 2,89
125	80	80	–	130	–	120,14	–	10,74

Дисперсия выравненных значений результативного показателя, или факторная дисперсия, = = общая дисперсия эмпирических значений результативного показателя = =; теоретическое корреляционное отношение η = = = связь между вариацией результативного показателя (𝑦) и факторного (𝑥) весьма высокая.

Вместо дисперсии выравненных значений 𝑦, т. е. , можно воспользоваться остаточной дисперсией. В соответствии с правилом сложения дисперсий можно записать, что = , где

= , тогда η = =.

В нашем примере расчет остаточной дисперсии показан в графах 8 и 9 таблицы: = 1,074. Отсюда η = = 0,96.

Остаточная дисперсия, вернее корень квадратный из нее, т. е. ост, используется для расчета средних ошибок параметров уравнения регрессии. Так, средняя ошибка параметра равна 𝑎0 равна , а для .

Сопоставляя значение параметра с его средней ошибкой, по значению 𝑡 = судят о значимости данного параметра. Если число наблюдений

𝑛 > 20, то параметр считается значимым при 𝑡 > 3.

Если 𝑛 < 20, то обращаются к специальным таблицам значений 𝑡 – критерия Стьюдента (см. Приложение). И в данном случае параметр считается значимым при 𝑡факт > 𝑡табл.

В рассмотренном нами примере для уравнения регрессии = 1,16 + 0,547𝑥 ошибки параметров:

= , т. е.

= , т. е.

Чтобы сделать вывод о значимости параметров, находим

= и =

Так как 𝑛 < 20, обращаемся к таблице значений 𝑡 –критерия (приложение), для α = 0,05 и 𝑘 = 10 –2 = 8 находим 𝑡табл = 2,306. Поскольку 𝑡 > 2,306 и для , и для , то считаем параметры значимыми.

17. СТАТИСТИКА ЧИСЛЕННОСТИ РАБОТНИКОВ И ИСПОЛЬЗОВАНИЯ РАБОЧЕГО ВРЕМЕНИ

Для учета численности персонала используются два показателя:

списочный состав, явочная численность - формируются по данным табельного учета на соответствующие даты.

Т. к. динамика приема-увольнения велика, поэтому списочный состав дает информацию на 1 день, т. е. моментную. Среднесписочная численность: ,

Пример. Данные о численности работников предприятия в марте 2011г

период	Численность работников
1.03-5.03 6.03-15.03 16.03-20.03 21.03-31.03	54 50 45 47

Для оценки использования рабочего времени используются показатели:

1)  Календарный фонд рабочего времени Фкал = N∙

2)  Максимально возм. фонд рабочего времени: Фmax = Фкал – (Дв + Дп + До)∙

 

Для анализа использования рабочего времени

Применяют следующие показатели:

1)  Коэффициент использования ФК: кФК =

2)  Коэффициент использования ФТ: кФТ =

3)  Коэффициент использования максимально возможного фонда рабочего времени : кmax = .

Для анализа использования рабочего периода

Исчисляется относительный показатель – его коэффициент использования.

1)  кп = - коэффициент использования рабочего периода,

2)  Более полное представление о степени использования продолжительности рабочего дня дает максимально возможное число рабочих дней: к п max.

3)  Обобщающим, интегральным показателем использования рабочего времени служит к инт = к q ∙к п max, где к q - коэффициент использования продолжительности рабочего дня:

к q = .

Пример. По данным табельного учета промышленного предприятия за 1 квартал использование рабочего времени характеризуется следующими данными:

o  Среднесписочная численность, чел. – 200

o  Число календарных дней в 1 кв. - 90

o  Число рабочих дней - 60

o  Число целодневных простоев - 10

o  Число неявок на работу(чел-дн),всего – 2000

в том числе по неуважительным причинам – 1000

Решение.

Фк = 90∙200=18000 (чел.-дн.)

Фт = 60∙200=12000 (чел.-дн.)

Фmax= 18000−(90−60)∙200−1000=11000 (чел.-дн.)

Фяв= 11000−(2000−1000) =10000 (чел.-дн.)

Ффакт= 10000−10 =9990 (чел.-дн.)

кФК = =

кФТ =

кmax =

кп =

к п max = дней 9максимально возможное число рабочих дней

Для характеристики движения рабочей силы

на предприятии рассчитываются абсолютные и относительные показатели общего оборота, оборота по приему, по увольнению и текучести рабочей силы:

1)  Общий оборот рабочей силы Qоб = Qприем + Qувольн

Qприем, Qувольн – общее число принятых и уволенных

2)  текучесть рабочей силы Qтек - число уволенных по собственному желанию и за нарушение трудовой дисциплины.

Для анализа оборота рабочей силы

Вычисляются следующие относительные показатели:

1)  коэффициент оборота рабочей силы: к об =.

2)  коэффициент оборота по приему: к п =.

3)  коэффициент оборота по увольнению: к увольн =.

4)  коэффициент текучести: к тек = .

Пример. Изменение численности работников предприятия за 1 год характеризуется следующими данными:

Состояло в списках предприятия:

o  на начало года, чел. – 100

o  принято за год, чел − 20

o  выбыло за год, чел − 10,

в том числе уволено:

- по собственному желанию – 5

- за нарушение труд. дисциплины – 1.

Решение. Проанализируем процесс движения рабочей силы. Для этого необходимо найти (средняя арифметическая начала и конца года).

Qоб = 20+10=30

к об =(28,57%)

к п =(19%)

к ув =(9,5%)

к тек=(5,7%)

18. ОПЛАТА ТРУДА

При изучении оплаты труда и издержек на рабочую силу перед статистикой ставят следующие основные задачи:

1.  определение фонда заработной платы и величины выплат социального характера;

2.  анализ состава и структуры фонда заработной платы;

3.  определение средней номинальной заработной платы и среднего дохода работников;

4.  изучение динамики заработной платы и доходов работников;

5.  определение размера заработной платы отдельных групп работников;

6.  изучение дифференциации работников по размеру заработной платы.

Оплата труда – регулярно получаемое вознаграждение за произведенную продукцию или оказанные услуги, либо за отработанное время, включая и оплату ежегодных отпусков, праздничных дней и другого отработанного времени, которое оплачивается в соответствии с трудовым законодательством и коллективными трудовыми договорами.

В состав фонда заработной платы входят:

1)  начисленные предприятиями и организациями суммы оплаты труда в денежной и натуральной формах за отработанное время;

2)  оплата за неотработанное время;

3)  стимулирующие доплаты и надбавки, комплексные доплаты и надбавки, связанные с режимом работы и условиями труда;

4)  регулярные выплаты на питание, жильё и топливо;

Уровень зарплаты характеризуется средней заработной платой одного работника.

Среднемес. начисл. зар. пл =

(при этом из фонда необходимо вычесть суммы, начисленные на оплату труда работников не списочного состава)

Среднечасов. зар. пл =

19. СТАТИСТИКА ОПЛАТЫ ТРУДА

Мера оплаты труда – фонд оплаты труда работников, включая все виды выплат за выполнение трудовых обязанностей в натуральной или денежной форме. Различают фонд: часовой, дневной, месячной заработной платы.

Для анализа оплаты труда исчисляют индекс средней заработной платы(индекс переменного состава):

Iср. зр. пл. =: , где д.