А. Кофман и Р. Фор. Займемся исследованием операций (стр. 22 )

или

Теперь выведем уравнение равновесия для пополнения. Поскольку в силу принятого режима осмотра изменения в классах могут происходить лишь через каждые 3 недели, за единицу времени отныне будем принимать трехнедельный период, так что предыдущее выражение примет следующий вид:

Вывод уравнения опирается на следующее простое рассуждение.

Если r(и) - число шин, смененных к моменту и, то величина

дает число шин, смененных в промежутке от и-1 до и; функция р(t) называется нормой пополнения запаса.

Как и прочие шины, поступившие в эксплуатацию или смененные в момент t=0, шины, которые заменяются в момент и, будут изнашиваться по закону υ(t), но в момент t число шин, избежавших замены к моменту и, будет равно

ибо они поступили в эксплуатацию в момент и в количестве р(и), а промежуток времени между моментами и и t равен t - и.

Таким образом, полное число шин, находящихся в эксплуатации в момент t, будет равно сумме этих прошедших благопо­лучно контроль шин от момента и =1 до момента u=t плюс, очевидно, число шин, прошедших контроль, которые остаются от классов N(0), N(1), N(2), N(3) и N(4), находящихся в эксплуатации с момента t = 0, т. е.

(1)

где

N´(0)=N(0), N´(1)=1,05N(1), N´ (2)=1,18N(2),

N´(3)=1,67N(3), N´(4)=3,33N(4).

Величина (1) должна равняться (поскольку каждая машина имеет 10 шин) удесятеренному числу машин, находив­шихся до момента t в пробеге. Обозначим эту величину, за­данную как функция времени, через f(t) (план, составляемый дирекцией). Тогда получим уравнение

(2)

Нам важно вычислить р(u). Очевидно, имеем

и

υ(0)=1.

Для простоты положим

(3)

и, следовательно,

Тогда уравнение (2) запишется в виде

. (4)

Из этой формулы следует, что

откуда

(5)

и первое пополнение ρ(1) найдено.

Из (4) получаем

откуда

(6)

и ρ (2) найдено.

По-прежнему из (4) последовательно получаем

и

(7)

затем

и

(8)

и, продолжая аналогичным образом, находим

(9)

В действительности здесь больше бухгалтерии, чем мате­матики; читатель, встревоженный видом этих формул, согласится, что здесь требуются только умение рассуждать, зна­ние сложения и умножения [49].

Прежде всего следует вычислить N(t) для t = 0, 1, 2, 3, 4, исходя из распределения (R) и из (3):

N(0) = 130 + 90 + 80 + 60 + 40 = 400,

N(1) = 130 · 0,95 + 90 · 1,05 · 0,85 + 80 · 1,18 · 0,60 + 60 · 1,67 · 0,30 = 290,5 ≈ 290,

N(2) = 130 · 0,85 + 90 · 1,05 · 0,60 + 80 · 1,18 · 0,30

= 195,5 ≈ 195, (10)

N(3) = 130 · 0,60 + 90 · 1,05 · 0,30 = 106,3 ≈ 106,

N(4) = 130 · 0,30 = 39,

N(≥5) = 0;

т. е. через 15 недель без замены все шины сносились бы.

Предположим далее, что ожидаемая интенсивность эксплуатации машин задана графиком 9.3, из которого ясно выяв­ляется ее сезонный характер.

Рис.9.3

Какими количествами ρ(t) необходимо производить пополнения, с тем чтобы обеспечить все заявки на машины в предположении, что пополнения состоят из новых шин?

Воспользуемся формулами вида (9):

Начиная с 5-го периода, в эксплуатацию вступает новая по­пуляция из 100 шин и, следовательно,

р(5) = · 0,9· 0,3· 0,60 – 105 · 0,85 – 110 · 0,95 ≈ 118,

р(6) = · 0,8· 0,3· 0,60 – 110 · 0,85 – 118· 0,95 ≈ 116,

р(7) = · 0,6· 0,3· 0,6· 0,8· 0,95 ≈ 132,

р(8) = · 0,30 – 110 · 0,30 – 118 · 0,60 – 116 · 0,8· 0,95 ≈ 142,

р(9) = · 0,30 – 116 · 0,6· 0,8· 0,95 ≈ 148,

р(10) = · 0,3· 0,6· 0,8· 0,95 ≈ 125,

р(11) = · 0,3· 0,6· 0,8· 0,95 ≈ 131,

р(12) = · 0,3· 0,6· 0,8· 0,95 ≈ 138.

С этого момента мы должны ввести следующую конкретиза­цию: предположим, что путем жеребьевки выбраны 20 машин, которые на некоторое время снимаются с эксплуатации. Поэтому по истечении 12 периодов следует предусматривать запас шин только для 20 машин, остающихся в эксплуатации.

Таким образом, числом шин, которые сданы в эксплуатацию в периоды 9, 10, 11, 12 и служат еще в текущий момент, будет соответственно

Отсюда

р(13) = · 0,3· 0,6· 0,8· 0,95 ≈ 82,

р(14) = · 0,3· 0,6· 0,8· 0,95 ≈ 82,

р(15) = · 0,3· 0,6· 0,8· 0,95 ≈ 79,

р(16) = · 0,3· 0,6· 0,8· 0,95 ≈ 81.

Остановимся на этом. По истечении 16-го периода в эксплуата­цию нужно ввести вновь десять машин; они будут выбраны наугад из тех 20 машин, которые ранее были временно законсервированы. Значит, вновь будет введена популяция из 100 шин, распределение состояний которой будет соответствовать распределению состояний совокупности шин непосредственно после 12-го периода. Надо будет воспользоваться формулами, аналогичными (10), и всё начнется сначала.

Диаграмма рис. 9.4 представляет изменения запаса; можно отметить, как резкие изменения f(t) отражаются на р(t).

Интересно сравнить этот расчет с другим, выполненным по средним значениям.

Прежде всего, каково математическое ожидание длины про­бега одной шины?

Рис. 9.4

Вероятность того, что шина выдержит лишь от 0 до 6000 км, равна 0,05; от 6000 докм - 0,10; отдокм - 0,25 и т. д. Поэтому математическое ожидание длины пробега будет равно:

d = 6000 · 0,05 + 12000 · 0,10 +· 0,25 + 24000 · 0,30 + 30000 · 0,3 = 22200 км

Если одна шина пробегает за неделю 2000 км и если в эксплуатации находится 40 машин, то за неделю все шины в со­вокупности пройдут

40 · 10 · 2000 = км;

следовательно, в неделю нужно /22 200=36 шин.

Выполним такие же вычисления для случаев 50 и 30 машин и сравним результаты с результатами, полученными выше рекуррентным способом.

	Число шин пополнения
период с 1-го по 4-й	с 5-го по 12-й	с 13-го по 16-й
Рекуррентный способ	425	1050	324
Расчет по математическим ожиданиям	432	1081	324

Разница мало ощутима. Если это так, то почему бы не полагаться на математическое ожидание? Да потому, что необхо­димо следить за изменениями p(t), вызываемыми изменениями f(t), а это невозможно осуществить иначе, как посредством рекуррентных формул. Впрочем, доказано, что если f(t) постоянна, то значение p(t) стремится к постоянной, которая как раз и равна значению, полученному по математическому ожиданию длины пробега. Однако, если изменения f(t) значительны, математическое ожидание p(t) сильно отклоняется от нужного значения.

Диаграмма, аналогичная представленной на рис. 9.4, позволяет действительно следить за потреблением и нужным образом регулировать запасы.

Еще раз подчеркнем, что все расчеты, которые мы выпол­нили, требуют лишь знания правил сложения и умножения, а в качестве вычислительной техники - простую настольную вычис­лительную машину.

Оправдан ли профилактический ремонт?

Как мы видели выше, износ оборудования хорошо описывается кривой продолжительности жизни, получаемой на основе статистического анализа значительной популяции однородного оборудования.

Если статистический анализ достаточно детален и особенно если определено достаточно большое число классов продолжительности, то кривая υ(t), которую мы получаем, пренебрегая скачками и плавно соединяя точки диаграммы того же типа, что и на рис. 9.2, будет иметь следующий вид (рис. 9.5).

Для заданной кривой легко определить медиану α, т. е. промежуток, по истечении которого половина партии одинакового оборудования, введенного в эксплуатацию в момент t=0, будет еще в рабочем состоянии, а также математическое ожидание продолжительности жизни оборудования (как среднюю абсциссу области, находящейся над кривой υ (t)).

Некоторые авторы, и в частности Жак Кэлли [50], предложили ввести при известной медиане α для данной кривой продолжительности жизни вспомогательную переменную

распределенную нормально, и искать такое значение параметра μ, чтобы кривая, соответствующая этому логарифмически нормальному закону, по крайней мере в своей большей части совпадала с экспериментальной кривой.

При этих условиях получаем

и

Но вот что в этом подходе чрезвычайно интересно и полезно практически. Оказывается, те кривые, для которых μ близко к 0,3 (и так почти до 0,6), хорошо приближают кривые продолжительности жизни, относящиеся к деталям, работающим на износ (тормозное оборудование, диски сцепления, вкладыши и т. п.), тогда как те, для которых μ почти равно 0,9, ощутимо совпадают с кривыми продолжительности жизни, полученными для деталей, работающих на усталость (оси, шарикоподшипники, ко­ленчатые валы и т. п.).

Графики на рис. 9.6 дают картину качественного поведения теоретических кривых для различных значений μ и для α=4000; заштрихованная зона - это зона кривых продолжительности жизни деталей, работающих на усталость; пунктирная зона - это зона кривых, относящихся к деталям, работающим на износ.

Практиковать профилактический ремонт, например, для машин, состоящих из многих деталей, это значит допускать, что систематически будет производиться замена деталей одной и той же категории, просуществовавших период q, с тем, чтобы предотвратить возникновение аварий.

Рис 9.5

Если принимается решение производить профилактический ремонт, то отсюда следует, что кривая продолжительности жизни для определенной категории деталей будет обрезаться по истечении периода q, на котором останавливают свой выбор, и что математическое ожидание продолжительности жизни –tq оборудования, выбираемого из партии, где практикуется профилактический ремонт, естественно, будет меньше q, поскольку некоторое оборудование все-таки должно заменяться до истечения периода q по мере того, как оно перестает быть годным (рис. 9.7).

Изучим теперь экономическую сторону профилактического ремонта. В общем случае авария, происшедшая вследствие поломки детали в машине, переводится на экономический язык двумя различными стоимостными величинами:

а) стоимость детали, стоимость разборки, сборки заново и наладки обозначим pi;

Рис 9.6

б) стоимость последствий аварии (остановка производства продукции, потери сырья, неустойка за задержку поставок и т. д.) обозначим Р.

Если профилактического ремонта не практиковать, то к концу жизни детали, которая в среднем равна , платится сумма p + Р. Тогда издержки C1 в единицу времени будут равны

Наоборот, если ввести профилактический ремонт, то при замене детали, средняя жизнь которой , всегда будет выплачиваться сумма p, а Р будет выплачиваться лишь тогда, когда поломка детали будет происходить до истечения периода q, что произойдет с вероятностью 1-υ(q); следовательно, издержки за единицу времени составят

Разумеется, профилактический ремонт оправдан лишь тогда, когда C2<C1 или С2/C1<1.

Рис 9.7

Графики 9.8а и 9.8б показывают поведение функции

в зависимости от х и Q/-t в случае, когда μ=0,3 (рис. 9.8а) и когда μ = 0,9 (рис. 9.8б).

Отыщем максимум кривых у при различных значениях отношения p/P; они соответ­ствуют минимумам С2/С1 , получаемым при заданных значениях Q/-t, т. е. при заданных значениях Q, поскольку -t известно для каждого рассматриваемого оборудования.

Пример. Пусть деталь такова, что μ≈0,3, α=4000, =4200 и ρ/P = 0,1. Имеем х≈-2,25, откуда

Если бы шкала Q/-t была полной, мы могли бы непосредственно прочесть зна­чение Q/-t=0,48.

Когда μ близко к 0,3, кривые у имеют отчетливый максимум при значениях p/P, меньших 1; то же явление обнаруживается при μ, близких к 0,6, лишь бы только p/P было меньше 0,5.

Напротив, при μ=0,9 максимумы очень нечеткие, разве лишь, возможно, при p/P<0,05.

Эти результаты тотчас же приводят к следующим выводам относительно принятия решений по поводу профилактического ремонта:

а) Для деталей, работающих на износ (0,3<μ<0,6), есть полный смысл практиковать профилактический ремонт, если

что, вообще говоря, и происходит на деле, ибо детали, работающие на из­нос, часто дешево стоят и быстро заменяются, и предельные сроки, как пра­вило, не достигаются.

б) Для деталей, работающих на усталость (μ≈0,9), наоборот, приниматься за профилактический ремонт следовало бы лишь в том случае, когда p/P<0,05; однако такие детали, как правило, стоят очень дорого, следова­тельно, редко случается, чтобы условие относительно p/Pвыполнялось.

Такие выводы нисколько не противоречат соображениям, к которым при­водит непосредственное размышление над этой задачей. В самом деле, не так уж и удивительно, что нет смысла заменять деталь, работающую на усталость, раньше чем она выйдет из строя, поскольку кривая продолжительности ее жизни очень близка к показательной функции, и что, следователь­но, новая деталь имеет такую же вероятность сломаться, как и старая! Зато вполне естественно, когда принимается решение заменять вентиляторные ремни, прокладки, вкладыши и т. д. (т. е. все недорогие детали); в течение эксплуатации машины, чтобы избавиться от несвоевременных остано­вок в производственном процессе.

Рис. 9.8

Впрочем, аналогичные уроки можно извлечь из выводов, относящихся к самому понятию замены оборудования или улучшения машины.

Эксплуатационник должен требовать однородных средних сроков службы от конструктора машин, у которых детали, работающие на износ, допускали бы классификацию на категории; эта предосторожность позволит на деле определять периоды Q1 Q2, ..., Qn профилактического ремонта (например, 250, 500, 750, 1часов, если нормальные периоды использования до профи­лактической замены все кратны 250 часам). Он должен быть готов пойти на дополнительные расходы, необходимые для того, чтобы обеспечить деталям, работающим на усталость, продолжительность жизни, по крайней мере равную продолжительности жизни самой машины. Часто небольшой дополнительный расход позволяет значительно увеличить продолжительность жизни детали, работающей на усталость. Куда приятнее иметь как можно больше шансов подвергать оборудование модернизации, не прибегая при этом к за­мене существенных и дорогих деталей. Их надо доставать быстро, а замена их трудоемка; короче говоря, поломка таких деталей влечет за собой разорительные последствия.

Глава 10. Полицейские и воры (Рациональное использование теории стратегических игр)

За какой-нибудь десяток лет, прошедших после организации и начала деятельности первого в Мехико «супермаркета», в этом городе открылось множество аналогичных магазинов - к великой радости хозяек и... воров, приветствующих расширение системы самообслуживания. В Мексике воров не больше и не меньше, чем повсюду. Некоторые из них столь искусны, что могут стянуть с вас носки, даже если вы не снимали обуви.

Рис. 10. 1

Общество «Пронто», содержащее ультрасовременный магазин в самом центре города, организовало в нем службу наблюдения.

Сейчас мы ее опишем.

В магазине есть две зоны A и B; первая благодаря имеющемуся там ассортименту товаров всегда наводнена густой толпой, тогда как во второй толпа обычно гораздо менее густа. В распоряжении администрации двое полицейских в штатском, которые могут находиться в A или в B. Кроме того, в магазине установлены телевизионные камеры, которые позволяют наблюдать за зонами A и В с места Т, где находятся приемники. Таким образом, полицейские могут находиться в A и B или в T, тогда как воры могут быть либо в A, либо в B (тот случай, когда воры направляются в T, чтобы похитить оттуда телевизионные приемники, здесь не рассматривается).

Полицейские смогли установить некоторое число вероятностей обнаружения и поимки вора. На основании своего опыта они считают, что если вор находится в A, а полицейский в T, то вероятность того, что вор будет задержан, равна 0,3; если же полицейский находится в A, то она равна 0,4; и так последовательно для всех возможных расположении, как показано в таблице 10.1. Если полицейских двое, то они могут находиться вместе или по отдельности в A, В или Т. Легко вычислить полные вероятности задержания вора для случаев TT

(оба полицейских в Т), АА (оба полицейских в A); ТА (один в T, другой в A) и т. д.

Таблица 10.1

	Один вор
Один полицейский		A	B
T	0,3	0,5
A	0,4	0,2
B	0,1	0,7

Таблица 10.2

	Один вор
Два полицейских		А	B
TT	0,51	0,75	х1
AA	0,64	0,36	х2
BB	0,19	0,91	х3
TA	0,58	0,60	х4
TB	0,37	0,85	х5
AB	0,46	0,76	х6
	у1	у2

Действительно, согласно теореме полной вероятности,

pTT = pT + pT - pT ∙ pT = 2 pT - pT2

pTA= pT + pA - pT ∙ pA и т. д.

Отсюда

pTT = 0,3 + 0,3 – 0,3 ∙ 0,3 = 0,51,

pTA = 0,3 + 0,4 – 0,3 ∙ 0,4 = 0,58 и т. д.

Таким образом, получается вся таблица 10.2, где 12 возможным ситуациям приписаны соответствующие вероятности задержания вора.

Ставится следующая задача: какие частоты своего пребывания в A, В и T должны избрать полицейские? Предположим, например, что принята следующая стратегия: 25% времени в позиции АА, 20% - в ВВ, 15% - в ТВ и 40% —в AB; если вор находится в A, то вероятность его задержания будет

0,64 ∙ 0,25 + 0,19 ∙ 0,20 + 0,37 ∙ 0,15 + 0,46 ∙ 0,40 = 0,4375,

а если он в B, то

0,36 ∙ 0,25 + 0,91 ∙ 0,20 + 0,85 ∙ 0,15 + 0,76 ∙ 0,40 = 0,7035.

Итак, полицейские имеют бесконечное множество стратегий, если называть стратегией набор частот

x1, x2, x3, x4, x5, x6,

т. е. 6 неотрицательных чисел, дающих в сумме 1 и представляющих разделение времени по различным комбинациям мест наблюдения

TT, АА, ..., ТВ, АВ.

Можно также представить себе, что воры, обеспокоенные рассудительностью полицейских, пожелают выбрать и свою стратегию

y1, y2.

Эта стратегия представляет собой пару неотрицательных чисел, сумма которых равна 1, представляющих распределение их времени между сулящими выгоду визитами в A или в В.

Очевидно, что частоты x1, x2, x3, x4, x5, x6 , с одной стороны, и частоты y1 и y2 - с другой, должны соответственно составлять секрет для каждой группы противников. Удобно даже, чтобы последовательные решения одних и других были бы случайными и принимались бы либо выниманием шаров из урны, либо с помощью любой другой подходящей процедуры, позволяющей принять во внимание избранные частоты; в противном случае какая удача выпала бы ворам или какое несчастье бы их постигло в зависимости от того, сумели они раскрыть последовательность перемещений полицейских или же, наоборот, полицейские угадали их собственную стратегию!

Предположим, однако, что и полицейские и воры в равной степени умны и осторожны. Полицейские ищут стратегию (x1, x2, x3, x4, x5, x6), такую, чтобы обеспечить задержание вора по крайней мере с вероятностью g независимо от поведения воров. Аналогично, воры ищут стратегию (y1, y2), такую, чтобы вероятность их задержания не превышала бы g (т. е. той же величины, что и выше), как бы ни действовали полицейские. Таким образом, устанавливается равновесие между личностями умными и осторожными; это как раз то, что в действительности обычно и происходит.