А. Кофман и Р. Фор. Займемся исследованием операций (стр. 31 )

S = 20 E(20) = —121∙0,01 + 62∙0,09 + 245∙[0,2 + 0,3 + 0,3 + 0,1] = 224,87;

S = 30 E(30) = —168,75∙0,01 + 14,25∙0,09 + 197,25∙0,2 +

+ 380, 25∙ [0,3 + 0,3 + 0, 1] = 305,22;

S = 40 E(40) = —216,5∙0,01 — 33,5∙0,09 + 149,5∙0,2 + 332,5∙0,3 +

+ 515,5∙[0,3 + 0,1] =330,675;

S = 50 E(50) = —264,25∙0,01 — 81 ,25∙0,09 + 101 ,75∙0,2 + 284,75∙0,3 +

+ 467,75∙0,3 + 650,75∙0,1=301,12,

и сравнить эти ожидания. Тогда наиболее благоприятным в среднем решением остается, несомненно, постройка мотеля из 40 комнат.

Выбор критерия. Выбор критерия, как мы только что убедились, является наименее простым и, несомненно, наиболее ответственным вопросом в исследовании операций. Он выходит из области исследователя операций, задачей которого является анализ проблемы в соответствии с теми критериями, которые ему даны, а не в соответствии с каким-нибудь его личным критерием, который он мог бы выбрать на свой вкус.

Выбор критерия должен производиться на самом высоком уровне. Этот факт свидетельствует о самой высокой степени свободы, которую предоставляет исследование операций тем, кто к нему прибегает.

Что касается нас, мы считаем, что из-за отсутствия достаточно точной информации одним из способов направить свой выбор является вычисление шансов на успех и на разорение. Обозначим через a субъективную вероятность получить плохие результаты, через γ — вероятность полного успеха; промежуточные ситуации будут оцениваться вероятностью b, такой, чтобы

a + b + γ = 1.

При этих условиях, если ΣP представляет собой сумму несчастливых исходов, ΣI — сумму промежуточных исходов и ΣS — сумму удовлетворительных результатов, то взвешенное среднее

представляет собой при каждой гипотезе субъективную оценку математического ожидания, где т, n и p — количества результатов, отнесенных к каждой категории.

Основная задача будет состоять в определении того, к какой категории следует отнести каждый результат. Вернемся теперь к таблице, приведённой на стр.225.

Первое решение могло бы состоять в том, чтобы считать несчастливыми результаты, соответствующие убытку, т. е. результаты, которые в таблице отрицательны; но на это можно

R S	0	10	20	30	40	50
20
30
40
50

Рис.14.1

возразить, что когда мы берем взвешенное среднее, сумма ΣP/m в случае, например, S = 40 равна

тогда как в случае S = 30 она составляет

Но каждому интуитивно ясно, что риск возрастает с увеличением числа построенных комнат.

Вот почему предпочитают выбирать второе решение, состоящее в том, чтобы единственными неудачными исходами считать исходы, находящиеся в первом столбце таблицы (R = 0); небольшие же убытки или небольшие выигрыши будут считаться эквивалентными (например, при R = 10 считаем, что 14,25 ≈ —33,5).

Естественно, что по симметрии успешными исходами в этом решении считаются те, которые соответствуют максимальному спросу R = 50. Таким образом, мы приходим к следующему разбиению. Рассмотрим конкретный, пример, предполагая, что Сальвадор оценивает вероятность разорения в 10%, но что вероятность успеха он не осмеливается оценить больше, чем в 20%.

Каждое решение — построить 20, 30, 40, 50 комнат — обозначено номером I, II, III, IV; для каждой пары оценок (a,γ) указано, какое решение самое благоприятное.

Рис 14.2. Карточка наиболее выгодных решений.

Таким образом, мы имеем α=0,1; γ=0,2, откуда β=0,7 и можно вычислить:

Для усовершенствования этого метода на плоскости оценок a и γ можно составить для каждого значения этих коэффициентов, изменяющихся от 0 до 1 с интервалом 0,1, карточку наиболее благоприятных решений. Можно вообразить себе при этом, что на этой карточке равнина умеренности отделяет болото пессимизма от высот оптимизма.

R S	0	10	20	30	40	50
20
30
40
50

Рис. 14.3.

В действительности, если это решение кажется удовлетворительным для категории неудачных результатов, то возражением против него будет тот довод, что оно разделяет на две различные категории (именно промежуточные и благоприятные) результаты, которые приносят нашему другу один и тот же доход. Иначе говоря, считается, что Сальвадор более оптимистичен, когда он надеется отказать 20 клиентам, чем когда он думает отказать только 10. Было бы более логично допустить третье решение, приводящее к тому, чтобы неудачными событиями считать только те, когда вообще нет клиентов, а в качестве благоприятных событий рассматривать те, при которых все комнаты заняты. Соответствующее разбиение представлено на рисунке 14.3.

Читатель может поупражняться в составлении новой карточки, соответствующей этому разбиению.

ГЛАВА 15. Бедные и богатые (Поиск индекса бедности. Соизмерение ценностей)

Когда речь идет об оказании государством помощи отдельным коммунам, любой муниципальный советник имеет тенденцию считать все свои коммуны особенно бедными; впрочем, если вы спросите избирателей, вам будет стоить большого труда найти богатую коммуну. Поэтому префект департамента Верхней Сены был в затруднении. Как распределить пять миллионов новых франков, предназначенных для его департамента в 1961 г., между 475 коммунами департамента? Выбор критерия богатства или бедности весьма труден; он очевидным образом произволен и не может претендовать на универсальность. Например, жители Невиля считают свою коммуну очень бедной, так как население в ней очень разбросано, доходы от местных налогов очень малы, а помощь малоимущим велика. Жители Вильнева, наоборот, имеют большие доходы от торгово-промышленных налогов и всякого рода доходы от дел по наследованию; мы не говорим уже о прекрасных лесах, которые также дают большие доходы (кажется, в прошлом году сборщик налогов в Вильневе даже сам приплатил налогоплательщикам, вместо того чтобы взять с них налоги — но об этом говорят в Невиле).

В течение долгого времени учреждения префектуры Верхняя Сена испытывали необходимость в количественном критерии для классификации коммун по степени бедности; первая попытка состояла в том, чтобы считать бедными те коммуны, для которых «добавочный сантим» на одного жителя меньше 60 франков. Напомним, что этот добавочный сантим является дополнительным вкладом, который теоретически вычисляется как сотая часть от основного вклада, но который может быть гораздо более весомым (благодаря прогрессу современных алгебраических теорий, лежащих в основе исчисления налогов). Такой способ не позволил бы отличать очень бедных от почти богатых, и корреляция между настоящим богачом и уплачиваемым им налогом определялась бы числом, которое трудно вычислить даже очень талантливым статистикам.

При второй попытке использовали индекс бедности i, определяемый по следующей формуле:

или

где I представляет собою ежегодную сумму налогов в коммуне,

V — общее количество ежегодных расходов в коммуне,

— параметр бедности,

с — добавочный сантим района,

n — число жителей,

— параметр богатства.

При i<1200 коммуна считается бедной; в противном случае ее объявляют богатой.

Но во всем этом не выявлялись действительные источники бедности или причины богатства; произвольный характер этой формулы очевиден для каждого. Поэтому классификация, проведенная по этому способу, была источником непрекращающихся споров.

Была создана специальная исследовательская группа. Ее первым заключением был вывод о необходимости нахождения величин, которые могли бы рассматриваться как характеристики богатства или бедности. Допускается, чтобы искался не общий индекс богатства коммуны, а индекс богатства отдельного жителя. Какие параметры нужно ввести для вычисления этого индекса: число туристских автомобилей, принадлежащих жителям коммуны? Стоимость построек? Число туристов, приезжавших летом? Ежемесячные затраты представительниц прекрасного пола у парикмахера? Общие выручки кафе? После более серьезного обсуждения комиссия, составленная из ответственных советников, высших чиновников и группы по административным исследованиям, решила оставить девять параметров или значащих величин из двадцати предложенных сначала; эти значащие величины были названы частичными индексами.

Все 475 коммун департамента Верхняя Сена были зашифрованы номерами, которые мы обозначим через j. В различных величинах, относящихся к данной коммуне, будет фигурировать значок j; например, Mj обозначает число ее жителей.

Девять оставленных частичных индексов включают семь частичных индексов богатства и два частичных индекса бедности.

Среди семи частичных индексов богатства имеются четыре, которые отвечают долям „добавочного сантима", т. е. частям доходов, поступающих в коммуну по разным каналам:

В то же время два следующих индекса исходят из реальных ресурсов:

Следующий частичный индекс косвенно свидетельствует о богатстве — это прирост населения:

Два частичных индекса бедности, отражающие тяготы жизни, определяются следующим образом:

Первая статистическая работа состояла в изучении распределения частот частичных индексов по различным районам, т. е. в построении гистограммы каждого из девяти индексов, в их анализе и установлении возможных связей между ними. Полученные распределения были близки к нормальным, за исключением распределений для Dj и Fj, которые давали распределения с очень большими уклонениями. После общей проверки корреляции решили считать эти частичные индексы статистически независимыми и не беспокоились больше о том, что распределение Dj и Fj не является нормальным.

Получены следующие средние и дисперсии:

Индекс	Среднее	Дисперсия
Aj		σA = 1 049	в сотых долях сантима;
Bj		σB = 314
Cj		σC = 94
Dj		σD = 2 948
Ej		σE = 2 928	в старых франках;
Fj		σF =
Gj		σG = 266	в 0/00;
Hj		σH = 327	в дециметрах;
Ij		σI = 1 209	в старых франках.

Девять частичных индексов коммуны описывают ее примерный профиль; так, например, коммуна Куртбриз имеет следующий профиль:

P378 = [A378, B378, …, I378] = [212, 628, 233, 822, 1400, 0,860, 418, 1833].

Но для сравнения примерных профилей их нужно сначала нормировать; для этого вычисляют относительные индексы

и называют относительным профилем коммуны выражения

pj = [aj, bj, cj, dj, ej, fj, gj, hj, ij ]

При этих условиях коммуна Куртбриз имеет следующий относительный профиль:

p378 = [— 0,262; +0,405; —0,021; —0,071; —0,425; —0,222; +1,733; +0,247; +0,767].

Очевидно, что построение примерных или относительных профилей должно производиться отдельно для каждого департамента. Например, департамент Приморский Прованс имеет профиль из двенадцати составляющих, в качестве параметров этого профиля могут входить доходы от туризма. Впрочем, согласно предложенному методу, каждый департамент свободен в выборе своих составляющих.

Теперь возникает вопрос о сравнении двух относительных профилей. Это оказывается очень трудной задачей — за исключением того редко встречающегося случая, когда один профиль доминирует другой, т. е. все его составляющие больше соответствующих составляющих другого. Математики учат нас, что для сравнения двух непараллельных векторов нужно ввести метрику, т. е. универсальное средство измерения. Чтобы сравнить относительные профили, решили применить соизмерение. Пусть в рассматриваемом случае даны девять весов λа, λb, ..., λi, сумма абсолютных величин которых равна 1. Тогда общий индекс богатства района оценивается величиной

Kj = K0 + λа aj + λb bj + ... + λi ij,

где

| λа | + | λb | +… +| λi | = 1.

Веса λа, λb, ..., λg будут положительными (частичные индексы богатства), а веса λh и λi — отрицательными (частичные индексы бедности); величина К0 прибавляется только для изменения положения среднего Kj. Множество из девяти весов называется профилем департамента:

λ = [λа, λb, ..., λi];

он оценивает важность, которую приписывают частичным индексам богатства или бедности. После того как найдено К0, коммуны, общий индекс богатства которых Kj положителен, считаются богатыми, а остальные — бедными.

Первое время члены муниципального совета решили оценивать веса λа, λb, ..., λi и утверждать их голосованием. Каждый выбирает некоторое разбиение весов согласно собственному понятию о богатстве и бедности своего округа. Например, депутат от кантона Вальфлери допускает, что

λ = [0,10; 0,10; 0,05; 0,20; 0,05; 0; 0,15; —0,25; —0,10].

В качестве профиля департамента для рассматриваемого года был принят оптимальный профиль, вычисленный путем усреднения весов, выбранных голосованием.

После обсуждения и упрощения был принят следующий профиль:

λ = [0,06; 0,04; 0,05; 0,17; 0,13; 0,25; 0,06; —0,15; —0,09].

Таким образом, последняя формула запишется в виде

где корректирующий коэффициент К0 = 0,05 соответствует 53% коммун, считаемых богатыми (Kj >0), и 47% бедных коммун (Kj<0).

При этих условиях коммуна Куртбриз имеет индекс богатства, равный —0,0747; это устанавливается следующим подсчетом:

К378 = 0,05 + 0,06 ∙ (—0,262) + 0,04 ∙ 0,404 + 0,05 ∙ 0,021 +

+ 0,17 ∙ (—0,071) + 0,13 ∙ (0,424) + 0,25 ∙ (—0,227) +

+ 0,06 ∙ 1,733 — 0,15 ∙ 0,248 — 0,09 ∙ 0,768 = —0,0747.

Эта коммуна бедна и может претендовать на помощь.

Рис. 15.1. Гистограмма для коммун департамента Верхняя Сена. (К = 0, σκ = 0,318).

На рисунке 15.1 дана гистограмма для 475 коммун. Каковы преимущества этого метода? Он позволяет учитывать все величины, которые представляются существенными для богатства или бедности жителя. Соизмерение вводится для того, чтобы согласовать точки зрения внутри комиссии или совета, члены которого могут иметь свои собственные мнения — различные или даже противоположные. Понятия профиля коммуны или профиля департамента позволяют ставить вопрос о принятии в расчет местных или областных аспектов перед лицом центральной администрации.