А. Кофман и Р. Фор. Займемся исследованием операций (стр. 5 )

Политика Р3

Постоянный заказ = N - запас товара в конце недели. N = 46

День	Спрос	Запас	Заказ на пополн.	Срок	Нехватка	День	Спрос	Запас	Заказ на пополн.	Срок	Нехватка
Первона- чальный запас	3 11 6 3 2	40 37 26 20 17 35	(20)	В конце следующей недели		51 52 53 54 55	3 4 3 2 5	27 23 20 18 29	17	В конце следующей недели
1 2 3 4 5
11
6 7 8 9 10	3 4 4 4 4	32 28 24 20 27	19			56 57 58 59 60	2 2 4 3 3	27 25 21 18 32	14
11 12 13 14 15	10 1 2 4 4	17 16 14 10 25	21			61 62 63 64 65	4 3 1 6 5	28 25 24 18 27	19
16 17 18 19 20	7 2 6 5 4	18 16 10 5 22	24			66 67 68 69 70	1 4 1 2 4	26 22 21 19 34	12
21 22 23 24 25	4 4 2 3 3	18 14 12 9 30	16			71 72 73 74 75	2 6 8 2 9	32 26 18 16 19	27
26 27 28 29 30	7 5 7 2 6	23 18 11 9 19	27			76 77 78 79 80	3 5 4 2 3	16 11 7 5 29	17
31 32 33 34 35	1 5 6 5 5	18 13 7 2 27	19		3	81 82 83 84 85	2 2 3 6 10	27 25 22 16 23	23		1
36 37 38 39 40	10 5 5 3 2	17 12 7 4 21	25			86 87 88 89 90	3 2 1 3 7	20 18 17 14 30	16
41 42 43 44 45	1 2 8 3 4	20 18 10 7 28				91 92 93 94 95	5 7 2 6 3	25 18 16 10 23
18	23
46 47 48 49 50	7 3 2 3 1	21 18 16 13 30	16		96 97 98 99 100	5 6 7 6 5	18 12 5 0 23	23
5
						410			9

вызывает продолжительность периода нехватки 10/410, что еще остается чуть-чуть ниже фиксированного предела (2,5%).

С момента, когда математическое ожидание недельного расхода станет равным 4 ∙ 5 = 20, будем практиковать фиксированное пополнение запаса в 20 единиц в конце каждой недели, согласно политике P2. Как показывает таблица 1.12, уровень нехватки равен нулю. Это, однако, не дает нам права снижать фиксированное заказываемое количество ввиду опасности по истечении некоторого числа периодов не справиться больше со спросом. Тем не менее можно было бы ставить перед собою такую задачу: доводить запас к концу некоторой недели до 20, заказывая в течение этого периода только количество, меньшее 20, скажем 19, чтобы впоследствии возобновить еженедельный запас в 20 единиц. Можно проверить (табл. 1.13), что для получения конечного запаса, в точности равного 20, понадобилось бы 7 недель; тогда уровень нехватки на управляемом хозяйстве установился бы в 5/410.

Исследуем теперь политику P3. Если положить N = 40, 41, ... 45, получится очень высокий уровень нехватки; зато для N = 46 уровень нехватки падает до 9/410 (табл. 1.14).

Сравним теперь издержки хранения (включая сюда нерабочие дни) по различным политикам на материале 20 недель, являвшихся предметом нашего изучения. Политика P1 с критическим запасом 30 дает нам математическое ожидание ежедневного запаса 17,08; политике P2 с систематическим заказом 20 единиц в конце недели соответствует математическое ожидание 25,, 45, если его менять 7 первых недель); наконец, политика P3 характеризуется математическим ожиданием ежедневного запаса 19,13.

Итак, политика P1, казалось бы, наилучшая.

Но относительно этого заключения надо оставить за собою самую широкую свободу действий, ибо мы ограничились моделированием 20-недельного периода, что совершенно недостаточно для того, чтобы позволить себе трезвые суждения[11]. Зато использование электронной вычислительной машины, которая позволила бы испытатьпоказателей спроса за 2000 недель, могло бы успокоить нас относительно значимости наших заключений.

ГЛАВА 2. Как разместить Свой капитал (Комбинаторная задача распределения. Динамическое программирование).

Вы не пробовали мексиканское вино «Нуэва Карта»[12]? Эта фирма поставляет превосходные красные вина, которыми не погнушался бы и француз. Если вы посетите эту прекрасную страну, вы оцените их за цвет, аромат и букет. Национальным напитком Мексики является не вино, а пульке - перебродивший сок особого вида агавы; из другого вида агавы извлекают очень крепкий, но ароматный алкоголь - текилу. Мексиканцы, населяющие определенные области страны, потребляют пульке, но в городах выше ценятся пиво

Таблица 2.1

Вложения (в млн. песо)	Прибыль
I	II	III	IV
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	0 0,28 0,45 0,65 0,78 0,90 1,02 1,13 1,23 1,32 1,38	0 0,25 0,41 0,55 0,65 0,75 0,80 0,85 0,88 0,90 0,90	0 0,15 0,25 0,40 0,50 0,62 0,73 0,82 0,90 0,96 1,00	0 0,20 0,33 0,42 0,48 0,53 0,56 0,58 0,60 0,60 0,60

и кока-кола. По мере того как повышается средний доход мексиканца, увеличивается потребление высокосортных вин; поэтому группа финансистов решила пустить в продажу «Нуэва Карта», сделав капиталовложение в 10 млн. песо[13].

Энергичная торговая деятельность должна развертываться в четырех главных городах: Мехико в центре, Монтерэй на северо-востоке, Гвадалахара на севере и Веракрус на юге. Этим четырем городам поставлены в соответствие торговые зоны I, II, III и IV. В каждой из этих зон проведено изучение состояния рынка и найдены кривые математического ожидания прибыли как

Рис. 2.1

функции полных капиталовложений (складские помещения, магазины, торговые уполномоченные, реклама и т. д.) (см. рис. 2.1 и табл. 2.1). Следует подчеркнуть, что нахождение таких кривых в Мексике столь же трудно, как и в других местах, так что мы предполагаем, что компания «Нуэва Карта» обратилась к выдающемуся специалисту. Чтобы упростить расчеты, будем предполагать, что использование вложений должно происходить по миллионам песо. Итак, пусть кривые (рис. 2.1) даны. Куда следует выделить 10 млн. песо, которые имеются в распоряжении, с тем чтобы суммарный доход был максимален?

Эта задача по своей природе комбинаторная; в самом деле, речь идет о том, чтобы перебрать все разбиения 10 на 4 группы и притом из целых чисел. Можно было бы вычислять доходы, соответствующие каждой комбинации:

(10, 0, 0, 0); (9, 1, 0, 0); (9, 0, 1, 0); (9, 0, 0, 1); ...;

(8, 1, 1, 0); (8, 1, 0, 1); (8, 0, 1, 1); (8, 2, 0, 0);

(8, 0, 2, 0); (8, 0, 0, 2); (7, 1, 1, 1); (7, 2, 1, 0);

(7, 2, 0, 1); (7, 1, 2, 0);

(4, 4, 2, 0); ...; (4, 4, 1, 1); ...; (4,3,3, 0); ...;

(4, 3, 2, 1); ...; (4, 2, 2, 2); ....

Всего надо вычислить 286 чисел!

Это еще вполне терпимо; но так как группа, распределяющая финансы, обнаруживает также желание знать оптимальное решение в случае, когда капиталовложения в целом составляли бы 9, 8, 7, …,2 или 1 миллион, то перед нами оказывается вычислительная работа большого объема, на которую потребовалось бы много рабочих дней.

Тогда, для того чтобы решить эту комбинаторную задачу, есть прямой смысл ввести метод так называемого динамического программирования. Посмотрим, как нужно действовать.

Обозначим:

f1(x) - функция, соответствующая I зоне,

f2(x) - функция, соответствующая II зоне,

f3(x) - функция, соответствующая III зоне,

а f4(x) - функция, соответствующая IV зоне;

далее:

F1,2 (A) - оптимальное распределение, когда A млн. вкладываются в I и II зоны вместе;

F1,2,3 (A) - оптимальное распределение, когда A млн. вкладываются в I, II и III зоны вместе;

F1,2,3,4 (A) - оптимальное распределение, когда A млн. вкладываются в I, II, III и IV зоны вместе.

Таким образом, чтобы определить F1,2 (2), надо вычислить:

f1(0) + f2(2) = 0,00 + 0,41 = 0,41;

f1(1) + f2(1) = 0,28 + 0,25 = 0,53;

f1(2) + f2(0) = 0,45 + 0,00 = 0,45;

так что получаем

F1,2 (2) = 0,53.

Вычисляем таким способом значения

F1,2 (0), F1,2 (1), F1,2 (2), …, F1,2 (9), F1,2 (10),

что дает таблицу 2.2.

Таблица 2.2

F1,2 (A) = max [f1(x) + f2(A - x)]

Вложение A	f1(х)	f2(х)	F1,2(A)	Оптимальная политика при вложении в зоны 1 и II
0	0	0	0	(0,0)
1	0,28	0,25	0,28	(1, 0)
2	0,45	0,41	0,53	(1, 1)
3	0,65	0,55	0,70	(2, 1)
4	0,78	0,65	0,90	(3, 1)
5	0,90	0,75	1,06	(3, 2)
6	1,02	0,80	1,20	(3, 3)
7	1,13	0,85	1,33	(4, 3)
8	1,23	0,88	1,45	(5, 3)
9	1,23	0,90	1,57	(6, 3)
10	1,38	0,90	1,68	(7, 3)

Таблица 2.2 позволяет определить политики, соответствующие оптимальному доходу при данном капиталовложении. Например, если в I и II зоны вместе вложить 4 млн., то в I зону надо вложить 3 млн., а в II - 1 млн.; именно это и обозначает символ (3,1) в пятом столбце; прибыль в этом случае равна 0,90.