А. Кофман и Р. Фор. Займемся исследованием операций (стр. 37 )

Алгорифм Джонсона

Алгоритм Джонсона, который мы использовали выше, позволяет, таким образом, решать задачу установления очередности работ, выполняемых в два последовательных этапа; в некоторых случаях его даже можно распространить на трехэтапные, но не выше. Тем не менее он, как мы видели, весьма полезен.

Рис. 17.6.

Сейчас мы познакомимся с некоторыми случаями его применения к производственным процессам.

На рис. 17.6 схематически изображен процесс обработки, состоящий из расточки (машина А) и последующей чистовой обработки (машина В), которой подвергаются n различных деталей, поступающих в произвольном порядке для ремонта.

Рис. 17.7.

Время, идущее на каждую операцию, распределено очень неравномерно: обозначим через Ai и Bi время обработки i-й детали соответственно на машинах A и В.

Задача заключается в том, чтобы минимизировать время простоя машины B, т. е. найти порядок следования

p1, p2, ..., pi, ..., pn,

который соответствовал бы наименее продолжительному полному ожиданию в промежутках между чистовой обработкой детали pj и детали pj+1 , причем сумма берется по последовательным значениям j.

Обозначим через T полное время, которое пройдет от начала расточки первой детали до конца чистовой обработки последней; пусть Хi есть время простоя между концом выполнения работы pi-1 на машине В и началом работы pi на той же самой машине. Имеем (рис. 17.7)

и так как известна, то надлежит минимизировать

Из рис. 17.7 можно еще усмотреть, что Х1 = А1 и

Следовательно, будет отыскиваться такое Х2, чтобы

Исследуем теперь сумму Х1 + Х2; имеем

Х1 + Х2 = Х1+ max(A1 + A2 – B1 – X1;0) =

= max(A1 + A2 – B1;X1) =

= max(A1 + A2 – B1;A1)= 

Аналогично,

и

Эта формула легко распространяется на n временных промежутков Xi для некоторого порядка следования S деталей pi

ее можно записать еще лаконичнее:

Это означает, что берется максимум разностей, получаемых при каждом значении r, по всем r от 1 до n.

Таким образом, можно положить

откуда

Пусть теперь имеется порядок (S1)

(S1) = (p1, p2, p3, ..., pk-1, pk, pk+1, pk+2, …, pn)

и порядок (S2), полученный из (S1) перестановкой k-го и (k+1)-го элементов

(S2) = (p1, p2, p3, ..., pk-1, pk+1, pk, pk+2, …, pn).

Значения и , получаемые для порядков следования (S1) и (S2), одинаковы при всех r, кроме, может быть, r=k и r=k+1.

1)  Стало быть, мы имеем

если

2)  Если же

то какой-то из двух порядков следования (S1) и (S2) предпочтительнее. Порядок (S1), в котором k+1 следует за k, будет лучше, чем (S2), в котором k+1 предшествует k, если

(1)

Но

и

Поэтому можно записать

и

Соотношение (1) при этих условиях принимает следующий вид:

— min (Ak+1; Bk) < — min (Ak; Bk+1)

или иначе

min (Ak; Bk+1) < min (Ak+1; Bk). (2)

Отсюда следует, что порядок (…, pk, pk+1, …) предпочтительнее порядка (…, pk+1, pk, …), если

min (Ak; Bk+1) < min (Ak+1; Bk).

Рассмотрим тогда порядок

(S′) = (..., pk, pl, ...),

которого всегда можно достичь перестановками. Менять местами элементы pk и pl не нужно, если

min (Ak; Bl) ≤ min (Al; Bk); (3)

последнее выполняется, если Ak не превосходит Bl, Al, Bk, что можно также записать в виде

min (Ak; Bk) ≤ min (Al; Bl).

Следовательно, если в таблице времен можно найти время, не превосходящее всех прочих Al или Bl, то искомый порядок должен будет начинаться с pk, если время Ak, будучи по-прежнему наименьшим, равно некоторым другим Al или Bl, искомый порядок можно будет начинать также с pk.

Соотношение (3) выполняется еще в том случае, когда Bl не превосходит Ak, Al, Bk, что можно также записать в виде

min (Al; Bl) ≤ min (Ak; Bk).

Следовательно, если в таблице времен можно отыскать время Bl, не превосходящее всех прочих Ak или Bk, то искомый порядок должен завершаться элементом pl; если время Bl, будучи по-прежнему наименьшим, равно некоторым другим Ak или Bk, искомый порядок можно с таким же правом завершать элементом pl.

Легко заметить, что определение порядка следования можно тогда осуществлять по шагам согласно алгоритму Джонсона.

Обобщение на трехэтапные работы. Алгоритм Джонсона применим для последовательности n работ, подлежащих выполнению в таком порядке: А, В и С, в двух нижеследующих случаях:

min Ai ≥ max Bi или min Ci ≥ max Bi.

Тогда осуществляется поиск оптимальных сроков по суммам

Ai + Bi и Bi + Ci.

Рис. 17.8.

Пример. Пусть операции над деталями p1, ..., p5 заданы сроками выполнения

Ai , Bi , Ci;

условие min Ai = 6 ≥ rnax Bi = 6, например, выполняется. Таким образом, мы имеем две таблицы:

Расточка (Ai) Фрезеровка (Bi) Чистовая обработка (Ci) p1 p2 p3 p4 p5 7 11 8 7 6 6 5 3 5 3 4 12 7 8 3

Ai + Bi Bi + Ci p1 p2 p3 p4 p5 13 16 11 12 9 10 17 10 13 6

и алгорифм Джонсона позволяет выбрать

S = (p4, p2, p3, p1, p5)

или

S = (p4, p2, p1, p3, p5).

ГЛАВА 18. Обед по-французски (Откуда видно, что теория графов и булева алгебра могут быть полезны в кулинарии)

В наши дни на обед, который во Франции по традиции бывает более роскошным, чем завтрак, могут подавать, кроме супа (а также, очень часто, кроме закуски или первого блюда), три блюда; из них одно — рыба, другое — жаркое, на третье же можно подать дичь, домашнюю птицу, мясо под острым соусом. За третьим блюдом всегда следуют салат и сыр. И хотя сейчас снова начинают ценить обычай подавать перед десертом какое-нибудь легкое блюдо, все же редко и это блюдо и сладкое подаются вместе; наконец, обед обязательно завершается фруктами.

Рис. 18.1.

Таким образом, распорядок обеда представляется простым графом, в котором можно следовать по любому пути (за исключением возможности подавать два первых блюда — одно перед рыбой, а другое после нее).

С другой стороны, вековая цивилизация (которой до сих пор не удалось уничтожить вкус к пикникам и интерес к легким, быстро приготовляемым блюдам, столь удобным для автомобилистов — тем больших любителей дорогих удовольствий, чем более тощ их кошелек) требует тонкого выбора вин, достойных украсить с любовью составленное меню.

С давних пор известно, что к супу (за исключением черепахового супа, который требует хереса!) не подают вина, что к артишокам, спарже и любым винегретам подают... воду.

Для закуски выбирают белое вино, сухое и легкое, или очень сухое розовое, однако дыня требует белого бархатистого вина, а гусиная печенка — сладкого белого вина. Это соответствует прежней моде, требовавшей подавать эти вина после мясных блюд; впрочем, теперь допускают, чтобы их подавали перед рыбой; в наши дни вообще довольно спокойно относятся к некоторым изменениям в обычной последовательности вин. Устрицы и ракушки требуют белого вина, а улитки — боргейского или божоле.

Жареная рыба идет только с белым вином; под майонезом рыба лучше всего идет с белым полусухим, и, наконец, под горячим соусом ее лучше всего запивать белым бархатистым вином. Однако и здесь существуют исключения: матлоты и рагу из рыбы подаются с красным вином — именно с тем, которое было использовано при их приготовлении.

Обратите внимание, что на графе рис. 18.1 фигурируют два сорта первых блюд (одно исключает другое). К некоторым первым блюдам (к слоеным пирожкам с рыбой или с креветками, к пирогу с мерланом, к суфле из омара, к рубленому вымени, к горячему сэндвичу с сыром и т. п.), очевидно, подходит белое вино, тогда как другие блюда (суфле из трюфелей, почки, сосиски, печенье Мартин, запеканка Ренессанс и т. д.) могут сопровождаться только красным вином. Вот почему мы упомянули две категории первых блюд E1 и E2; первые могут заменять закуску, а вторые — подаваться между рыбой и жарким.

Вместе с жарким подаются красные вина, более или менее крепкие в зависимости от обстоятельств.

Так, к телятине и баранине прекрасно подходит божоле.

Напротив, дичь требует очень крепких вин, к сырам же у вас есть возможность выставить одно из сокровищ подвала — лучшее красное вино, которое там есть. Однако весьма оригинально подавать белое вино с козьим сыром, эльзасское — с мюнстером и мерсо и кагор — с рокфором... но, конечно, это влечет за собой новые изменения в обычной последовательности подачи вин.

Сладкое требует белых ликерных вин, а мороженое и фрукты— полусухого шампанского или воврэ.

Разнообразие вин, отражающее почтенную традицию и свидетельствующее об исключительном богатстве палитры французских виноделов, кажется, представляет бесконечные возможности для сервировки хорошего обеда. В действительности же имеются ограничения, выраженные следующими двумя общими правилами:

а) не принято подавать за обедом более четырех вин, не считая шампанского;

б) последовательность вин на столе подчиняется некоторым соотношениям порядка, признаваемым всеми знатоками. Эти соотношения порядка таковы:

белое сухое < белое бархатистое

белое бархатистое < белое сладкое

красное легкое < красное крепкое

белое (за исключением сладкого) < красное

красное < белое сладкое

Рис. 18.2.

При этом знак < указывает, что вино, стоящее слева от него, должно быть подано прежде вина, которое стоит справа. Мы хотим обратить внимание читателя на то, что эти соотношения, которые мы символически запишем в виде

a < b b < с d < e

. . .

a + b < d + e d + e < с

(где через а обозначено белое сухое, через b — белое бархатистое, через с — белое сладкое, через d — красное легкое, через е — красное крепкое), вносят в любой винный погреб полное упорядочение с точки зрения математика.

Так, совсем недавно, наш старый друг Робер-Феликс Фабер, большой гастроном, должен был принимать к обеду месье де Сен-Пьера, Великого магистра веселого, гостеприимного и галантного Ордена св. Бахуса. После того как месье Фабер вызвал свою кухарку и сделал ей внушение относительно важности предстоящего обеда, он получил от нее за несколько дней до этого обеда меню — плод ее упорных размышлений:

Суп

Закуска

Рыба под горячим соусом

Вымя рубленое

Жаркое с гарниром

Дичь (какую удастся купить)

Салат Сыр

Сладкое

Фрукты

Наш друг тотчас же подумал о существующих пяти классах вин (а, b, с, d, e) и попытался дополнить это весьма приблизительное меню.

Начертив граф (рис. 18.2), он заметил с отчаянием, что тетушка Мари, его кухарка, поставила его перед необходимостью подать пять различных вин, помимо шампанского, и, таким образом, преступить правило а.

Однако от своего шеф-повара он получил следующее разъяснение. Тетушка Мари имела в виду, что жаркое будет из ножки барана, вскормленного на солончаках, а сладкое, требующее сладкого вина, она решила заменить кофе, к которому, как и к фруктам, подходит полусухое шампанское.

Затем наш друг составил список вин своего погребка, не забывая при этом о святом правиле а. Каково же было его изумление, когда он обнаружил, что его задача имеет поистине чудовищное количество решений!

Накануне торжественного дня, припомнив наши старые дружеские отношения, он пришел к нам со своим новым меню и картой вин, умоляя помочь ему выпутаться из этой истории. Он пояснил, что обстоятельства требуют принятия немедленного решения, и пообещал представить нас в самых лестных выражениях месье де Сен-Пьеру. Всегда готовые оказать услугу, мы попросили его развернуть карту вин его погребка, которая оказалась следующей (см. стр. 264).

Вдохновленные столь богатыми возможностями (хотя в этом документе и не были указаны годы выдержки), мы попробовали покопаться в душе любителя хороших вин.

— Что касается последовательности этих напитков богов, то не существует ли на этот счет каких-нибудь запретов или, напротив, обязательных сочетаний?

— Конечно. Я об этом уже подумал. Так, если я подаю вино № 1, то № 10, 7 и 8 не могут за ним следовать; за № 3 вина

№	Класс	Название	Количество
1	а	Мюскаде	32
2	b	Макон крепленое	14
3	а	Грав сухое (Шато Карбонье)	27
4	b	Пуйи Фюме	39
5	а	Пуйи Фюиссе	46
6	а	Сильванер	57
7	b	Рислинг	33
8	b	Целленбергское белое	13
9	а	Крезанси	51
10	d	Бордо: Крю-де-ла-Барр	98
11	e	Мутон-Ротшильд	69
12	d	Ширубль (Шато-Жавернан)	181
13	d	Бон (Кло-де-Муш)	33
14	e	Вон-Романе	52
15	e	Кот-дю-Рон (Кроз Эрмитаж)	37
16	e	Шатонеф-дю-Пап Бокастель	42
17	d	Сан-Никола де Бургей	63
18	d	Кот-де-Шинон	7
19	b	Грав бархатистое	53
20	с	Сотерн Шато-Кайу	31

№ 2, 7 и 8 пошли бы плохо; № 5 и 9 не могут, на мой взгляд, предшествовать № 10. После № 6 вина № 4 и 10 появились бы только через несколько блюд — но это не обязательно. Вино № 2 плохо согласуется с последующими № 10, 17 или, 18, а № 8 — с № 10 и 11; наконец я не смог бы допустить, чтобы № 19 и № 13 следовали непосредственно друг за другом. Что же касается обязательных сочетаний, то сразу видно, что вы не знатоки — иначе вы знали бы, что если я подаю № 10 и должен за

Рис. 18.3.

ним подать крепкое красное, то им может быть только № 11; такая же связь существует между № 13 и 14; что касается № 15 и 16, то они относятся к этой группе вин, но могут следовать только в указанном порядке.

После этого мы начертили граф верхней части рис. 18.3, где мы суммировали все эти сведения. Запреты были помечены пунктирной линией, обязательные сочетания — обычным способом, при этом стрелки между классами a, b, d, e, с подразумеваются для всех допустимых связей.

Нам также стало ясно, что задача все еще допускает немалое количество решений и что наша дискуссия рискует затянуться до бесконечности.

— Но, может быть, и у вас есть вино, которым бы вам особенно хотелось порадовать вашего гостя и которое в то же время подходило бы к одному из ваших блюд?

— Признаться, у нас с месье де Сен-Пьером был разговор по поводу Крю-де-ла-Барр, которое, хотя вы этого можете и не знать, является одним из лучших сортов бордо. Оно чудесно подошло бы к жаркому, ибо я уверен, что тетушка Мари подаст нам отличную баранью ножку.

— Прекрасно, мой дорогой, в таком случае ваш грандиозный обед сможет согласовываться только с одной из следующих цепочек:

3 — 4 — 10 — 11

или

3 — 19 — 10 — 11,

не считая полусухого шампанского, которое вы подадите с кофе и фруктами!

Читатель сам может в этом убедиться: так как вину № 10 должны предшествовать только № 1, 5, 9, 6, 2 и 8 и так как вино класса «а» должно подаваться к закуске, то единственной остающейся у нас возможностью является вино № 3. За № 3 могут следовать только № 4 и 19. Наконец, если подают № 10, то после него нужно обязательно подать № 11.

Когда мы повторили нашему другу, что он должен выбирать только между двумя решениями:

Шато Карбонье — Пуйи Фюме — Крю-де-ла-Барр—Мутон-Ротшильд и

Шато Карбонье — Грав бархатистое — Крю-де-ла-Барр — Мутон-Ротшильд,

он заверил нас, что теперь-то ему ясно, какое из них подходит ему больше всего. Он решил подавать к обеду только бордо, т. е. выбрал второе решение.

Поблагодарив за дружескую услугу, наш гость тотчас же откланялся и при этом просил нас отобедать в компании с Великим магистром; конечно, он поспешил домой для того, чтобы успеть довести свои изумительные красные вина до комнатной температуры.

На этом обеде мы говорили, естественно, о дожде и о хорошей погоде, но в основном о винах, которые пили. И, конечно, мы не преминули подчеркнуть, что задачи управления накопленной в винограде солнечной энергией могут изучаться с помощью теории графов, или же — на выбор — булевой алгебры. Это повергло в величайшее изумление главу Ордена св. Бахуса. Мы поручились также за то, что тонкие классы эквивалентности в самом богатом винном погребе можно установить, например, с помощью алгоритма Фаулкса, хотя мы и не очень уверены, что это утверждение примут всерьез[79].

Заключение

Читатель, который был так любезен, что до сих пор следовал за нами, теперь знает, что мы никогда не пытались его обмануть. Намеренно шутливый тон и забавные на первый взгляд сюжеты, которые мы избрали, — все это лишь сахар, которым фармацевты покрывают горькие пилюли. Возможно, что таким образом мы наиболее легким способом заставили почувствовать наши серьезные заботы; возможно, мы, подобно великому мэтру Франсуа Рабле — хотя и с бесконечно меньшим талантом, — позволили читателю до некоторой степени на этих страницах проникнуть в существо дела.

[1] Ср. Динамическое программирование, М., ИЛ, 1960, стр. 17.

[2] Во Франции. – Прим. ред.

[3] Для русского издания книги список литературы составлен заново. - Прим. ред.

[4] В книге везде под словом «франк» подразумевается новый франк (18,4 коп. по курсу 1966 г.). – Прим. ред.

[5] В действительности, он ежедневно учитывал спрос; затем образовал класс 0, группируя дни, когда спрос был от 0 до 4, класс 10, группируя те дни, когда спрос был от 5 до 14 и т. д. Так и получилась таблица 1.2.

[6] Под экономическим горизонтом в западной литературе понимается продолжительность периода планирования. - Прим. ред.

[7] Сколько великих вещей обсуждалось и открывалось за круглыми столиками парижских бистро. Так (но это не наверняка) зародилась мысль собираться за круглым столом по поводу международных событий, которые как раз и стимулируют продажу газет.

[8] Таким образом, частота спроса, не превосходящая 11, согласно таблице, равна: 0 + 0 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 = 13,

[9] Надо признаться, что очень часто эта оценка является в значительной мере субъективной.

[10] Кофман, Методы и модели исследования операций, М. (в печати).

[11] Внимательный анализ таблицы заставил бы исключить некоторые переходные явления, о которых мы не намеревались здесь говорить.

[12] Конечно, эта марка является плодом чистейшего вымысла, но высокое качество некоторых мексиканских вин - отнюдь не вымысел. Если вы в этом сомневаетесь, удостоверьтесь сами во время вашего предстоящего плавания в Северную Америку.

[13] Песо составляет (по курсу 1966 г.) 7,2 коп. — Прим. ред.

[14] Истина в вине (лат.). - Прим. перев.

[15] Это слово произошло от искаженного имени арабского математика аль-Хорезми, который жил в IX в.

[16] x Є d означает, что х принадлежит области или множеству d. Здесь мы предполагаем, что эта область содержит 0.

[17] См. примечание на стр. 16. - Прим. ред.

[18] родился в 1856 г., а умер в 1922 г. - Прим. ред.

[19] См. метод вычислений в наших ссылках к гл. 2 [3] и [4].

[20] Мы предполагаем здесь, что спустя N периодов Мануэль прекращает свое производство и торговлю и независимо от окончательной ситуации даром отдает свое предприятие; в противном случае можно обобщить изложенный метод и проверить, что происходит, если предприятие продается.

[21] Кажется сомнительным, чтобы Мануэль смог проделать такие вычисления самостоятельно. Однако, поскольку мексиканские инженеры занимаются исследованием операций, он легко найдет компетентного консультанта.

[22] Метод доказательства описан в работах, ссылки на которые уже даны.

[23] Эта небольшая прибавка позволит ему, например, водить завтракать свою семью в плавучий сад Хочимилько. Приятная компенсация за более научное управление!

[24] См., например, , Теория матриц, М., ГТТИ, 1953, гл. XIII, § 6-7. - Прим. ред.

[25] Эти данные совершенно произвольны.

[26] Критерий c2 , примененный здесь к не накопленному закону, дал значение c2 = 8,85 (число степеней свободы равно 19); было принято, что экспериментальный закон является экспоненциальным.

[27] Имеем v = n - 1, если n > 0, но.

[28] Мы не знаем, ни в каком количестве Франция ввозит кофе из Мексики, ни правдоподобно ли то, что кофе имеется в наличии в перечисленных выше портах, и еще меньше знаем, существуют ли торговые суда, идущие в пункты назначения. Однако задача могла бы быть поставлена для любого ввозимого товара по вашему выбору.

[29] В других задачах Cij могут означать другие величины, например затраты.

[30] То же самое имело бы место, если бы мы вычли указанное число из всех непрочеркнутых элементов таблицы и прибавили его к дважды прочеркнутым элементам (т. е. к элементам, стоящим на пересечениях прочеркнутой строки с прочеркнутым столбцом).

[31] Некоторые считают, что первое доказательство этой теоремы принадлежит Фробениусу (1912 г.). Г. Кун нашел некоторые свойства, доказанные Кёнингом, в работе Эгервари (см. библиографию).

[32] Алгорифм и теорема Форда – Фалкерсона положены в основу сюжета истории, рассказанной в главе 5.

[33] Мы признательны И. Мальгранжу, инженеру компании машин Бюль, сообщившему нам это доказательство.

[34] Понятие разреза определено в предыдущей главе.

[35] Явный анахронизм: с момента открытия «Эйфорета» прошло уже не меньше года. - Прим. перев.

[36] ... или даже несколько лет, - Прим. ред.

[37] Это рассуждение авторов носит характер явного недоразумения. В действительности дело здесь вовсе не в равенствах или неравенствах, а в том, что транспортная задача, записанная в форме общей задачи линейного программирования, имеет матрицу ограничений весьма простой структуры. Это делает неэкономным применение к транспортной задаче общих методов и, с другой стороны, позволяет специализировать последние для решения именно транспортной задачи, - Прим. ред.

[38] В оригинале methode du stepping-stone (термин заимствован из американской литературы). Этот метод весьма близок к модифицированному распределительному методу и методу потенциалов (см. [2], [6]). - Прим. ред.

[39] См. А. Кофман, Методы и модели исследования операций, § 17.

[40] Мы благодарим А ле-Гарфа, сообщившего нам этот алгорифм, разработанный им в июле 1961 г.

[41] Едва ли кто-нибудь будет в нормальных условиях рассматривать снабжение Парижа бензином из Марселя, в то время как нефтеперегонные заводы имеются гораздо ближе: в районе Нижней Сены, в Дюнкерке и даже в Эльзасе.

[42] Если бы имел место вырожденный случай, то для избежания одновременного насыщения строки и столбца до последнего шага было бы достаточно добавить к элементу соответствующего столбца ресурсов некоторый +ε.

[43] Ясно, что принятый здесь способ вычисления ui и υj удобен для данного доказательства, но может быть и заменен любым другим.

[44] Последняя величина называется учетным капиталом в противоположность нарицательному. - Прим. перев.

[45] «Виньетка» - специальная этикетка, наклеиваемая во Франции на ветровое стекло автомобиля в качестве квитанции об уплате ежегодного налога.- Прим. ред.

[46] - Прим. ред.

[47] См. по этому поводу работу Массе [2].

[48] Под этим термином по аналогии с биологией авторы понимают сово­купность всех шин, «живущих в данной местности». - Прим. перев.

[49] В итоге это легче, чем подсчитать по Франции элементы декларации на подоходный налог за год.

[50] См. [4]

[51] Полное доказательство можно найти в любой работе по теории стратегических игр.

[52] В нашей литературе такие игры обычно называются антагонистическими. – Прим. ред.

[53] Ср. эти рассуждения с критерием Вальда, описанным в гл. 14 (стр. 220). - Прим. ред.

[54] Эти понятия составляют предмет гл. 13.

[55] Например, для игрока A будет x1 = x2 – ½. Таким образом, он мог бы воспользоваться колесом рулетки, содержащим 100 номеров от 00 до 99. Он будет выбирать стратегию 1 каждый раз, когда ему выпадет номер между 00 и 49, и стратегию 2 для номеров с 50 по 99 (включая границы).

[56] В оригинале «во французском». — Прим. ред.

[57] Нетрудно доказать, что

[58] Для более детального изучения см. [3].

[59] Маленькие каменные статуэтки, продавцы которых, изобилующие в Теотиуакане, гарантируют вам их подлинную принадлежность доколумбовым временам. На самом же деле они изваяны современными ремесленниками, которые копируют несколько редких и действительно древних моделей. Однако эти копии столь же прекрасны, как и подлинники, ибо современные художники мексиканцы достойны своих предков.

[60] Если учитывать гарантированную работу каждого постоянного гида —
пять с половиной дней в неделю, — то можно отсюда вычислить общее число
нанимаемых постоянных гидов.

[61] Из этого следует, что нанимать нужно гидов.

[62] В этом нередко проявляется неудобство применения метода маргинальной оптимизации; в данном случае оно не имеет места.

[63] Спешим уточнить, что доктор де Помиан не против супа из капусты и тушеной говядины, приготовленных в автокухне.

[64] Не следует путать главу этой фирмы ни со знаменитым ученым и изобретателем XVII в., ни тем более с современным французским математиком, написавшим совместно с авторами этой книги ряд пособий по исследованию операций. — Прим. ред.

[65] Естественно, мы не знаем, какие реальные прибыли могут быть получены, так что указанные величины представляют ценность только для численного решения задачи.

[66] Доли имеющегося в распоряжении времени, выраженные в процентах.

[67] Строго говоря, на х1 и х2 нужно было бы наложить еще требование целочисленности, однако это резко усложнило бы процесс решения задачи. См. обзорную статью [19]. — Прим. ред.

[68] Из-за неотрицательности переменных. — Прим. ред.

[69] Переменные х4, x5, x6, называемые свободными переменными, выражают недоиспользование мощностей соответственно по штамповке, отделке и сборке самоваров, - Прим. ред.

[70] Это отношение свободных членов к коэффициентам при выбранной перед этим переменной х1.

 

[71] Говоря точнее переменные х4, х5, х6 добавляются к F с нулевыми коэффициентами. – Прим. ред.

[72] Мы рассматриваем здесь для простоты значения R, равные 0, 10, 20, и 50.

[73] Названия этих птиц фигурируют во французской пословице, эквивалентной нашей «на безрыбье и рак рыба». — Прим. ред.

[74] Заметим, что авторы решили, следуя широко распространенным образцам, изложить математическую интерпретацию полезности на примере предметов роскоши. Действительно, очень трудно установить шкалу предпочтений, когда речь идет о предметах первой необходимости. Например, имеет ли хлеб большую полезность, чем обувь? Можно возразить, что в выбранном примере речь идет о предметах одной природы — в данном случае о паштете. Но именно в этом случае люди обычно поступают противоположно своим вкусам, особенно когда у них тощие кошельки. На самом деле предпочтение устанавливается только для благ равной ценности или благ, которыми мы можем распоряжаться бесплатно. В противном случае наш выбор не может приниматься за относительную оценку блага по причине наших возможностей. Поэтому было бы парадоксально пытаться установить денежную шкалу оценки в предположении, что рассматриваемые блага имеют одинаковую денежную стоимость или ее не имеют.

Таким образом, изложенный метод должен быть заменен в дальнейшем обследованием мнения потребителей, с тем чтобы лучше изучить общий спрос. Такие исследования, часто полезные в изучении рынка, могут примениться в обширной области определения нужд (любой природы) населения. Чтобы эти обследования имели смысл, нужно учитывать стоимости различных благ и финансовые возможности потребителей, стоимости и реальные возможности, если исследуется короткий промежуток времени, стоимости и предвидимые возможности, если речь идет об изучении более отдаленной перспективы.

[75] Этот алгорифм изложен во второй части этой главы.

[76] Путь, проходящий один и только один раз через все точки данного графа.

[77] Популярный мюзик-холл на Елисейских полях в Париже. — Прим. ред.

[78] Видимо, он решал ее перебором вариантов. — Прим. ред.

[79] , профессор Факультета наук в Париже, использует для учебных примеров математический анализ кулинарных рецептов.