А. Кофман и Р. Фор. Займемся исследованием операций (стр. 30 )

Стоимость сдачи в наем. Доходы

Мексиканское бюро туризма устанавливает ежедневную стоимость комнаты в гостинице в 60 песо. В зависимости от значений R доходы выражаются в следующих суммах (в песо):

R =	0	10	20	30	40	50
Доходы ………….	0					1

На основании этих цифр можно получить таблицу ежегодного дохода для различных значений R и S.

Таблица 14.1

Доход (в тыс. песо)

	R = 0	R = 10	R = 20	R = 30	R = 40	R = 50
S = 20	—121	62	245	245	245	245
S = 30	—168,75	14,25	197,25	380,25	380,25	380,25
S = 40	—216,5	—33,5	149,5	332,5	515,5	515,5
S = 50	—264,25	—81,25	101,75	284,75	467,75	650,75

Нужно признаться, что если мы не располагаем приемлемой информацией о среднем значении R, то доходность мотеля оценить весьма трудно.

Действительно, Сальвадор Арнольдо находится в чрезвычайном затруднении. Если он запланирует построить 20 комнат, он может заработать на этом самое большее песо, но рискует также потерпеть убыток в ; для 30 комнат максимальный возможный доход, конечно, выше, но убыток также становится большим и т. д. Какой выбрать критерий в условиях этой неопределенности?

К счастью, Сальвадор нашел в своей библиотеке работу, в которой проведен анализ различных критериев в условиях неопределенности. Это «Игры против природы» Дж. Милнора. И вот примерно то, что он извлек из своих размышлений.

Критерий Лапласа. Великий математик Лаплас рассуждал следующим образом: «Я не знаю ничего о будущих состояниях природы; поэтому я могу считать их равновероятными». Согласно этому критерию, Сальвадор приписал бы различным значениям R (0, 10, 20, 30, 40, 50) вероятность 1/6. Он нашел при этих условиях для соответствующих значений S вероятный доход:

S = 20	153,5
S = 30	197,25
S = 40	210,5 ←
S = 50	193,5

Согласно этому критерию, Сальвадор выбрал бы, очевидно, S =40. Однако эта гипотеза о равновероятности не совсем его удовлетворила, хотя многие вполне довольствуются такой оценкой. В действительности Сальвадор не считает, что природа ему враждебна, но он все же подозревает, что вероятность среднего числа занятых комнат должна удовлетворять совсем другим законам, а не закону равных вероятностей.

Критерий Вальда. Согласно статистику и экономисту Вальду, «если мне неизвестны состояния природы, я буду поступать самым осторожным образом, из каждой строки таблицы я извлеку самый маленький результат aij и выберу строку, в которой находится наибольшее из этих чисел». В случае антагонистической игры этот критерий переходит в критерий фон Неймана; вторым игроком здесь является природа. Из этого следует, что нужно выбирать строку, для которой мы имеем

в нашем случае это дает:

S = 20	—121 ←
S = 30	—168,75
S = 40	—216,5
S = 50	—264,25

Выбирая S = 20, наш друг гарантирован от убытка, превышающего песо.

Но как пессимистичен этот критерий! Развивая эту мысль дальше, Сальвадор должен был бы вообще отказаться от идеи постройки мотеля — он не знал бы тогда, что делать со своими деньгами, так как ничто на свете не гарантировано и любое помещение капитала таит в себе опасность... Однако жить нужно, а у Сальвадора Арнольдо много детей, которых нужно растить.

Критерий Гурвица. Согласно Леониду Гурвицу, неразумно, приняв во внимание самый маленький выигрыш, не учитывать самый большой; следует субъективным образом ввести некоторый коэффициент оптимизма a. Пусть в данной строке а — самое маленькое число и A — самое большое. Вычислим теперь для каждой строки

H = aA+(1—a)a

и выберем строку, для которой H принимает наибольшее значение. Заметим, что для a = 0 снова получается критерий Вальда (критерий законченного пессимиста), в то время как для a = 1 критерий превращается в критерий абсолютного оптимиста.

Сальвадор вычислил значения Н для различных значений коэффициента a:

	a = 0,1	a = 0,2	a = 0,5	a = 0,8	a = 0,9
S = 20	—84,40 ←	—47,80 ←	62	171,80	206,40
S = 30	—113,85	—58,95	105,75	270,45	325,35
S = 40	—143,30	—70,10	149,50	369,10	442,30
S = 50	—172,75	—81,25	193,25 ←	467,75 ←	559,25 ←

В этой задаче преобладающее отношение пессимиста приводит к выбору S = 20; наоборот, оптимистическое отношение приводит к S = 50.

Критерий Сэвиджа. Л. Дж. Сэвидж рекомендует для каждого из состояний, т. е. для каждого значения R, найти наиболее благоприятный случай и вычесть соответствующее значение из всех элементов столбца, отвечающего этому состоянию.

Такой подсчет дает «сожаление между действительным выбором и наиболее благоприятным, если бы были известны намерения природы».

В нашем примере нужно вычесть —121 из столбца R = 0, 62 — из столбца R = 10 и т. д.

	R = 0	R = 10	R = 20	R = 30	R = 40	R = 50
S = 20	0	0	0	—135,25	—270,50	—405,75
S = 30	—47,75	—47,75	—47,75	0	—135,25	—270,50
S = 40	—95,50	—95,50	—95,50	—47,75	0	—135,25
S = 50	—143,25	—143,25	—143,25	—95,50	—47,75	0

Минимальные значения сожалений для различных значений соответственно равны:

S = 20	—405,75
S = 30	—270,50
S = 40	—135,25 ←
S = 50	—143,25

Оказывается, что, выбирая S = 40, Сальвадор будет иметь сожаление, которое не сможет превысить 135,25 (т. е. быть меньшим, чем —135,25).

Затруднение при выборе. Заметим, что Сальвадор должен сделать выбор среди следующих различных решений:

а) согласно критерию Лапласа, построить 40 комнат;

б) по критерию Вальда, построить только 20;

в) следуя критерию Гурвица, принять число 20, если он пессимист, и 50, если он оптимист;

г) наконец, если применяется критерий Сэвиджа, взять S равным 40.

Кроме того, экономисты выдвинули еще и другие критерии. Что же будет делать наш приятель Сальвадор?

Нам хотелось бы отметить, что выбор критерия образует как раз высшую форму свободы, которая существует у принимающих экономические решения лиц (разумеется, при условии, что они располагают достаточными средствами, чтобы поставить перед собой подобную задачу). Всякий критерий должен согласовываться с намерениями лица, принимающего решение, и соответствовать его характеру. Как видно из рассмотренного примера, каждый выбор критерия влечет за собой принятие решения, которое может быть совершенно отлично от решения, принятого в соответствии с другим критерием.

Юморист мог бы заявить, что критерий минимального сожаления — это критерий, который в неявной форме применяют жены и который мужья могут рассматривать как критерий максимального сожаления (особенно в том, что касается покупок платьев и шляпок).

Однако французские экономисты считают этот критерий наилучшим в тех случаях, когда речь идет, как в рассмотренном нами случае, о капиталовложениях на достаточно длительный срок.

Действительно, мы теперь не будем больше скрывать, что наш друг Сальвадор, который предоставил нам возможность для изложения нескольких критериев успеха в играх против природы, не стал бы затевать всю эту авантюру, если бы он не имел хотя бы частичной информации относительно шансов на успех в проектируемом предприятии.

Точнее, он получил подтверждение того факта, что существующие мотели зарегистрировали следующий средний спрос в течение последних лет:

Спрос	0	10	20	30	40	50
Вероятность	0,01	0,09	0,20	0,30	0,30	0,10

Следовательно, ему стало гораздо легче сделать свой выбор; действительно, достаточно вычислить математическое ожидание дохода при каждой гипотезе: