«Принятие решений в системах защиты информации» (стр. 12 )

4.2.1. Минимаксный критерий принятия решения

Минимаксный критерий (ММ-критерий) занимает ключевое место в технических решениях. Он полностью исключает риск и, при этом ограничении, дает наилучшее решение. Это позиция крайней осторожности.

Критерий предполагает формирование столбца оценочной функции с выигрышами, которые можно получить в наихудших условиях реализации выбранного решения.

.

Его критерий .

А схема выбора решения

.

Формула минимаксного критерия звучит следующим образом:

Выбирается множество оптимальных вариантов , которое содержит варианты , принадлежащие множеству и оценка максимальна среди всех минимальных результатов возможных решений.

Рассмотрим пример. Пусть матрица решений содержит выигрыши от четырех решений , которые можно реализовать в четырех условиях .

Таблица 13 содержит оценки условных выигрышей и упрощена исключением оценок функции принадлежности.

Таблица 13

	60	55	62,5	62,5
	35	57,5	77,5	67,5
	20	62,5	92,5	65
	10	67,5	82,5	100

Дополним ее столбцом . Результат приведен в таблице 14.

Таблица 14

	60	55	62,5	62,5	55
	35	57,5	77,5	67,5	35
	20	62,5	92,5	65	20
	10	67,5	82,5	100	10

Максимальное значение выигрыша можно получить при отсутствии риска в случае решения и его величина составит 55 единиц.

Какие бы условия реализации выбранного решения не встретились оно даст не меньший выигрыш, чем тот что запланирован по оптимальному решению.

Какие бы решения не принимались, любое из них даст в худших для себя условиях меньший выигрыш чем оптимальное.

Применение ММ-критерия оправдано если:

Ÿ  О характеристических функциях принадлежности ситуаций ничего не известно;

Ÿ  Решение реализуется один или небольшое число раз;

Ÿ  Риск полностью исключается.

Сократим таблицу 13 до двух первых столбцов и .

Графическая интерпретация ММ-критерия для двух первых столбцов матрицы решений таб. 13 приведена на рис. 119.

Точки в поле принятия решений дискретны. Вне них возможных решений нет. Оси и непрерывны и можно задать функцию предпочтения. Функция предпочтения задается на основе оценочной функции рассматриваемого критерия. В данном случае для двух ситуаций

,

где - текущий уровень рабочей точки.

Так как мы максимализируем результат, то, если есть хоть одна точка выше данной линии необходимо увеличивать . Уравнение задает конус, грани которого параллельны осям ординат (К на рис. 119).

Рис. 119. Функция предпочтения минимаксного критерия

На рис. 119 =28, выше есть две точки поэтому необходимо увеличивать . Вершина конуса движется по направляющей являющейся биссектрисой угла оси ординат – функция u на рис. 119.

4.2.2. Критерий Байеса - Лапласа

Критерий Байеса – Лапласа (BL-критерий) максимализирует средний выигрыш и допускает определенный риск. В реальной реализации выигрыш может быть существенно ниже, чем запланированный. Для его применения необходимо знать оценки вероятностей появления ситуаций. Это случай массового применения решения при полном отсутствии ограничения на риск.

Критерий предполагает формирование столбца оценочной функции с выигрышами, которые дают средний результат многократного применения выбранного решения при всех ситуациях.

.

Его критерий .

А схема выбора решения

.

Формула критерия Байеса – Лапласа звучит следующим образом:

Выбирается множество оптимальных вариантов , которое содержит варианты , принадлежащие множеству и оценка максимальна среди всех оценок математических ожиданий результатов возможных решений.

Рассмотрим пример. Дополним матрицу решений таб. 13 строкой содержащей оценки характеристических функций принадлежности выбранных ситуаций общему пространству возможных внешних событий. Детально процесс получения оценок изложен в первом разделе. Упростим их до оценок математических ожиданий вероятности появления ситуаций , , , . Результаты приведены в таблице 15.

Таблица 15

	0,1	0,08	0,75	0,07
	60	55	62,5	62,5
	35	57,5	77,5	67,5
	20	62,5	92,5	65
	10	67,5	82,5	100

Умножим столбцы матрицы на оценки математических ожиданий вероятности появления ситуаций и дополним ее столбцом , вычислив его компоненты, как оценки математических ожиданий последствий каждого из решений. Результат приведен в таблице 16.

Таблица 16

	0,1	0,08	0,75	0,07
	6	4,4	46,88	4,375	61,65
	3,5	4,6	58,13	4,725	70,95
	2	5	69,38	4,55	80,92
	1	5,4	61,88	7	75,28

Согласно схеме критерия Байеса – Лапласа найдем максимум и по его положению определим оптимальное решение – это . Оно оценивает прогнозируемых выигрыш в 80,92 единицы. Он выше чем прогнозирует минимаксный – 55, но может составить и 20, если окажется сильно заниженной оценка математического ожидания вероятности возникновения ситуации . Т. о. присутствует риск не получения планируемого выигрыша.

Применение BL-критерия оправдано если:

Ÿ  характеристических функциях принадлежности ситуаций хорошо изучены и достоверность оценок их параметров достаточно высока;

Ÿ  Решение реализуется многократно;

Ÿ  Риск при небольшом числе реализаций допустим.

Реально риск отсутствует только при большом числе реализаций.

Это критерий длинных реализаций с резервными ресурсами и стабильным во времени видом и параметрами характеристических функций принадлежности.

Для графической интерпретации сократим таблицу 15 до двух столбцов и изменив и . Столбцы убраны, как менее вероятные.

Таблица 17

	0,15	0,85
	60	62,5	62,13
	35	77,5	71,13
	20	92,5	81,63
	10	82,5	71,63

Результаты представлены в таблице 17. Оценки выигрышей изменились но несущественно, оптимальное решение прежнее.