Учебно-Методический Комплекс для магистров «Физика квантоворазмерных систем» (стр. 10 )

Наличие падающих участков на ВАХ является важнейшим свойством сверхрешеток, позволяющим использовать их для усиления или генерации электромагнитных колебаний. Природа такой генерации особенно наглядна для падающих участков на склонах резонансных пиков. Если электрическое поле слегка больше резонансного, то первый уровень каждой ямы находится выше N-го уровня соседней на величину . Ситуация напоминает инверсную заселенность уровней в лазерах и допускает возможность туннельного перехода между упомянутыми выше уровнями с одновременным испусканием избыточной энергии в виде фонона с энергией dE, зависящей от электрического поля.

РАЗДЕЛ 5. ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КВАНТОВЫХ ЯМ

В случае трехмерного электронного газа оптические явления обусловлены межзонными и внутризонными переходами, с чем связаны различные механизмы поглощения. В двумерных системах существование зон размерного квантования приводит к увеличению числа возможных оптических переходов. Необходимо рассматривать поглощение света, связанное не только с межзонными, и внутризонными переходами, но и с такими механизмами, как межподзонными и внутриподзонными, а также переходы в сплошной спектр (фотоионизация квантовых ям). В данном разделе мы кратко опишем перечисленные процессы.

5.1. Межзонное поглощение

Рассмотрим полупроводник с прямыми разрешенными переходами. В обычном трехмерном случае коэффициент межзонного оптического поглощения такого полупроводника описывается известной формулой:

где Pcv - межзонный матричный элемент импульса, Eg - ширина запрещенной зоны, индексы e и h относятся, соответственно, к электронам и дыркам, Yк - огибающие волновые функции в приближении эффективной массы, представляющие собой плоские волны exp(ikr), d(x) - дельта-функция Дирака.

Мы ограничимся рассмотрением систем типа тонкой пленки или квантовой ямы, в которых эффекты размерного квантования существуют как для электронов, так и для дырок. При этом компонента волнового вектора kz уже не является хорошим квантовым числом, в результате чегои Yк(r) перестает быть чисто плоской волной и может быть записана в виде: где yne – z-компонента волновой функции электрона (или дырки) на квантоворазмерном уровне. В результате интегрирование по kz и kz' в выражении для коэффициента поглощения для направления z должно быть заменено на суммирование по номеру квантового уровня. Интегралы по dx и dy дают законы сохранения соответствующих компонент волнового вектора: = = 2pd(kx - kx'), и окончательно мы получаем:

где aо - константа, пропорциональная |Pcv|2. Следует подчеркнуть, что, несмотря на резко анизотропный характер двумерных систем, коэффициент межзонного поглощения в них изотропен, т. е. не зависит от поляризации падающего света.

Полученная формула содержит интеграл ò(ymh(z))*yne(z)dz, определяющий правила отбора при межзонных переходах. Первое правило отбора обеспечивает сохранение волнового вектора при данных переходах. Для бесконечно глубоких квантовых ям волновые функции не содержат эффективной массы носителей и потому одинаковы для электронов и дырок. Поэтому в силу ортогональности волновых функций различных состояний данный интеграл отличен от нуля лишь при n = m. Для ям конечной глубины правила отбора по-прежнему могут существовать, хотя и не столь жесткие. Если потенциал ямы симметричен (например, для прямоугольной ямы), то функции y характеризуются определенной четностью по z, будучи четными при нечетных n и нечетными - при четных. При этом интеграл заведомо обращается в нуль, если m и n имеют различную четность. Непременного равенства n = m здесь не требуется. В асимметричных ямах переходы возможны для любых m и n. Вместе с тем численные расчеты показывают, что при n ¹ m интеграл почти всегда значительно меньше единицы. Поэтому в большинстве случаев можно приблизительно считать, что правило отбора для межзонных переходов n = m справедливо для любых ям.

Обсудим вид спектра оптического поглощения в условиях данного правила отбора. Прежде всего отметим, что минимальная энергия поглощаемого фотона равна Eg+E1e+E1h, т. е. энергия края поглощения больше, чем в однородном полупроводнике, и растет с уменьшением ширины квантовой ямы. В интервале энергий фотона Eg+E1e+E1h < ħw < Eg+E2e+E2h коэффициент поглощения постоянен, а при ħw = Eg+E2e+E2h скачком увеличивается. В целом a(w) имеет ступенчатый вид со скачками при ħw = Eg+Ene+Enh. Это есть отражение известного утверждения теории полупроводников о том, что при прямых разрешенных оптических переходах спектр поглощения воспроизводит функцию плотности состояний. Если правило отбора n = m не выполняется, то возникает дополнительное дробление a(w) на более мелкие ступеньки, отвечающие выполнению условия ħw = Eg+Ene+Emh c n ¹m.

Сделанный вывод о виде спектра поглощения получен в идеализированной модели невзаимодействующих носителей. Экситонные эффекты могут заметно исказить вид зависимости a(w). Во-первых, вблизи каждой ступеньки появляется серия экситонных пиков. Во-вторых, кулоновский потенциал электронно-дырочного взаимодействия не только создает дискретные связанные состояния, но и искажает плотность состояний в непрерывном спектре на расстоянии ~ eо от края. Поэтому зависимость a(w) отличается от прямоугольных ступенек как слева, так и справа от них.

Строгое теоретическое рассмотрение дает следующую формулу для спектра поглощения вблизи края с учетом экситонных эффектов:

где D= (ħw-Eg-E1e-E1h)/eо, а Q(х) - единичная функция Хевисайда. Первый член в (этом выражении описывает систему экситонных пиков, а второй - искажение края непрерывного поглощения. Значение exp(p/)/ch(p/) стремится к 2 при D ® 0 и к 1 при D ® ¥. Это означает, что на краю поглощения a двукратно возрастает по сравнению с идеальной ступенькой.. Таким образом, качественно вид спектра поглощения выглядит следующим образом (см. рисунок).

Отметим, что в реальных кристаллах существуют экситоны двух типов (с легкой и тяжелой дыркой). Это приводит к дополнительному двукратному расщеплению экситонных пиков, показанных на рисунке, и аналогичных пиков вблизи краев вышележащих зон.

5.2. Межуровневые переходы

Свет с частотами, меньшими края межзонного поглощения, рассмотренного нами выше, может вызывать лишь переходы внутри энергетических зон. Такое внутризонное поглощение, в отличие от межзонного, существенно различно для света разной поляризации. Если свет падает по нормали к двумерному слою, то электрическое поле световой волны лежит в плоскости слоя, где электроны ведут себя как свободные. Поэтому свет с такой поляризацией испытывает лишь обычное поглощение на свободных носителях, существующее лишь в меру их рассеяния, имеющее небольшую величину и монотонную зависимость от частоты света.

Значительно более интересно поведение света, поляризованного перпендикулярно плоскости слоя. Такой свет может вызывать резонансное поглощение между уровнями размерного квантования. Наличие или отсутствие поглощения (правила отбора) и его относительная интенсивность определяются межуровневым матричным элементом импульса

Для симметричным квантовых ям правила отбора противоположны тем, что имеют место для межзонных переходов (см. предыдущий параграф): межуровневые переходы возможны лишь между состояниям противоположной четности, иными словами, электроны с первого уровня могут переходить лишь на второй, четвертый и др., но не на третий или пятый. Если же яма не обладает свойством четности, как, например, в МДП-структуре или одиночном гетеропереходе, то оптические переходы могут происходить между любыми уровнями.

Из сказанного следует, что спектр внутризонного поглощения z-поляризованного света представляет собой ряд узких резонансных полос. Если в квантовой яме имеется N уровней и заполнен только нижний из них, то таких полос будет N-1 в несимметричной и [N/2] (т. е. целое число N/2) - в симметричной яме. В МДП-структурах наблюдают такое поглощение и убеждаются в его резонансном характере чаще всего не путем изменения частоты света w, а путем изменения напряжения на затворе при фиксированной w. При этом меняются энергетические зазоры между уровнями, определяемое величиной электрического поля затвора, и в какой-то момент для данной w реализуется условие резонанса.

Сделанные выше вывод о том, что описанное резонансное поглощение возможно толь для света, поляризованного по нормали к квантовым слоям, справедлив для изотропного закона дисперсии носителей (например, в n-GaAs) или же для определенной симметричной ориентации слоев (например, в МДП-структурах на поверхности (100) кремния). При наличии анизотропии межуровневые переходы могут вызываться и светом с поляризацией, параллельной слоям. Это относится, в частности, к дыркам в валентной зоне наиболее популярных полупроводников Si, Ge, GaAs, InP и др.

5.3. Поляризационная зависимость межзонного поглощения света в квантовых ямах

Зависимость коэффициент поглощения от поляризации имеет вид , где блоховские волновые функции. В данной формуле нет характеристик КЯ. Есть зависимость от вектора поляризации. Данная формула не учитывает, что зона расщепляется на две, описывающие разную эффективную массу (зона тяжелых и легких дырок, ТД и ЛД).Тяжелые и легкие дырки по разному зависят от поляризации. Складывая оба вклада для ТД и ЛД, получаем, что в 3D ничего не зависит о поляризации. В 2D возможны различные варианты. Зависимость от поляризации описывается другой формулой. Зона проводимости формируется из s орбиталей атомов и имеет сферическую симметрию. Валентная зона – из функций p-орбиталей. Таким образом, можно получить волновые функции для состояний в валентной зоне и зоне проводимости в виде комбинации атомных волновых функций с данным типом симметрии. Каждую зону можно описать с помощью оператора момента импульса и проекции момента импульса. Тогда для ТД с и для света поляризованного в плоскости квантовых ям получаем .

Аналогичное выражение получается при , а также . Таким образом, свет с поляризацией в плоскости структуры поглощается. При (свет с поляризацией вдоль оси роста) поглощения не наблюдается..

Рассмотрим случай зоны легких дырок. Тогда при и для света, поляризованного в плоскости квантовых ям получаем . Аналогичное выражение получается при , а также при .

При (свет с поляризацией вдоль оси роста) поглощения не наблюдается. . Таким образом, свет с поляризацией, как в плоскости структуры, так и перпендикулярно поглощается. Легкие дырки дают ненулевой вклад в матричный элемент для любой поляризации света. Таким образом, в КЯ по сравнению с 3D снимается вырождение и возможны переходы из зоны ЛД и ТД.

Необходимо отметить, что в КЯ зависимость поляризации проявляется только на самом краю поглощения. При больших квантах света когда отходим от центра зоны Бриллюэна правила отбора уже не выполняются и происходит смешивание ЛД и ТД. Для измерения поглощения необходимо делать очень тонкие образцы, что приводит к их разрушению.

Перейдем к рассмотрению света с круговой поляризацией.

Случай ТД.

Переходы :

.

Аналогично для переходов получаем , для .

Случай ЛД.

,

.

Для правой циркулярно-поляризованной волны и , , где ,- единичные вектора, , .

Тогда можно переписать выражения и :

и , .

Для левой циркулярно-поляризованной волны

, ,

Тогда окончательно для излучения с круговой поляризацией получаем:

: , , , .

: , , ,

Таким образом, только перечисленные здесь переходы дают вклад в поглощение в случае круговой поляризации.

5.4. Внутризонное поглощение

Рассмотренное межзонное поглощение является фундаментальным. Внутризонное поглощение происходит на свободных электронах. При низком легировании оно слабое, при высоком – с ильное. Кроме того, этот тип поглощения сильно зависит от поляризации света. Свет с поляризацией в плоскости квантовых ям не будет поглощаться в силу того, что электроны будут двигаться между стенками, но не будут ничего знать о них. Свет с такой поляризацией вызывает внутриподзонные переходы. Такое поглощение очень слабое. Для того чтобы сильно изменился импульс электрона, необходимо столкновение электрона фотона и фонона, но вероятность этого процесса невелика.

В свою очередь, для межподзонного перехода нужна такая поляризация света, чтобы электроны ударялись о стенки ямы, т. е. электроны «чувствовали» яму. Таким образом, для существования межподзонных переходов необходимо наличие составляющей (поляризация света вдоль оси роста квантовых ям).

Рассмотрим вклад поляризационный вклад в коэффициент поглощения.

Так как рассматриваем межподзонные переходы, то . В этом случае мы имеем следующее правила отбора: .

Для четности подынтегральной функции (т. е. чтобы интеграл не обращался в ноль) необходимо, чтобы в случае симметричной ямы были разной четности в случае симметричной ямы.

Реально вклад в поглощение дают переходы между 1 и 2 подзонами размерного квантования. Вклад остальных подзон мал, так как начинается сильная осцилляция волновых функций, что существенно уменьшает интеграл перекрытия волновых функций, содержащий производную . При несимметричной яме правила отбора снимаются, но все равно переходы осуществляются между соседними подзонами. Величина коэффициента поглощения определяется положением уровня Ферми. Спектр поглощения в теории является очень узким. В реальной ситуации необходимо учесть его уширение, вязанное с конечным временем жизни электронов, и непараболичностями, устраняющих эквидистантность подзон при одинаковых . Расчет для реальных образцов показывает, что поглощается только около 1% света, что приводит к возноквению проблем в измерении .

Решение данной проблемы может быть достигнуто следующими путями: использованием в эксперименте структур с множеством квантовых ям; использованием ногопроходной геометрия; использованием образцов с дифракционной; использованием образцов p-типа, что снимает правила отбора.

5.5. Оптическая ионизация квантовых ям

Рассмотрим внутризонные оптические свойства квантовых ям конечной глубины, в которых наряду с дискретными уровнями En существует континуум делокализованных состояний с энергиями выше края ямы. При этом свет, поляризованный перпендикулярно слоям и вызывающий при ħw = En - Em переходы между квантово-размерными уровнями, может при больших частотах, ħw > DE - E1 (DE - глубина ямы), вызывать переходы с основного уровня в континуум, т. е. производить фотоионизацию квантовых ям.

Все особенности поглощения заключены в виде матричного элемента .

Для вычисления этого матричного элемента, определяющего вероятность таких переходов, нам потребуется знание волновых функций континуума ye=yf. Для прямоугольной ямы, изображенной на рисунке, расчет ye весьма прост и имеется в любом задачнике по квантовой механике. Волновая функция электрона с энергией e может быть записана в виде:

в области I

в области II

в области III

где к2 = 2me/ħ2, K2 = 2m(DE+e)/ħ2. Коэффициенты A, B,C, D определяются из условий сшивки на границах ямы.

Например, для коэффициента B, определяющего амплитуду волновой функции непосредственно над ямой, имеем:

Видно, что для медленных электронов с e << DE, B ~ k, т. е. очень мало. Аналогичной малостью обладают коэффициенты С и D. Такие электроны мало проникают в непосредственную окрестность квантовой ямы, а почти полностью отражаются от нее. Исключение составляют так называемые резонансные ямы, для которых . Для этих ям B »C»1/2, D »1, т. е. электроны свободно проходят над ямой, не отражаясь.

Из сказанного следует, что спектры оптической ионизации резонансных и нерезонансных квантовых ям должны существенно различаться. При частотах света, близких к порогу ионизации ħw0 = DE - E1, электроны выбрасываются в состояния с малыми энергиями e = ħw - DE + E1. В окрестности нерезонансной ямы (в области II на рисунке) волновая функция таких электронов имеет малую амплитуду, в то время как волновая функция первого уровня y1(z) локализована именно в этой области. Поэтому любые матричные элементы между ye и y1 будут малы, и коэффициент поглощения вблизи порога обращается в нуль. Строгий расчет, когторый мы здесь приводить не будем, даетa(w) ~ (ħw - DE + E1)1/2. Для резонансных ям, напротив, матричный элемент в припороговой области не мал и коэффициент поглощения не только не зануляется, но неограниченно возрастает вблизи порога: a(w) ~ (ħw - DE + E1)-1/2. При больших частотах света w электроны выбрасываются в высоколежащие состояния, практически не возмущенные потенциалом ямы. Свойства электронов в этих состояниях близки к свойствам свободных электронов, и коэффициент поглощения стремится к нулю. В целом характер спектров оптической ионизации квантовых ям показан на рисунке

5.5. Эффекты деполяризации

Полученные нами выводы о характере спектров внутризонного поглощения в квантово-размерных системах получены без учета так называемых эффектов деполяризации. Суть этих эффектов заключается в том, что для света, поляризованного по нормали к слоям, высокочастотное электрическое поле должно удовлетворять условию непрерывности электрической индукции. Поэтому поле, реально действующее на электроны, отличается от поля падающей световой волны на множитель, равный диэлектрической проницаемости квантово-размерной системы k. Вблизи частот, отвечающих сильному (например, межуровневому) поглощению, k резко зависит от частоты света. Это обстоятельство может привести к заметному искажению спектров поглощения a(w).

Для количественного описания эффектов деполяризации необходимо прежде всего иметь правильное выражение для функции kzz(w), описывающей частотную дисперсию диэлектрической проницаемости системы для нормально-поляризованного света. Это выражение будет различно для частот, отвечающих межуровневым переходам, и частот, превосходящих порог оптической ионизации квантовых ям. Обсудим вначале первый случай, ограничиваясь для наглядности простой моделью периодической системы, содержащей ямы шириной а с концентрацией двумерных носителей ns и барьеры шириной b, не содержащие носителей.

Для света с z-поляризацией и частотой, близкой к частоте межуровневого резонанса w12=(Е2 - Е1)/ ħ, квантовая яма может рассматриваться как двухуровневая электронная система. Диэлектрическая проницаемость такой системы, содержащая как решеточную, так и электронную компоненту, может быть записана в следующем виде:

где k0 - диэлектрическая проницаемость решетки и заполненных электронных оболочек, а t - время релаксации носителей. Область барьера не содержит свободных носителей и имеет проницаемость k2 = k0.

Получим выражение для эффективной проницаемости такой слоистой системы. Пусть F1 и F2 - напряженности электрического поля световой волны в материалах ямы и барьера. Для z-поляризованного света они связаны условием непрерывности электрической индукции: k1F1 = k12. Поэтому эффективная диэлектрическая проницаемость, связывающая средние значения индукции и поля, равна

Подставляя в это выражение указанные выше значения k1 и k2, получаем , где

Видно, что мнимая часть kzz, описывающая коэффициент поглощения, имеет резонансный пик при . Это означает, что за счет эффектов деполяризации частота резонансного межуровневого поглощения сдвигается на величину, определяемую эффективной плазменной частотой wр.

Сходным образом может быть рассмотрено влияние деполяризационных эффектов и на спектр оптической ионизации квантовых ям. В отличие от межуровневых переходов, где эти эффекты сдвигают линию поглощения, здесь положение порога ионизации остается неизменным, хотя форма спектра и изменяется. Основной результат, как и для межуровневых переходов, сводится к резкому подавлению поглощения там, где в отсутствие деполяризации оно было бы очень велико. При этом для нерезонансных ям спектр поглощения существенно не изменится, а для резонансных - расходимость коэффициента поглощения на пороге ионизации сменится обращением в нуль. В результате квантовые ямы с параметрами, близкими к резонансным, будут иметь спектр поглощения с резким максимумом вблизи порога ионизации.

Кроме эффектов деполяризации необходимо также учитывать возможное наличие непараболичности зонного спектра. В КЯ имеются две различных массы носителей (продольная и поперечная ). За размерное квантование отвечает . В бесконечно глубокой КЯ и . Для GaAs и , т. е. продольная масса сильнее зависит от энергии. В КЯ конечной глубины строго разделить продольное и поперечное движение нельзя. Необходимо брать некую среднюю эффективную массу. Учет непараболичности приводит к смещению центра поглощения по сравнению с в область меньших энергий кванта, также наблюдается асимметричность зависимости .

РАЗДЕЛ 6. ДВУМЕРНЫЙ ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ В СИЛЬНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Хорошо известно, что в случае сильных магнитных полей Н, удовлетворяющих условию  = eH/mc >> t-1 и ħwс >> kT (wс – циклотронная частота, t - время релаксации), классическое описание явлений переноса неприменимо и требуется квантовомеханический подход (такие магнитные поля называются квантующими). Это относится и к случаю двумерного электронного газа. Более того, как мы увидим ниже, свойства двумерных систем в квантующих полях еще более разительно, чем в трехмерном случае, отличаются от результатов, которые дает классическая теория. Это приводит к возникновению принципиально новых эффектов, один из которых – квантовый эффект Холла – мы и рассмотрим в конце данного раздела.
6.1. Влияние сильного магнитного поля на зонный спектр электронов

Прежде чем приступить к описанию непосредственно двумерных систем, вспомним, что происходит со свойствами обычного объемного кристалла при приложении к нему сильного магнитного поля. Рассмотрим задачу об энергетическом спектре электрона, находящегося в трехмерном кристалле, к которому приложено магнитное поле в направлении z.

Гамильтониан частицы с электрическим зарядом в присутствии векторного потенциала имеет вид:

,

где . Задав векторный потенциал магнитного поля в следующем виде: , и раскрывая скобки, получим:

.

Это выражение коммутативно с операторами и , так как оно не содержит координат и . Следовательно, в данном случае волновые функции стационарных состояний целесообразно искать как такие функции, которые являются собственными одновременно для , и :

,

где – неизвестная функция.

После подстановки этой функции в уравнение Шредингера операторные члены в , содержащие и , заменяются соответствующими числовыми величинами. С помощью такой замены и применения обозначений

, ,

уравнение Шредингера приводится к уравнению для линейного осциллятора, совершающего колебания вдоль оси относительно начальной точки :

.

Следовательно, допустимые значения энергии и отвечающие им функции имеют следующий вид:

, где и .

Таким образом, решение рассматриваемой задачи выглядит следующим образом: