Учебно-Методический Комплекс для магистров «Физика квантоворазмерных систем» (стр. 7 )

·  при условие не выполняется, поэтому ;

·  при условие выполняется при любом , второй интеграл в (1.74) равен единице, и

;

·  при условие выполняется только при , поэтому

.

Обобщая полученный результат на случай нескольких минизон, для функции плотности состояний в сверхрешетке, отнесенной не к единице объема, а, как и в 2D-случае, к единице площади, получаем:

.

Зависимость функции плотности состояний в сверхрешетке от энергии приведена на рисунке. В областях вне разрешенных минизон она совпадает с плотностью состояний в 2D-системах, а внутри этих минизон изменяется по полученному выше закону.

3.2. Статистика носителей заряда

Концентрация электронов n в кристаллах определяется, прежде всего, энергетическим положением уровня электрохимического потенциала m. При этом ее значение может быть достаточно однозначно определено на основе анализа тех или иных экспериментальных данных. С другой стороны, электрохимический потенциал является термодинамическим параметром и не может быть определен экспериментально (по крайней мере, простыми способами). В то же время, величина m является определяющей при описании и анализе различных эффектов. По этой причине определение вида зависимости электрохимического потенциала от концентрации электронов (и, естественно, от температуры, а также различных параметров носителей заряда) является главной задачей статистики. В общем случае равновесная (в отсутствие каких-либо внешних воздействий) концентрация электронов может быть найдена по формуле:

и, следовательно, зависит от вида функции g(E). Используя найденные в нами выше значения этой функции для трехмерных и одномерных систем, получаем следующие выражения для конценртации:

и

для 3D - и 1D-систем, соответственно, где – приведенный электрохимический потенциал, а – интегралы Ферми соответствующего индекса, определяемые выражением

.

Отметим, что полученное выражение для квантовых нитей справедливо в случае заполнения только одной подзоны размерного квантования, уровень энергии дна которой определяется квантовыми числами n1 и n2. В случае заполнения следующих подзон концентрация носителей заряда в каждой из них вычисляется по аналогичной формуле, после чего все найденные значения концентраций должны быть просуммированы.

Поскольку интегралы Ферми аналитически не вычисляются, найденные нами выражения дают неявную связь концентрации и электрохимического потенциала. Только в частных случаях, когда для вычисления концентрации возможно использование классической статистики или приближения Зоммерфельда, зависимость n(m) может быть получена в явном виде.

В отличие от этих случаев, для двумерного электронного газа возможно получение аналитического выражения, описывающего зависимость концентрации от электрохимического потенциала, в общем виде. Это связано с тем, что в квантовых ямах, как мы видели, значение функции плотности состояний (в пределах каждой из подзон размерного квантования) не зависит от энергии носителей заряда. Будем считать, что все носители заряда находятся только в первой подзоне размерного квантования. Тогда для определения их концентрации nS с учетом получаем

.

Отметим, что в этом случае имеется в виду поверхностная концентрация, поэтому ее размерность (аналогично функции плотности состояний) есть см-2, а не см-3, как для объемных кристаллов. При вычислении этого интеграла необходимо сделать ряд замен переменных – сначала E’=E-E1, а затем exp[(m-E-E1)/k0T]= z. После этого мы получим:

В результате, окончательно получаем:

,

где – введенное по аналогии с трехмерным случаем значение эффективной плотности состояний у дна зоны проводимости. Эту формулу можно легко преобразовать к другому виду, выразив уровень химического потенциала через значение концентрации:

.

Рассмотрим предельные случаи сильного вырождения и классической статистики. При этом по аналогии с трехмерным случаем в качестве критерия вырождения используем соотношение между и .

Классическая статистика может применяться, если , при этом значение m отрицательно и . Следовательно, значение экспоненты в формуле для концентрации мало, и разлагая логарифм в ряд, имеем:

или .

Эти выражения аналогичны соответствующим выражениям для трехмерного электронного газа с той разницей, что значение Nc в этих случаях определяется по-разному, а значение m в 2D-случае отсчитывается не от нуля (совпадающего для электронного полупроводника с дном зоны проводимости), а от положения первого уровня размерного квантования.

Вырожденная статистика реализуется, если . В этом случае величина большая и положительная, значение экспоненты в формуле для концентрации велико, и мы получаем:

, .

Как видно из этих формул, при наличии вырождения уровень электрохимического потенциала и концентрация носителей заряда в 2D-системах связаны между собой по линейному закону, т. е. по сравнению с 3D-случаем (где, как известно, ) значение в двумерных системах сильнее изменяется при варьировании концентрации носителей заряда.

Отметим следующее обстоятельство. Поскольку эффективная плотность состояний Nc пропорциональна первой степени температуры в 2D-случае и – в 3D, при одной и той же концентрации носителей заряда вырождение в двумерных системах снимается при более высоких температурах. Это означает, что для реализации вырожденной статистики в двумерных системах не требуются слишком высокие концентрации, другими словами, условие вырожденности электронного газа может достаточно легко выполняться уже при комнатной температуре. Сделаем оценку. Началу выроджения соответствует выполнение условия . Для электронного GaAs (m*=0,07m0) при T=300 K оно достигается уже при , что соответствует объемной концентрации , т. е. вполне обучным для случая полупроводников значениям. Таким образом, электронный газ в 2D-системах достаточно часто оказывается вырожденным.

В заключение отметим следующее обстоятельство. Мы рассматривали случай заполнения только первой подзоны размерного квантования. Если состояние системы таково, что заполняется несколько подзон, для нахождения полной концентрации необходимо суммировать ее значения, определенные для каждой из этих подзон. При этом для любой подзоны значение nS вычисляется по формулам, аналогичным полученным нами выше с заменой в них уровня энергии E1 на уровень дна соответствующей подзоны En.

В этой связи возникает вопрос, каков критерий, при выполнении которого происходит заполнение только нижней подзоны размерного квантования. В случае вырожденного электронного газа только первая подзона будет заполнена, если . Используя выражения для уровней энергии в бесконечной прямоугольной потенциальной яме и значения химического потенциала в двумерной системе, получаем . Отсюда критерий заполнения только одной (нижней) подзоны размерного квантования выглядит так:

.

Таким образом, варьируя либо концентрацию носителей заряда (путем легирования), либо геометрический размер ямы, мы можем изменять количество заполненных электронами подзон размерного квантования. Следовательно, при фиксированной концентрации положение уровня электрохимического потенциала существенно зависит от геометрического размера структуры, приближаясь при ее большой толщине к значению, определяемому выражением для объемного кристалла.

3.3. Примесные состояния и экситоны в двумерных системах

Как мы видели, эффект размерного квантования приводит к трансформации непрерывного квадратичного спектра свободных носителей в систему дискретных уровней или подзон. Однако потенциальная яма, ограничивая движение носителей узкой областью пространства, изменяет свойства не только свободных, но и связанных электронов. Мы сейчас коротко обсудим влияние размерного квантования на мелкий водородоподобный примесный центр.

Для начала напомним, как решается задача о нахождении энергии активации примесных центров в обычном объемном кристалле. Рассматривая электрон как связанный с однократно заряженным ионом примеси, необходимо решать уравнение Шредингера

,

где k - диэлектрическая проницаемость среды, с граничным условием . Задача является сферическисимметричной и после перехода к сферическим координатам достаточно легко получить выражения для энергии ионизации примеси и расстояния, на котором вокруг примесного атома обращается электрон:

, ,

где l – квантовое число, определяющее состояние примесного центра;

13.6 эВ – энергия ионизации основного состояния (n=1) атома водорода (1 Ридберг); 0.53 Å – боровский радиус основного состояния атома водорода; m0 - масса свободного электрона.

При рассмотрении двумерного объекта возникает ряд дополнительных проблем. Во-первых, если потенциал заряженного центра в объемном кристалле носит чисто кулоновский характер , то в тонкой пленке, в случае отличия ее диэлектрической проницаемости от диэлектрической проницаемости подложки на границе появляются так называемые силы изображения, в результате чего потенциал имеет достаточно сложный вид. Отметим, что ситуация упрощается в гетероструктурах, где отличие диэлектрической проницаемости узкозонного и широкозонного полупроводников обычно мало. Однако, даже если силу изображения отсутствуют, нахождение энергии ионизации отличается от случая трехмерного кристалла. Рассмотрим для простоты тонкую пленку. В этом случае надо по-прежнему решать уравнение Шредингера вида

,

но с другими граничными условиями – при рассмотрении потенциальной ямы бесконечной глубины волновые функции электрона должны зануляться на границах пленки. Проблема заключается в том, что в этом случае мы не можем связать начало отсчета с примесным атомом, поскольку его положение относительно границы может быть различным. В результате, связывая начало отсчета по координатам x, y c положением примесного атома, а по координате z – с серединой пленки, получаем уравнение вида:

с граничными условиями , где L – размер тонкой пленки в направлении z, а z0 – координата примесного атома в этом направлении.

Получить точное решение этого уравнения при таких граничных условиях в общем виде невозможно. Однако это можно сделать, если предположить, эффективный боровский радиус rD значительно превосходит ширину потенциальной ямы (толщину пленки), т. е. В принципе, это условие вполне реалистично, поскольку реальные значения величины rD в полупроводниках составляют (благодаря большой диэлектрической проницаемости и малой массе носителей заряда) несколько десяткой, а то и сотен ангстрем.

В рамках такого приближения в знаменателе кулоновского слагаемого в уравнении Шредингера можно опустить член (z-zo)2, поскольку для электрона на связанном состоянии типичные значения х и у по абсолютной величине имеют порядок rD, в то время как всюду внутри пленки |z-zo| < a. В результате переменные z и r = (x2+y2)1/2 в уравнении Шредингера разделяются, что позволяет искать его решение в виде y = f(r) c(z). Для c(z) получается обычное уравнение для частицы в бесконечной потенциальной яме, решение которого нам хорошо известно. В плоскости ху волновая функция f должна определяться из решения уравнения Шредингера для "двумерного атома водорода" с потенциалом – е2/kr:

Решение этого уравнения и учет выражения для уровней энергии в бесконечной потенциальной яме дают следующие значения для энергии ионизации примесного центра:

Это решение очень похоже на решение для трехмерного случая, отличаясь только тем, что в знаменателе вместо l2 стоит (l-1/2)2. Отметим, что использованное условие rD<<L эквивалентно требованию о том, что энергия связи энергия связи электрона на примесном атоме El много меньше, чем энергия уровней размерного квантования En. Это означает, что под каждым квантово-размерным уровнем с фиксированным n существует своя ридберговская серия. При этом примесные уровни, связанные со всеми подзонами, кроме основной Е1, находятся на фоне состояний сплошного спектра нижележащих подзон и могут самопроизвольно распадаться за счет переходов в эти состояния. Поэтому указанные уровни имеют конечное время жизни и, следовательно, конечную ширину даже в отсутствие столкновений.

Основному примесному состоянию соответствует n=1, l=1. Видно, что это состояние примесного центра в двумерном случае имеет энергию связи, в 4 раза большую, чем в трехмерном случае. Каковы же физические причины, приводящие к возрастанию энергии связи при понижении размерности системы? Качественно, на этот вопрос ответить очень легко. Энергия связи обусловлена, в первую очередь, притягивающим взаимодействием между электроном и примесным ионом. При этом ясно, что чем ближе от примесного центра находится электрон, тем больше должна быть энергия связи. Ограничение движения электрона стенками ямы приводит к тому, что электрон не может уйти далеко от примесного иона и в среднем находится от него на меньшем расстоянии, чем в трехмерном полупроводнике. Поэтому средняя энергия притяжения, определяющая энергию связи, и увеличится.

Полученный нами результат требует нескольких комментариев. Во-первых, мы рассмотрели предел очень малых размеров пленки. Ясно, что при не слишком малых L (т. е. когда они становятся сравнимыми с эффективным боровским радиусом), энергия связи будет иметь значение, промежуточное между найденным нами и соответствующим объемному кристаллу: , где - энергия ионизации примеси в трехмерном кристалле. Переход между этими значениями будет осуществляться постепенно, по мере изменения толщины пленки. Во-вторых, энергия ионизации примесного центра должна зависеть от его положения по координате z. В центре ямы она будет больше, чем у краев, поскольку в последнем случае электрон, вращаясь вокруг атома, в среднем будет находиться от него на большем расстоянии, что уменьшает энергию ионизации. Этот эффект достаточно сильно отражается, например, в спектрах оптического поглощения. В трехмерном кристалле примесное поглощение дает резкий пик, соответствующий разнице между уровнем энергии активации примеси и, например, дном зоны проводимости (для донорных центров). В двумерном объекте этот пик, во-первых, сдвигается в область белее высоких частот (вплоть до четырехкратного изменения соответствующей энергии кванта излучения) и, во-вторых, существенно расширяется за счет того, что примесные атомы статистически распределены по толщине пленки и обеспечивают, тем самым, наличие поглощения при разных энергиях кванта.

В заключение, рассмотрим еще один вопрос. Использованные нами для решения уравнения Шредингера граничные условия соответствуют модели бесконечно глубокой потенциальной ямы. При конечной глубине ямы зависимость Еi от ее ширины ямы может носить более сложный, немонотонный характер. Это связано с тем, что с уменьшением L уровень размерного квантования в яме (в соответствии с найденным нами соотношением En~1/L2) становится все более мелким. При этом характерная длина, на которой спадают хвосты волновой функции в области широкозонного материала, возрастает и в конечном счете начинает превосходить эффективный боровский радиус rD. В результате электрон перестает быть локализованным в области квантовой ямы. Начиная с этого момента, размерное квантование перестает оказывать влияние на связанные кулоновские состояния, и их энергия связи вновь становится равной . При этом важным обстоятельством является то, что в гетероструктурах эффективные массы носителей в материалах с различной шириной запрещенной зоны обычно различны (чаще всего, ширикозонный полупроводник характеризуется меньшим значением эффективной массы носителей mb, узкозонный mw). В результате, делокализация электрона приводит к тому, что он принимает значение массы, соответствующее не узкозонному, а широкозонному полупроводнику. Поскольку эта величина входит в знаменатель выражения для энергии ионизации, зависимость этой энергии от толщины слоя качественно выглядит так, как показано на рисунке. При этом чем меньше высота потенциальной ямы, тем меньших максимальных значений достигает энергия связи при конечном размере ямы.

Еще более сильным является увеличение энергии связи в квантовых нитях. Существенное отличие от рассмотренного нами случая квантовых ям заключается в невозможности рассмотрения предельного случая нулевой толщины нити. В пленках при L ® 0 энергия связи имеет конечное значение 4, а при стремлении к нулю радиуса нити энергия связи стремится к бесконечности. Это означает, что в достаточно тонких нитях примесное состояние может быть, в принципе, сколь угодно глубоким.

Полученные нами результаты для мелких примесных центров можно использовать и для расчета энергии связи экситонов в двумерных системах. Экситон – это связанное состояние электрона и дырки, образующееся благодаря их притяжению. Волновая функция в этом случае зависит от координат как электрона re, так и дырки re, и уравнение Шредингера является более сложным:

Задача заметно упрощается, если условие на соотношение толщины пленки и эффективного боровского радиуса выполняется для обоих типов носителей. В этом случае, по аналогии с примесным атомом, в кулоновском члене можно пренебречь слагаемым (ze - zh)2, и математически задача об энергии экситона становится эквивалентной задаче об энергии ионизации примесного центра, если перейти к новым координатам:

описывающим, соответственно, движение центра тяжести системы и относительное движение электрона и дырки. В этих переменных волновая функция системы принимает вид , и уравнение Шредингера сводится к уравнению для волновой функции относительного движения f(r):

где m = memh/(me+mh) - приведенная масса электрона и дырки,

т. е. отличается от рассмотренного нами только лишь заменой эффективной массы электрона на приведенную массу экситона. Поэтому и ответ будет аналогичным:

Таким образом, энергия связи экситонов, так же как и примесей, в двумерном случае оказывается существенно увеличенной (для основного состояния - в 4 раза). За счет этого экситонные эффекты в квантовогоразмерных системах оказываются значительно более сильно выраженными, чем в объемном образце, и могут наблюдаться при достаточно высоких температурах, включая комнатные. При этом в отличие от примеси, экситонный пик оптического поглощения в двумерных системах только сдвигается относительно объемного случая. Его уширения не происходит, поскольку нет такого параметра, как конкретное положение экситона в пространстве, координата его центра тяжести не фиксирована.

Рассмотрим кратко еще один эффект, связанный с экситонами в двумерных системах. Приложим к нашему образцу электрическое поле в направлении, перпендикулярном плоскости пленки. В этом случае форма потенциальной ямы изменится (см. рисунок в случае ямы конечной высоты). В результате, изменится и положение энергетических уровней как для электронов, так и для дырок. Ясно, что вследствие этого энергия кванта, поглощаемого при участии экситона, изменяется, причем варьирую величину приложенного поля этой энергией можно управлять. При этом поскольку энергия связи экситона существенно выше, чем в объемном кристалле, приложенное электрическое поле не будет разрушать экситон. Таким образом, двумерные системы позволяют сдвигать пик экситонного поглощения при помощи электрического поля, что достаточно важно для практических применений.

Рассмотрение экситонных эффектов в квантовых нитях более сложно, чем в квантовых ямах. Однако с достаточно хорошей точностью вывод о том, что энергия связи экситона отличается от соответствующей энергии для мелкого примесного центра лишь заменой масс, сохраняет силу.

3.4. Изменение свойств системы носителей заряда в двумерных системах

В заключение данного раздела рассмотрим ряд эффектов, связанных с влиянием уменьшения размера образцов на свойства электронного газа.

Эффект экранирования.

Низкоразмерные системы всегда создаются на основе тонких пленок или тонкопленочных структур с толщиной слоев порядка единиц-десятков нанометров. Очевидно, что при электронном транспорте сильное влияние на все процессы будут оказывать параметры границы раздела и/или приповерхностных областей. На локальных электронных состояниях на границе раздела будет происходить локализация электронов, что создает локальные заряды. Роль поверхностного заряда может играть и электрическое поле (внешнее).

Так как в равновесных условиях образец является электрически нейтральным, локализованные заряды или внешние поля должны быть экранированы зарядом ионизованных доноров или акцепторов в полупроводнике, а также зарядом подвижных носителей заряда. Очевидно, что в результате в приповерхностном слое концентрация подвижных носителей заряда будет отличаться от объемной. В результате в приповерхностном слое появляется слой пространственного заряда, в котором появится электрическое поле и возникнет распределение электростатического потенциала. Величина этих потенциала и поля будут определяться уравнением Пуассона. Важным эффектом, который необходимо учитывать и в объемных образцах, является эффект экранирования, изменяющий чисто кулоновский потенциал точечного заряда. Электроны как бы обступают избыточный заряд и в результате экранируют потенциал.

Для нахождения экранированного потенциала в трехмерном случае необходимо решать уравнение Пуассона:

,

где n(r) зависит от потенциала. Решение этого уравнения показывает, что в 3D случае при учете конечной концентрации носителей заряда в образце вместо простого кулоновского потенциала точечного заряда (, где κ – диэлектрическая проницаемость среды) потенциал точечного заряда будет записан как . Для невырожденного электронного газа , для вырожденного электронного газа - , а для случая произвольного вырождения: и , где rD - дебаевский радиус экранирования.

Если концентрация носителей заряда велика, то потенциал быстро спадает, в результате чего, начиная с некоторого уровня легирования, связанные состояния могут не образовываться – это так называемый переход Мотта.

Что изменится, если мы рассмотрим этот же эффект в тонкой пленке? Электроны тоже будут обступать заряд, но при этом их движение в одном из направлений существенно ограничено: в 3D случае все линии поля заканчиваются на электронах и не уходят на бесконечность, а в 2D – поле существует во всем объеме, но электроны могут двигаться только в тонкой пленке. Очевидно, что экранирование в случае 2D будет слабее, чем в случае 3D, т. е. потенциал заряда будет спадать слабее, чем exp. Рассмотрим подробно случай вырожденного двумерного электронного газа, поскольку ясно, что экранирование будет существеннее, когда электронов много.

Нам необходимо решить уравнение Пуассона в 2D-случае, т. е. поставив соответствующие граничные условия. Будем считать, что всюду, кроме 2D-системы носителей заряда нет, т. е. объемная плотность заряда ρ=0. Тогда нам надо решать уравнение Лапласа () вместо уравнения Пуассона с соответствующими граничными условиями.

Рассмотрим пленку как бесконечно тонкую плоскость. Заряженная плоскость дает электрическое поле, перпендикулярное поверхности и пропорциональное поверхностной плотности заряда. Разрыв этого электрического поля на границе плоскости . Наш 2D газ занимает плоскость . Поместим на нее заряд +e, движение электрона будет описываться с помощью двумерного радиуса . Будем искать вид потенциала φ(ρ, z).

Задача цилиндрически симметрична, поэтому решение будем искать в цилиндрических координатах:

.

Разделяя переменные (), получим:

, Þ

Последнее уравнение - это стандартное уравнение Бесселя, его решение есть , где J0 – функция Бесселя, N0 – функция Неймана. Для z-компоненты получаем .

Так как решение должно убывать при │z│→∞, то в верхней полуплоскости С=0. При z→0, ρ→0 решение должно стремится к обычному неэкранированному кулоновскому потенциалу точечного заряда , а добавка к потенциалу за счет экранирования при ρ→0 не должна иметь никаких особенностей, следовательно, B=0, поскольку функция Неймана неограниченно возрастает вблизи нуля.

Окончательно, полный экранированный потенциал в верхней полуплоскости можно записать в виде: , где вид функции F(q) нам надо определить.

Граничное условие при z=0 есть условие на электрическую индукцию. Электрическое поле перпендикулярно пленке и равно , где ns0 – концентрация электронов в однородной системе, т. е. уровень легирования, ns – концентрация электронов в слое, возникающая за счет того, что электроны либо пришли, либо ушли.

В вырожденном случае для двумерной однородной системы имеем: . Энергетический потенциал φ будет сдвигать края зон, в результате чего . Подставив в выражение для электрического поля эти значения, получим:

Таким образом, в результате мы имеем граничное условие для уравнения Лапласа в виде: , где - эффективный боровский радиус.

Таким образом, дифференцирование по z сводится к умножению на 2/rB, других характерных масштабов длины нет. Следовательно, величина 2/rB – имеет смысл характерной длины экранирования. Это означает, что вырожденном двумерном электронном газе радиус экранирования не зависит от концентрации электронов. Отметим, что в случае невырожденного газа эта зависимость появляется, и радиус экранирования будет уменьшаться с ростом концентрации носителей заряда. В общем случае произвольного вырождения .

Подставим в полученное выражение для электрического поля в выражение для потенциала, записанное выше через неизвестную функцию F(q):

Так как , можно записать:, следовательно:

Þ ,

так как условие равенства нулю интеграла должно выполняться при произвольных ρ.

Подставляя это значение в выражение для потенциала, получаем его форму в плоскости x, y в виде:

.

Отметим, что в отсутствии функции Бесселя интеграл расходится. Поэтому его значение определяется теми значениями q, при которых , т. е. .

Рассмотрим предельные случаи:

1. r→0. Если интеграл разойдется. Сходимость обеспечивается функцией Бесселя, причем это будет иметь место, если вклад в интеграл дают такие q, при которых J0<<1, т. е. q>>r-1. Поэтому при рассмотрении области r<rB* можно пренебречь 1 в знаменателе, что дает: