Учебно-Методический Комплекс для магистров «Физика квантоворазмерных систем» (стр. 8 )

; , т. е. неэкранированный кулоновский потенциал.

2. На больших расстояниях работают большие r>> rB*, тогда, , и можно разложить знаменатель в ряд:

Обозначим:

Формально интегралы I1 и I2 расходятся, но их можно домножить на exp(-px) для сходимости, а в результате положить .

Из справочника по операционному исчислению имеем:

,

Таким образом, I1=0, I2=-1.

Следовательно, на больших расстояниях окончательно получаем:

Таким образом, потенциал в двумерном случае экранируется, однако существенно более слабо, чем в 3D случае.

Отметим одно обстоятельство. Выражение для длины экранирования было получено нами при условии заполнения только одной подзоны размерного квантования. При заполнении следующей подзоны концентрация ns в выводе граничных условий для уравнения Пуассона скачком изменится. В результате, скачком изменится и величина Lэ. Если концентрация электронов остается постоянной, то при изменении толщины тонкой пленки будут наблюдаться осцилляции длины экранирования. Это связано со ступенчатым характером энергетической зависимости плотности состояний в двумерной системе (за счет изменения энергетического положения уровня Ферми). В свою очередь, вариации длины экранирования могут вызвать изменения других свойств материала. Это ярко наблюдается при низких температурах, когда все квантоворазмерные эффекты проявляются наиболее отчетливо.

Контактные явления. Поверхностное квантование.

В структурах типа металл-диэлектрик-полупроводник в приконтактной области полупроводника возникает объемный пространственный заряд (ОПЗ). Вблизи границы раздела в полупроводниковом материале образуется изгиб зон, который может приводить к эффекту поверхностного квантования. Рассмотрим особенности потенциального рельефа, возникающие вблизи границы полупроводника с электронным типом проводимости.

В стандартном случае отсутствия ОПЗ зонная структура полупроводника имеет вид плоских зон. Положение уровня Ферми на поверхности в этом случае совпадает с его положением в объеме полупроводника, и мы имеем однородный материал. Обогащение поверхностного слоя основными носителями возникает, когда к полупроводнику донорного типа приложен положительный потенциал. В этом случае уровни, характеризующие положение зоны проводимости и валентной зоны, на поверхности изгибаются вниз, что приводит к образованию барьера для неосновных носителей (дырок) и ямы для основных (электронов). В случае приложения потенциала другой полярности, на поверхности возникает область обеднения, в которой для электронов имеется энергетический барьер, а для дырок – яма. Наконец, при очень сильном отрицательном изгибе зон на поверхности может реализоваться состояние инверсии – в объеме электронного полупроводника концентрация дырок пренебрежимо мала, а на поверхности она превосходит уровень концентрации электронов, т. е. формально тип проводимости материала изменяется. Таким образом, потенциальный рельеф на границе раздела сильно зависит от величины и знака приложенного потенциала и приводит, в ряде случаев, к образованию потенциальный ям, в пределах которых может наблюдаться квантование энергетических уровней носителей заряда того или иного типа.

Например, даже если рассматривать объемный полупроводник, то за счет приложения к нему положительного потенциала в приповерхностном слое мы получим потенциальную яму для электронов, которая будет сформирована границей с диэлектриком, с одной стороны, и изгибов потенциала – с другой, причем по мере увеличения изгиба зон размер этой ямы будет увеличиваться. Обычно, образованную таким образом потенциальную ямы рассматривают в одном из двух приближений – в рамках задачи либо и треугольной яме, либо об экспоненциальной яме. Не вдаваясь в детали, важно отметить следующее. Решения обеих из этих зада (которые будут рассмотрены на семинарских занятиях) показывают, что эффект квантования наблюдается далеко не всегда. В общем случае, в любой несимметричной яме для появления даже одного уровня размерного квантования необходимо выполнения определенных условий – яме должна быть не очень мелкой и/или не очень узкой. Таким образом, увеличивая значение потенциала (что приводит к росту как геометрического, так и энергетического размеров ямы) мы может получить эффект квантования на поверхности объемного полупроводника. Более того, значение приложенного потенциала, естественно, влияет на положение энергетических уровней, т. е. мы получаем возможность управлять параметрами двумерного электронного газа в приповерхностном слое полупроводника путем простого изменения приложенного к нему потенциала.
Двумерный Диод Шоттки.

Рассмотрим особенности влияния изгиба зон в случае использования двумерных систем. Пусть на поверхность полупроводника через металл и диэлектрик подается потенциал, обеспечивающий отрицательный изгиб зон. Вблизи поверхности образуется обедненный слой, так называемый слой Шоттки. Будем рассмотривать случай достаточно сильного изгиба зон, т. е. когда значение приложенного потенциала V>>k0T/e.

В случае вырожденного полупроводника это означает, что из приповерхностного слоя ушли все электроны, т. е. реализуется случай полного обеднения. Весь заряд обусловлен примесями, т. е. мы имеем область с однородным зарядом. Потенциал в этом случае будет квадратичным, а ширина области обеднения может быть рассчитана как . Это позволяет легко рассчитать значение емкости контакта. Действительно, - это заряд на единицу площади контакта, т. е.

, тогда .

В результате в случае объемного кристалла измерения емкости могут быть использованы для определения уровня легирования полупроводникового материала. Важно, что в этом случае весь заряд сосредоточен в приконтактной области и очень быстро спадает внутрь полупроводника.

Посмотрим, что изменится при использовании двумерной системы. В этом случае заряды в полупроводнике сосредоточены не в объеме, а в плоскости. Потенциал достаточно сильно проникает вглубь полупроводника и спадает до нуля только на бесконечности. Как будет выглядеть распределение заряда и потенциала по координате, а также емкость такого двумерного контакта Шоттки?

Для ответа на этот вопрос необходимо, как и ранее, решать уравнение Лапласа с соответствующими граничными условиями. При этом у нас, в отличие от задачи про экранирование, потенциал велик (V>>eF). Зададим граничное условие в виде:

: ,

где l – размер области полного обеднения. В такой формулировке это условие справедливо только для вырожденного электронного газа, т. е., в данном случае, справа от l. Слева от l концентрация электронов равна нулю, а поверхностный заряд равен , т. е. слева граничное условие будет иметь вид:

: .

Кроме того, очевидно, что , .

С этими граничными условиями необходимо решать уравнение Лапласа . Важно то, что в 3D электроны есть всюду, и они экранируют потенциал, а в 2D случае электроны экранируют потенциал только своим перераспределением в плоскости x, y.

В отличие от стандартной задачи математической физики в этой задаче граничные условия изменяются вдоль границы. Решение этого уравнения очень сложно, давайте рассмотрим результат, который дает его приближенной решение.

1. Широкая область обеднения (трехмерный случай):

(в предположении, что диэлектрическая проницаемость всюду одинаковая).

2. В 2D случае принципиальное значение имеют три области – полного обеднения, переходный слой и объем. В 3D случае вторую область можно не учитывать за счет резкого падения потенциала. В 2D случае, как мы видели выше, потенциал спадает существенно более медленно, решение уравнения Лапласа дает:

,

т. е. крайне медленно спадающий потенциал.

Однако если потенциал спадает как , то при вычислении полного заряда, который, как известно, пропорционален , мы получаем расходящийся интеграл, т. е. заряд в расчете на единицу длины контакта становится бесконечным, следовательно, заряд, накопленный в “хвосте” уменьшения потенциала много больше заряда области полного обеднения. В объемных кристаллах эта область не играет никакой роли, а в 2D весь заряд сосредоточен именно в этом “хвосте”. Но если заряд бесконечен, то, следовательно, и значение емкости на единицу длины бесконечно. Это означает, что потенциал уменьшается так медленно, что емкость и заряд будут определяться не параметрами материала, а геометрическими факторами – размерами двумерного слоя и контакта, т. е. начинает играть роль размер системы L.

Емкость в этом случае (удельная, на единицу длины, безразмерная величина) имеет значение .

В результате, емкость обедненного слоя и емкость, образованная на «хвосте» падения потенциала входят в суммарную емкость аддитивно. Таким образом, особенности двумерного диода Шоттки по сравнению в его объемным аналогом заключаются в следующем:

·  возникает параллельная емкость;

·  основной вклад в емкость вносит “хвост” падения потенциала;

·  значение емкости определяется геометрическими факторами;

·  значение емкости зависит от приложенного напряжения.

Как следствие, контакт Шоттки в двумерном случае нельзя использовать для определения параметров полупроводникового материала.

Релаксация заряда.

В заключение данного раздела рассмотрим вопрос об эффекте релаксации носителей заряда в двумерных системах. Сначала вспомним, как происходит так называемая максвелловская релаксация носителей заряда в объемном случае. Пусть имеется избыточная концентрация электронов . Она удовлетворяет уравнению непрерывности: , . Как известно, , следовательно и , где - максвелловское время релаксации носителей заряда.

Что изменяется при переходе к двумерной системе? Во-первых, электрическое поле существует во всем объеме, в то время как заряды а заряды сосредоточены в плоскости x, y. Во вторых, плотность тока имеет размерность не А/см2, а А/см и, , соответственно, имеет размерность не частоты, а скорости.

Из первого замечания следует, что для нахождения электронного потенциала необходимо, как и ранее, решать не уравнение Пуассона, а уравнение Лапласа с граничными условиями , вид которых определяется тем, что задача симметрична относительно плоскости , , но верхняя и нижняя полуплоскости эквивалентны.

Будем для упрощения считать, что . Общее решение уравнения Лапласа в верхней полуплоскости есть:

Введем Фурье-оброаз концентрации . Из граничных условий следует, что . Воспользуемся уравнением непрерывности:

,

или, переписав его в Фурье-образах: .

Из граничного условия и уравнения непрерывности получаем: , где - скорость релаксации носителей заряда.

Отсюда получаем выражения для изменения концентрации со временем в Фурье-образах и в реальном виде:

или ,

где - Фурье-образ начального распределения электронов.

Этот вывод является общим, в качестве иллюстрации применения полученного выражения рассмотрим простой пример. Пусть начальный сгусток электронов имеет Лоренцев профиль:

.

Тогда его Фурье-образ есть (известно, что ). Следовательно ; т. е. в выражении для Фурье-образа изменяющейся во времени концентрации величина просто заменяется на . В результате имеем:

,

т. е. распределение заряда расплывается со скоростью .

Отметим, что из полученного результата видно некоторое противоречие. В двумерном электронном газе вполне возможно получение значений n≥3∙1011см-2 и u>106см2/Вс. Если их подставить в полученное выражение для скорости, мы получим . Почему? Проблема в том, что при столь высоких концентрациях наше рассмотрение становится некорректным. Мы пользовались квазистатическим приближением, считая, что потенциал описывается уравнением Лапласа . Это эквивалентно пренебрежению токами смещения в уравнении Максвелла. При больших σ заряды разбегаются очень быстро, и такой подход становится некорректным. В результате вместо уравнения Лапласа надо решать волновое уравнение:.

Такая задача была решена ранее и ее решение совпадает с нашим при малых σ и не дает противоречия с пределом скорости света при больших σ.

РАЗДЕЛ 4. КИНЕТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В КВАНТОВОРАЗМЕРНЫХ СИСТЕМАХ

В данном разделе мы обсудим некоторые черты проводимости и других кинетических явлений в слое двумерного электронного газа. Поскольку в плоскости слоя носители ведут себя как свободные, их поведение в этой плоскости можно описать в рамках классического кинетического уравнения аналогично тому, как это делается для обычного трехмерного электронного газа. Отличие двумерной системы от обычного трехмерного кристалла может возникнуть, во-первых, за счет иной плотности состояний в двумерной системе (ее вид в двумерной системе мы рассмотрели раньше) и, во-вторых, благодаря наличию в двумерных структурах некоторых специфических механизмов рассеяния, отсутствующих в трехмерном электронном газе, а также изменению математического способа описания стандартных рассеивающих механизмов.

4.1. Проводимость и подвижность в двумерных системах

Как известно, коэффициент электропроводности s является коэффициентом пропорциональности между плотностью эклектического тока и напряженностью электрического поля, вызывающего данный ток j=sE. Вообще говоря, этот коэффициент представляет собой тензор второго ранга, но в случае изотропного кристалла он преобразуется в скаляр, умноженный на единичную матрицу. Для простоты, именно такой случай мы и будем рассматривать. Значение коэффициента электропроводности определяется двумя величинами – концентрацией носителей заряда и их подвижностью: , а подвижность, в свою очередь, вычисляется по формуле , где t - время релаксации носителей заряда по импульсу, определяемое механизмом рассеяния. Для большинства стандартных механизмов рассеяний (фононы различного типа, дефекты) температурная и энергетическая зависимость времени релаксации может быть записана в виде , где r – параметр рассеяния. При этом в подавляющем большинстве случаев зависимость времени релаксации от температуры определяется степенным законом. Эти результаты были получены в рамках стандартной теории кинетических эффектов при решении кинетического уравнения Больцмана в приближении времени релаксации. Это приближение предполагает, помимо прочего, что в результате рассеяния происходит хаотизация импульса, т. е. электрон может изменить направления движения в любую сторону равновероятно. В двумерных системах, во-первых, изменяется фазовый объем в который происходит рассеяние, а во-вторых, направления импульса может изменяться только по двум координатам – в плоскости пленки (или структуры). В результате, даже при одних и тех же механизмах рассеяния зависимости времени релаксации от энергии будут отличны от случая объемного кристалла.

Рассмотрим эти вопросы более подробно. Для простоты будем считать, что в нашем случае заполненным является только первый, самый нижний уровне размерного квантования, Это означает, что уровень электрохимического потенциала находится ниже второго квантованного уровня энергии по крайней мере на величину, равную нескольким k0T. При этом, как и в стандартном приближении времени релаксации, будут считать все механизмы рассеяния близкими к упругим, что приводит к тому, что электрону из первой подзоны размерного квантования могут рассеяться только в эту же подзону.

Величина, обратная времени релаксации носителей – скорость рассеяния – дается общей формулой следующего вида: , где k и k’ – волновой вектор электрона до и после акта рассеяния, W(k,k’) – вероятность рассеяния в единицу времени. Поскольку в рамках рассмотрения близкого к упругому рассеяния k≈k’, дробь под знаком суммы может быть записана как (1-cosq), где q - угол между направлением начального и конечного импульса. Согласно «золотому правилу» квантовой механики, вероятность рассеяния определяется формулой:

где V(r) – рассеивающий потенциал. В результате, мы имеем:

.

Будем для простоты считать, что матричный элемент не зависит от k’ и определяется только переданным импульсом, т. е. =M(q), тогда

.

Полученное выражение очень напоминает выражение для вычисления функции плотности электронных состояний, которое мы рассматривали раньше. Напомним, что там для трехмерной и двумерно систем мы имели следующее:

- для 3D при переходе к сферическим координатам и

для 2D случая при переходе к полярным координатам. В выражении для вычисления времени релаксации мы также должны учесть спиновую двойку, в результате чего для рассматриваемых систем различной размерности мы получаем:

- для 3D,

- для 2D, где t3 и t2 – время релаксации в трехмерном и двумерном случае, соответственно, а V=SL, где L – толщина тонкой пленки. Зная выражения для плотности состояний, можем найти: , где g – численный множитель порядка единицы. При условии заполнения в двумерном кристалле только одной (первой) подзоны размерного квантования должно, как нам известно, выполняться соотношение , следовательно . Отсюда следует, что при одном и том же механизме рассеяния время релаксации в двумерном газе меньше, чем в массивном полупроводнике, и уменьшается с уменьшением толщины двумерного слоя. На первый взгляд, мы получили странный результат – нам известно, что плотность состояний больше в трехмерном кристалле, в вероятность рассеяния пропорциональна этой плотности состояний, т. е. из общих соображения должно выполняться обратное соотношение. Однако здесь нет никакого противоречия. Необходимо учитывать, электроны из какого диапазона энергий принимают участие в рассеянии в том или ином случае. Например, для невырожденного электронного газа в трехмерном случае эти электроны, в первом приближении, находятся в интервале энергий порядка k0T от дна зоны проводимости, а в двумерном – в том же по величине энергетическом интервале, но у дна первой подзоны размерного квантования, т. е. их энергия лежит в интервале от до E1+ k0T – существенно выше, чем в трехмерном случае, что и обеспечивает большую вероятность рассеяния и меньшую подвижность.

Существует еще одно важное отличие времени релаксации в трехмерном и двумерном случаях. Оно заключается в иной зависимость от энергии электрона, поскольку функция плотности состояний пропорциональна корню из энергии в 3D кристалле и не зависит от энергии в 2D случае. Благодаря этому, например, в невырожденном случае, когда р ~E1/2~ , время релаксации для двумерного газа приобретает дополнительный множитель Т 1/2, изменяющий температурную зависимость подвижности u. В частности, при рассеянии на акустических фононах вместо зависимости u ~ T -3/2 характерной для массивных полупроводников, в двумерном случае мы имеем u ~ T -1, а при рассеянии на ионах примеси вместо u ~ T 3/2 имеем u ~ T 2. В вырожденном случае мы по этим же причинам получаем для трехмерного и двумерного кристалла различную зависимость подвижности от импульса Ферми, т. е. от концентрации носителей.

4.2. Механизмы рассеяния в двумерных системах

Мы обсудили некоторые общие свойства подвижности в двумерных системах и сопоставили значения двумерной и трехмерной подвижностей при одном и том же рассеивающем потенциале. Однако в двумерных системах сами механизмы рассеяния могут отличаться от таковых в массивных образцах. Ниже мы рассмотрим четыре механизма рассеяния, играющие основную роль в двумерных системах: рассеяние на ионизованных примесях, фононное рассеяние, сплавное рассеяние и рассеяние на стенках квантовой ямы. Последний механизм существует принципиально только в двумерных система, а три других характерны и для массивных образцов, но в двумерном случае имеют свою специфику и потому также нуждаются в отдельном рассмотрении.

Рассеяние на ионизованных примесях.

Основное отличие от трехмерного случая здесь состоит в том, что рассеивающие центры зачастую располагаются не в плоскости двумерного газа, а на некотором расстоянии от нее. В МДП-структурах это ионы так называемого встроенного заряда, неизменно существующего в оксиде, а в гетероструктурах – ионы легирующей примеси. Поэтому подвижность здесь будет определяться не только концентрацией примеси, но и пространственным расположением ионов. Вычислим матричный элемент рассеяния с изменением импульса q в первой подзоне двумерной системы, вызванного кулоновским центром, расположенным в точке (0, 0, zi). Учитывая вид кулоновского рассеивающего потенциала и волновой функции электрона в двумерном случае, переходя к интегрированию в полярных координатах и учитывая известные из математики интегральные соотношения

,

получаем:

M(q) = 

где J0(х) – функция Бесселя нулевого порядка.

Упростим это выражение. Ясно, что изменение импульса при упругом рассеянии q не может превосходить удвоенного импульса электрона 2р. Как мы знаем, при выполнении условия заполнения одной подзоны размерного квантования рL/ħ < 1. Поэтому в интервале значений 0 < z < a, в котором волновая функция электрона в направлении, перпендикулярном плоскости пленки, ψ1(z) имеет заметную величину, значение ехр(-|z-zi|q/ћ) меняется слабо, и она может быть вынесена из-под знака интеграла, что с учетом условия нормировки волновой функции дает M(q) = 

Используя теперь полученное выше выражение для времени релаксации и интегрируя его по углу q, получаем

,

где Ni - поверхностная концентрация рассеивающих центров. Появление этого множителя имеет следующую причину. Матричный элемент М(q) описывает рассеяние на одиночной примеси. При вычислении t-1 вероятность такого рассеяния необходимо умножить на полное число рассеивателей, которое в комбинации с фактором S -1, содержащимся в выражении для времени релаксации, и дает Ni.

Проанализируем возможные значения полученного интеграла. При рассеянии на так называемых остаточных примесях, т. е. когда значение zi мало (рассеивающие центры находятся в области существования двумерного газа), устремляя величину zi к нулю имеем стандартный интеграл, равный p/2. Тогда обратное время релаксации пропорционально концентрации ионов и обратно пропорционально энергии электрона, а подвижность , т. е. чем меньше рассеивающих примесей, тем больше подвижность. При рассеянии на удаленных примесях () значение интеграла стремится к (4|zi|p)-1. В результате , т. е. возрастает при увеличении расстояния до рассеивающих центров. Кроме того. В обоих случаях время релаксации (а значит, и подвижность) растет с ростом кинетической энергии двумерных электронов р2/2m.

Рассеяние на фононах.

При рассмотрении рассеяния двумерных электронов на фононах чаще всего полагают, что фононный спектр системы остается таким же, как и в массивном полупроводнике. Это позволяет применять общие выражения и выводы, полученные для времени релаксации выше. Например, при рассеянии на акустических фононах значение параметра рассеяния, согласно классической теории кинетических эффектов, равно ½ и, кроме того, время релаксации зависит от температуры по закону Т -1, что отражает температурную зависимость числа фононов в образце. В результате для двумерного газа независимо от его вырождения u ~ T-1 и не зависит от концентрации электронов nS. Отметим, что этот вывод несправедлив для МДП-структур. В них концентрация ns определяет не только импульс Ферми, но и эффективную ширину ямы а, входящую в выражение для вычисления времени релаксации. За счет этого появляется слабая зависимость u ~ .

Сплавное рассеяние.

Этот механизм имеет место только в полупроводниковых твердых растворах. Если взять микроскопический локальный объем в таком веществе, то за счет статистического характера распределения атомов веществ, образующих твердый раствор, отношение концентраций его компонент, т. е. локальный состав раствора в этом микрообъеме, может отличаться от среднего по образцу. Поскольку ширина запрещенной зоны Eg определяется составом твердого раствора, то в образце возникают флуктуации Eg и, следовательно, случайный потенциал, модулирующий энергетические зоны. Этот потенциал и вызывает дополнительное рассеяние носителей.

В отличие от кулоновского потенциала заряженных примесей, сплавной потенциал является короткодейстующим. Он существует только в непосредственной близости от узла решетки, где вместо атома одного вещества стоит атом другого. Формально это означает, что рассеивающий потенциал V(r) может быть записан в виде суммы d-функций. Интенсивность рассеяния с изменением импульса на величину q пропорциональна соответствующей Фурье-компоненте потенциала V(r). Для точечного d-потенциала Фурье-компоненты равны Vq=const(q). Поэтому сплавное рассеяние с любым q равновероятно, следовательно, матричный элемент |M|=const(q). Кроме того. В этом случае значение параметра рассеяния, как известно, равно ½. Это совпадает с рассмотренным случаем рассеяния на акустических фононах и потому, как и там, подвижность не зависит от nS в пленках и квантовых ямах и падает пропорционально nS-1/3 в инверсионных каналах МДП - и гетероструктур.

Сплавное рассеяние наиболее заметно в гетероструктурах, где узкозонный материал, в котором сосредоточены носители, является твердым раствором. Однако некоторые эффекты могут охраняться и в случае, когда узкозонный полупроводник – чистое вещество, окруженное широкозонным твердым раствором (как в системе GaAs-AlGaAs). Если глубина квантовой ямы не слишком велика, то волновые функции двумерных электронов имеют протяженные хвосты в области широкозонного материала, что приводит к наличию сплавного рассеяния даже в этом случае.

Рассеяние на стенках квантовой ямы.

Данный механизм рассеяния обусловлен неидеальностью потенциальных стенок, ограничивающих движение носителей в квантовой яме. Роль таких стенок в тонких пленках играют внешние поверхности пленки, в МДП-структурах – граница полупроводник-диэлектрик, а в гетероструктурах - граница узкозонного и широкозонного полупроводников. Если указанные границы не являются идеальными плоскостями, а содержат шероховатости, то отражение носителей от них не является абсолютно зеркальным и приводит к частичной потере направленного импульса носителей, т. е. вызывает релаксацию импульса.

Матричный элемент рассматриваемого рассеяния может быть получен исходя из следующих соображений. Пусть потенциальный барьер на рассеивающей границе имеет высоту V0, а сама граница, которая в идеальном случае представляла бы плоскость z = 0, при наличии шероховатостей описывается формулой z = D(x, y). Тогда можно записать потенциал границы в виде VO×Q(-z+D(x, y) ), где Q(x) – единичная функция Хевисайда. Отличие этого потенциала от потенциала идеальной границы есть DV = VО×Q(-z+D(x, y) ) - V0×Q(-z) и при малых D приблизительно равно V0×D(x, y)×d(z), где d(z) - d-функция Дирака. В результате искомый матричный элемент вычисляется следующим образом:

M(q)

где Dq - Фурье-компонента функции D(x, y).

Если барьер на гетерогранице очень велик (V0 ® ¥), то волновая функция на границе стремится к нулю, и полученное выражение содержит неопределенность типа 0×¥. Чтобы ее раскрыть, учтем, что в подбарьерной области (z > 0) волновая функция y1 имеет экспоненциальный вид: y1(z) @ y1(0)ехр[-(2mV0/ħ2)1/2z], в результате можно записать = - y1(0)×(2mV0/ħ2)1/2, что позволяет переписать полученное выражение в виде .