Учебно-Методический Комплекс для магистров «Физика квантоворазмерных систем» (стр. 11 )

.

Квантовыми числами найденных стационарных состояний являются величины , с непрерывным спектром значений и число , принимающее только дискретные значения 0, 1, 2, … Энергия стационарного состояния, , имеет вид суммы энергии свободного движения частицы вдоль оси с импульсом и дискретных энергетических уровней, называемых уровнями Ландау. При этом найденные уровни энергии не зависят от величины и, следовательно, имеют бесконечную кратность вырождения.

Таким образом, энергетический спектр электрона в зависимости от значения проекции его импульса на ось z имеет вид совокупности параболических (для случая стандартной зоны) подзон, которые разнесены други относительно друга на расстояние . Эти подзоны называют подзонами Ландау. Здесь в чем-то наблюдается сходство со случаем квантовых ям без приложения к ним какого-либо внешнего воздействия – качественно вид спектра получается аналогичным.

6.2. Энергетический спектр двумерных электронов в магнитном поле

При рассмотрении свойств двумерных систем в сильных магнитных полях первое, что необходимо сделать, - это найти энергетический спектр электронов путем решения уравнения Шредингера. Как мы только что показали, в случае магнитного поля, которое, в отличие от электрического, не является потенциальным, учет его влияния в уравнении Шредингера производится путем замены оператора импульса электрона на оператор обобщенного импульса: , где A – вектор потенциал магнитного поля, определяемый соотношением . В зависимости от ориентации магнитного поля относительно плоскости двумерного слоя могут реализоваться два случая, ответы для которых качественно различны. Поэтому мы сначала рассмотрим вид уравнения Шредингера при произвольной ориентации магнитного поля, а затем его решения в двух указанных случаях.

Пусть ,. Тогда вектор потенциал удобно выбрать в форме . В результате, гамильтониан в уравнении Шредингера при наличии дополнительного потенциала V(z), ограничивающего движение электронов в направлении z, выглядит следующим образом:

В общем случае переменные в уравнении Шредингера с таким гамильтонианом не разделяются, поэтому рассмотрим два частных случая.

Магнитное поле перпендикулярно плоскости двумерного слоя.

В этом случае Вy = 0, следовательно, , и уравнение Шредингера приобретает следующий вид:

Переменные в этом уравнении разделяются, , при этом для z-компоненты волновой функции имеем уравнение , т. е. обычное уравнение для электрона в одномерной потенциальной яме, решение которого дает уровни размерного квантования En. Для волновой функции имеем:

.

Поскольку гамильтониан коммутирует с оператором , волновая функция может быть представлена в виде , и мы получаем

Вводя обозначения и , получаем уравнение вида

,

которое является стандартным уравнением Шредингера для гармонического осциллятора, колеблющегося вокруг точки с координатой x0. Его решение нам хорошо известно, и окончательно для энергетического спектра электроном в перпендикулярном плоскости двумерного слоя магнитном поле имеем:

Таким образом, энергетический спектр в этом случае становится чисто дискретным! При этом в отличие, например, от изолированного атома (являющегося микроскопической системой, я которой, в принципе, характерен дискретный спектр) рассматриваемый нами объект является макроскопическим.

Полученный спектр описывается двумя квантовыми числами - n и l, хотя их должно было бы быть три. Роль третьего квантового числа играет ky, но энергия от его значения не зависит, т. е. по ky мы имеем вырождение. Физический смысл ky заключается в том, что оно определяет центр циклотронной орбиты , вокруг которого происходят колебания. Ясно, что энергия электрона не должна зависеть от конкретного места его вращения. При этом в рассматриваемой нами однородной системе однородной системе центр окружности по одной координате (x) однозначно определяет импульс по другой координате (ky).

Вычислим кратность вырождения уровней. Для этого подсчитаем число возможных состояний с определенным значением ky. Пусть 0< ky<k, а размер образца в направлении y равен Ly. С учетом спина, объём фазового пространства по оси y есть . Ясно, что значение ky может быть только таким, чтобы координата x0 находилась внутри образца, т. е. 0<x0<Lx, где Lx – размер кристалла в направлении x. Таким образом, получаем условие , откуда . В результате, число состояний на вырожденном уровне есть , или с учетом площади образца , на единицу площади. Это и есть кратность вырождения двумерных уровней Ландау. Полученный результат имеет весьма наглядное, хотя и не строгое истолкование. Характерный размер электронной орбиты осциллятора Ландау равен так называемой магнитной длине . При этом полученная нами кратность вырождения уровней как раз равна , т. е. числу электронных орбит, которое можно разместить без существенного взаимного пересечения на единице площади.

Для более правильного ответа необходимо учесть еще и спиновое расщепление уровней в сильном магнитном поле. Известно, что каждый из них расщепляется на два, отстоящих друг от друга по энергии на величину , где - магнетон Бора, а g – спиновое гиромагнитное отношение. Таким образом, кратность вырождения уровней в сильном магнитном поле равна и пропорциональна величине магнитного поля. Отметим, что существует простой и надежный способ экспериментального разделения эффектов орбитального и спинового квантования, основанный на использовании так называемого наклонного магнитного поля. Если B отклонено от нормали к двумерному слою на угол q, то квантование Ландау (орбитальные эффекты) определяется лишь нормальной компонентой поля Bcosq, а спиновое расщепление не зависит от ориентации поля и пропорционально его полной величине B.

Магнитное поле направлено в плоскости двумерного слоя.

Пусть теперь Bz=0, или . Тогда гамильтониан в уравнении Шредингера есть

,

и в общем случае переменные не разделяются. Решение можно получить, задавшись модельным ограничивающим потенциалом параболической формы: . В этом случае переменные разделяются, волновую функцию можно задать в виде , что после подстановки в уравнение Шредингера для ее z компоненты дает

или

, где - циклотронная частота. Вводя частоту и координату , учитывая , приводим множитель перед к полному квадрату:

или

Это есть уравнение Шредингера для гармонического осциллятора с центром колебаний в точке z0 следовательно, его решение: , т. е.

.

Таким образом, результат качественно отличается от случае магнитного поля, перпендикулярного двумерному слою. Спектр содержит дискретную составляющую, но остается непрерывным по ky и kx, т. е. качественно совпадает в результатом для двумерного электронного газа при отсутствии магнитного поля. При этом дискретная компонента определяется совместным действием магнитного поля и пленочного параболического потенциала. Движение вдоль магнитного поля остается, естественно, неизменным. Движение в плоскости двумерного слоя, но перпендикулярно магнитному полю тоже является свободным, но электроны при этом характеризуются перенормированной эффективной массой - . Таким образом, магнитное поле, параллельное плоскости двумерного слоя вызывает анизотропию эффективной массы носителей заряда.

Из проведенного рассмотрения ясно, что появления принципиально новых эффектов можно ожидать, если приложить магнитное поле в направлении, перпендикулярном плоскости двумерного слоя, именно этот случай мы и рассмотрим ниже.

6.3. Диссипативная и холловская проводимость в сильных магнитных полях

Чисто дискретный спектр двумерной электронной системы в перпендикулярном магнитном поле приводит к существенной модификации ее гальваномагнитных свойств по сравнению с трехмерным случаем. Отсутствие третьей степени свободы (свободного движения вдоль поля) приводит к тому, что вероятность упругого рассеяния носителей испытывает гигантские осцилляции с магнитным полем.

Чтобы понять, какое влияние может оказывать магнитное поле на свойства двумерной системы, рассмотрим кратко классическую картину проводимости в сильном магнитном поле. Пусть магнитное поле B направлено по оси z, а тянущее электрическое поле E - по оси х, а скорость направленного движения электрона описывается вектором v. Тогда сила, действующая на этот электрон со стороны полей, равна e(F+[v´H]/c). Рассеяние носителей можно феноменологически рассматривать как эффективную силу трения, пропорциональную скорости и направленную навстречу ей: Fтр= - mv/t (где t - время релаксации). В постоянных полях дрейфовая скорость электрона постоянна, следовательно, сумма действующих на него сил равна нулю:

Вспомним, как решается задача движения электрона в магнитном поле в классическом случае.

Решение стандартного кинетического уравнения Больцмана в приближении времени релаксации дает для однородного изотропного материала в отсутствие магнитного пол значение удельной электропроводности, равное , где - усредненное время релаксации носителей заряда, при этом матрица превращается в скаляр, умноженный на единичную матрицу. При наличии магнитного поля, приложенного вдоль оси z, в случае изотропного образца получаем следующие выражения для плотности электрического тока:

, ,

при этом компоненты тензора вычисляются следующим образом:

,, .

Здесь для упрощения дальнейшего рассмотрения не указано усреднение знаменателя в выражениях для и . Величина обычно называется диссипативной проводимостью, а величина - холловской проводимостью.

Рассмотрим теперь сильное магнитное поле, критерием чего является выполнение соотношения . Как видно из полученных соотношений, в этом случае , от величины не зависит и определяется формулой . Величина зависит от механизма рассеяния, следовательно, рассеяние влияет на диссипативную проводимость, но не влияет на холловскую.

Вспомним теперь, что в магнитном поле, перпендикулярном плоскости двумерного слоя, энергетический спектра носителей заряда становиться чисто дискретным. При этом изменение величины магнитного поля влияет на положение этих дискретных уровней энергии, а также степень их вырождения. Ясно, что если концентрация носителей заряда в образце фиксирована и равна n, то при определенных значениях Bz, а именно (с учетом кратности вырождения уровней) при , где N – целое число, при низких температурах все электроны, имеющиеся в двумерном электронном газе, полностью заполняют N уровней, оставляя свободными все остальные. В результате на заполненных уровнях какие-либо свободные места для электронов отсутствуют. Это означает, что в силу принципа запрета Паули электронные переходы становятся невозможными. При упругом рассеянии невозможны также и переходы на свободные состояния вышележащих уровней, так как это требует дополнительной энергии. Поэтому процессы рассеяния, представляющие собой переходы из одного состояния в другое под действием рассеивающего потенциала, в указанных условиях невозможны, т. е. величина становится равной бесконечности. В результате, значение диссипативной проводимости при выполнении указанных условий должно становиться равным нулю. При заполнении следующего уровня время релаксации сначала уменьшается, затем достигает минимума (когда число электронов на соответствующем уровне становится равным числу свободных мест на нем), а затем снова возрастает. Это должно приводить к немонотонной зависимости диссипативной проводимости от величины магнитного поля. В то же время, холловская проводимость, как указывалось выше, от процессов рассеяния не зависит и изменяется по закону . Таким образом, зависимость обеих компонент проводимости от магнитного поля должна иметь вид, показанный на рисунке.

6.4. Квантовый эффект Холла

В 1980 было впервые экспериментально обнаружено, что полевые зависимости компонент проводимости двумерного электронного газа кардинально отличаются от предсказаний простой теории, обсуждавшихся выше. Оказалось, что диссипативная проводимость sxx действительно обращается в нуль, но не в отдельных точках, а в целых интервалах магнитных полей, причем достаточно широких (см. рисунок). Еще более удивительным было поведение sxy, которая в тех же интервалах полей сохраняла постоянное значение, равное Иными словами, холловская проводимость двумерной системы равнялась величине, не зависящей ни от параметров образца, ни от магнитного поля, ни от температуры, а определяемой только значениями фундаментальных физических констант е и ħ. За открытие этого эффекта, названного квантовым эффектом Холла (КЭХ), К. фон Клитцингу в 1985 была присуждена Нобелевская премия.

Заметим, что наблюдать исчезновение sxx и плато на sxу можно не только при изменении магнитного поля, но и при изменении концентрации носителей путем изменения смещения на затворе МДП-структуры. Ясно, что уменьшение концентрации носителей таким же образом изменяет заполнение уровней энергии, как и увеличение магнитного поля. Собственно, именно таким образом квантовый эффект Холла и был впервые обнаружен.

Прежде чем обсуждать физические причины и модель КЭХ, отметим еще ряд обстоятельств, связанных с его наблюдением и применением на практике. Прежде всего следует иметь в виду, что обращение проводимости sxx в нуль не означает превращения вещества в идеальный диэлектрик, поскольку недиагональная компонента sxу при этом отлична от нуля. В условиях реальных экспериментов обычно через образец пропускают заданный ток и измеряются напряжения на контактах, т. е. измеряемой величиной является не удельная проводимость s, а обратная величина - удельное сопротивление r. Вычисляя по известным формулам компоненты обратного тензора (), получаем, что в областях холловских плато

Таким образом, диагональная компонента сопротивления обращается в нуль одновременно с диагональной компонентой проводимости, а недиагональная компонента сопротивления (как и проводимости) принимает квантованные значения, равные комбинации мировых констант.

Многочисленные исследования доказали, что полученные выражения для значений удельного сопротивления и удельной электропроводности являются точными и не содержат поправок, т. е. с той точностью, с которой в эксперименте можно измерить сопротивление rxy, эта величина равняется 2. Это означает, что путем высокоточных измерений холловского сопротивления можно определить величину Часто также говорят, что КЭХ представляет собой метод прецизионного измерения постоянной тонкой структуры Это связано с тем, что значение скорости света с хорошо известно из других метрологических измерений с точностью, значительно большей, чем точность измерений е и ħ как в КЭХ, так и с помощью других методов. Помимо измерений мировых констант, КЭХ получил и другое применение в метрологии. Величина 2 определяемая из КЭХ, имеет размерность сопротивления и численное значение » 25813 Ом. Поэтому структуру с хорошо выраженными плато КЭХ можно использовать в качестве эталона сопротивления.

6.5. Физическая природа квантового эффекта Холла

Попытаемся понять, почему наблюдаемый квантовый эффект Холла качественно отличается от полученных нами ранее соображений о зависимости проводимостей от величины магнитного поля. Будем при этом считать, что речь идет об измерениях зависимостей sxx и sxy от концентрации электронов при фиксированном магнитном поле. Отсутствие sxx и постоянство sxy в некотором интервале концентраций Dns говорит о том, что во всем этом интервале уровень химического потенциала находится в промежутке между имеющимися энергетическими уровням. Это возможно только в том случае, если в данном промежутке есть какие-то состояния, способные принять электроны, но не изменить при этом ток через образец. Другими словами, в образце должен существовать резервуар локализованных состояний. Современные физические представления связывают наличие таких состояний с неизбежно существующим в образце случайным потенциалом, вызванным, в частности, флуктуациями в расположении примесных ионов.

Основные понятия о локализации в случайном потенциале были сформулированы Андерсоном и Моттом около 40 лет тому назад. Представим себе разрешенную зону энергетических состояний. В идеальном кристалле любое состояние в зоне является делокализованным, т. е. находящиеся в нем электроны могут свободно двигаться по всему кристаллу (рисунок, а). При наличии случайного потенциала неоднородностей V(r) состояния вблизи края зоны становятся локализованными. Электроны этих состояний двигаются лишь в ограниченной области кристалла, не имея возможности уйти на большое расстояние, и потому не могут дать вклада в ток через образец. Вблизи центра зоны располагается область делокализованных состояний. Уровни энергии Em, разделяющие локализованные и делокализованные состояния, называются порогами подвижности (рисунок, б). Наконец, при большой амплитуде неоднородностей верхний и нижний пороги подвижности сливаются, и все состояния становятся локализованными (рисунок, в). Подобный переход в диэлектрическое состояние при увеличении степени беспорядка, внесенного в систему, носит название перехода Андерсона.

Модель андерсоновской локализации состояний позволяет объяснить наблюдаемые при измерении квантового эффекта Холла особенности в зависимости проводимости от концентрации носителей заряда. Идеальная двумерная система в перпендикулярном магнитном поле характеризуется чисто дискретным энергетическим спектром, которому отвечает плотность состояний в виде совокупности дельта-функций (рисунок, а). Наличие случайного потенциала V(r) приводит к тому, что разные точки пространства становятся неравноправными и энергия электрона в магнитном поле начинает зависеть от положения центра электронной орбиты. Это приведет к уширению пиков плотности состояний и появлению порогов подвижности (рисунок, б). Этих соображенийвполне достаточно для качественного объяснения КЭХ. Действительно, в интервале концентраций, когда уровень Ферми лежит в области локализованных состояний между пиками g(E) (уровнями Ландау), число заполненных делокализованных состояний не меняется, а

потому не меняется и sxy, ибо в проводимость дают вклад лишь делокализованные электроны. При этом на зависимости sxy(ns) имеет место плато.

Приведенные рассуждения объясняют сам факт наличия холловских плато, но не значения sxy на плато. Действительно, если делокализована лишь часть электронов, скажем, равная gns (g< 1), то во всех формулах для проводимости следует, на первый взгляд, заменять ns на gns, что приведет к дополнительному множителю g. Ответ заключается в том, что потенциал неоднородностей, локализуя часть носителей, одновременно меняет и свойства делокализованных электронов. Скорость их холловского дрейфа возрастает, что компенсирует уменьшение их концентрации и приводит к сохранению фундаментальной формулы для значения холловской проводимости в областях плато.

В заключение, получим выражение для значений холловской проводимости. При этом мы используем общий вывод, не опирающийся на результаты квантовомеханических расчетов. Рассмотрим образец с двумерным электронным газом, имеющий кольцевую геометрию (диск Корбино, см. рисунок) и содержащий некоторый потенциал неоднородностей. Пусть в системе заполнен только один уровень. Воспользуемся квазиклассическим приближением и будем описывать электроны двумерным импульсом р. Движение по кольцу - периодическое и потому должно удовлетворять условиям квантования Бора-Зоммерфельда, которые в магнитном поле имеют вид: где А - вектор-потенциал магнитного поля.

Изменим мысленно магнитное поле в отверстии кольца, не меняя его в области r > R1, где находятся электроны. При этом физически наблюдаемые свойства электронов не могут меняться, поскольку они определяются величиной магнитного поля, действующего на электроны. Однако, будут меняться А и фаза волновой функции, в которую он входит. Если полное изменение магнитного потока через отверстие будет равно , то фазы всех волновых функций изменятся на 2p и вся электронная картина вернется в исходное состояние. На первых взгляд, ничего не изменилось. Но на самом деле при изменении А менялась электронная траектория. Увеличение А уменьшало обобщенный импульс р - еА/c, следовательно, для выполнения условия квантования должен был возрастать радиус траектории. Тот факт, что в результате описанной процедуры картина не изменилась, означает, что система уровней приобрела исходный вид, но каждый электрон переместился на соседнюю квантованную траекторию большего радиуса, электрон с последней траектории ушел во внешний контакт при r=R2, а один электрон с внутреннего контакта вошел в кольцо. Все это в целом выглядит как перемещение одного электрона с контакта r=R1 в контакт r=R2.

Рассмотрим баланс энергии при описанном выше действии. Поскольку разность потенциалов между указанными контактами равна холловскому напряжению VH, при этом совершается работа еVH. Взглянем на проблему с другой стороны. При изменении магнитного поля в отверстии всюду, в том числе и в плоскости, содержащей электроны, возникало индукционное электрическое поле. Согласно законам электрической индукции, при изменении на Df магнитного потока через контур с током J энергия системы меняется на DЕ=JDf/c. В нашем случае Поскольку уровень Ферми лежит в области локализованных состояний и sхх=0, то диссипативных токовых потерь индукционное поле не вызывает. Поэтому из баланса энергии следует, что DЕ = еVH, т. е.

Аналогичные рассуждения для системы с N заполненными уровнями дали бы дополнительный множитель N.

В заключение отметим, что рассмотренный нами квантовый эффект Холла в настоящее время называют целочисленным. Дело в том, что через несколько лет после его экспериментального открытия и теоретического объяснения при исследовании образцов с очень высокой подвижностью двумерных носителей (> 106 см2/В. с) при сверхнизких температурах (< 1 К) было обнаружено новое неожиданное явление, названное дробным КЭХ. Это дополнительные плато на полевых зависимостях sxy (или rxy), описываемые той же формулой, но где вместо целого числа N стоит дробь вида k/n, причем n - нечетное число, а к - любое целое. С формальной точки зрения так мог бы выглядеть обычный КЭХ, если бы заряд электронов имел дробную величину. При значениях полей, отвечающих плато sxy, диссипативная проводимость если и не обращается в нуль, то, во всяком случае, имеет резкий минимум. К настоящему времени подобный дробный КЭХ наблюдался для знаменателей n вплоть до 13. Несмотря на внешнее сходство с целочисленным КЭХ, дробный эффект имеет совсем иную природу и не может быть объяснен в рамках простого одноэлектронного подхода. Его проявление связано с тем, что электрон-электронные взаимодействия в сильном магнитном поле приводят к тому, что электронный газ превращается в особую сильно коррелированную жидкость, в которой можно выделить связанные состояния, содержащие 3, 5, 7 и т. д. электронов. Детальное рассмотрение дробного эффекта Холла лежит за рамками нашего курса.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ УРОВНЕЙ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОНА

В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ЯМАХ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ

П.1.1. Симметричная прямоугольная потенциальная яма со стенками конечной высоты

Наиболее перспективными объектами с точки зрения наблюдения квантово-размерных эффектов являются гетероструктуры. В них квантовая яма формируется в тонком слое узкозонного полупроводника, выращенного между двумя слоями широкозонного полупроводника. В этом случае высота потенциальной ямы W определяется разрывами зон ( или для электронов и дырок, соответственно) и является конечной величиной (для типичных гетероструктур ). Для таких структур приближение бесконечно глубокой потенциальной ямы перестает работать, и для нахождения энергии и волновых функций электрона необходимо решать уравнение Шредингера с потенциалом:

и граничными условиями вида , поскольку вероятность обнаружить частицу в подбарьерной области в этом случае хотя и существует, но быстро спадает при изменении значения координаты в области вне квантовой ямы. Как и для бесконечной прямоугольной потенциальной ямы, переменные разделяются, и для нахождения энергетического спектра необходимо решать одномерное уравнение Шредингера. При этом полная энергия электронов определяется выражением , гдедискретные уровни определяются решением уравнения Шредингера, а – непрерывная часть энергетического спектра, определяемая вкладом движения электрона в плоскости .

Разбивая все пространство на три области, отличающиеся значением потенциала (см. рисунок), и учитывая граничные условия, получаем решения уравнения Шредингера в следующем виде:

I (z < 0) ,

II (0 £ z £L) ,

III (z > L) ,

где , . Для нахождения общего решения необходимо использовать стандартное условие сшивки волновых функций – на границе различных областей значения как самих волновых функций, так и их производных должны совпадать:

, , , .

Подставляя волновые функции в условия сшивки и исключая значения коэффициентов A, B, C, получаем два уравнения:

,

или, воспользовавшись тригонометрическими преобразованиями

, .

Исключая из этих уравнений d, окончательно получаем

,

при этом необходимо учитывать, что поскольку и , аргумент арксинуса следует брать только из первой четверти. Полученное уравнение определяет положение уровней размерного квантования в рассматриваемой квантовой яме, поскольку . В принципе, это уравнение может быть решено численными методами. Однако значения при известных параметрах ямы (L и W) и эффективной массе электронов могут быть найдены графически как энергии, соответствующие точкам пересечения зависимостей левой и правой частей от . Полученные решения для ямы высотой W = 0,25 эВ и случая m* = 0,067m0 приведены на рисунке.

Отметим, следующее обстоятельство. Для появления n-го уровня в яме (т. е. наличия квантованного уровня при энергии ) необходимо выполнение условия

.

Таким образом, при изменении параметров квантовой ямы количество уровней размерного квантования в ней определяется условием: .

Отсюда следует очень важное следствие – в симметричной прямоугольной потенциальной яме всегда имеется хотя бы один уровень размерного квантования. Другим важным следствием полученных формул является следующее. Ясно, что изменение параметров ямы определяет значение параметра , при котором данное уравнение имеет решение. Это означает, что для рассматриваемого случая, как и для бесконечной прямоугольной потенциальной ямы, положение уровней размерного квантования зависит от ширины потенциальной ямы по закону .

П.1.2. Несимметричная прямоугольная потенциальная яма

Зачастую в реальных гетероструктурах слой узкозонного полупроводника заращивается двумя широкозонными полупроводниками с отличающимися значениями ширины запрещенной зоны, что приводит к различным значениям разрывов зон на левой и правой границах сформированной квантовой ямы. В результате, такая яма будет являться несимметричной, особенности энергетического спектра электронов в ней мы и проанализируем в данном разделе.

Поскольку движение электрона в плоскости , как и в предыдущих случаях, остается свободным, рассмотрим сразу решение уравнения Шредингера для z-компоненты волновой функции. Для квантовой ямы, показанной на рисунке, оно будет выглядеть аналогично предыдущему случаю, но с различными значениями коэффициентов и в областях I и III:

I (z < 0) ,

II (0 £ z £ L) ,

III (z > L) ,

где , , .

Используя те же, что и выше, условия сшивки, получаем:

, ,

откуда находим уравнение для определения уровней энергии:

.

Для квантовой ямы с параметрами m* = 0,067m0, W1 = 0,2 эВ, W2 = 0,4 эВ и L = 100 Ǻ расчет по дает два уровня размерного квантования с энергиями E1 = 0,034 эВ и E2 = 0,131 эВ, которые вместе с волновыми функциями показаны на рисунке.

Условие существования n-го уровня размерного квантования (т. е. ) в несимметричной прямоугольной яме выглядит следующим образом:

.

Здесь имеется и принципиальное отличие от случая симметричной потенциальной ямы. Для появления первого уровня размерного квантования (n = 1) в несимметричной яме требуется выполнение условия:

.

Ясно, что для любых всегда найдется столь малое значение ширины ямы L, что это условие не будет выполняться, т. е. даже один уровень размерного квантования в яме будет отсутствовать. Таким образом, в отличие от симметричной прямоугольной потенциальной ямы в квантовой яме с различной высотой барьеров связанные состояния имеются не всегда. Условие их появления зависит как от геометрических, так и от энергетических параметров конкретной квантовой ямы.

П.1.3. Потенциальная яма с изменяющимся значением потенциала

Достаточно часто в реальных квантово-размерных структурах для управления энергетическим спектром и концентрацией носителей заряда используются различные внешние воздействия, прежде всего, электрическое поле F. Приложение этого поля вдоль оси z приводит к модификации потенциала, действующего на находящиеся в яме электроны (рисунок). В этом случае уравнение Шредингера для z-компоненты волновой функции принимает вид:

,

где U0(z) – потенциал прямоугольной потенциальной ямы, W0 – изменение потенциала на длине ямы, а условия сшивки волновых функций остаются неизменными.

Волновые функции электрона во всех трех областях, показанных на рисунке, представляют собой линейные комбинации функций Эйри первого (Ai) и второго (Bi) рода. При этом для строгого решения данной задачи необходимо учитывать, что для электрона, находящегося внутри ямы, благодаря туннельному эффекту существует конечная вероятность прохождения через треугольный барьер (в область z < 0), т. е. в область квазинепрерывного спектра. В результате, для ямы конечной глубины даже внутри нее имеется не чисто дискретный, а квазинепрерывный спектр. Решение этой задачи является достаточно сложным и громоздким. Даже если пренебречь туннелированием электронов, энергетический спектр в яме может быть рассчитан только численными методами. При этом конкретный вид решения сильно зависит от параметров используемой гетероструктуры. Однако можно рассмотреть предельный случай, когда высота барьера W устремляется к бесконечности. В этом случае полный потенциал, действующий на электрон, определяется выражением

.

Поскольку вероятность выхода электрона из области ямы в таком случае равна нулю, то граничные условия изменяются:

, .

Вводя новую переменную , где , сведем уравнение Шредингера к виду

.

Общее решение этого уравнения, как и в случае ямы с конечными стенками, есть линейная комбинация функций Ai(x) и Bi(x):

.

Используя граничные условия, получаем уравнение для определения положений энергетических уровней в рассматриваемой яме:

и выражение для соотношения коэффициентов C1 и C2 в (1.23):

.

При этом для нахождения значений коэффициентов C1 и C2 необходимо использовать условие нормировки волновой функции:

.

Полученное уравнение может быть решено только численно. В частном случае, при мы переходим к случаю треугольной потенциальной ямы. Тогда граничное условие вида должно быть заменено на . Напомним, что функции Эйри Ai и Bi являются осциллирующими при z < 0, а при z > 0 , . Следовательно, для выполнения граничных условий в этом случае необходимо положить C2 = 0. Тогда

,

а энергетический спектр электронов определяется из граничного условия , т. е.

.

Это уравнение дает уровни энергии в виде:

,

где – нули функции Эйри Ai(x), первые пять из которых есть –2,338, –4,087, –5,52, –6,787, –7,944, а для больших n верно соотношение . Из приведенных значений видно, что нули функции Эйри сгущаются при увеличении ее аргумента, т. е. расстояние между уровнями размерного квантования в бесконечной треугольной потенциальной яме с фиксированным значением W0, в отличие от случая прямоугольной ямы, уменьшается с ростом n, что может быть качественно объяснено «эффективным расширением» потенциальной ямы для электрона при увеличении его энергии.

П.1.4. Экспоненциальная потенциальная яма

Последним видом квантовый ямы, который мы рассмотрим в данном разделе, является полубесконечная яма с экспоненциальным потенциалом (рисунок):

.

Потенциал такой формы является достаточно хорошим приближением для рассмотрения возможности образования уровней размерного квантования в МДП-структурах при подаче напряжения на металлический электрод и образовании за счет этого изгиба зон в приповерхностной области полупроводника (так называемое поверхностное квантование). При наличии экспоненциального потенциала уравнение Шредингера для z-компоненты волновой функции электронов принимает вид

,

а граничные условия записываются в виде , .

Вводя переменную , приводим наше уравнение к виду

.

Далее, вводя безразмерную константу и еще одну новую переменную , окончательно получаем

.

Это есть стандартное уравнение Бесселя, его решением в общем случае является линейная комбинация функций Бесселя положительного и отрицательного порядков:

.

Поскольку соответствует , а , второе граничное условие требует положить C2 = 0. Тогда, возвращаясь к исходным координатам, имеем решение исходного уравнения в виде:

,

где, как обычно, константа C1 определяется из условия нормировки. Используя первое из граничных условий, получаем уравнение для нахождения энергетического спектра в экспоненциальной квантовой яме:

.

Найдем условие существования связанного состояния внутри квантовой ямы. Появлению первого уровня размерного квантования соответствует , следовательно, для этого должно быть выполнено условие

.

Как известно из литературы по специальным функциям, первый ноль функции Бесселя есть . Следовательно, условие наличия связанного состояния в экспоненциальной потенциальной яме выглядит следующим образом:

.

Это означает, что как и в случае несимметричной прямоугольной потенциальной ямы, при определенных значениях параметров ямы экспоненциальной формы (малая глубина или очень резкое падение модуля потенциала ) уровни размерного квантования в ней будут отсутствовать. Таким образом, в МДП-структурах эффект поверхностного квантования будет возникать только при превышении величины потенциала, прикладываемого к металлическому электроду, некоторого критического значения Vкр.

При дальнейшем увеличении параметра значение порядка функции Бесселя , при котором выполняется условие , увеличивается, т. е. уровень энергии E1 сдвигается вглубь потенциальной ямы. Второй уровень размерного квантования появляется, если значение достигает величины, при которой функция имеет следующий ноль и т. д. Таким образом, общее число корней уравнения и, соответственно, количество уровней размерного квантования в рассматриваемой яме определяется выражением

,

где – n-ый ноль функции . Значения первых пяти нулей функции Бесселя нулевого порядка есть 2,41, 5,52, 8,65, 11,79, 14,93.

Уровни энергии и волновые функции, рассчитанные для ямы с параметрами m* = 0,067m0, W = 0,7 эВ,  = 30 Ǻ приведены на рисунке.

Приложение 1

Учебное пособие

по дисциплине

«Физика квантоворазмерных систем»

Файлы в формате Adobe Acrobat на CD диске:

1) Учебное пособие - Физика квантоворазмерных систем_1.pdf

2) Учебное пособие - Физика квантоворазмерных систем_2.pdf