Учебно-Методический Комплекс для магистров «Физика квантоворазмерных систем» (стр. 4 )

Необходимо отметить, что в соответствии с перечисленными требованиями металлические структуры мало подходят для наблюдения квантоворазмерных эффектов, поскольку энергия Ферми в типичных металлах составляет несколько электронвольт, подвижности достаточно низки, а эффективные массы носителей близки к массе свободного электрона. Полупроводниковые или полуметаллические структуры здесь являются явно предпочтительными, поскольку абсолютно все перечисленные параметры в них изменяются (относительно металлов) таким образом, что выполнение перечисленных условий становится более реальным.

В заключение, отметим еще одно важное обстоятельство. Условием, необходимым для наблюдения квантования, является высокое качество поверхностей, ограничивающих движение носителей в квантоворазмерных структурах. Для тонких пленок речь идет о внешней границе пленки и о границе пленка-подложка. Для гетероструктур, которые мы обсудим ниже, роль таких поверхностей играют гетеропереходы между различными полупроводниками. Характер отражения носителей от этих границ должен быть близок к зеркальному, т. е. должен происходить с сохранением компоненты импульса, параллельной границе. Если это не так, то при каждом отражении от границы частица "забывает" о своем состоянии до отражения, т. е. на границе происходит эффективное рассеяние. Легко понять, что при этом длина пробега становится равной а и нарушается упомянутое выше условие l>>a.

Для реализации зеркального отражения на границах необходимо, чтобы размеры шероховатостей, неизбежно существующих на любой поверхности, были меньше де-бройлевской длины волны носителей. Кроме того, границы не должны содержать высокой плотности заряженных центров, приводящих к дополнительному рассеянию.

1.4. Типы двумерных структур

Как уже уговорилось, наиболее простым примером квантоворазмерных структур являются тонкие пленки, при этом полупроводниковые (или полуметаллические) пленки являются для этой цели более предпочтительными, нежели металлические. Такие пленки, имеющие необходимые толщины, достаточно высокую подвижность и хорошее качество поверхности, достаточно легко получаются методом вакуумного испарения. В случае полупроводниковых материалов, особенностью тонких пленок является то обстоятельство, что в них одновременно квантуется движение носителей заряда обоих типов – электронов и дырок.

Однако подобные объекты не являются оптимальными для наблюдения квантовых эффектов. В большинстве таких материалов, в том числе в полупроводниках, получить тонкие пленки необходимого качества весьма сложно, поскольку на их поверхности существует высокая плотность поверхностных состояний, играющих роль центров рассеянии, сильно понижающих подвижность носителей заряда, что препятствует наблюдению квантоворазмерных эффектов. Поэтому тонкие пленки, широко использовавшиеся для изучения квантовых размерных эффектов на начальном этапе развития физики квантоворазмерных систем, уступили затем свою ведущую роль сначала МДП-структурам, а затем квантовым гетероструктурам.

Структуры типа МДП (металл-диэлектрик-полупроводник) были известны задолго до открытия квантовых размерных эффектов и использовались (и продолжают использоваться) в качестве полевых транзисторов как в дискретном, так и интегральном исполнении. Зонная диаграмма такой структуры выглядит следующим образом (см. рисунок). На металлический затворный электрод, отделенный слоем диэлектрика толщиной d, подается напряжение Vз, создающее в полупроводнике приповерхностный изгиб зон. Для достаточно больших Vз этот изгиб может стать порядка ширины запрещенной зоны. При этом в полупроводнике вблизи границы с диэлектриком образуется тонкий инверсионный слой, содержащий носители противоположного знака, нежели в объеме полупроводника (в нашем случае - слой n-типа в p-полупроводнике). Рассматривая металлический затвор и инверсионный слой как две обкладки плоского конденсатора, легко заключить, что двумерная плотность электронов в слое ns (плотность состояний электронов на единицу площади двумерного электронного газа) будет пропорциональна напряжению на затворе: где kd - диэлектрическая проницаемость диэлектрика, Vo - пороговое напряжение, соответствующее открытию

инверсионного канала, т. е. появлению в нем электронов.

Данная МДП-структура представляет собой готовый объект для наблюдения квантовых размерных эффектов. Инверсионный слой является потенциальной ямой для электронов, где одна из стенок - граница с диэлектриком, а вторая - электростатический потенциал еФ(z)=eFz, прижимающий электроны к границе (F»4pens/k - электрическое поле в инверсионном слое, которое пропорционально напряжению на затворе, а k - диэлектрическая проницаемость полупроводника).

Особенностью МДП-структур является возможность управления концентрацией электронов ns. Она может изменяться в широких пределах при изменении напряжения на затворе Vз. Максимальное значение ns определяется максимальным значением напряжения, которое можно приложить к затвору без риска пробоя диэлектрика. Для кремниевых структур оно имеет порядок 1013 см-2. Важно, что изменение напряжения на затворе меняет не только концентрацию носителей, но и форму потенциальной ямы, что приводит к изменению расстояния между уровнями размерного квантования. Таким образом, появляется возможность управлять параметрами структуры, просо изменяя напряжение на затворе. Этим МДП-структура принципиально отличается от тонкой пленки, где концентрация и энергия уровней определяются, соответственно, уровнем легирования и толщиной пленки и могут изменяться независимо, но только в процессе изготовления.

Другое отличие МДП-структур от тонких пленок заключается в том, что квантование в них происходит только для одного типа носителей заряда (электронов на рисунке). Приэтом движение дырок остается свободным, и их энергетический спектр является непрерывным.

В последние годы для изучения (и практического применения!) эффектов размерного квантования используются не МДП, а гетероструктуры - контакты между полупроводниками с различной шириной запрещенной зоны. На таком контакте края энергетических зон испытывают скачки, ограничивающие движение носителей и играющие роль стенок квантовой ямы. На рисунке показана типичная зонная диаграмма гетероперехода между полупроводниками n- и р-типа (анизотипного перехода). Видно, что она сходна с диаграммой МДП-структуры. Также, как и там, в узкозонном полупроводнике вблизи границы раздела может образовываться инверсионный слой, играющий роль потенциальной ямы для электронов, в которой существуют уровни размерного квантования.

Важнейшим достоинством гетероперехода является высокое качество гетерограницы. При выборе в качестве компонент гетеропары вещества с хорошим согласием постоянных решетки удается уменьшить плотность поверхностных состояний на гетерогранице до значений порядка 108см-2, что на несколько порядков меньше, чем в лучших МДП-структурах. Такая малая плотность состояний в совокупности с атомно-гладкой морфологией границы приводит к возможности получения рекордно высоких подвижностей в приповерхностном канале m. В результате этого, именно в гетероструктурах (на основе GaAs-AlGaAs) были получены рекордные значения подвижности электронов, превосходящие 107 см2/В×с, в то время как для лучших Si-МДП-структур m » 5×104 см2/В×с.

Концентрация носителей в канале гетероструктуры ns определяется разрывами зон на гетерогранице и уровнями легирования компонент гетеропары. Для системы GaAs-AlGaAs она, как правило, не превосходит 1012 см-2. В структуре, находящейся в состоянии равновесия, эта величина является фиксированной. Однако если со стороны широкозонного материала на поверхность структуры нанести дополнительный затворный электрод, то, изменяя напряжение на нем, можно менять ns в некоторых пределах, хотя и не столь эффективно, как в МДП-структурах.

Важно отметить следующее обстоятельство. В обсуждаемой гетероструктуре потенциальная яма, ответственная за размерное квантование, образована разрывом зон DЕс с одной стороны и электростатическим полем перехода с другой. Это является полным аналогом инверсионного слоя МДП-структуры, в котором квантуется движение только одного типа носителей. С другой стороны, существуют гетероструктурные аналоги тонкой пленки с размерным квантованием одновременно как электронов, так и дырок. Это так называемые двойные гетероструктуры, или квантовые ямы, представляющие собой очень тонкий слой узкозонного полупроводника между двумя широкозонными.

В тройной гетероструктуре (см. рисунок), по мере уменьшения толщины узкозонного слоя, она постепенно становится значительно меньше длины экранирования. В результате изгибы зон на границах за счет объемного заряда в полупроводниках становятся незначительными, и зонная диаграмма структуры принимает вид, показанный на последнем рисунке. Здесь в зоне проводимости образуется практически прямоугольная квантовая яма шириной а и глубиной DЕс, а аналогичная яма глубиной DЕv образуется в валентной зоне. В результате, квантуется движение как электронов, так и дырок.

Существуют и различные «экзотические» способы создания квантоворазмерных структур. Примером здесь являются так называемые дельта-слои (см. рисунок). Они представляют собой полупроводники с предельно неоднородным профилем легирования, где примесные ионы не распределены однородно по объему, а сосредоточены в очень тонком слое в один или несколько периодов решетки. Носители, образовавшиеся при ионизации примесей, удерживаются их зарядом вблизи плоскости слоя. Электрическое поле слоя ионов экранируется зарядом электронов, и результирующая потенциальная яма имеет вид, схематически показанный на рисунке Отличительной чертой дельта-слоев является возможность получения в них очень высокой концентрации размерно-квантованных носителей (до значений порядка 1014 см-2), заметно большей, чем в других описанных структурах. С другой стороны, подвижность носителей заряда в них сравнительно мала за счет рассеяния на большом количестве примесных ионов, лежащих непосредственно в плоскости слоя.

Во всех рассмотренных примерах мы видели, что существенное понижение геометрического размера системы в одном направлении, приводит к тому, что энергетический спектр электронов существенно изменяется. Его общий вид во всех случаях может быть представлен следующим образом:

,

где , а – энергия, соответствующая уровням размерного квантования. При этом первое слагаемое в этом выражении представляет собой квазинепрерывную компоненту, связанную с движением электрона в плоскости , параллельной границе материала в направлении, где его геометрический размер понижен. Второе слагаемое представляет собой дискретную часть спектра, связанную с движением электрона в направлении пониженного размера материала. Конкретный вид этой компоненты зависит от размеров и формы потенциальной ямы, созданной для электрона в направлении z и ограничивающей его движение в этом направлении. Таким образом, квазинепрерывный спектр, характерный для объемных кристаллов, при уменьшении одного из геометрических размеров распадается на набор подзон размерного квантования. Электронный газ, энергетический спектр которого подчиняется приведенному выше закону, называется двумерным электронным газом или 2DEG (two dimensional electron gas).

Необходимо отметить два важных обстоятельства. Во-первых, поскольку в каждой из подзон размерного квантования электрон может обладать любой энергией, в том числе и большей, чем энергия, соответствующая дну следующей подзоны, он может, в принципе, переходить из одной подзоны в другую, например, вследствие рассеяния. Кроме того, наличие компоненты импульса, параллельной границе квантовой ямы, приводит к изменению положения энергетических уровней электрона в яме (а в более общем случае и к изменению вида энергетического спектра) относительно значений, полученных выше для ям различной формы. Во-вторых, электронный газ в рассматриваемых системах не является двумерным в строгом смысле этого термина. При определенных значениях параметров квантовой ямы конечной высоты электроны, находящиеся в ней, имеют достаточно большую вероятность выйти за ее пределы, что подавляет эффект размерного квантования и приближает энергетический спектр таких электронов к обычному квазинепрерывному. Кроме того, конечный (и очень малый по величине) геометрический размер потенциальной ямы L приводит, в соответствие с принципом неопределенности Гейзенберга, к увеличению неопределенности в значении z-компоненты импульса электрона согласно , откуда следует, что неопределенность в энергии электрона по порядку величины есть:

.

Очевидно, что при конечных энергетических размерах ямы и очень малых L значение может превысить высоту энергетического барьера для электрона, находящегося в квантовой яме, что приведет к возникновению большой вероятности его перехода в область квазинепрерывного спектра. Последнее обстоятельство может весьма существенно сказаться на свойствах энергетического спектра как свободных, так и локализованных носителей заряда в квантовой яме, и его, в ряде случаев, необходимо учитывать.

Таким образом, терминологически правильнее называть рассматриваемый электронный газ квазидвумерным.

1.5. Одномерные и нульмерные структуры

Мы рассмотрели случай, когда только один из геометрических размеров системы сильно уменьшен, что и приводит к эффекту размерного квантолвания. Однако размерность системы может быть понижена не только в одном направлении. Если условию на размер структуры (он должен быть меньше, чем длина волны де Бройля) удовлетворяют два из геометрических размеров, то движение электронов остается свободным только в одном направлении. Такие системы называются квантовыми нитями. Они могут быть получены как из квазидвумерных систем применением субмикронной литографии, так и целым рядом других методов. Наиболее используемыми в настоящее время являются методы самоорганизации, о которых мы поговорим ниже.

Рассмотрим способ описания электронного газа в квантовых нитях. В этом случае в предположении бесконечного потенциала, ограничивающего движение носителей заряда в направлениях z и y, необходимо решать такое же, как и для тонкой пленки, уравнение Шредингера с потенциалом следующей формы:

,

где L1 и L2 – размеры кристалла в направлениях z и y, соответственно. Как и в случае квантовой ямы, переменные в уравнении Шредингера разделяются, и мы приходим к трем уравнениям следующего вида:

,

,

,

при этом полная волновая функция электрона есть , его полная энергия – , а потенциалы и – обычные одномерные ограничивающие потенциалы. Очевидно, что решением первого из приведенных уравнений является плоская волна, распространяющаяся в направлении x, и квазинепрерывный энергетический спектр, второе и третье уравнения дают дискретные уровни энергии и волновые функции на них, аналогичные полученным ранее формулам для тонкой пленки. Таким образом, полное решение уравнения Шредингера для квантовой нити есть:

,

,

где Как и в случае квантовых ям, каждому дискретному уровню соответствует подзона размерного квантования, связанная с движением электрона вдоль нити. При этом положение дна каждой из таких подзон (или положение уровней размерного квантования) определяется не одним, как в случае квантовой ямы, а двумя квантовыми числами . Нижнему квантовому уровню (энергетический уровень основного состояния) соответствует , этот уровень вырожден только по спину электрона. Возбужденные уровни могут быть различными по своим свойствам. Если найдется пара целых чисел таких, что , то соответствующий им уровень будет являться двукратно вырожденным. В частном случае степень вырождения уровня размерного квантования с номером n определяется количеством наборов двух квантовых чисел , удовлетворяющих условию .

Таким образом, энергетический спектр квантовых нитей также представляет собой совокупность квазинепрывной и дискретной компонент, однако первая из них связана с движением электрона только вдоль одного направления. По этой причине электронный газ в квантовых нитях называется одномерным (1DEG) или, аналогично случаю квантовых ям, квазиодномерным электронным газом.

Получение одномерных структур является технологически более сложной задачей, в случае описанных выше двумерных систем. Наиболее простым способом ее решения является субмикронная литография. При этом исходным объектом является структура с двумерным газом, чаще всего одиночная гетероструктура. Она подвергается литографической процедуре, в ходе которой движение электронов ограничивается еще в одном из направлений. Для этого могут быть использованы два различных подхода.

Наиболее очевидный из них - это непосредственное "вырезание" узкой полоски с помощью литографической техники (см. рисунок, а, 1 - широкозхонный полупроводник, 2 - узкозонный полупроводник, 3 – двумерный газ). При этом для получения электронных нитей шириной в десятки нанометров, где квантование энергии электронов будет заметным, не обязательно делать полоски столь малой ширины, что представляет собой нелегкую технологическую задачу. Дело в том, что на боковых гранях вытравленной полоски, как и на свободной поверхности полупроводника, образуются поверхностные состояния, создающие, как правило, слой обеднения. Этот слой вызывает дополнительное сужение проводящего канала, в результате чего квантовые эффекты можно наблюдать и в полосках большей ширины - порядка десятой доли микрона.

Можно поступить и иначе. Поверхности полупроводниковой структуры в двумерным газом покрывают металлом, создающим с полупроводником контакт Шоттки и имеющим узкую щель (см. рисунок, б, 4 – металлический затвор). Если гетерограница находится достаточно близко от поверхности, то двумерные электроны будут отсутствовать всюду, кроме узкой областью под щелью. Такой тип одномерной структуры обладает дополнительным преимуществом: меняя напряжение на металлическом затворе, мы можем управлять эффективной шириной квантовой нити и концентрацией носителей в ней.

Существуют и другие методы создания квантовых нитей. В качестве примера можно указать следующий способ, использовавшийся для создания лазеров на структурах с квантовыми нитями. На подложке широкозонного полупроводника (например, AlGaAs) делается узкая канавка (или серия параллельных узких канавок) треугольного сечения (см. рисунок). При эпитаксиальном выращивании на такой подложке квантовой ямы, т. е. тонкого слоя узкозонного полупроводника (GaAs), а затем снова широкозонного материала, толщина слоя GaAs на плоской части подложки (а0) будет меньше, чем и в канавке (а). Поэтому, размерно-квантованные энергетические уровни внутри канавки расположены ниже, чем в остальной части слоя GaAs. Это означает, что носители заряда (как электроны, так и дырки) при невысокой их концентрации (когда в областит канавки оказываются заполненными только нижние энергетические уровни) будут стремиться локализоваться на квантовых уровнях в пределах канавки, образуя вдоль нее квантовую нить.

Дальнейшее понижение размерности системы происходит в случае, если условию на малость по сравнению с долиной волны де Бройля удовлетворяют все три геометрических размера объекта. Такие системы называются квантовыми точками. В этом случае потенциал, действующий на электрон, ограничивает его движение во всех трех направлениях, и электрон оказывается «запертым» в трехмерном «потенциальном ящике». Уравнение Шредингера для электрона внутри «объемной» потенциальной ямы должно быть записано в виде:

,

где

, ,

а – потенциал, ограничивающий движение электронов в направлениях ri. После разделения переменных в этом уравнении мы получим три одинаковых уравнения с однотипными граничными условиями вида, различающимися только размерами объекта в направлениях x, y и z, что приводит к следующему виду ограничивающего потенциала:

,

Формально, рассматриваемое уравнение полностью совпадает с уравнением Шредингера для электронов в объемном кристалле размером , решение которого дает энергетический спектр свободного электронного газа, единственное различие заключается в геометрических размерах рассматриваемого объекта. Решение этого уравненияесть:

)

При равенстве размеров квантовой точки во всех трех направлениях выражение для энергии принимает вид:

,

где . Таким образом, в отличие от квантовых ям и квантовых нитей подзоны размерного квантования в квантовых точках отсутствуют, и электрон может иметь только дискретные значения энергии. В результате, энергетический спектр квантовой точки качественно аналогичен случаю изолированного атома. Электронный газ в таких системах считается квазинульмерным.

Изложенные выше способы изготовления структур с квантовыми нитями могут быть также применены и для создания квантовых точек. Для этого фактически требуется лишь изменить картинку, вытравливаемую на двумерной структуре с помощью субмикронной литографии. В случае квантовых нитей она представляла собой систему узких полосок, а в случае квантовых точек речь идет об отдельных кружках (или иных изолированных плоских фигурах) субмикронного размера, которые либо оставляются нетронутыми, если используется метод прямого вытравливания, как на рис.1.6.а, либо, наоборот, вытравливаются в металлическом покрытии для структур с контактом Шоттки.

Следует заметить, что методы субмикронной литографии достаточно дороги и имеют естественные ограничения по размерам, не позволяя получать структуры с предельно малым боковым ограничением, таким же как в направлении роста. Поэтому в технологии квантовых нитей и, особенно, квантовых точек усиленно ведется поиск альтернативных методов получения таких структур. Особенно привлекательной в этом смысле выглядит возможность использования эффектов самоорганизации, где наноструктуры определенных размеров формируются сами, под влиянием внутренних сил, действующих в процессе роста. Эти способы мы кратко рассмотрим позже.
1.6. Структуры с вертикальным переносом (сверхрешетки)

Везде выше мы рассматривали системы, состоящие из одиночных объектов (квантовых ям, нитей или точек). Однако достаточно часто структуры, используемые для практического применения, содержат большое количество квантовых объектов (например, квантовые нити и точки, выращенные с использованием методов самоорганизации). В этом случае возможны два варианта. Если выращенные квантовые объекты пространственно сильно разделены, то вклады каждого из них в наблюдаемые эффекты просто суммируются. С другой стороны, если они находятся настолько близко друг к другу, что вероятность туннелирования электронов из одного из них в другой становится достаточно большой, это может привести к появлению принципиально новых эффектов. Наиболее распространенным объектом такого рода являются структуры, представляющие собой чередующиеся (последовательно выращенные) слои широкозонного (с шириной запрещенной зоны Eg2) и узкозонного (Eg1) полупроводников, каждый из которых имеет очень малую толщину. Для слоя узкозонного полупроводника эта толщина (a) должна удовлетворять условию малости по сравнению в длиной волны де Бройля, а для широкозонного (b) – также быть достаточно малой, чтобы обеспечить заметную вероятность туннелирования электрона через образованный этим слоем потенциальный барьер. Такие структуры обычно называют структурами с вертикальным переносом, и они находят достаточно широкое применение в области создания приборов наноэлектроники.

Если число последовательно чередующихся слоев полупроводников с различной шириной запрещенной зоны достаточно велико, полученная таким образом структура называется сверхрешеткой. Наиболее интересным как с физической точки зрения, так и для практических применений случаем являются сверхрешетки, в которых слои материалов с различной шириной запрещенной зоны чередуются строго периодическим образом. Это приводит к появлению действующего на электроны и дырки дополнительного периодического потенциала, период которого равен периоду сверхрешетки . При этом высота энергетических барьеров в сверхрешетке, представляющей собой последовательное чередование слоев различных полупроводников, равна величине разрыва зоны проводимости для электронов и разрыва валентной зоны для дырок. Энергетическая диаграмма такой структуры приведена на рисунке. В принципе, существуют также непериодические и квазипериодические (в которых слои различных материалов чередуются по какому-либо математическому закону) сверхрешетки, однако мы ограничимся рассмотрением только случая периодических сверхрешеток.

Расчет энергетического спектра сверхрешетки представляет собой существенно более сложную задачу, чем аналогичный расчет в случае рассмотренных выше одиночных квантоворазмерных систем. Для нахождения энергетического спектра электронов (или дырок, в этом случае необходимо решать аналогичное уравнение) в сверхрешетке, показанной на рисунке, для z-компоненты волновой функции необходимо решать уравнение обычное Шредингера с периодическим потенциалом:

, , .

Такую задачу удобно рассматривать в рамках модели Кронига-Пенни, которая используется и для анализа энергетического спектра электронов, находящихся в поле периодического потенциала, в обычных объемных кристаллах. Вследствие периодичности потенциала волновая функция должна быть записана в виде блоховской , где – блоховская амплитуда, k – волновой вектор электрона. Решая уравнение Шредингера для областей с различным значением потенциала , находим вид функции :

, , при ,

, , при .

Отметим, что это решение справедливо только в случае, когда эффективные массы носителей в областях узкозонного и широкозонного полупроводников равны. Обычно, это не так. Реальный энергетический спектр гетероструктуры, в которой эффективные массы в различных областях различны, наиболее просто может быть найден с помощью метода матриц переноса, который мы рассмотрим чуть ниже.

Значения коэффициентов должны определяться из условий сшивки блоховских амплитуд и их производных на границе двух областей: и , а также из условия периодичности общего решения: и . Подстановка в эти четыре условия функций и приводит к системе из четырех линейных уравнений относительно коэффициентов . Приравнивая определитель этой системы к нулю, получаем уравнение:

,

которое и определяет энергетический спектр периодической сверхрешетки. Решение этого уравнения для области энергий представляет собой последовательное чередование разрешенных и запрещенных зон. Первые соответствуют тем диапазонам энергий, для которых правая часть данного уравнения оказывается ограниченной по модулю единицей, и, соответственно, значения волнового вектора, удовлетворяющие этому уравнению, будут вещественными. Запрещенные зоны соответствуют тем энергиям, для которых значение k, определенное из полученного уравнения, является комплексным. Эти зоны в энергетическом спектре сверхрешетки, образующиеся из исходной зоны проводимости для электронов (или валентной зоны для дырок), называют минизонами. Отметим, что правая часть рассматриваемого уравнения представляет собой периодическую функцию аргумента , амплитуда колебаний которой уменьшается с ростом значения аргумента. Точки пересечения значений , взятых при разных k, с графиком этой функции и дают разрешенные значения энергии. Отсюда ясно, что энергетический спектр будет являться периодическим с периодом . Поскольку в случае сверхрешетки ширина потенциального барьера b существенно больше, чем постоянная решетки материала, ширины получаемых из решения нашего уравнения минизон будут значительно меньше энергетических размеров разрешенных зон, получаемых при применении модели Кронига-Пенни для нахождения энергетического спектра электронов в объемном кристалле.

Конкретные значения энергетических размеров минизон определяются шириной и высотой потенциального барьера, точнее, произведением этих величин . В предельном случае получаем , т. е. обычный закон дисперсии для электронов: . В противоположном пределе амплитуда колебаний правой части полученного уравнения равна бесконечности, т. е. ее график будет представлять собой вертикальные прямые линии, определенные на оси абсцисс в точках . В этом случае для электрона в потенциальной яме уравнение дает , т. е. наличие дискретных уровней с энергией , что абсолютно совпадает с выражением для уровней энергии электрона в бесконечной прямоугольной потенциальной яме. Если выполнено условие , то уравнение для нахождения энергии электрона в сверхрешетке может быть преобразовано к следующему виду: