Учебно-Методический Комплекс для магистров «Физика квантоворазмерных систем» (стр. 3 )

25.  Время релаксации импульса в двумерных системах. Особенности межподзонного рассеяния.

26.  Энергетический спектр двумерных электронов в продольном магнитном поле.

27.  Энергетический спектр двумерных электронов в поперечном магнитном поле. Плотность состояний.

28.  Гальваномагнитные эффекты в двумерных системах ("классическое" описание).

29.  Квантовый (целочисленный и дробный) эффект Холла.

30.  Понятие о локализации носителей заряда. Природа целочисленного квантового эффекта Холла.

8. ТЕСТОВЫЕ МАТЕРИАЛЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РЕЙТИНГОВОЙ СИСТЕМЕ

по учебной дисциплине "Физика квантоворазмерных систем"

1. Квантовые размерные эффекты наблюдаются, если размеры области, в которой ограничено движение электрона, составляют величину порядка

а) длины волны де-Бройля;

б) длины свободного пробега;

в) длины релаксации энергии;

г) длины диффузии.

2. В квантовой яме квантуется

а) полная энергия электрона;

б) энергия продольного движения электрона в плоскости квантовой ямы;

в) энергия поперечного движения электрона.

3. Расстояние между уровнями размерного квантования в квантовой точке произвольной формы с бесконечно высокими барьерами

а) не зависит от энергии уровня;

б) увеличивается с ростом энергии уровня;

в) может произвольным образом меняться с ростом энергии уровня.

4. В структуре металл-диэлектрик-полупроводник (МДП) слой с двумерным электронным газом может образоваться

а) в слое металла;

б) в слое диэлектрика;

в) в слое полупроводника.

5. Методика молекулярно-пучковой эпитаксии отличается

а) возможностью контролировать параметры структуры в процессе роста;

б) простотой аппаратуры, т. к. не требует высокого вакуума;

в) высокой скоростью роста.

6. Релаксация механических напряжений при выращивании наноструктур методом Странски-Крастанова приводит

а) к образованию островков высокого качества;

б) к образованию островков с дислокациями;

в) к образованию периодической структуры плоских доменов.

7. Функция плотности состояний в подзоне размерного квантования квантовой нити имеет вид

а) функции ;

б) постоянной величины;

в) функции .

8. Ширина минизоны в сверхрешетке

а) больше, если минизона расположена ближе к потолку квантовой ямы;

б) меньше, если минизона расположена ближе к потолку квантовой ямы;

в) не зависит от положения минизоны в квантовой яме.

9. В сверхрешетке движение электрона в направлении, перпендикулярном к плоскости структуры

а) возможно, если энергия электрона не превышает высоту барьера;

б) возможно только тогда, когда энергия электрона превышает высоту барьера;

в) невозможно.

10. Энергия связи экситона в квантовой яме

а) больше, чем в объемном полупроводнике;

б) меньше, чем в объемном полупроводнике;

в) может быть как меньше, так и больше, чем в объемном полупроводнике, в зависимости от ширины квантовой ямы.

11. Явление экранирования в двумерных системах

а) проявляется сильнее, чем в трехмерных системах;

б) проявляется слабее, чем в трехмерных системах;

в) отсутствует, т. к. у электрона отсутствует возможность двигаться в одном из направлений.

12. Интенсивность рассеяния электронов на примесях, фононах и т. п.

а) в двумерных системах выше, чем в трехмерных системах;

б) в двумерных системах ниже, чем в трехмерных системах;

в) не зависит от размерности электронного газа.

13. При увеличении ширины квантовой ямы подвижность электронов

а) монотонно растет;

б) монотонно падает;

в) осциллирует.

14. Сплавное рассеяние

а) в квантовой яме GaAs/InGaAs/GaAs сильнее, чем в квантовой яме AlGaAs/GaAs/AlGaAs;

б) в квантовой яме GaAs/InGaAs/GaAs слабее, чем в квантовой яме AlGaAs/GaAs/AlGaAs;

в) в квантовой яме GaAs/InlGaAs/GaAs отсутствует;

г) в квантовой яме AlGaAs/GaAs/AlGaAs отсутствует.

15. Дискретный энергетический спектр электронов в квантовой яме может быть получен

а) в продольном магнитном поле, лежащем в плоскости квантовой ямы;

б) в поперечном магнитном поле;

в) в магнитном поле, расположенном под углом к плоскости квантовой ямы.

16. Квантовый эффект Холла наблюдается в

а) квантовых точках;

б) квантовых нитях;

в) квантовых ямах.

17. При целочисленном квантовом эффекте Холла

а) существуют интервалы магнитного поля, в которых обращается в нуль продольная проводимость образца;

б) существуют интервалы магнитного поля, в которых обращается в нуль продольное сопротивление образца;

в) существуют интервалы магнитного поля, в которых одновременно обращаются в нуль продольная проводимость и продольное сопротивление образца.

Ответы на вопросы теста

1 а

2 в

3 в

4 в

5 а

6 б

7 в

8 а

9 а

10 а

11 а

12 а

13 в

14 а

15 б

16 в

17 в

9. СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

И ЭЛЕКТРОННЫХ РЕСУРСОВ КАФЕДРЫ

(Учебно-методическое обеспечение курса)

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. , , . Физика низкоразмерных систем. - СПб.:Наука, 2001, 160с.

2. Фотоэлектрические явления в полупроводниках и размерно-квантованных структурах: Учебное пособие / , , . С.-Петербург: Наука, 2001, 248 стр.

3. , , . Оптические свойства наноструктур (Под ред. и ). С.-Петербург: Наука, 20с.

ОБЩАЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. , , . Основы наноэлектроники. – Новосибирск: Изд-во НГТУ,2000, 332с.

2. Т. Андо, Ф. Фаулер, Ф. Стерн. Электронные свойства двумерных систем. М.: Мир, 19с.

3. Дж. Блейкмор. Физика твердого тела. – М.: Мир, 1988. – 608 с.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

ПО ОТДЕЛЬНЫМ РАЗДЕЛАМ КУРСА

1.  , . Квантовая механика. – М.: Физматлит, 2001. – 803 с.

2.  З. Флюгге. Задачи по квантовой механике: в 2 т. / З. Флюгге. – М.: Мир, 1974. – 656 с.

3.  , , . Квантовая механика. Руководство по решению задач. Часть 1. - СПб.: Изд-во политехнического университета, 200с.

4.  , , . Квантовая механика. Руководство по решению задач. Часть 2. - СПб.: Изд-во политехнического университета, 200с.

5.  М. Херман. Полупроводниковые сверхрешетки. – М.: Мир, 1989. – 240 с.

6.  , , Шалыгин явления в полупроводниковых квантово-размерных структурах. Учебное пособие / Под ред. и . С.-Петербург: изд. СПбГТУ, 2000, 156 с.

СПРАВОЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

1.  . Таблицы физических величин. – М.: Атомиздат, 1976. – 1009 с.

2.  , . Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Физматлит, 1963. – 1109 с.

3.  , , . Основные дифференциальные уравнения математической физики. – М.: Физматгиз, 1962. – 768 с.

МАТЕРИАЛЫ ЭЛЕКТРОННОЙ БИБЛИОТЕКИ КАФЕДРЫ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

1. . Квантовая механика. Уч. пособие. - СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2001. – 150 с.

2. , , . Квантовая механика. Задачи с решениями. - СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2008. – 314 с.

3. , . Электроны и фононы в квантово-размерных системах: Учебное пособие. − СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2008. − 96 с.

4. , , -Северин, , . Размерное квантование. Часть 1 / Под ред. . − СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2008. − 264 с.
 

10. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ

И ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

Методические рекомендации предназначены для самостоятельной работы студентов, идущей параллельно с лекционным курсом и практическими (семинарскими) занятиями.

Область физики квантоворазмерных систем является очень широкой, поэтому в рамках лекционного курса удается достаточно кратко освятить только основные раздела этой области физики. Кроме того, спецификой курса является то обстоятельство, что его понимание, а, тем более, решение конкретных задач, невозможны без знания квантовой механики, физических процессов и явлений в обычных объемных кристаллических твердых телах, а также ряда разделав математики, в первую очередь, методов решения дифференциальных уравнений различного типа. Поэтом студентам для более глубокого и полного понимания основных положений курса при самостоятельной работе необходимо уделить особое внимание предварительной проработке вопросов, связанных с постоянным использованием знаний, полученных из предыдущих курсов. Конкретные рекомендации сводятся, в первую очередь, к следующему.

Во-первых, необходимо четко представлять математический аппарат квантовой механики, основные принципы его применения к решению конкретных физических задач. При этом необходимо учитывать, что процесс решения любой квантовомеханической задачи складывается из трех стадий. Первая из них – это перевод заданных физических условий на язык математики, описание исходной физической картины в терминах квантовой механики, грамотное составление уравнения Шредингера и выбор граничных условий. Затем следуют формальные преобразования в рамках математического аппарата квантовой механики, характер и цель которых определяется постановкой задачи. Заключительный и наиболее важный для практических целей этап – это физическая интерпретация результата, то есть его перевод с языка абстрактных величин на язык наблюдаемых описываемых явлений. Без наличия навыков владения математическим аппаратом получить достоверное решение задачи невозможно.

Во-вторых, понимание тех особенностей свойств материала, к которым приводит наличие эффекта размерного квантования, невозможно без фундаментальных знаний о свойствах обычных кристаллов. Студентам рекомендуется предварительно проанализировать общую программу курса, выделить в ней те разделы физики твердого тела, которые обсуждаются наиболее подробно (например, кинетические свойства квантоворазмерных систем, оптические свойства квантовых ям) и добиться четкого понимания того, каким способом эти свойства рассматриваются и анализируются в рамках «стандартной» физики твердого тела, и к каким качественным и количественным результатам приводит это рассмотрение. Без четкого знания этих вопросов понимание специфики свойств квантоворазмерных систем является практически невозможным.

При самостоятельном решении задач в рамках семинарских занятий следует обращать особое внимание на то, к каким результатам приводят чисто теоретические вычисления при их применении к расчету свойств тех или иных реальных структур. По этой причине, студентам рекомендуется активно пользоваться справочной литературой (доступной как в библиотеке, так и в многочисленных Интернет-ресурсах) о конкретных параметрах различных полупроводниковых материалов, в первую очередь, соединений на основе A3B5 и их твердых растворов, которые наиболее интенсивно используются при разработке различных приборных применения квантоворазмерных структур.

Наконец, необходимо учитывать, что физика квантоворазмерных структур – очень интенсивно развивающаяся в последние годы область. По этой причине, для более глубокого, чем это возможно уяснить в рамках ограниченного по объему лекционного курса, понимания как современных тенденций развития данного направления, так и многочисленных особенностей свойств данных структур рекомендуется активно использовать современную периодическую научную литературу (в первую очередь, публикуемые в научных журналах оригинальные статьи), которая, в подавляющем большинстве случаев, доступна на многочисленных Интернет-сайтах.
 

11. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ

по учебной дисциплине "Физика квантоворазмерных систем"

Дисциплина «Физика квантоворазмерных систем» играет важную роль в развитии целостных представлений аспирантов о методах и способах научного познания, представлений о современных разделах физической теории и современной физической картине мира. Важнейшей задачей преподавателей, ведущих занятия по данной дисциплине является выработка у студентов понимания не только необходимости глубокого знания теоретических основ дисциплины, но и путей и способов использования полученных знаний на практике, как для расчетов параметров конкретных структур, так и, в будущем, для создания новых приборов и устройств, основанных на использовании эффекта размерного квантования. По этой причине, при проведении как лекционных, так и практических занятий не следует ограничиваться только изложением теоретических основ тех или иных рассматриваемых явлений или получением чисто математических ответов при решении различных задач. Особое внимание следует уделять иллюстрации полученных результатов и теоретических выводов конкретными примерами, используя при этом в качестве примеров конкретными полупроводниковые структуры с известными характеристиками и проводя численные оценки их конкретных параметров на основе полученных теоретических выражений.

Поскольку данная дисциплина ставит одной из целей рассмотрение особенностей свойств квантоворазмерных систем по сравнению с традиционными объектами физики твердого тела, при изложении материала следует опираться на основные понятия, законы и характеристики, известные студентам из предыдущих курсов. В ряде случаев, прежде чем приступить к описанию того или иного свойства квантоворазмерных систем, следует кратко напомнить основные сведения по этому вопросу, которые были получены в рамках классической теории объемных кристаллов. При необходимости, по мнению преподавателя с учетом уровня подготовки студентов рад вопросов о свойствах объемных кристаллов может быть дополнительно рассмотрен более подробно в рамках семинарских занятий. Кроме того, в случае необходимости возможно некоторое перераспределение времени, отводимого на изучение того или иного раздела, с учетом необходимой, по мнению преподавателя, направленности обучения студентов.

Используемые методы преподавания: лекционные занятия с использованием наглядных пособий и раздаточных материалов; индивидуальные и групповые задания, ставящие целью рассмотрение более частных вопросов, решение практических задач и анализ способов приложения полученных результатов к конкретным типам квантоворазмерных систем. С целью более эффективного усвоения студентами материала данной дисциплины рекомендуется при проведении лекционных и практических занятий использовать современные технические средства обучения и наглядные пособия.

Для более глубокого изучения предмета и подготовки ряда вопросов (тем) для самостоятельного изучения преподаватель предоставляет студентам необходимую информацию по разделам дисциплины для использования Интернет-ресурсов и доступных в библиотеке справочных пособий.

Содержание занятий определяется календарным тематическим планом, который в своей содержательной части должен учитывать интересы соответствующих направлений подготовки бакалавра, магистра, специалиста.

Для контроля знаний студентов по данной дисциплине необходимо проводить оперативный, рубежный и итоговый контроль.

Контрольное тестирование включает в себя задания по всем темам раздела рабочей программы дисциплины. Вариант контрольного тестирования выдается либо с вариантами ответов, из которых необходимо выбрать правильный, либо с отсутствием правильных среди всех предлагаемых вариант ответа по усмотрению преподавателя.
 

12. ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, ИСПОЛЬЗУЕМЕ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ДИСЦИПЛИНЫ И ПРИ ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

На кафедре имеются соответствующие возможности для обеспечения требуемого использования электронных и Интернет-ресурсов при самостоятельной подготовке студентов, предусмотренной учебным планом:

1. Электронные пособия для подготовки к ряду семинарских (практических) занятий более глубокого изучения некоторых разделов курса.

2. Программные продкты, позволяющие проведить численные расчеты, необходимость в которых возникает при решении практических задач с целью определения количественных характеристик квантоворазмерных структур заданного состава и геометрии.

3. Доступ к Интернет-ресурсам, необходимый для поиска справочных сведений по полупроводниковым материалам, а также периодической научной литературы, необходимой для лучшего понимания современных тенденция развития физики квантоворазмерных систем

Основные электронные источники информации, необходимые для обучения (самостоятельной работы) студентов по курсу "Физика квантоворазмерных систем", указаны выше в "Списке рекомендуемой литературы и электронных ресурсов кафедры".

....................................................................................................................................................................
 

13. ТЕКСТ ЛЕКЦИЙ ДИСЦИПЛИНЫ

"ФИЗИКА КВАНТОВОРАЗМЕРНЫХ СТРУКТУР"

Предназначено для подготовки магистров по направлению «Нанотехнология»

с профилем подготовки «Композитные наноматериалы»

**

ВВЕДЕНИЕ. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА

Физика квантоворазмерных систем – достаточно новое и наиболее интенсивно развивающееся в последние годы направление в физике полупроводников. Широко известно, что в настоящее время структуры с пониженной размерностью (квантовые ямы, квантовые нити, квантовые точки, сверхрешетки) являются не только основным объектом исследований, но и служат основой для создания целого ряда перспективных приборов, основанных на новых физических принципах. В подобных структурах носители заряда оказываются локализованными в одном или нескольких направлениях, что приводит к существенному, а в ряде случаев и кардинальному, изменению их свойств. Причиной этого является эффект размерного квантования, приводящий к перестройке энергетического спектра электронов и дырок, который, в результате, становится дискретным для движения вдоль одного или нескольких направлений. В результате, данные структуры проявляют свойства, существенно отличающиеся от свойств объемных кристаллов. Теоретическое описание этих свойств, анализ причин их особенностей по сравнению со свойствами «классических» кристаллов и являются основным предметом курса. Кроме того, квантоворазмерные структуры уже нашли достаточно широкое практическое применение, и область их использования постоянно расширяется. В этой связи очевидно, что для целей практического применения этих структур и создания на их основе действующих приборов и устройств решающее значение имеет умение заранее рассчитать параметры используемой структуры (используемые материалы, уровень их легирования, геометрические размеры), требуемые для получения необходимого практического эффекта. Понять, как это делать, какими принципами при этом руководствоваться – тоже одна из целей данного курса.

Возникновению такой области, как физика квантоворазмерных структур несомненно способствовало произошедшее в последние годы мощное развитие технологии получения материалов. Развитие микроэлектроники постоянно приводило к уменьшению геометрических размеров элементов приборов и устройств, переходу от индивидуального к групповому способу производства. При этом постоянное стремление технологов к макроминиатюризации на определенном этапе привело к появлению существенных проблем. Развитие технологической базы привело к тому, что после преодолению микрометрового диапазона размеров, являвшегося в свое время достаточно сложным технологическим барьером на пути уплотнения рабочих элементов, появилась возможность создавать объекты, линейные размеры которых составляют десятые, а то и сотые доли микрона, а в ряде случаев и меньше. При этом оказалось, что диапазон 0.05-0.1 микрон является не столько технологическим, сколько фундаментальным физическим барьером, за которым практически все, даже самые обычные свойства материалов, существенно изменяются. Это связано с тем, что размеры рабочей области становятся сравнимыми с длиной волны де Бройля, характеризующей свойства электронов в твердых телах, и это обстоятельство и приводит к существенной перестройке энергетического спектра носителей заряда. Результатом этого и являются упомянутые выше изменения свойств материалов, характеризующихся понижением размерности, которые мы и будем рассматривать.

Таким образом, целями данного курса являются:

- изучение особенностей физических свойств систем с пониженной размерностью и методов их теоретического описания.

- ознакомление с технологией создания структур с пониженной размерностью, включающей как традиционные методы микроэлектроники, так и специфические технологические процессы, разработанные в последние годы для получения квантоворазмерных структур.

- получение навыков выполнения количественных расчетов параметров квантоворазмерных систем на базе математического аппарата квантовой механики.

- понимание связи между фундаментальными свойствами систем с пониженной размерностью и методами их практического использования.

РАЗДЕЛ 1. РАЗМЕРНОЕ КВАНТОВАНИЕ И КВАНТОВОРАЗМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ

1.1. Квантовый размерный эффект

Рассмотрим сначала, что же такое эффект размерного квантования.

При описании свойств классических объемных материалов обычно рассматривается квазибесконечный образец, для которого, в силу строгой периодичности кристаллической структуры, удается получить выражения, правильно описывающие его свойства. Однако только учет наличия границы образца приводит к появлению дополнительных эффектов (например, наличие локализованных поверхностных состояний, оказывающих достаточно сильное воздействие на физические свойства, регистрируемые в эксперименте). В то же время, большинство свойств материала оказывается размерно-нечувствительными, что позволяет говорить об удельных параметрах, характеризующих не конкретный образец, а материал, из которого он изготовлен. Все это справедливо, когда все геометрические размеры образца являются макроскопическими. Если уменьшать хотя бы один из его размеров, после достижения определенного предела могут начать проявляться размерные эффекты. Так, при сильном уменьшении толщины пленочного образца L на регистрируемых значениях его электрофизических параметров может сказаться рассеяние носителей заряда на поверхности. При дальнейшем уменьшении L могут проявиться и другие размерные эффекты, связанные, например, с приближением значения L к таким параметрам как радиус экранирования или длина свободного пробега носителей заряда. Однако все эти эффекты могут быть отнесены к классическим размерным эффектам, так как энергетический спектр носителей заряда при этом остается неизменным. Ситуация принципиально изменяется, если размер образца становится сравнимым с длиной волны де Бройля, характеризующей носители заряда. При выполнении условия ,

где p – импульс частицы, происходит существенная трансформация энергетического спектра, что приводит к возникновению принципиально новых, квантово-размерных эффектов. Структуры, в которых наблюдаются эти эффекты, называют квантово-размерными или структурами с пониженной размерностью. При этом в каждом конкретном случае (форма и параметры ограничивающего движение электронов потенциала, параметры носителей заряда, число рассматриваемых квантовых ям и т. д.) для нахождения энергетического спектра необходимо решать ту или иную стандартную квантовомеханическую задачу.

1.2. Принцип размерного квантования

Продемонстрируем основную идею размерного квантования на примере электронов, находящихся в очень тонкой металлической или полупроводниковой пленке толщиной а. Исторически, именно такая тонкая пленка (напыленный на подложку висмут) и была первым объектом, на котором наблюдались квантоворазмерные эффекты. То обстоятельство, что в обычных условиях носители сосредоточены в пленке и не выходят из нее в окружающую среду, означает что материал пленки (металл или полупроводник) представляет собой потенциальную яму для электронов с глубиной, равной работе выхода Ф, и шириной а. Согласно законам квантовой механики, энергия электронов в такой яме квантуется, т. е. может принимать лишь некоторые дискретные значения En , где n имеет целочисленные значения 1,2,3,.... Эти дискретные значения и называют уровнями размерного квантования.

Типичные значения работы выхода в большинстве твердых тел имеют величину Ф=(4¸5) эВ, т. е. на несколько порядков превышают характерную тепловую энергию носителей kТ, равную (при комнатной температуре) 0,026 эВ. Поэтому в нашем примере потенциальную яму можно считать бесконечно глубокой. Таким образом, для нахождения энергетических уровней нам необходима решить стандартную квантовомеханическую задачу об электроне в бесконечной прямоугольной потенциальной яме.

Уравнение Шредингера в этом случае выглядит следующим образом:

,

где – постоянная Планка, m* – эффективная масса электрона, U(z) – потенциал, действующий на электроны и имеющий вид

,

En – собственные значения энергии электрона, – его волновые функции, соответствующие различным энергетическим уровням En.

Поскольку в рамках такого подхода электрон не может покинуть пленку, граничными условиями для записанного уравнения являются

.

Переменные в дифференциальном уравнении разделяются (), при этом решение для дает плоскую волну и спектр значений энергии , где kx, ky – компоненты волнового вектора в плоскости . Для функции получаем уравнение:

,

решение которого есть

, ,

где – номер уровня размерного квантования.

Полученные решения в точности совпадают с выражениями для уровней энергии Ии волновых функций электрона в объемном кристалле (для одномерного случая). Принципиальное различие результатов, полученных для объемных кристаллов и тонкой пленки, связано с тем, что положение энергетических уровней сильно зависит (по закону ) от геометрических размеров рассматриваемого объекта. Для объемного материала расстояние между двумя соседними энергетическими уровнями крайне мало ( при L » 1 см), вследствие чего даже при очень низких температурах тепловая энергия электронов (kBT, где kB – постоянная Больцмана) на много порядков выше. По этой причине электрон «не чувствует» дискретности энергетического спектра, который в объемных материалах обычно считается квазинепрерывным. При сильном уменьшении размера L становится возможным выполнение обратного соотношения (), в результате чего дискретность энергетического спектра оказывает определяющее влияние на свойства носителей заряда. Так, например, при m* = 0,1 m0 и L = 10 нм получаем для энергий первых четырех уровней размерного квантования значения Е1 » 0,037 эВ и Е2 » 0,148 эВ. Е3 » 0,333 эВ и Е4 » 0,592 эВ. Вид волновых функций для электронов, располагающихся на данных уровнях энергий, показан на рисунке.

Отметим, что спектр электрона в реальных пленках не является чисто дискретным. Движение электрона оказывается квантованным только в одном направлении, перпендикулярном плоскости пленки, но остается непрерывным в плоскости пленки. В результате, полный энергетический спектр электрона имеет следующий вид

и представляет собой сумму дискретной и непрерывной компонент. Полная энергия E электрона, находящегося на дискретном уровне размерного квантования , может изменяться в диапазоне за счет его движения в плоскости . Таким образом, энергетический спектр электронов в тонкой пленке представляет собой совокупность так называемых подзон размерного квантования, в пределах каждой из которых энергия может изменяться квазинепрерывным образом (см. рисунок).

Отметим, что хотя мы и рассмотрели простейший случай тонкой пленки, полученная связь между энергией уровней размерного квантования и шириной области, в которой сосредоточены носители заряда, и ее размером (E~1/a2) оказывается качественно верной и для других более сложных структур. В частности, в реальных гетероструктурах потенциальную яму уже нельзя считать бесконечной, более, того, высота барьера может быть различной с разных сторон от слоя узкозонного полупроводника. В МДП - и одиночных гетероструктурах потенциальная яма имеет достаточно сложную форму (которая может быть аппроксимирована, в первом приближении, либо экспонентой, либо линейной зависимость потенциала от координаты). Способы вычисления положения энергетических уровней в таких ямах будут рассмотрены на практических занятиях. Тем не менее, общее правило – зависимость энергии уровней размерного квантования от эффективного геометрического размера ямы по закону E~1/a2 - остается неизменным во всех перечисленных структурах.

1.3. Условия наблюдения квантоворазмерных эффектов

Как мы видим, формально энергетический спектр электрона в тонкой пленке ничем не отличается от его спектра в объемном кристалле, различие носит только количественный характер. Поэтому очевидно, что для наблюдения квантоворазмерных эффектов требуется выполнение тех или иных условий, при которых дискретность энергетического спектра будет оказывать качественное воздействие на регистрируемые в эксперимента свойства материала. Рассмотрим эти условия.

Очевидно, что для того, чтобы квантование энергетического спектра могло проявляться в каких-либо наблюдаемых эффектах, расстояние между энергетическими уровнями En+1 и En должно быть достаточно велико. В первую очередь, оно должно значительно превосходить тепловую энергию носителей: поскольку в противном случае практически одинаковая заселенность соседних уровней и частые переходы носителей между ними делают квантовые эффекты ненаблюдаемыми.

Если электронный газ вырожден и характеризуется энергией Ферми EF то желательно также выполнение условия , причем первое условие при этом выполняется автоматически, поскольку для вырожденного газа kT<<EF). Это условие, в отличие от предыдущего, не является строго обязательным. При его невыполнении просто много квантовых уровней оказываются заполненными, и квантовые размерные эффекты, будучи в принципе наблюдаемыми, имеют весьма малую относительную величину.

Существует еще одно необходимое требование для наблюдения квантовых размерных эффектов. В реальных структурах носители всегда испытывают рассеяние на примесях, фононах и т. д. Интенсивность этого рассеяния обычно характеризуется временем релаксации импульса t, связанным прямой пропорциональностью с другой важной характеристикой носителей - их подвижностью m=еt/m. Величина t представляет собой среднее время жизни в состоянии с данными фиксированными квантовыми числами (например, n, px, py для электронного газа в тонкой пленке). В силу соотношений неопределенности Гейзенберга конечное значение t влечет за собой неопределенность в энергии данного состояния DЕ~ћ/t. Ясно, что говорить о наличии в системе отдельных дискретных уровней можно лишь в случае, когда расстояние между ними превышает неопределенность DЕ, то есть при выполнении условия

Можно показать, что выполнение этого условия эквивалентно требованию того, чтобы длина свободного пробега носителей l значительно превосходила размер области а, в которой двигается носитель. Это достаточно очевидно. Согласно квантовой механике, квантование возникает при периодическом движении частицы. Это происходит лишь в случае достаточно слабого рассеяния, когда частица между двумя актами рассеяния (т. е. пройдя путь длиной l) успевает совершить несколько периодов колебаний или, иными словами, несколько раз пересечь пленку (нить, точку) от границы до границы.

Таким образом, для наблюдения квантоворазмерных эффектов необходимы:

·  малые размеры структур

·  достаточно низкие температуры

·  высокие подвижности носителей

·  не слишком высокие эффективные массы (для полупроводниковых структур)

·  не слишком высокая концентрация носителей.

Оценим реальность этих требований. Согласно условию на вкантовомехническую неопределенность энергии, в полупроводнике с типичной подвижностью 1000 см2/В×с наблюдение квантоворазмерных эффектов при температурах около комнатной возможно при линейном размере структур, меньшем чем 100 нм. Согласно условию на превышение тепловой энергии расстояния между уровнями размерного квантования, в полупроводнике и эффективной массой носителей m=0,1mo при температурах вплоть до комнатной, необходимо иметь а £ 10 нм. Подобные геометрические размеры структур являются относительно легко достижимыми на современном уровне развития технологии.