11.  На рисунке 1 изображена схема дорог. Туристы вышли из пункта О, выбирая наугад на разветвлении дорог один из возможных путей. Какова вероятность того, что они попадут в пункт А?

Рисунок 1
 
 

12.  Имеются две урны: в первой три белых шара и два черных, во второй четыре белых и четыре черных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, два шара. После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

13.  Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной
мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в

мишень для первого стрелка 0,8, для второго 0,4. После стрельбы
в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что
в мишень попал первый стрелок.

14.  На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 25 %, вторая – 35 %, третья – 40 % всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2 %. Какова вероятность того, что:

а) случайно выбранный болт будет дефектный;

б) дефектный болт был произведен первой, второй, третьей машиной?

15.  Детали для сборки вырабатываются на двух станках, из которых первый производит в три раза больше второго. При этом брак составляет в выпуске первого станка 0,025, а в выпуске второго – 0,015. Одна, взятая наудачу деталь, оказалась годной для сборки. Найти вероятность того, что она изготовлена на втором станке.

16.  30 % приборов собирает специалист высокой квалификации и 70 % − специалист средней квалификации. Надежность работы прибора, собранного специалистом высокой квалификации, 0,9, надежность прибора, собранного специалистом средней квалификации, 0,8. Взятый прибор оказался надежным. Определить вероятность того, что он собран специалистом высокой квалификации.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

17.  Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук, причем в каждой партии одно изделие бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из второй партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии.

18.  Известно, что 96 % выпускаемой продукции удовлетворяют стандарту. Упрощенная схема контроля признает деталь годной для стандартной продукции с вероятностью 0,98 и нестандартной – с вероятностью 0,05. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, удовлетворяет стандарту.

19.  Из 18 стрелков пять попадают в мишень с вероятностью 0,8; семь – с вероятностью 0,7; четыре – с вероятностью 0,6 и два – с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?

20.  Трое охотников одновременно выстрелили по вепрю, который был убит одной пулей. Определить вероятности того, что вепрь убит первым, вторым или третьим охотником, если вероятности попадания для них равны соответственно 0,2; 0,4; 0,6.

21.  Попадание случайной точки в любое место области S равновозможно, а область S состоит из четырех частей, составляющих соответственно 50, 30, 12 и 8 % всей области. При испытании имело место событие А, которое происходит только при попадании случайной точки в одну из этих частей с вероятностями соответственно 0,01; 0,05; 0,2; 0,5. В какую из частей области S вероятнее всего произошло попадание?

22.  Электролампы изготавливаются на трех заводах. Первый завод производит 45 % общего количества электроламп, второй – 40 %, третий – 15 %. Продукция первого завода содержит 70 % стандартных ламп, второго – 80 %, третьего – 81 %. В магазины поступает продукция всех трех заводов. Какова вероятность того, что купленная в магазине лампа окажется стандартной?

23.  На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,3 % брака, второй – 0,2 % и третий – 0,4 %. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000, со второго – 2000 и с третьего – 2500 деталей.

24.  Рабочий обслуживает три станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,02, для второго – 0,03, для третьего – 0,04. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза больше, чем второго, а третьего в два раза меньше, чем второго. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь будет бракованной.

25.  По самолету производится три одиночных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,5, при втором – 0,6, при третьем – 0,8. Для вывода самолета из строя заведомо достаточно трех попаданий: при одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью 0,3, при двух попаданиях – с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет сбит.

26.  В трех урнах находятся белые и черные шары: в первой – два белых и три черных, во второй – два белых и два черных, в третьей –

три белых и один черный. Из первой урны переложили шар во вторую. После этого шар из второй урны переложили в третью. Наконец, из третьей урны его переложили в первую. Чему равна вероятность того, что состав шаров во всех урнах не изменится?

27.  Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 70 % из первого и 30 % из второго. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, а второго – 20 %. Найти вероятность того, что одна взятая наугад болванка без дефектов.

28.  Имеется 12 урн, из них в шести урнах (состав А1) по три белых и четыре черных шара, в трех урнах (состав А2) по два белых и восемь черных шаров, в двух урнах (состав А3) по шесть белых и одному черному шару, в одной урне (состав А4) четыре белых и три черных шара. Из наугад выбранной урны взят один шар. Чему равна вероятность того, что шар взят из урны состава А3, если он оказался белым?

29.  На склад поступает продукция трех фабрик. Причем продукция первой фабрики составляет 20 %, второй – 46 %, третьей – 34 %. Известно также, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3 %, для второй – 2 % и, наконец, для третьей – 1 %. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие произведено на первой фабрике, если оно оказалось нестандартным.

30.  Имеется 10 одинаковых по виду урн, из которых в девяти находится по два черных и два белых шара, а в одной – пять белых и один черный шар. Из наугад взятой урны извлечен шар. Чему равна вероятность того, что этот шар извлечен из урны, содержащей пять белых шаров, если он оказался белым?

3.3 Теоретические вопросы к защите расчетного задания № 3

1.  Что называют гипотезами?

2.  Какому условию должны удовлетворять вероятности гипотез?

3.  Как выглядит формула полной вероятности?

4.  При каком условии применяется формула полной вероятности?

5.  Как выглядит формула Бейеса?

6.  При каких условиях применяется формула Бейеса?

4 СХЕМА ПОВТОРНЫХ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ

4.1 Теоретические сведения и примеры решения задач

Вероятность наступления события А m раз при n повторных независимых испытаниях определяется по формуле Бернулли:

,

где р = Р(А) − вероятность появления события А в одном испытании;

q = = 1 – р – вероятность ненаступления события А в каждом испытании.

Наивероятнейшем числом появления события А называется число , которому при заданном n соответствует максимальная вероятность . Если число не является целым, то ; если - целое число, то имеет два значения и .

Локальная асимптотическая формула Муавра – Лапласа:

,

где и .

Условия применения: n – велико, а р и q – не очень малы, так что ; значения функции определяются по таблице (табли-
ца А1 Приложения А), является четной функцией.

Асимптотическая формула Пуассона:

,

где .

Условия применения: n – велико, а р – мало, так что .

Асимптотическая интегральная формула Муавра – Лапласа:

,

где , , − функция Лапласа, табулированная в приложении А (см. таблица А1); функция Ф(х) является нечетной, при полагают, что Ф(х) = 0,5.

Вероятность отклонения частоты появления события А от вероятности этого события определяется по формуле:

.

Задача 1. Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 42 размера, равна 0,35. Найти вероятность того, что из шести покупателей, по крайней мере, двум необходима обувь 42 размера.

Решение. В данной задаче в качестве испытания рассматривается покупатель и выясняется, требуется ли ему обувь 42 размера. Событие А – «покупателю нужна обувь 42 размера», р = Р(А) = 0,35, число испытаний n = 6. Нужно найти вероятность того, что событие А произойдет 2, 3, 4, 5 или 6 раз. Для нахождения указанных вероятностей применим формулу Бернулли, затем их просуммируем:

Ту же задачу можно решить иначе. Найдем вероятность противоположного события, т. е. из шести покупателей менее чем двум необходима обувь 42 размера:

Теперь определим искомую вероятность: . Второй способ является более предпочтительным, так как требует выполнения меньшего числа действий.

Задача 2. Подлежат исследованию 400 проб руды. Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе одинакова и равна 0,8. Найти вероятность того, что среди проверенных будет проб с промышленным содержанием металла: а) 320; б) от 290 до 350 включительно.

Решение. 400 проб – это 400 испытаний, в каждом из которых событие А – «проба с промышленным содержанием металла» может произойти с вероятностью 0,8, т. е. имеем схему повторных испытаний, n велико, , можно применять асимптотические формулы Муавра − Лапласа. а) , применяем локальную формулу Муавра − Лапласа:

б) применяем интегральную формулу Муавра - Лапласа:

4.2 Варианты задачи № 4

1.  Всхожесть семян данного растения равна 90 %. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут

а) три;

б) не менее трех.

2.  Семена содержат 0,1 % сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 2000 семян обнаружить пять семян сорняков?

3.  В результате обследования были выделены семьи, имеющие по четыре ребенка. Считая вероятности появления мальчика и девочки в семье равными, определить вероятности появления в ней

а) одного мальчика;

б) одной девочки;

в) не более двух мальчиков.

4.  Четыре покупателя приехали на оптовый склад. Вероятность того, что каждому из них потребуется холодильник марки «А» равна 0,4. Найти вероятность того, что холодильник потребуется:

а) не менее чем двум покупателям;

б) не более чем трем покупателям;

в) всем четырем покупателям.

5. В новом микрорайоне поставлено 10000 кодовых замков на входных дверях домов. Вероятность выхода из строя одного замка в течение месяца равна 0,0002. Найти вероятность того, что за месяц откажут два, три и пять замков.

6. В новом микрорайоне поставлено 10000 кодовых замков на входных дверях домов. Вероятность выхода из строя одного замка в течение месяца равна 0,001. Найти вероятность того, что за месяц откажут два, три и пять замков.

7. Завод отправил в торговую сеть 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что при транспортировке будет повреждено:

а) ровно три изделия;

б) более трех изделий.

8. На станциях отправления поездов находится 1000 автоматов для продажи билетов. Вероятность выхода из строя одного автомата в течение часа равна 0,004. Какова вероятность того, что в течение часа из строя выйдут два, три и пять автоматов?

9. Обувной магазин продал 200 пар обуви. Вероятность возврата бракованной обуви равна 0,01. Найти вероятность возврата в магазин из проданных пар обуви:

а) четырех пар;

б) пяти пар.

10. В некоторых водоемах карпы составляют 80 %. Какова вероятность того, что из пяти выловленных в этом водоеме рыб окажется:

а) четыре карпа;

б) не менее четырех карпов.

11. Прибор состоит из четырех узлов. Вероятность безотказной работы в течение смены для каждого узла равна 0,8. Узлы выходят из строя независимо один от другого. Найти вероятность того, что за смену выйдут из строя:

а) два узла;

б) не менее двух узлов.

12. Вероятность выживания бактерий после радиоактивного облучения равна 0,004. Найти вероятность того, что после облучения из 500 бактерий останется менее трех бактерий.

13. Известно, что в среднем 60 % всего числа изготовленных заводом телефонных аппаратов является продукцией первого сорта. Какова вероятность того, что в изготовленной партии окажется:

а) шесть аппаратов первого сорта в партии из 10 аппаратов;

б) 120 аппаратов первого сорта, если партия содержит 200 аппаратов?

14. Вероятность, что перфокарта набита оператором неверно, равна 0,1. Найти вероятность того, что:

а) из 200 перфокарт правильно набитых будет не менее 180;

б) у того же оператора из 10 перфокарт будет неверно набитых не более двух.

15. Аудиторную работу по теории вероятности успешно выполняют 50 % студентов. Найти вероятность того, что из 400 студентов работу успешно выполнят:

а) 180 студентов;

б) не менее 180 студентов.

16. При обследовании уставных фондов банков установлено, что пятая часть банков имеет уставной фонд свыше 100 миллионов рублей. Найти вероятность того, что среди 1800 банков имеют уставной фонд свыше 100 миллионов рублей:

а) не менее 300 банков;

б) от 300 до 400 банков включительно.

17. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,9. Найти:

а) с вероятностью 0,9545 границы, в которых заключена доля стандартных среди проверенных 900 деталей;

б) вероятность того, что доля стандартных деталей среди них заключена в пределах от 0,11 до 0,88.

18. Вероятность того, что дилер, торгующий ценными бумагами, продаст их, равна 0,7. Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы можно было утверждать с вероятностью 0,996, что доля проданных среди них отклонится от 0,7 не более чем на 0,04 (по абсолютной величине).

19. По статистическим данным в среднем 87 % новорожденных доживают до 50 лет. Найти вероятность того, что из 1000 новорожденных доля (часть) доживших до 50 лет будет:

а) заключена от 0,9 до 0,95;

б) будет отличаться от вероятности этого события не более чем на 0,04 (по абсолютной величине).

20. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найти вероятность, что из 400 семей:

а) 300 имеют холодильники;

б) от 300 до 360.

21. По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем каждое второе малое предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 1000 зарегистрированных малых предприятий имеют нарушения финансовой деятельности:

а) 480 предприятий;

б) наивероятнейшее число предприятий;

в) не менее 480 предприятий;

г) от 480 до 520 предприятий.

22. Стрелок сделал 30 выстрелов с вероятностью попадания при одном выстреле 0,3. Найти вероятность того, что при этом будет:

а) восемь попаданий;

б) не более трех попаданий.

23. Автоматическая штамповка клемм для предохранителей дает 10 % отклонений от принятого стандарта. Сколько стандартных клемм следует ожидать с вероятностью 0,0587 среди 400 клемм?

24. Посажено 600 семян кукурузы с вероятностью 0,9 прорастания для каждого семени. Найти границу абсолютной величины отклонения частоты взошедших семян от вероятности p = 0,9, если эта граница должна быть гарантирована с вероятностью p = 0,095.

25. С конвейера сходит в среднем 85 % изделий первого сорта. Сколько изделий необходимо взять, чтобы с вероятностью 0,997 отклонение частости изделий первого сорта в них от 0,85 по абсолютной величине не превосходило 0,01?

26. Книга издана тиражом в 50000 тысяч экземпляров. Вероятность того, что в книге есть дефект брошюровки, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит пять неправильно сброшюрованных книг.

27. Сколько раз нужно бросить монету, чтобы с вероятностью 0,6 можно было ожидать, что отклонение относительно частоты появления герба от вероятности его появления было по величине не более 0,01?

28. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0, 004. Найти

вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет в пяти веретенах.

29. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах цель будет поражена

а) не менее 70 и не более 80 раз;

б) не более 70 раз.

30. Произведено восемь независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,1. Найти вероятность того, что событие А появится хотя бы два раза.

4.3 Теоретические вопросы к защите расчетного задания № 4

1.  Каким образом выглядит точная формула для нахождения вероятности того, что при n независимых испытаниях событие А произойдет m раз, если в каждом испытании событие А появляется с одинаковой вероятностью?

2.  Какими должны быть испытания, чтобы можно было применить формулу Бернулли?

3.  Что называют наивероятнейшим числом наступления события в n независимых испытаниях? Как находится это число?

4.  Когда целесообразно переходить к приближенным методам вычисления по схеме Бернулли?

5.  Как формулируется локальная теорема Муавра − Лапласа?

6.  Как формулируется интегральная теорема Муавра − Лапласа?

7.  Сформулировать свойства функции Лапласа Ф(х).

8.  По какой формуле можно вычислить вероятность отклонения относительной частоты события от его вероятности?

9.  Какой вид имеет формула, выражающая заключение теоремы Пуассона?

10.  При каких условиях можно применять приближение Пуассона для вычислений вероятностей по схеме Бернулли?

5 ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

5.1 Теоретические сведения и примеры решения задач

Ряд распределения дискретной случайной величины – перечень возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей:

Х

x1

x2

…

xn

P

p1

p2

…

pn

где Р(Х = хi ) = рi.

Функция распределения случайной величины: .

Математическое ожидание дискретной случайной величины: .

Дисперсия дискретной случайной величины: .

Среднее квадратическое отклонение: .

Задача. Игральная кость подбрасывается до первого появления шестерки. Составить закон распределения случайной величины Х – числа произведенных подбрасываний при условии, что их будет не больше 4. Найти математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины.

Решение. Указанная случайная величина может принимать значения , , , . Событие () означает, что при первых подбрасываниях шестерка не выпадет, а при м подбрасывании она выпадет. Вероятность такого исхода при равна: (– вероятность выпадения шестерки при одном подбрасывании, а – вероятность невыпадения). Событие означает, что шестерка не выпала при трех первых подбрасываниях, при этом совершенно неважно, что произойдет при четвертом подбрасывании (шестерка может появиться или не появиться), так как по условию максимальное число опытов равно 4. Вероятность этого исхода равна .

Ряд распределения данной случайной величины имеет вид:

Х

1

2

3

4

P

Найдем математическое ожидание данной случайной величины:

Найдем дисперсию данной случайной величины:

5.2 Варианты задачи № 5

Для рассматриваемой в задаче случайной величины Х необхо-димо:

а) составить ряд распределения;

б) построить многоугольник распределения;

в) найти функцию распределения F(x) и построить ее график;

в) вычислить математическое ожидание и дисперсию.

1. Вероятность нормального расхода электроэнергии в некотором районе города равна 0,6. Случайная величина Х − число дней нормального распределения электроэнергии в течение ближайших четырех дней.

2. Вероятность того, что продукт технологического процесса не соответствует установленной норме, составляет 0,06. Технический контроль отбирает из каждой партии пять изделий и проводит проверку каждого из них. Если обнаружится изделие, не соответствующее норме, дальнейшие пробы прерываются и вся партия задерживается. Случайная величина Х − количество изделий, прошедших контроль.

3. У охотника четыре патрона. Он стреляет по зайцу, пока не попадет или пока не кончатся патроны. Вероятность попадания в цель равна 0,7. Случайная величина Х − число выстрелов.

4. По каналу связи передаются последовательно два сообщения, каждое из которых может быть искажено. Вероятность искажения первого сообщения равна 0,2, второго – 0,1 Случайная величина Х − число правильно переданных сообщений.

5. Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равна 0,2. Случайная величина Х − число кустов земляники, зараженных вирусом, из числа четырех посаженных кустов.

6. Из коробки, содержащей пять стандартных и три нестандартных болта, извлекаются болты по одному до появления стандартного, при этом извлеченный болт в коробку не возвращается. Случайная величина Х − число нестандартных болтов, извлеченных до появления стандартного.

7. Длительной проверкой установлено, что из каждых 10 приборов восемь – точные. Случайная величина Х − число точных приборов из взятых наудачу пяти приборов.

8. В магазин поступила обувь с двух фабрик в отношении 1:2. Куплено четыре пары обуви. Случайная величина Х − число купленных пар обуви, сделанной фабрикой №1.

9. Торговая база получила 1000 электролампочек. Вероятность повреждения электролампочки в пути 0,001. Случайная величина Х − число поврежденных электролампочек (записать первые пять членов ряда распределения случайной величины).

10. Рабочий обслуживает четыре станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,9; для второго – 0,8; для третьего – 0,75, а для четвертого – 0,7. Случайная величина Х − число станков, которые не потребуют внимания рабочего в течение часа.

11. В некотором цехе брак составляет 5 % всех изделий. Случайная величина Х − число бракованных изделий в партии из шести взятых наудачу изделий.

12. Вероятность того, что в некотором автохозяйстве одна автомашина потерпит аварию в течение месяца, принимается равной 0,01. В автохозяйстве 100 автомашин. Случайная величина Х − количество

автомашин, которые могут потерпеть аварию в течение месяца (записать первые пять членов ряда распределения случайной величины).

13. Из 150 изделий, среди которых 50 изделий первого сорта, отбирают шесть изделий. Случайная величина Х − число изделий первого сорта, попавших в выборку.

14. Вероятность попадания в самолет при одном выстреле равна 0,02. Производится 100 выстрелов. Найти вероятность двух попаданий. Случайная величина Х − число попаданий при 100 выстрелах (записать первые пять членов ряда распределения случайной величины).

15. Вероятность рождения мальчика 0,515. В семье трое детей. Случайная величина Х − число мальчиков среди детей в семье.

16. Вероятность получения удачного результата при производстве сложного химического опыта равна . Случайная величина Х − число удачных опытов среди семи проведенных.

17. Автомобиль встретит четыре светофора на пути, каждый из которых пропустит его с вероятностью 0,5. Случайная величина Х − число светофоров, пропустивших его до первой остановки.

18. Имеется два ящика. В первом находится 12 исправных и три неисправных элемента, во втором – 15 исправных и пять неисправных элементов. Из первого ящика наугад вынимается один, а из второго − два элемента. Случайная величина Х −число исправных среди вынутых элементов.

19. Охотник, имея три пули, стреляет до первого попадания в цель. При каждом выстреле вероятность попадания соответственно равна 0,67; 0,8; 0,9. Случайная величина Х − число выпущенных пуль.

20. В цехе семь мужчин и три женщины. По табельным данным наугад отобрана делегация из трех человек. Случайная величина Х − число мужчин в этой делегации.

21. В партии из 10 деталей шесть первосортных. Наугад извлекают одну за другой две детали. Случайная величина Х − число первосортных деталей среди отобранных.

22. В 20-квартирном доме пять квартир требуют ремонта. Наудачу выбраны три квартиры. Случайная величина Х −число квартир, требующих ремонта (среди отобранных).

23. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,8, при втором – 0,9, при третьем – 0,95. Случайная величина Х − число попаданий при трех выстрелах.

24. На складе находятся краны, вероятность отличного качества которых равна 0,7. Наудачу куплены четыре крана. Случайная величина Х − число кранов отличного качества среди купленных.

25. В конверте 18 марок, среди которых семь чистых, а остальные проштампованы. Наугад достают три марки. Случайная величина Х − число чистых марок среди отобранных.

26. Два сигнализатора срабатывают в аварийной ситуации с вероятностью 0,9 и 0,95. Случайная величина Х − число сработавших сигнализаторов.

27. Баскетболист попадает мячом в корзину, стоя на определенном месте площадки, с вероятностью 0,6. Ему дана возможность сделать три броска. Случайная величина Х − число попаданий мячом в корзину.

28. При первичной поломке прибора, которая возможна с вероятностью 0,2, прибор ремонтируется. При вторичной поломке, происходящей с вероятностью 0,5, прибор снимается с испытаний. Случайная величина Х − число приборов, снятых с испытаний, из трех проверяемых.

29. Имеется пять ключей, из которых только один подходит к замку. Случайная величина Х − число проб при открывании замка (испробованный ключ в дальнейших опробованиях не участвует).

30. Стеновая панель подвергается при испытаниях последовательному воздействию трех нагрузок. Вероятности разрушения панели при этих нагрузках равны соответственно 0,1, 0,2 и 0,3. При разрушениях деталь следующей нагрузке не подвергается. Случайная величина Х − число воздействовавших на деталь нагрузок.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23