Теория вероятностей и математическая статистика. Методические рекомендации и контрольные задания (стр. 5 )

1.  Какую случайную величину называют: а) двумерной; б) трехмерной; в) n-мерной?

2.  Какая n-мерная случайная величина называется дискретной?

3.  Как можно задать закон распределения двумерной дискретной случайной величины?

4.  Как, зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, найти законы распределения ее составляющих?

5.  Что называется функцией распределения системы случайных величин Х и Y?

6.  Сформулируйте свойства функции распределения системы случайных величин Х и Y.

7.  Как определить функции распределения составляющих системы случайных величин (Х; Y), зная функцию совместного распределения системы (Х; Y)?

8.  Каким образом выглядят формулы попадания случайной величины (Х; Y): а) в полуполосу, параллельную оси Ох; б) в полуполосу, параллельную оси Оу; в) в прямоугольник?

9.  Что называется плотностью совместного распределения системы (Х; Y)?

10.  Как определить вероятность попадания непрерывной случайной величины (Х; Y) в область D?

11.  Как определить плотности распределения составляющих системы случайных величин (Х; Y), зная плотность совместного распределения системы (Х; Y)?

12.  Сформулируйте условие независимости составляющих для: а) непрерывной двумерной случайной величины (Х; Y); б) дискретной двумерной случайной величины (Х; Y).

13.  Как выглядят формулы для числовых характеристик составляющих а) непрерывной двумерной случайной величины (Х; Y); б) дискретной двумерной случайной величины (Х; Y)?

14.  Для каких целей используются корреляционный момент и коэффициент корреляции?

15.  Сформулируйте свойства: а) корреляционного момента;
б) коэффициента корреляции.

16.  Какие случайные величины называются: а) коррелированными? б) некоррелированными?

17.  Будут ли случайные величины некоррелированными, если они независимы?

18.  Будут ли случайные величины коррелированными, если они зависимы?

19.  Будут ли случайные величины независимы, если они некоррелированы?

20.  Будут ли случайные величины зависимы, если они коррелированы?

8 ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

8.1 Теоретические сведения и примеры решения задач

Интервальной оценкой называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным интервалом называют интервал, который с заданной надежностью покрывает заданный параметр.

Доверительный (с надежностью ) интервал для математического ожидания а нормально распределенного признака Х по выборочной средней при известном теоретическом среднем квадратическом отклонении :

,

где – точность оценки;

n – объем выборки;

t – значение аргумента функции Лапласа Ф(t), при котором ;

средняя выборочная вычисляется по формуле .

Доверительный (с надежностью ) интервал для математического ожидания а нормально распределенного признака Х по выборочной средней при неизвестном теоретическом среднем квадратическом отклонении (и объеме выборки ):

,

где s – «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение, вычисляемое по формуле ;

находят по таблице при заданных значениях n и s.

Задача 1. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если теоретическое среднее квадратическое отклонение , средняя выборочная , объем выборки равен n = 36.

Решение. Требуется найти доверительный интервал . Для этого найдем величину t из соотношения . По таблице А1 Приложения А находим . Подставим , , , n = 36 в соотношение для доверительного интервала, получим искомый ответ .

Задача 2. Из генеральной совокупности извлечена выборка: 0, 1, 2, 4, 0, 2, 3, 4, 3, 1. Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание а нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

Решение. Статистическое распределение выборки в данном случае имеет вид:

Значение признака, xi	0	1	2	3	4
Частота , ni	2	2	2	2	2

Вычислим выборочную среднюю и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s. Имеем:

,

По таблице А2 Приложения А по заданным значениям и n = 10 находим значение , .

Найдем искомый доверительный интервал:

.

Подставляя = 2, , s = 0,71, n = 10, получим искомый доверительный интервал , покрывающий неизвестное математическое ожидание а с надежностью 0,95.

8.2 Варианты задачи № 8

Исходя из предположения о нормальном распределении данной случайной величины, найти доверительный интервал для среднего значения случайной величины с надежностью 0,95.

1. Даны значения промежуточного времени перерывов в газоснаб-жении N-области, вызванных повреждением на газопроводах среднего и высокого давления (в часах):

1,0	2,2	2,6	4,0	1,3	2,3	2,8	3,0	4,3	1,5	2,5
3,0	1,5	2,5	3,0	3,4	4,0	2,0	2,5	3,0	3,8	6,0
3,0	5,0	3,0

2. Испытания на продолжительность работы радиоламп определенного типа дали следующие результаты (в часах):

1900	1300	2500	600	1300	2500	3100	1900	1300
2500	3000	1300	2500	1900	1000	2800	1900	2800
1300	1000	1900	1500	1900	2500	2500

3. Измерения времени, необходимого для прохождения всего маршрута автобусом, дали следующие результаты (в минутах):

25,0	26,6	28,6	27,2	27,0	29,4	27,0	29,0	30,8	31,0
34,8	35,0	34,8	36,0	37,0	36,4	37,5	38,0	31,0	29,0
32,0	32,8	31,0	29,0	29,0

4. Результаты измерения роста группы студентов дали следующие показатели (в см):

158	162	164	166	182	170	186	182	184	174	160
166	184	170	178	180	170	174	164	174	180	174
162	178	176	174	168	170	178	170

5. Измерения толщины льда в январе в течение ряда лет дали следующие результаты (в см):

61	62	64	66	62	68	63	65	62	65	58	65
63	65	66	65	62	58	62	60	63	65	66	64
61	60

6. Для нахождения среднего значения урожайности озимой пшеницы поле фермерского хозяйства разделили на 25 участков, одинаковых по площади. Сплошной учет фактического урожая на каждом участке (урожайность на участке в ц/га) дал следующие результаты:

25	30	35	27	40	42	27	30	42	35	40	38
30	32	40	38	35	38	35	32	32	35	38	45
35	30

7. Даны промежутки времени (в часах) восстановления работоспособности системы водопроводов N-области в случае коррозийных повреждений:

2,33	3,00	3,45	5,33	5,55	5,5	6,0	6,75	7,0	7,25
14,0	7,0	7,5	6,0	15,0	10,58	21,0	21,0	24,0	24,5
10,0	11,0	6,0	7,33	11,68

8. При 25 независимых измерениях некоторого угла в градусах получены следующие значения:

3,1	3,3	2,9	3,0	3,1	2,8	2,7	3,1	3,2	2,9	3,0	2,9
2,8	2,9	3,2	3,3	2,9	3,1	3,2	3,0	2,9	3,0	2,8	3,0
3,1

9. Измерения времени, необходимого для изготовления определенной детали, дали следующие результаты (в минутах):