Теория вероятностей и математическая статистика. Методические рекомендации и контрольные задания (стр. 1 )

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Алтайский государственный технический университет им. »

Бийский технологический институт (филиал)

, ,

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Методические рекомендации и контрольные задания

к типовому расчету для студентов специальностей

080109

Бийск

2007

УДК 519

К88

Кувшинова, вероятностей и математическая статис-тика: методические рекомендации и контрольные задания к типовому расчету для студентов специальностей 080109 / , , .

Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск:

Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2007. – 99 с.

Типовой расчет содержит краткие теоретические сведения, примеры решения задач по темам всех заданий типового расчета. Здесь же приводятся теоретические вопросы к защите типового расчета, общие для всех студентов группы и индивидуальные задания для каждого.

Студенту необходимо выполнить все задания своего варианта, ответить на все теоретические вопросы.

В типовом расчете предложено 30 вариантов заданий одинаковой степени трудности.

Задания типового расчета предназначены для индивидуальной работы студентов дневной, вечерней форм обучения специальностей 080109.

Рассмотрены и одобрены

на заседании кафедры

высшей математики

и математической физики.

Протокол № 4 от 01.01.2001 г.

Рецензент: к. ф.-м. н., доцент кафедры ИУС БТИ АлтГТУ

© БТИ АлтГТУ, 2007

ТРЕБОВАНИЯ К ПРЕДСТАВЛЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ РЕЗУЛЬТАТОВ ТИПОВОГО РАСЧЕТА

При выполнении и оформлении заданий типового расчета необходимо соблюдать следующие правила.

1.  Работу следует выполнять в отдельной тетради, на внешней обложке которой должны быть указаны фамилия и инициалы студента, название учебного заведения, номер группы, номер варианта.

2.  Задания выполняются чернилами, с полями 3…4 см для замечаний преподавателя.

3.  Решения задач располагаются в порядке номеров, указанных
в заданиях. Перед решением задачи обязательно должно быть записано ее условие. Решения задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными, аккуратными, без сокращения слов. При решении следует делать соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием формул, теорем, выводов, которые используются. Все вычисления,
в том числе и вспомогательные, необходимо делать полностью.

4.  Таблицы и графики должны быть выполнены аккуратно и четко с указанием единиц масштаба, координатных осей, характерных точек графика. Графики нужно подписывать.

5.  Вычисления нужно производить по возможности точно в обык-новенных или десятичных дробях, не делать округлений в промежуточных вычислениях.

6.  Решение каждой задачи необходимо заканчивать записью ответа.

7.  Для защиты типового расчета необходимо подготовить ответы на все теоретические вопросы, приведенные в данном пособии.

1 КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

1.1 Теоретические сведения и примеры решения задач

При классическом определении вероятность события А определяется отношением

,

где m - число элементарных исходов испытания, благоприятствующих наступлению события А, а n - общее число возможных элементарных исходов испытания; предполагается также, что элементарные исходы единственно возможны и равновозможны.

При непосредственном подсчете вероятности используются следующие понятия и правила комбинаторики.

Правило сложения: если некоторое событие А может наступить в m случаях, а другое событие В может наступить в k случаях, то событие «А или В» может наступить в m + k случаях.

Правило умножения: если событие А может наступить в m случаях и в каждом из этих случаев событие В может произойти в k случаях, то событие «А и В» может наступить в m · k случаях.

Перестановкой из n элементов называется набор из n элементов, расположенных в определенном порядке. Две перестановки отличаются друг от друга только порядком своих элементов. Число всех перестановок из n элементов равно

.

Размещением из n элементов по k элементов называется упорядоченный набор из k элементов, выбранных из n элементов, расположенных в определенном порядке. Два размещения отличаются друг от друга либо порядком, либо составом своих элементов. Если в размещениях из n по k нет повторения элементов, то число таких размещений равно

,

если повторение элементов допускается, то число размещений равно

.

Сочетанием из n элементов по k элементов называется неупорядоченный набор из k элементов, выбранных из n элементов. Два сочетания отличаются только составом своих элементов. Если в сочетаниях из n по k нет повторения элементов, то число таких сочетаний равно

.

Задача 1. В ящике находятся три шара с номерами 1, 2, 3. Наугад извлекаются два шара. Какова вероятность того, что оба вынутых шара имеют нечетные номера?

Решение. Обозначим событие А – два наугад вынутых шара имеют нечетные номера. В данном опыте возможно три элементарных исхода: вынуты шары с номерами 1 и 2; вынуты шары с номерами 1 и 3, вынуты шары с номерами 2 и 3. Событию А благоприятствует лишь один элементарный исход. Таким образом, .

Задача 2. В партии из 10 деталей семь стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей четыре стандартных.

Решение. Обозначим событие А – среди шести взятых деталей четыре стандартных. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь шесть деталей из 10, т. е. .

Определим число исходов, благоприятствующих событию А – среди шести взятых деталей четыре стандартных. Четыре стандартные детали из семи стандартных можно взять , при этом остальные (6 – 4) = 2 детали должны быть нестандартными; взять же две нестандартные детали из (10 – 7) = 3 деталей можно способами. Следовательно, число благоприятных исходов равно , а искомая вероятность равна .

1.2 Варианты задачи № 1

1.  На отдельных карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Все девять карточек тщательно перемешаны, после чего наугад берут четыре из них и раскладывают в ряд друг за другом в порядке появления. Какова вероятность получить при этом:

а) четное число;

б) число 1234?

2.  Общество из 10 человек садится на скамейку. Какова вероятность, что два определенных лица окажутся рядом?

3.  В партии из 37 деталей шесть нестандартных. Определить вероятность того, что среди трех выбранных наудачу деталей:

а) все три окажутся стандартными;

б) по крайней мере, одна стандартная.

4.  Из партии изготовленных шестерен, в которой 20 годных и пять бракованных, для контроля наудачу берут восемь штук. При контроле оказалось, что первые три шестеренки из восьми оказались годными. Определить вероятность того, что следующая деталь будет годной.

5.  На станцию прибыли 10 вагонов разной продукции. Вагоны помечены номерами от одного до десяти. Найти вероятность того, что среди пяти выбранных для контрольного вскрытия вагонов окажутся вагоны с номерами 2 и 5.

6.  Изготовлена партия из 200 изделий, в которой оказалось пять бракованных. Выбрали пять изделий. Какова вероятность того, что

а) среди выбранных изделий нет ни одного бракованного;

б) среди выбранных изделий будет одно бракованное?

7.  Из двадцати акционерных обществ (АО) четыре являются банкротами. Гражданин приобрел по одной акции шести АО. Какова вероятность того, что среди купленных акций две окажутся акциями банкротов?

8.  Из 100 изготовленных деталей 10 имеют дефект. Для проверки были выбраны пять деталей. Какова вероятность, что среди отобранных деталей окажутся бракованными:

а) две детали;

б) не менее двух?

9.  На склад привезли 50 ящиков комплектующих для одного из видов ЭВМ, но среди них оказалось четыре ящика комплектующих для другого вида ЭВМ. Наудачу взяли шесть ящиков. Какова вероятность, что в одном из них окажутся некомплектные детали?

10.  В партии из 15 однотипных стиральных машин пять машин изготовлены на заводе А, а десять на заводе В. Случайным образом отобрано пять машин. Найти вероятность того, что две из отобранных машин изготовлены на заводе А.

11.  Из 30 студентов 10 имеют спортивные разряды. Какова вероятность, что выбранные наудачу три студента – разрядники?

12.  Из 20 сбербанков 10 расположены за чертой города. Для обследования случайным образом отобрано пять сбербанков. Какова вероятность того, что среди отобранных окажется в черте города

а) три сбербанка;

б) хотя бы один?

13.  В магазине имеются 30 телевизоров, причем 20 из них импортные. Найти вероятность того, что среди пяти проданных в течение дня телевизоров окажется более трех импортных, предполагая, что вероятности покупки телевизоров разных марок одинаковы.

14.  У сборщика имеется 10 одинаковых деталей, из которых четыре первого и по две детали второго, третьего и четвертого видов. Какова вероятность того, что среди шести взятых одновременно деталей три окажутся первого вида, две – второго и одна – третьего вида?

15.  Из партии, в которой 31 деталь без дефектов и шесть с дефектами, берут наудачу три детали. Чему равна вероятность того, что:

а) все три детали без дефекта;

б) по крайней мере одна деталь без дефекта?

16.  Собрание, на котором присутствовало 30 человек и из них было 10 женщин, выбирает делегацию из пяти человек. Найти вероятность того, что в делегацию войдут три женщины и двое мужчин.

17.  Из партии, в которой 31 деталь без дефектов и шесть с дефектами, берут наудачу три детали. Чему равна вероятность того, что:

а) все три детали без дефектов;

б) по крайней мере одна деталь без дефектов?

18.  В пачке 12 тетрадей, из которых семь в клетку, остальные в линейку. Наудачу берутся пять тетрадей. Какова вероятность, что среди взятых тетрадей окажется три в клетку?

19.  Для студентов, едущих на практику, предоставлено 15 мест в Новосибирске, 10 мест в Бийске и пять мест в Барнауле. Какова вероятность, что три определенных студента попадут в один город?

20.  В партии готовой продукции из 20 лампочек имеется пять лампочек высшего качества. Берутся наугад семь лампочек. Какова вероятность, что среди взятых лампочек окажется три лампочки высшего качества?

21.  В группе 25 студентов. Вызываются во время занятий три студента. Полагая, что вызов проводится случайно, определить вероятность того, что будут вызваны данные три студента в определенном порядке.

22.  В ящике лежит 10 заклепок, из которых пять железных, три латунных и две медных. Наугад берутся две заклепки. Какова вероятность, что они будут из одного материала?

23.  В урне четыре красных, шесть зеленых и пять синих шаров. Одновременно вынимаются два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут одного цвета.

24.  Библиотечка состоит из 10 различных книг, причем пять книг стоят по 40 рублей каждая, три книги – по 10 рублей и две книги – по 30 рублей. Найти вероятность того, что взятые наугад две книги стоят 50 рублей.

25.  На складе находится 50 пар обуви, из них 40 пар первого сорта и 10 пар второго сорта. Какова вероятность того, что из трех наудачу взятых пар одна окажется второго сорта?

26.  В кармане находится восемь монет достоинством по 10 копеек, 14 монет достоинством по 50 копеек. Какова вероятность того, что наудачу взятые две монеты окажутся одного достоинства?

27.  Из обследуемых 20 сберегательных касс 10 расположены за чертой города. Для обследования отобраны случайным образом пять касс. Какова вероятность того, что среди отобранных окажется три кассы в черте города?

28.  Из партии, в которой 32 детали без дефекта и пять с дефектами, наудачу берут четыре детали. Чему равна вероятность того, что

а) все четыре детали без дефектов;

б) по крайней мере одна деталь без дефектов?

29.  Имеется 20 деталей, среди которых 10 медных и 10 латунных. Детали делятся случайным образом на две равные группы. Найти вероятность того, что в каждой группе одинаковое число медных и латунных деталей.

30.  В партии из пятнадцати деталей пять нестандартных. Найти вероятность того, что среди шести выбранных наудачу деталей две окажутся нестандартными.

1.3 Теоретические вопросы к защите расчетного задания № 1

1.  Что называется испытанием (опытом)?

2.  Что называется событием?

3.  Какое событие называется а) случайным; б) достоверным;
в) невозможным?

4.  Какие события называются а) несовместными; б) совместными?

5.  Какие события называются противоположными? ываются а) несовместными б) совместнымиывается случайным?

6.  Что называется полной группой случайных событий?

7.  Если события не могут произойти все вместе в результате испытания, то будут ли они попарно несовместными?

8.  Образуют ли события А и полную группу?

9.  Какие элементарные исходы благоприятствуют данному событию?

10.  Какое определение вероятности называется классическим?

11.  В каких пределах заключена вероятность любого события?

12.  При каких условиях применяется классическая вероятность?

2 ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

2.1 Теоретические сведения

Суммой событий А и В называется событие А + В, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий А или В.

Произведением событий А и В называется событие А · В, состоя-щее в наступлении событий А и В одновременно.

Если события А и В несовместные, то Р(A + B) =Р(A) + Р(B).

Если события А и В совместные, то Р(A + B) = Р(A) + Р(B) −
− Р(AB).

Если события А и В независимы, то Р(A · B) = Р(A)·Р(B).

Если события А и В зависимы, то Р(A · B) = Р(A) · РА(В), где РА(В) – условная вероятность события В, т. е. вероятность события В, вычисленная при условии, что произошло событие А.

Вероятность события : , где − событие, противоположное событию А.

Задача 1. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным или 2, или 7, или тому и другому одновременно.

Решение. Введем обозначения для событий: А – наудачу взятое двузначное число кратно 2, В – наудачу взятое двузначное число кратно 7. Необходимо найти , А и В – совместные события, значит, . Двузначных чисел всего 90 (это числа от 10 до 9из этих чисел кратны двум (являются четными), 13 из этих чисел кратны 7 и 7 чисел кратны и 2, и 7, т. е. кратны 14. Таким образом, , , . Следовательно,

Задача 2. Слово «папаха» составлено из букв разрезной азбуки. Карточки с буквами тщательно перемешаны. Четыре карточки извлекаются по очереди и раскладываются в ряд. Какова вероятность получить таким путем слово «папа»?

Решение. Обозначим через A, B, C, D соответственно события: извлечены первая, вторая, третья и четвертая буквы слова папа из набора букв: а, а, а, п, п, х. Для того чтобы найти вероятность , найдем вероятности: , , , : , , , .

Получаем: .

2.2 Варианты задачи № 2

1.  Мастер обслуживает пять станков. 20 % рабочего времени он проводит у первого станка; 10 % − у второго; 15 % − у третьего; 25 % − у четвертого и, наконец, 30 % − у пятого станка. Найти вероятности следующих событий: в данный момент времени мастер находится

а) у второго или пятого станков;

б) ни у первого, ни у третьего, ни у пятого станков.

2.  Группе студентов для прохождения производственной практики выделено 30 мест: 15 – в фирме А, 8 – в фирме В, 7 – в фирме С. Какова вероятность того, что два определенных студента будут посланы на практику в одну и ту же фирму?

3.  Два игрока по очереди извлекают шары из коробки, содержащей три белых и четыре красных шара. Выигравшим считается тот, кто первым извлечет белый шар. Найти вероятность выигрыша для каждого игрока. Рассмотреть два случая:

а) извлеченный шар возвращается в коробку;

б) шар не возвращается в коробку.

4.  Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,2, второй вызов – 0,3; третий вызов – 0,4. По условиям приема события, состоящие в том, что данный вызов будет принят, независимы. Найти вероятность того, что корреспондент вообще услышит вызов.

5.  По железнодорожному мосту независимо друг от друга производят бомбометание три самолета. Каждый самолет сбрасывает одну серию бомб. Вероятность попадания хотя бы одной бомбы из серии для первого самолета равна 0,2; для второго – 0,3; для третьего – 0,4. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если для его разрушения достаточно хотя бы одного попадания.

6.  В мастерской два мотора работают независимо друг от друга. Вероятность того, что первый мотор в течение часа не потребует внимания мастера, равна 0,9; для второго мотора эта вероятность равна 0,85. Найти вероятность того, что:

а) в течение часа ни один из моторов не потребует внимания мастера;

б) хотя бы один мотор потребует внимания мастера.

7.  Прибор, работающий в течение суток, состоит из трех узлов, каждый из которых независимо от других может за это время выйти из строя. Неисправность хотя бы одного узла приводит к отказу прибора в целом. Вероятность работы в течение суток первого узла равна 0,9, второго – 0,95, третьего – 0,85. Найти вероятность того, что в течение суток прибор будет работать безотказно.

8.  На тепловой электростанции 15 сменных инженеров, из которых пять женщин. В смену работают три инженера. Какова вероятность, что в смену мужчин окажется не более двух?

9.  При изготовлении детали заготовка должна пройти четыре операции. Предполагая появление брака на отдельных операциях

событиями независимыми, найти вероятность изготовления стандартной детали, если вероятность брака на первой операции равна 0,02; на второй – 0,01; на третьей 0,02; на четвертой – 0,03.

10.  Имеется 25 электрических ламп, из которых четыре настольные. Определить вероятность того, что две одновременно взятые лампы окажутся:

а) настольные;

б) не настольные;

в) одна лампа настольная, а другая – не настольная.

11.  На каждые 100 деталей, изготовленных на одном станке, в среднем приходится одна деталь с диаметром менее 15,98 мм; четыре детали – от 15,98 мм до 15,99 мм; 25 деталей – от 15,99 мм до 16,00 мм; 40 деталей – от 16,00 мм до 16,01 мм; 27 деталей – от 16,01 мм до 16,02 мм; три детали – от 16,02 мм и более. Деталь считается стандартной, если ее диаметр находится в пределах от 15,98 мм до 16,02 мм. Определить вероятность того, что две взятые наудачу детали будут стандартными.

12.  При массовом изготовлении некоторых изделий брак в среднем составляет 2,4 %. Из числа годной продукции 92,3 % составляют изделия первого сорта. Какова вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется первого сорта?

13.  Произведен залп из двух орудий по мишени. Вероятность попадания из первого орудия равна 0,8; из второго – 0,91. Найти вероятность поражения цели, если для этого достаточно хотя бы одного попадания.

14.  Вероятность изготовления изделия первого сорта равна 0,9. Сколько должно быть изготовлено изделий, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, можно было ожидать, что среди них хотя бы одно изделие не первого сорта?

15.  Технический контроль проверяет из партии готовой продукции не более пяти изделий последовательно одно за другим. При обнаружении бракованного изделия бракуется вся партия. Определить вероятность того, что вся партия будет забракована, если брак в партии составляет 4 %.

16.  Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания при этом выстреле для первого стрелка – 0,75; для второго – 0,8; для третьего – 0,7. Какова вероятность того, что цель поражена при этом хотя бы одним выстрелом?

17.  В пачке 10 тетрадей, из которых шесть тетрадей в клетку, а остальные в линейку. Найти вероятность того, что среди одновременно взятых наудачу из пачки трех тетрадей хотя бы одна тетрадь окажется в клетку.

18.  Какова должна быть вероятность изготовления изделия, удовлетворяющего стандарту, чтобы с вероятностью, равной 0,9, можно было утверждать, что среди 20 изготовленных изделий хотя бы одно не удовлетворяет стандарту?

19.  Для некоторой местности среднее число дождливых дней в августе равно 15. Какова вероятность того, что в первые два дня в августе не будет ни одного дождливого?

20.  Рабочий обслуживает три станка. Для первого станка вероятность того, что он в течение часа потребует внимания рабочего, равна 0,6; для второго – 0,3; для третьего – 0,4. Определить вероятность того, что:

а) все три станка в течение часа потребуют внимания рабочего;

б) ни один станок не потребует внимания рабочего;

в) по крайней мере один станок потребует внимания рабочего.

21.  В мастерской работают три станка. Для каждого станка вероятность того, что он работает в данный момент, равна 0,8. Определить вероятность того, что в данный момент работает хотя бы один станок.

22.  Билет содержит три вопроса. Вероятности того, что студент знает первый, второй, третий вопросы, соответственно равны 0,9; 0,9; и 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого достаточно знать любые два вопроса.

23.  Вероятность своевременного выполнения студентом контрольной работы по каждой из трех дисциплин равна соответственно 0,6; 0,5; 0,8. Найти вероятность своевременного выполнения контрольной работы студентом:

а) по двум дисциплинам;

б) хотя бы по двум дисциплинам.

24.  Студент разыскивает нужную формулу в трех справочниках. Вероятности того, что эта формула содержится в первом, втором и третьем справочниках, равны соответственно 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятность того, что эта формула содержится не менее чем в двух справочниках.

25.  Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газеты в первое отделение равна 0,95; во второе – 0,9; в третье – 0,8. Найти вероятность того, что:

а) только одно отделение получит газеты вовремя;

б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.

26.  Среди 15 лампочек четыре стандартных. Найти вероятность того, что среди двух наудачу взятых лампочек хотя бы одна нестандартная.

27.  В коробке смешаны электролампы одинакового размера и формы: по 100 Вт – семь штук, по 75 Вт – 13 штук. Вынуты три лампы. Какова вероятность того, что:

а) они одинаковой мощности;

б) хотя бы одна из них 100 Вт?

28.  В коробке 10 красных, три синих и семь желтых карандашей. Наудачу набирают три карандаша. Какова вероятность того, что они все:

а) разных цветов;

б) одного цвета?

29.  На складе находятся 10 мешков пшеницы, из них восемь мешков пшеницы первого сорта и два мешка – второго сорта. Найти вероятность того, что:

а) полученные со склада два мешка пшеницы будут первого сорта;

б) хотя бы один мешок второго сорта.

30.  Вероятность того, что черенок розы приживается, равна 0,62 для сорта А; 0,48 – для сорта В; 0,92 – для сорта С. Посадили по одному черенку каждого сорта. Какова вероятность того, что приживутся:

а) два черенка;

б) хотя бы один черенок?

2.3 Теоретические вопросы к защите расчетного задания № 2

1.  Что называется суммой а) двух событий; б) трех событий?

2.  Что называется произведением а) двух событий; б) трех событий?

3.  Что называется разностью двух событий?

4.  Какими свойствами обладают операции над событиями?

5.  Как определяются а) зависимые события; б) независимые события?

6.  Как определяется условная вероятность?

7.  Как определить вероятность появления хотя бы одного из двух несовместных случайных событий А и В?

8.  Как определить вероятность появления хотя бы одного из двух совместных случайных событий А и В?

9.  Как определить вероятность одновременного появления двух независимых случайных событий А и В?

10.  Как определить вероятность одновременного появления двух зависимых случайных событий А и В?

11.  Как можно сформулировать условие независимости двух событий?

3 ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ

И ФОРМУЛА БЕЙЕСА

3.1 Теоретические сведения и примеры решения задач

Вероятность события А, которое может произойти одновременно с одним из n попарно несовместных событий Н1, Н2, ... Нn , называемых гипотезами, образующих полную группу событий, выражается по формуле полной вероятности:

.

После того, как произошло событие А, вероятность события Нi (i=1, 2,…,n) определяется по формуле Бейеса следующим образом:

.

Задача. В магазин поступила продукция трех фабрик в соотношении 2:5:3. Средний процент нестандартных изделий для продукции первой фабрики равен 3 %, второй – 2 %, третьей – 1 %. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется стандартным. Наудачу

взятое изделие оказалось стандартным. Найти вероятность того, что оно произведено на второй фабрике.

Решение. Обозначим события: А – наудачу взятое изделие окажется стандартным; Н1 − взятое изделие произведено на первой фабрике, Н2 − взятое изделие произведено на второй фабрике, Н3 − взятое изделие произведено на третьей фабрике. В рассматриваемом опыте событие А может произойти с одним из событий Н1, Н2 или Н3. Для решения задачи будет использоваться формула полной вероятности.

По условию задачи

Применяя формулу полной вероятности, получим

Пусть взятое изделие оказалось стандартным. Найдем вероятность того, что оно произведено на второй фабрике. Для этого воспользуемся формулой Бейеса:

3.2 Варианты задачи № 3

1.  Охотник сделал три выстрела по кабану. Вероятность попадания первым выстрелом 0,4, вторым – 0,5, третьим – 0,7. Одним попаданием кабана можно убить с вероятностью 0,2, двумя попаданиями – с вероятностью 0,6, а тремя – наверняка. Найти вероятность того, что кабан будет убит.

2.  В одном из трех ящиков шесть белых и четыре черных шарика, во втором – семь белых и три черных, в третьем – только восемь белых. Наугад выбираем один из трех ящиков и из него снова наугад выбираем один шарик. Он оказался белым. Какова вероятность того, что этот шарик вынут из второго ящика?

3.  Из 10 студентов, которые пришли на экзамен по математике, трое подготовились отлично, четверо хорошо, двое удовлетворительно, а один совсем не готовился – понадеялся на то, что все помнит. В билетах 20 вопросов. Отлично подготовившиеся студенты могут ответить на все 20 вопросов, хорошо – на 16 вопросов, удовлетворительно – на 10 и не подготовившиеся – на пять вопросов. Каждый студент получает наугад три вопроса из 20. Приглашенный первым студент ответил на все три вопроса. Какова вероятность того, что он отличник?

4.  Путешественник может купить билет в одной из трех касс железнодорожного вокзала. Вероятность того, что он направится к первой кассе, равна , ко второй – , к третьей – . Вероятности того, что билетов уже нет в кассах, такие: в первой кассе , во второй – , в третьей – . Путешественник обратился в одну из касс и получил билет. Определите вероятность того, что он направился к первой кассе.

5.  В одном из ящиков 10 белых и шесть черных шариков, во втором – семь белых и девять черных. Произвольно выбирается ящик, из него наугад вынимается шарик. Он белый. Чему равна вероятность того, что и второй шарик, наугад вынутый из этого ящика, окажется белым?

6.  При разрыве снаряда образуются осколки трех весовых категорий: крупные, средние и мелкие, причем число крупных, средних и мелких осколков составляет соответственно 0,1; 0,3; 0,6 общего числа осколков. При попадании в броню крупный осколок пробивает ее с вероятностью 0,9, средний – с вероятностью 0,2 и мелкий – с вероятностью 0,05. В броню попал один осколок и пробил ее. Найдите вероятности того, что эта пробоина причинена крупным, средним и мелким осколком.

7.  Два зенитных орудия ведут огонь по одному и тому же самолету. Вероятность попадания выстрелом из первого орудия 0,2, из второго – 0,6. Первым залпом в самолет попали только из одного орудия. Какова вероятность того, что промахнулся расчет первого орудия?

8.  Турист, заблудившись в лесу, вышел на полянку, от которой в разные стороны ведут пять дорог. Если турист пойдет по первой дороге, то вероятность выхода туриста из леса в течение часа составляет 0,6; если по второй – 0,3; если по третьей – 0,2; если по четвертой – 0,1; если по пятой – 0,1. Какова вероятность того, что турист пошел по первой дороге, если он через час вышел из леса?

9.  При помещении в урну перемешанных 10 шаров (шесть белых и четыре черных) один шар неизвестного цвета затерялся. Из оставшихся в урне девяти шаров наудачу вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым?

10.  В цехе работают 20 станков. Из них 10 марки А, шесть марки В и четыре марки С. Вероятности того, что качество детали окажется отличным, для этих станков соответственно равны 0,9; 0,8 и 0,7. Какой процент отличных деталей выпускает цех в целом?