5.3 Теоретические вопросы к защите расчетного задания № 5
1. Что называют случайной величиной?
2. Определите разницу в понятиях «переменная» и «случайная величина».
3. Что называют законом распределения случайной величины?
4. Какую случайную величину называют дискретной?
5. Как задают закон распределения дискретной случайной величины?
6. Что называют многоугольником распределения?
7. Как определяется функция распределения случайной величины?
8. Какими свойствами обладает функция распределения случайной величины?
9. Что называют числовыми характеристиками (или параметрами) случайной величины?
10. Как определяется и что характеризует математическое ожидание дискретной случайной величины?
11. Как выглядит формула, определяющая дисперсию дискретной случайной величины?
12. Что такое среднее квадратическое отклонение случайной величины?
13. Что характеризует среднее квадратическое отклонение и в чем смысл его введения?
14. Какое распределение вероятностей называется биномиальным распределением?
15. Какой смысл имеет случайная величина, распределенная по биномиальному закону с параметрами n и р?
16. Какое распределение вероятностей называется гипергеометрическим распределением?
17. Какими параметрами характеризуется гипергеометрическое распределение?
18. Какой смысл имеет случайная величина, распределенная по гипергеометрическому закону?
19. Какое распределение вероятностей называется геометрическим распределением? Чем объясняется такое название распределения?
20. Какой смысл имеет случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром р?
21. Какое распределение вероятностей называется распределением Пуассона?
22. Почему закон распределения Пуассона также называют законом «редких событий»?
23. Как выглядят формулы для математического ожидания и дисперсии биномиального распределения?
24. Как выглядят формулы для математического ожидания и дисперсии геометрического распределения?
25. Как выглядят формулы для математического ожидания и дисперсии распределения Пуассона?
6 НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
6.1 Теоретические сведения и примеры решения задач
Закон распределения непрерывной случайной величины задается функцией распределения:
или плотностью распределения:
,
где 
и удовлетворяет характеристическому свойству:
.
Выражение для функции распределения:
Выражения для вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал (a, b):
,
или
Математическое ожидание непрерывной случайной величины:
.
Дисперсия непрерывной случайной величины:
.
Среднее квадратическое отклонение: 
.
Задача. Случайная величина Х задана функцией распределения
Найти коэффициент А и числовые характеристики Х: 
, 
и 
.
Решение. Сначала найдем плотность распределения 
. Так как , то
Коэффициент А определим из характеристического свойства плотности распределения: .
Имеем: 
или 
, отсюда 
. Таким образом,
Вычислим математическое ожидание:
Вычислим дисперсию рассматриваемой случайной величины:
Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х:
.
6.2 Варианты задачи № 6
1. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:
Найти:
а) значение параметра a;
б) плотность распределения вероятностей ;
в) математическое ожидание;
г) дисперсию;
д) среднее квадратическое отклонение;
е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке 
;
ж) построить графики функций и F(x).
2. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины X:
Найти:
а) значение параметра A;
б) функцию распределения F(x);
в) математическое ожидание;
г) дисперсию;
д) среднее квадратическое отклонение;
е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке 
;
ж) построить графики функций и F(x).
3. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:
Найти:
а) значение параметра A;
б) плотность распределения вероятностей ;
в) математическое ожидание;
г) дисперсию;
д) среднее квадратическое отклонение;
е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке 
;
ж) построить графики функций и F(x).
4. Дана функция распределения 
непрерывной случайной величины X:
Найти:
а) значение параметра A;
б) плотность распределения вероятностей ;
в) математическое ожидание;
г) дисперсию;
д) среднее квадратическое отклонение;
е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке 
;
ж) построить графики функций и F(x).
5. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:
Найти:
а) значение параметра A;
б) плотность распределения вероятностей ;
в) математическое ожидание;
г) дисперсию;
д) среднее квадратическое отклонение;
е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке 
;
ж) построить графики функций и F(x).
6. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:
Найти:
а) значение параметра A;
б) плотность распределения вероятностей ;
в) математическое ожидание;
г) дисперсию;
д) среднее квадратическое отклонение;
е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке 
;
ж) построить графики функций и F(x).
7. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:
Найти:
а) значение параметра A;
б) плотность распределения вероятностей ;
в) математическое ожидание;
г) дисперсию;
д) среднее квадратическое отклонение;
е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке 
;
ж) построить графики функций и F(x).
8. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины X:
Найти:
а) значение параметра a;
б) функцию распределения F(x);
в) математическое ожидание;
г) дисперсию;
д) среднее квадратическое отклонение;
е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке 
;
ж) построить графики функций и F(x).
9. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:
Найти:
а) значение параметра A;
б) плотность распределения вероятностей ;
в) математическое ожидание;
г) дисперсию;
д) среднее квадратическое отклонение;
е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке 
;
ж) построить графики функций и F(x).
10. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:
Найти:
а) значение параметра A;
б) плотность распределения вероятностей ;
в) математическое ожидание;
г) дисперсию;
д) среднее квадратическое отклонение;
е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке 
;
ж) построить графики функций и F(x).
11. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины X:
Найти:
а) значение параметра A;
б) функцию распределения F(x);
в) математическое ожидание;
г) дисперсию;
д) среднее квадратическое отклонение;
е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке 
;
ж) построить графики функций и F(x).
12. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины X:
Найти:
а) значение параметра a;
б) функцию распределения F(x);
в) математическое ожидание;
г) дисперсию;
д) среднее квадратическое отклонение;
е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке 
;
ж) построить графики функций и F(x).
13. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:
Найти:
а) значение параметра A;
б) плотность распределения вероятностей ;
в) математическое ожидание;
г) дисперсию;
д) среднее квадратическое отклонение;
е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке 
;
ж) построить графики функций и F(x).
14. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:
Найти:
а) значение параметра A;
б) плотность распределения вероятностей ;
в) математическое ожидание;
г) дисперсию;
д) среднее квадратическое отклонение;
е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке 
;
ж) построить графики функций и F(x).
15. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:
Найти:
а) значение параметра A;
б) плотность распределения вероятностей ;
в) математическое ожидание;
г) дисперсию;
д) среднее квадратическое отклонение;
е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке 
;
ж) построить графики функций и F(x).
16. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:
Найти:
а) значение параметра A;
б) плотность распределения вероятностей ;
в) математическое ожидание;
г) дисперсию;
д) среднее квадратическое отклонение;
е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке 
;
ж) построить графики функций и F(x).
17. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины X:
Найти:
а) значение параметра A;
б) функцию распределения F(x);
в) математическое ожидание;
г) дисперсию;
д) среднее квадратическое отклонение;
е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке 
;
ж) построить графики функций и F(x).
18. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины X :
Найти:
а) значение параметра a;
б) функцию распределения F(x);
в) математическое ожидание;
г) дисперсию;
д) среднее квадратическое отклонение;
е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке 
;
ж) построить графики функций и F(x).
19. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:
Найти:
а) значение параметра A;
б) плотность распределения вероятностей ;
в) математическое ожидание;
г) дисперсию;
д) среднее квадратическое отклонение;
е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке 
;
ж) построить графики функций и F(x).
20. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:
Найти:
а) значение параметра A;
б) плотность распределения вероятностей ;
в) математическое ожидание;
г) дисперсию;
д) среднее квадратическое отклонение;
е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке 
;
ж) построить графики функций и F(x).
21. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины X:
Найти:
а) значение параметра A;
б) функцию распределения F(x);
в) математическое ожидание;
г) дисперсию;
д) среднее квадратическое отклонение;
е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке 
;
ж) построить графики функций и F(x).
22. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:
Найти:
а) значение параметра A;
б) плотность распределения вероятностей ;
в) математическое ожидание;
г) дисперсию;
д) среднее квадратическое отклонение;
е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке 
;
ж) построить графики функций и F(x).
23. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины X:
Найти:
а) значение параметра A;
б) функцию распределения F(x);
в) математическое ожидание;
г) дисперсию;
д) среднее квадратическое отклонение;
е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке 
;
ж) построить графики функций и F(x).
24. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:
Найти:
а) значение параметра A;
б) плотность распределения вероятностей ;
в) математическое ожидание;
г) дисперсию;
д) среднее квадратическое отклонение;
е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке 
;
ж) построить графики функций и F(x).
25. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:
Найти:
а) значение параметра A;
б) плотность распределения вероятностей ;
в) математическое ожидание;
г) дисперсию;
д) среднее квадратическое отклонение;
е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке 
;
ж) построить графики функций и F(x).
26. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины X:
Найти:
а) значение параметра A;
б) функцию распределения F(x);
в) математическое ожидание;
г) дисперсию;
д) среднее квадратическое отклонение;
е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке 
;
ж) построить графики функций и F(x).
27. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:
Найти:
а) значение параметров 
;
б) плотность распределения вероятностей ;
в) математическое ожидание;
г) дисперсию;
д) среднее квадратическое отклонение;
е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке 
;
ж) построить графики функций и F(x).
28. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:
Найти:
а) значение параметра A;
б) плотность распределения вероятностей ;
в) математическое ожидание;
г) дисперсию;
д) среднее квадратическое отклонение;
е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке 
;
ж) построить графики функций и F(x).
29. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:
Найти:
а) значение параметров A и B;
б) плотность распределения вероятностей ;
в) математическое ожидание;
г) дисперсию;
д) среднее квадратическое отклонение;
е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке ;
ж) построить графики функций и F(x).
30. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X:
Найти:
а) значение параметров A и B;
б) плотность распределения вероятностей ;
в) математическое ожидание;
г) дисперсию;
д) среднее квадратическое отклонение;
е) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке 
;
ж) построить графики функций и F(x).
6.3 Теоретические вопросы к защите расчетного задания № 6
1. Какую случайную величину называют непрерывной?
2. Как задают закон распределения непрерывной случайной величины?
3. Что называют плотностью распределения непрерывной случайной величины?
4. Сформулируйте характеристические свойства плотности распределения.
5. Чему равна вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение?
6. Как с помощью функции распределения найти вероятность того, что непрерывная случайная величина попадет в интервал (a, b)?
7. Как с помощью плотности распределения найти вероятность того, что непрерывная случайная величина попадет в интервал (a, b)?
8. Как определяется математическое ожидание непрерывной случайной величины?
9. Как выглядит формула, определяющая дисперсию непрерывной случайной величины?
10. Какое распределение вероятностей называется равномерным?
11. Какой вид имеет функция распределения случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [а; b]?
12. Как вычислить вероятность попадания значений равномерно распределенной случайной величины в заданный промежуток?
13. Как определяется показательное распределение случайной величины?
14. Какой вид имеет функция распределения случайной величины, распределенной по показательному закону?
15. Какое распределение вероятностей называется нормальным?
16. Какими свойствами обладает плотность нормального распределения? Как влияют параметры нормального распределения на вид графика плотности нормального распределения?
17. Как вычислить вероятность попадания значений нормально распределенной случайной величины в заданный промежуток?
18. Как вычислить вероятность отклонения значений нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания?
19. Сформулируйте правило «трех сигм»?
20. Чему равны математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по равномерному закону на отрезке [а; b]?
21. Чему равны математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по показательному закону с параметром λ?
7 СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
7.1 Теоретические сведения и примеры решения задач
Функция распределения системы двух случайных величин (X, Y):
.
Распределение двумерной дискретной случайной величины (X, Y):
.
Распределения компонент двумерной дискретной случайной величины (X, Y):
, i = 1, 2, …
, j = 1, 2, …
Плотность распределения двумерной непрерывной случайной величины (X, Y):
.
Выражение для функции распределения непрерывной случайной величины (X, Y):
Характеристическое свойство плотности совместного распределения (X, Y):
.
Плотности распределения составляющих двумерной непрерывной случайной величины (X, Y):
,
.
Математические ожидания и дисперсии составляющих двумерной непрерывной случайной величины (X, Y):
, 
,
, 
.
Корреляционный момент двумерной дискретной случайной величины (X, Y):
.
Корреляционный момент двумерной непрерывной случайной величины (X, Y):
.
Здесь 
и 
− математические ожидания составляющих Х и Y соответственно.
Коэффициент корреляции двумерной случайной величины (X, Y):
,
где 
и 
– средние квадратические отклонения составляющих Х и Y соответственно.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 |
