Теория вероятностей и математическая статистика. Методические рекомендации и контрольные задания (стр. 4 )

Условие независимости дискретных случайных величин Х и Y:

, т. е. .

Условие независимости непрерывных случайных величин
Х и Y:

.

Задача. Случайная величина (Х, Y) равномерно распределена внутри эллипса . Найти: а) плотность совместного распределения (Х, Y), б) плотности распределения и математические ожидания составляющих Х и Y; в) корреляционный момент и коэффициент корреляции Х и Y; г) вероятность попадания (Х, Y) в область G, определяемую соотношениями , . Доказать зависимость Х и Y.

Решение. а) В данном случае (с = const) внутри эллипса, вне эллипса . Константу с найдем, воспользовавшись
характеристическим свойством двумерной плотности вероятности , из уравнения

,

или

,

где D – область, ограниченная данным эллипсом.

Известно, что , где – площадь области D. В данном случае . Подставляя это значение в последнее уравнение, выражаем с: . Таким образом, плотность совместного распределения Х и Y имеет вид:.

б) Плотности распределения составляющих Х и Y найдем, взяв интегралы по переменным у и х соответственно:

Математические ожидания составляющих Х и Y системы вычислим следующим образом:

, .

Математические ожидания равны нулю как интегралы от нечетных функций в симметричных пределах интегрирования.

в) Найдем корреляционный момент системы двух случайных величин Х и Y, для чего воспользуемся формулой:

.

В данном случае имеем: .

Внутренний интеграл представляет собой интеграл от нечетной функции в симметричных пределах интегрирования, он равен нулю, следовательно, корреляционный момент также равен нулю.

г) Определим вероятность попадания (Х, Y) в область G, определяемую соотношениями , :

.

Случайные величины Х и Y являются зависимыми, так как
не выполняется равенство . В самом деле, .

7.2 Варианты задачи № 7

Система случайных величин (двумерная случайная величина) (X,Y) задана плотностью распределения р(x,y) в области D. Найти коэффициент А, плотности распределения р1(x) и р2(y) составляющих
X и Y, вычислить вероятность попадания величины (X,Y) в область G, то есть P((X,Y)ЄG).

№ вар.	р(x,y)	Область D определима неравенствами	Область G
1	2	3	4
1
2
3
4
5
6

1	2	3	4
7
8
9
10
11
12
13
14
15

Система случайных величин (двумерная случайная величина) (X,Y) задана плотностью распределения р(x,y) в области D. Найти коэффициент A, M(Y), D(X), D(Y), корреляционный момент µ(x,y) и коэффициент корреляции rxy.

№ вар.	р(x,y)	Область D задана неравенствами
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25

Закон распределения двумерной дискретной случайной величины задан таблицей. Найти законы распределения составляющих и , математические ожидания дисперсии , корреляционный момент коэффициент корреляции . Найти вероятность попадания случайной величины в область .

№ вар.	Закон распределения случайной величины	Область задана неравенствами
26	Y X 1 2 3 4 5 -4 0,02 0,03 0,04 0,02 0,01 0 0,03 0,08 0,10 0,07 0,04 2 0,04 0,06 0,12 0,09 0,05 4 0,01 0,02 0,09 0,06 0,02
27	Y X -2 0 2 4 6 1 0,01 0,02 0,10 0,07 0,02 2 0,05 0,08 0,12 0,09 0,06 3 0,02 0,07 0,09 0,06 0,03 4 0,01 0,03 0,04 0,02 0,01
28	Y X -2 -1 0 1 2 3 -1 0,02 0,02 0,02 0,03 0,04 0,02 0 0,03 0,03 0,05 0,11 0,08 0,06 1 0,03 0,04 0,06 0,08 0,07 0,05 2 0,01 0,01 0,02 0,05 0,04 0,03
29	Y Х -2 0 2 4 5 6 -1 0,01 0,03 0,05 0,09 0,02 0,01 0 0,03 0,04 0,08 0,12 0,08 0,05 1 0,02 0,02 0,05 0,09 0,07 0,02 2 0,01 0,01 0,02 0,04 0,03 0,01
30	Y Х -2 0 2 4 6 8 0 0,02 0,03 0,03 0,02 0,02 0,02 2 0,06 0,07 0,09 0,06 0,04 0,03 4 0,05 0,08 0,10 0,05 0,03 0,02 6 0,03 0,04 0,06 0,02 0,02 0,01

7.3 Теоретические вопросы к защите расчетного задания № 7