Приложение
Интегрированный урок математики и информатики в 11 классе.
Тема: Математическое моделирование
Тип урока: Урок совершенствования знаний, умений и навыков.
Вид урока: Урок – беседа с активным привлечением учащихся к обсуждению вопросов, положений, задач.
Приемы активизации познавательной деятельности школьников: Использование учителем ярких примеров и фактов.
Цель: Познакомить учащихся с методом построения математических моделей из различных областей знаний.
Опорные знания: Понятие интеграла, формулы первообразных. Уметь:
- проводить вычислительный эксперимент; составлять математические модели для решения задач из различных областей знаний; вырабатывать умение объяснять, излагать свои мысли, вырабатывать организаторские навыки.
Знать:
- Алгоритм вычисления интеграла приближенными методами Методы вычисления определенных интегралов. Формулы первообразных.
Ход урока:
Урок проходит в форме заседания творческой лаборатории. Класс разбит на группы:
- Математики; Аналитики; Экспертная группа; Группа программистов.
Погружение в тему:
Математика за 2500 лет своего существования накопила богатейший инструмент для исследования окружающего нас мира. Однако, как заметил выдающийся русский математик и кораблестроитель , человек обращается к математике « не затем, чтобы любоваться неисчислимыми сокровищами. Ему, прежде всего нужно ознакомиться со столетиями испытанными инструментами и научиться ими правильно и искусно управлять»
Главная сила математики состоит в том, что вместе с решением одной конкретной задачи она создает общие приемы и способы, применимые во многих ситуациях, которые не всегда можно предвидеть, а описать языком уравнений и других математических средств. Создает так называемую математическую модель.
Зачем нужны модели?
Модель- это упрощенное описание сложных объектов. Фотографию человека можно назвать его моделью, но по фотографии нельзя узнать характер человека, его способности, рост, вес и т. д.
Различные экономико-математические модели создаются и изучаются, потому, что проводить эксперименты с экономикой очень сложно, а часто и невозможно.
перед штурмом Измаила проводил тренировки своих солдат на специально подготовленных фортификационных сооружениях. Это была модель будущих боевых действий. Здесь проводилось обучение солдат штурму крепости. Очень часто на практике встречаются ситуации, когда объект исследования либо недоступен для наблюдения, либо для проведения эксперимента.
Например, – изучение внутреннего строения Земли на основе которых можно было бы прогнозировать месторождения полезных ископаемых, предсказывать место и время землетрясения.
Другой пример: в медицине исследования направленные на выявление патологий внутренних органов человека.
В этих ситуация для исследования процессов создаются математические модели. Процесс построения моделей называется моделированием. Математическое моделирование относится к знаковому моделированию. Сегодня на уроке разработаем математическую модель для вычисления объемов геометрических тел и для вычисления давления жидкости на стенки сосуда.
1. Задача.
Пусть нам надо найти объем нестандартных тел:
- Лимона Сосуда Картофелины
Построение математической модели:
Объем сосуда равен массе жидкости деленной на плотность. Объем картофелины равен объему вытесненной жидкости, если она тонет.
Vk=Vj
Если тело плавает наполовину, то V=2*Vj (объем вытесненной жидкости т. е. полностью не погружено в жидкость), а если часть тела находится над водой, при нахождении объема физика нам не поможет.
Рассмотрим способы вычисления объемов в математике
(См. Колмогоров, Абрамов «Алгебра и начала анализа», стр.188,189).
Заслушивается сообщение двух учащихся из группы математиков. Выводится формула вычисления объема пирамиды с помощью интеграла и объем любого тела получаемого вращением (стр. 189).
Разберем домашнее задание: Дома вы построили график функции: Y=3x2-x3
Найдем объем тела вращения, полученного вращением кривой этого графика на [-1; 2] относительно оси ОХ.
Группа аналитиков вычисляет интеграл методами математики.
Постановка задачи численного интегрирования.
Учащийся из группы программистов сообщает о методах приближенного вычисления интеграла.
При вычислении определенного интеграла функции f(x) на промежутке от А до В, где f(x) непрерывная на данном отрезке функция, иногда удается воспользоваться формулой Ньютона – Лейбница
.
– одна из первообразных функций, однако, даже в таких практических редких случаях, когда первообразную явно найти в аналитической форме не всегда удается, можно довести до числового ответа значение определенного интеграла. Если, что подинтегральная функция иногда задается в табличной или графической форме, то становиться понятным, почему интегрирование по формуле не получает широкого применения на практике. Под задачей численного интегрирования понимают приближенное вычисление значения интеграла, при условии, что известны отдельные значения подинтегральной функции.
Для приближенного вычисления интеграла существует много численных методов. Рассмотрим метод прямоугольников. При вычислении определенного интеграла следует помнить, каков геометрический смысл определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла численно равен площади фигуры, ограниченной графиком функции, осью OX и прямыми X=A, X=B. Таким образом, вычисление определенного интеграла равносильно вычислению площади криволинейной трапеции.
Разделим отрезок от А до В на N равных частей. Длина каждого элементарного отрезка равна h=(b-a)/n. Точки деления будем называть узлами. Вычислим значение функции в этих узлах. Площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью многоугольника составленного из N прямоугольников.
Группа программистов разрабатывает алгоритм решения задачи.
Рассматривается блок-схема.
Программа заранее записана в файле на компьютере.
По готовой программе вычисляют интеграл и сравнивают результаты при изменении N.
program left;
var x1,x2,f1,f2,a, b,h, s:real;
n, i,j: integer;
begin
for j:=1 to 3 do begin
write ('число делений отрезка n-');
readln (n);
a:=0.6;
b:=1.0;
s:=0;
h:=(b-a)/n;
x1:=a;
for i:=1 to n do begin
f1:=3*x*x-exp(3*ln(x));
s:=s+h*f1;
x1:=x1+h;
end;
writeln ('s=' ,s);
end;
readln;
end.
Вывод: чтобы найти объем тела вращения, достаточно знать первообразную функции, образующей тело вращения. Однако, при вычислении интеграла приближенными методами с помощью ЭВМ, можно обойтись без первообразной.
Построив математическую модель, мы упростили процесс нахождения объема любого тела. Эта математическая модель позволяет решать следующие задачи.
Группа экспериментаторов осуществляет постановку задачи:
2. Задача.
Рассмотрим задачу о силе давления жидкости.
Пусть пластинка в форме криволинейной трапеции погружена вертикально в жидкость с плотностью r так, чтобы ее боковые стороны были параллельны поверхности жидкости и находились ниже ее уровня на расстоянии А и Б. Требуется найти силу давления жидкости на пластинку.
Если пластинка находится в горизонтальном положении на глубине h от поверхности жидкости, то сила давления, P, жидкости в Ньютонах на горизонтальную пластину будет равна весу столба жидкости, имеющего основанием данную пластину, а высотой – глубину погружения h.
P=q*r*s*h, (1), где S - площадь пластинки, r - плотность жидкости.
Если же пластинка погружена в жидкость вертикально, то по формуле (1) давление жидкости на пластинку не может быть вычислено, так как, в этом случае давление жидкости на единицу площади пластинки изменяется с глубиной. Для этого рассмотрим такой же алгоритм, как и в нахождении объема тела.
Разобьем пластинку на N равных частей прямыми параллельными поверхности жидкости и проходящими через точки деления.
Х0…Хn, длина отрезка
.
Выделим одну из полосок, находящуюся на глубине Хi. Полоску можно принять за прямоугольник с высотой 
х=х-х0=(b-a)/n;
Длина основания прямоугольника является функцией абсциссы х.
Обозначим ее через f(x) на промежутке [a;b], тогда давление P=q*r*f(x)*x*
x. Просуммировать силы давления жидкости на все полоски, найдем
.
Вот теперь эта математическая модель позволяет нам решать многие задачи физики.
3. Задача.
Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Найдем силу давления воды на(r=1000 кг/м2), наполняющей аквариум, на одну из вертикальных стенок, размером 0,4м и 0,7м.
Решение:
Выберем систему координат так, чтобы оси оу и ох соответственно содержали верхнее основание и боковое ребро вертикальной стенки.
Для нахождения давления воспользуемся полученной формулой.
Пределы интегрирования 0 и 0,4, то получим
Задача 4.
Определить силу давления масла (плотность 900кг/м2) на вертикальную стенку, имеющую форму полукруга, равную 5м, диаметр которого находится на поверхности.
Выберем систему координат, как показано на рисунке.
Так как стенка есть круг радиуса 5м, то
Значение интеграла вычислили с помощью компьютера.
Домашнее задание дифференцированное:
1. Определить давление на стенку шлюза, длина которой 20м и высота 5м, считая шлюз доверху заполнен водой. Составить математическую модель для решения задачи.
2. Вычислить длину дуги, уравнение которой задано 
от ее вершины А(0;0) до точки В(1;1).
3. Составить программу для вычисления интеграла методом прямоугольников.
Подведение итогов урока.
Предлагается материал для вычисления интегралов. Вычисление интеграла в группах методом правых прямоугольников.
Приложение
Фрагмент урока алгебры в 7 классе по теме «Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень»
Уровень 4
«Подумай и сделай открытие»
Учитель: Еще древние мудрецы считали, что «Величие человека в его способности мыслить». Нам сегодня предстоит на основании имеющихся у нас знаний получить новое знание.
Приведите пример одночлена, у которого 2 буквенных множителя
Приводят пример, например 2х2у3 (1 бонус) я записываю свой
(-5х25у4 ) запишем их следующим образом
2х2у3 (-5х25у4 )
Учитель: Как можно прочитать записанное выражение?
(произведение одночленов)
Учитель: Давайте попробуем вывести правило умножения одночленов?
(ученики на основе имеющихся знаний формулируют правило умножения одночленов) 3 бонуса
Учитель: Какой закон умножения применяется при умножении одночленов? (переместительный закон умножения) 2 бонуса
Учитель: Какие правила еще можно выделить в правиле умножения многочленов?
Возможные ответы учащихся:
-Правило умножения степеней с одинаковыми основаниями 2 бонуса
Учитель: В этом примере мы выполнили …(умножение одночленов)
Таким образом, мы сделали первое открытие … (как умножаются одночлены)
Выводится слайд с правилом умножения одночленов. Ученикам предлагается еще два примера на применение правила умножения одночленов к доске для решения вызываются ученики, работающие на воспроизводящем уровне.
Учитель: Составим новый пример
Приведите пример одночлена, у которого 3 буквенных множителя
Например 2х2у3 а7
Записываю (2х2у3 а7)2
Учитель: Что я хочу сделать с многочленом?
Ответ учащихся (Возвести во вторую степень)
Учитель: Как это можно сделать?
Ответ учащихся (записать как произведение одночленов и выполнить умножение)
Ответ учащихся (выполнить возведение в степень, пользуясь правилом возведения в степень произведения)
Учитель: Как удобнее возводить одночлен в степень?
Ответ учащихся 2 способом.
Учитель: Почему? Обоснуйте. (ответ учащихся)
Учитель: Значит, мы сделали второе открытие …(вывели правило возведения одночлена в степень) 2 бонуса.
Фрагмент урока алгебры в 8 классе «Решение квадратных уравнений»
Учитель: При решении некоторых квадратных уравнений оказывается, существенную роль играет сумма коэффициентов!
Рассмотрим это на уравнениях, которые вы решали дома
V. Этап проверки домашнего задания
|
Учитель предлагает найти сумму коэффициентов (она равна 0)
Учитель: Внимательно посмотрите на уравнения и их корни, найдите закономерность
а) в значениях корней этих уравнений;
б) в соответствии между отдельными коэффициентами и значением корней;
в) в сумме коэффициентов
Ответ учащихся …..
Выводы учащихся или с помощью учителя.
Запись свойства в тетрадь.
Приложение
Фрагмент урока алгебры в 7 классе по теме «Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень».
Уровень 3
«да или нет - вот в чем вопрос»
Проводится в форме математического диктанта. Ученикам необходимо определить верно, утверждение или нет.
Верно ли утверждение, определение, свойство?
1. Одночленом называют сумму числовых и буквенных множителей.
2. Буквенный множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена.
3. Целое выражение, которое содержит произведение чисел и букв, называют одночленом
4. Сумма показателей степеней всех букв входящих в одночлен называется степенью одночлена.
5. Одинаковые или отличающиеся друг от друга только коэффициентами, называют подобными членами.
6. Алгебраическая сумма нескольких одночленов называется одночленом.
7. Степень одночлена не может быть равна нулю
8. 5 это одночлен
9. 2х2 + у3 - одночлен
Ученики осуществляют самопроверку по выведенным ответам,
Проверяем 1 верный ответ 1 бонус
Замечание: при проверке ответа на 3 вопрос формулируем определение одночлена и приводим его толкование из большого энциклопедического словаря
Одночлен - произведение, состоящее из числового множителя (коэффициента) и одной или нескольких букв, взятых каждая с тем или иным показателем степени. Например:
– 3a2bc3;
-14ху;
– а.
Приложение
Пример презентации, составленной учащимися
Приложение
Фрагмент урока алгебры в 9 классе по теме «Прогрессии»
3. Этап актуализации знаний.
Учитель:
Ребята продолжите фразу
*арифметическая прогрессия - это последовательность чисел в которой….
*геометрическая прогрессия - это последовательность чисел в которой….
*числа, образующие последовательность называют…
*последовательности задают с помощью ….
(Запишите формулы для прогрессий, запишите формулы позволяющие находить сумму нескольких членов прогрессий)
* разность арифметической прогрессии обозначают буквой ….
* знаменатель геометрической прогрессии обозначают буквой ….
Приложение
«Исследовательская работа»
Приложение
Примеры формирования компетенций на разных этапах урока.
Этапы урока |
Целевой компонент модели: цель, подходы, принципы Компетентностный подход Принципы: выбора, управляемости и целенаправленности, образовательной рефлексии, доверия и поддержки | Результативный компонент | Содержательно –процессуальный компонент модели: механизм реализации, методы, педагогические условия |
Проверка домашнего задания | Цель: активировать умственную деятельность учеников, развивать критическое мышление, учить оценивать знания учеников | Результативность: формирование учебно-познавательной и коммуникативной компетенции | Рецензирование ответов товарищей по домашнему заданию Анализ составленных мини-конспектов |
Проверка домашнего задания | Цель: развивать самостоятельность мышления, формировать гибкость и точность мысли, развивать внимание и память | Результативность: формирование компетенции личного самосовершенствования | Математический диктант (по страницам домашнего задания с ограничением времени решения) |
Изучение нового материала | Цель: учить исследовательской работе | Результативность: формирование общекультурной компетенции | Доказательство теорем, лемм, составление математического словаря и т. п. |
Изучение нового материала | Цель: учить краткой рациональной записи, отрабатывать умение делать выводы и обобщения | Результативность: формирование информационной, ценностно-смысловой компетенции | Лекция с использованием приобретенной учениками информации |
Изучение нового материала | Цель: учить оперировать знаниями, развивать гибкость использования знаний | Результативность: формирование компетенций учебно-познавательной, личного самосовершенствования, социально-трудовой, коммуникативной | Коллективная экспериментальная работа, исследование, поиск решения поставленной проблемы |
Изучение нового материала | Цель: обучать работе с информацией; закрепить знание текста, понимание темы | Результативность: формирование коммуникативной и учебно-познавательной компетенций, развитие информационной компетенциии | Работа с учебником (учебная практическая работа) |
Физкульт-минутка (перерыв) | Цель: развивать эмоциональность речи, творческую деятельность | Результативность: формирование компетенций личного самосовершенствования | Игры-физкультминутки, |
Закрепление, тренировка, отрабатыва- ние умений и навыков | Цель: закрепить полученные знания о нахождении процента величины, и т. п.; разработать правила (алгоритмы) запоминания | Результативность: формирование компетенции личного самосовершенствования, социально-трудовой, ценностно-смысловой | Самостоятельная работа в тестовой форме Самостоятельная работа |
Закрепление, тренировка, отрабатыва- ние умений и навыков | Цель: закрепить умение решать задачи и примеры | Результативность: формирование всех видов компетенций в зависимости от подобранных задач | Решение задач, примеров с комментированием |
Закрепление, тренировка, отрабатыва- ние умений и навыков | Цель: закрепить знания учеников, формировать умения проверять, слушать, думать | Результативность: формирование учебно-познавательной, общекультурной и коммуникативной компетентций | Математическая эстафета и др. |
Закрепление, тренировка, отрабатыва- ние умений и навыков | Цель: развивать личную позицию учеников, опираясь на их знание темы | Результативность: формирование интеллектуальной компетенции | Решение задач несколькими способами |
Закрепление, тренировка, отрабатыва- ние умений и навыков | Цель: закрепить знания о производной и ее применении, и т. п.; разработать правила (алгоритмы) запоминания | Результативность: формирование компетенции, которая оказывает содействие саморазвитию | Исследование различных видов памяти |
Творческая работа | Цель: показать на основе изученного материала умение учеников создавать проекты | Результативность: формирование поликультурной компетенций | Создание проектов |
Контроль | Цель: учить детей воображению и умению абстрагироваться | Результативность: формирование коммуникативной, учебно-познавательной, информационной, интеллектуальной компетенций | Создание рекламы (презентации) изучаемой темы (урока), работа в группах с взаимной оценкой |
Контроль | Цель: учить детей, опираясь на полученные знания, самостоятельно работать | Результативность: формирование социально-трудовой компетенции | Самостоятельная работа со взаимопроверкой; дифференцированная контрольная работа, тестовый контроль |
Контроль | Цель: проверить знания учеников согласно их уровню подготовки | Результативность: формирование социально-трудовой, ценностно-смысловой компетенций, а также других различных видов компетенций, в зависимости от подобранных задач | Разноуровневые задачи: репродуктивные, особой сложности, на сообразительность, математическую логику, и т. п. |
Домашнее задание | Цель: проверить усвоение материала урока, формировать умение подбирать примеры | Результативность: формирование компетенции личного самосовершенствования | Составить вопросы, задачи и примеры по теме урока |
Домашнее задание | Цель: развивать эмоциональность речи, творческую деятельность | Результативность: формирование компетенций личного самосовершенствования и общекультурной | Написание сказок, фантастических историй, докладов, выполнение исследовательских работ |
Домашнее задание | Цель: проверить знания учеников согласно их уровню подготовки | Результативность: формирование интеллектуальной компетенции | Разноуровневые задачи: репродуктивные, особой сложности, на сообразительность, математическую логику, и т. п. |
Приложение
Работа учителя по отбору содержания в соответствии с выбранными компетенциями
Компетенция | Темы и цели уроков, математические объекты | Сущность заданий | Примечания |
Ценностно-смысловая Цель: осмысленная организация собственной деятельности | Содержание новой темы | Формулировка детьми вопросов по изучаемой теме, начинаются со слов: “зачем”, “почему”, “как”, “чем”, “о чём”, оценивается самый интересный. | Используется на начальных этапах изучения новой темы. Ни один вопрос не остается без ответа |
Математическая цель урока, цикла уроков | Используя жизненный опыт ребёнка, помочь ему самостоятельно сформулировать цель. | ||
Текст учебника | Организация самостоятельного изучения отдельных параграфов учебника. Задание: пересказать или пояснить прочитанное: выделить, обозначить, подвести итог, подчеркнуть, перечислить, произнести... | Используется при обучении составлению краткого конспекта параграфа учебника | |
Информационная Цель: учить добывать нужную информацию, используя доступные источники (справочники, учебники, словари, СМИ), передавать ее | Расчетные задачи на движение, стоимость | За 1-2 недели до урока – практикума по решению расчетных задач выдаётся карточка с указанием набора данных, необходимых для урока. Дети собирают данные, используя доступные им источники. Данные адаптируются учителем при подготовке к уроку. | По мере необходимости |
Старинные меры длины, массы, исторические термины, математические понятия, образованные от иностранных или устаревших слов | Используя толковый словарь, дайте различные определения математического понятия. Например: в математике модуль - это… В строительстве модуль – это … | Работа проводится при изучении новых терминов | |
Коммуникативная Цель: совершенствовать навыки работы в группе, умение работать на результат, доказывать собственное мнение, вести диалог | Математические софизмы | Задание: расскажи соседу по парте определение, правило, выслушай его ответ, правильное определение обсудите в четвёрке. Получи пропуск на урок, рассказав правило консультанту. | Работа в начале урока |
Определения математических понятий; числа (натуральные, дробные и т. д.) | По карточке-тренажеру необходимо сдать консультанту зачет по устному счету (при выполнении задания учитывается затраченное время). | Во внеурочное время |
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
