Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто
- 30% recurring commission
- Выплаты в USDT
- Вывод каждую неделю
- Комиссия до 5 лет за каждого referral
22. Суммы степеней натуральных чисел.
23. Метод бесконечного спуска.
24. Бинарные отношения.
25. Избранные задачи на делимость.
26. Коммутант и центр группы.
27. Аксиоматическое построение теории определителей.
28. Классические группы малых размерностей SU(2),SO(3), кватернион.
29. Поле разложения многочлена.
30. Прикладные вопросы теории симметрических многочленов.
31. Конечные абелевы группы.
32. Полные абелевы группы.
33. Группы подстановок.
34. Факториальные кольца.
35. Нильпотентные группы без кручения.
36. Конечные нильпотентные группы.
Примерный перечень вопросов к экзаменам
1 семестр
1. Множество. Способы задания множеств. Подмножества. Равные множества. Отношение между множествами.
2. Операции над множествами. Объединение, пересечение, разность множеств. Дополнение. Свойства операций.
3. Число элементов объединения множеств.
4. Прямое произведение множеств. Правило произведения. Факториал.
5. Подмножества конечного множества. Основное свойство сочетаний.
6. Доказательство формулы Бином Ньютона. Основные свойства коэффициентов бинома Ньютона.
7. Понятие бинарного отношения. Способы задания бинарных отношений. Область определения, область значений. Равные бинарные отношения. Инверсия.
8. Виды бинарных отношений: симметричные, рефлексивные, транзитивные, связанные. Их графики.
9. Операции над бинарными отношениями. Свойства.
10. Отношение порядка. Виды отношений порядка.
11. Отношение эквивалентности.
12. Классы эквивалентности. Свойства классов эквивалентности.
13. Разбиение множества на классы. Фактор-множество.
14. Арифметический вектор. Операции над ними. Свойства операций.
15. Понятие матрицы. Действия с матрицами.
16. Системы линейных уравнений. Решение системы. Различные формы записи системы линейных уравнений. Совместные, несовместные системы.
17. Равносильные СЛУ. Элементарные преобразования.
18. Решение СЛУ методом Гаусса.
19. Однородные СЛУ. Множество решений однородной системы ЛУ. Связь с системой ЛУ.
20. Линейно зависимая и линейно независимая система векторов. Свойства.
21. Базис конечной системы векторов. Нахождение базиса, (все методы).
22. Эквивалентные системы векторов. Ранг системы векторов.
23. Ранг матрицы. Равенство столбцевого и строчечного рангов матрицы.
24. Фундаментальный набор решений СЛУ (однородных).
25. Условие совместности СЛУ. Теорема Кронекера-Капелли.
26. Подстановки. Умножение подстановок. Свойства умножения.
27. Запись подстановки в виде цикла. Теорема о четности подстановки. Свойства знаки подстановки.
28. Определители второго порядка.
29. Определители второго порядка.
30. Определители третьего порядка.
31. Определитель n-го порядка. Свойства 1-3.
32. Определитель n-го порядка. Свойства 4-6.
33. Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя.
34. Обратная матрица. Критерий обратимости. Матричное решение уравнений.
35. Нахождение обратной матрицы с помощью определителя.
36. Метод Крамера.
2 семестр
1. Делимость в произвольном кольце. Обратимые, ассоциированные элементы кольца элементы кольца. Область целостности, отношение делимости в ОЦ.
2. Простые и составные элементы ОЦ К. Разложение элементов в ОЦ К на простые множители.
3. Простое трансцендентное расширение ОЦК. Степень полинома. Деление полинома на двучлен (x-c). Теорема Безу. Схема Горнера.
4. Теорема о наибольшем числе корней полинома над ОЦК.
5. Функциональное и алгебраическое равенство полиномов.
6. Теорема о делении полиномов с остатков. Единственность представления
7. Делимость полиномов, свойства с доказательство.
8. Наибольший общий делитель полиномов и его представление. НОК.
9. Неприводимые полиномы над полем Р. Свойства.
10. Теорема о разложении унитарного полинома в произведение неприводимых полиномов.
11. Формальное производное и разложение по степеням двучлена.
12. Неприводимые кратные множители полинома отделение кратных множителей.
13. Полиномы над полем комплексных чисел, формулы Виета.
14. Сопряженность полиномов над полем действительных чисел, приводимость полиномов.
15. Методы решений уравнений 3-ей и 4-ой степени. Исследование корней кубического уравнения над R.
16. Неприводимость полинома над полем Q. Критерий Эйзенштейна.
17. Разложение корней полинома над полем Q.
18. Полиномы системы Штурма. Свойство.
19. Теорема Штурма.
20. Результат и дискриминант полиномов.
21. Кольцо полиномов от переменных. Лексика графический порядок. Лемма о произвольных полиномов.
22. Симметрические полиномы. Лемма 1,2.
23. Основная теорема о симметрических полиномах.
24. Многочлены над полем рациональных чисел.
25. Целые и рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Критерий неприводимости Эйзенштейна.
3 семестр
1. Отношение делимости и его свойства.
2. Деление с остатком.
3. НОД. Алгоритм Евклида.
4. НОД. Свойства НОД.
5. НОК. Свойства НОК.
6. Простые и составные числа. Свойства простых чисел.
7. Основная теорема арифметики.
8. Цепные дроби. Представление чисел цепными дробями.
9. Подходящие дроби. Свойства.
10. Систематические числа. Представление числа в систематическом виде.
11. Систематические числа. Перевод из одной системы в другую.
12. Систематические числа. Операции над систематическими числами.
13. Сравнения и их основные свойства.
14. Классы вычетов по модулю. Полная и приведенная системы вычетов.
15. Функция Эйлера. Определение. Вычисление функции Эйлера. Свойства.
16. Теоремы Эйлера и Ферма. Применение их к нахождению остатков от деления целых чисел.
17. Сравнения с неизвестной величиной. Теоремы о равносильности.
18. Сравнения высших степеней.
19. Сравнения первой степени. Условие существования единственного решения. Способы решения
20. Сравнения первой степени. Условие существования множества решений.
21. Сравнения первой степени. Условие отсутствия решения. Способы решения
22. Сравнения первой степени. Способы решения.
23. Первообразные корни. Свойства
24. Индексы. Основные свойства.
25. Определение длины периода десятичной дроби.
26. Индексы. Применение индексов к решению сравнений.
4 семестр
1. Понятие поля и векторного пространства. Примеры векторных пространств. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и размерность векторного пространства.
2. Изоморфизм векторного пространства.
3. Понятие подпространства векторного пространства. Критерий подпространства.
4. Подпространство решений СЛОУ. Фундаментальное решение.
5. Понятие линейного многообразия. Линейное многообразие решений СЛУ.
6. Понятие линейной оболочки. Докажите: линейная оболочка есть подпространство, его базис и размерность. Задание СЛОУ.
7. Пересечение подпространств, базис и размерность.
8. Сумма подпространств, базис и размерность.
9. Теорема Грассмана.
10. Прямая сумма подпространств.
11. Координаты вектора в различных базисах. Матрица перехода.
12. Понятие скалярного произведения векторов, примеры. Евклидовы пространства.
13. Вычисление угла между векторами.
14. Ортогональная система векторов, ее линейная независимость.
15. Матрица и определитель Грамма.
16. Задание скалярного произведения в координатах.
17. Процесс ортогонализации.
18. Ортогональное дополнение подпространства.
19. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектора.
20. Угол между вектором и подпространством.
21. Расстояние от вектора до подпространства.
22. Объем к-мерного параллелепипеда.
23. Понятие линейного оператора, примеры, задание матрицей.
24. Действия над линейными операторами.
25. Образ и ядро линейного оператора, их базис и размерность.
26. Собственные значения и собственные вектора линейного оператора, их свойства, способы нахождения.
27. Линейный оператор с простым спектром. Условие, при котором матрица оператора подобна диагональной.
5 семестр
1. Понятие бинарной алгебраической операции. Свойства.
2. Группы. Примеры. Подгруппы. Простейшие свойства групп. Признак подгруппы. Порядок группы.
3. Подгруппы и моноиды. Обобщенный закон ассоциативности. Различные определения групп.
4. Подгруппы. Система образующих групп.
5. Циклические группы и их подгруппы.
6. Гомоморфизм и изоморфизм групп. Ядро гомоморфизма. Графы групп.
7. Разложение группы на подгруппы. Теорема Лагранжа, следствия. Описание конечных групп небольшого порядка.
8. ПСК групп G по подгруппе Н. (ЛСК). Нормальный делитель. Признак нормальной подгруппы.
9. Нормальный делитель группы. Фактор-группа. Естественный гомоморфизм. Теорема о гомоморфизме групп.
10. Кольцо. Основные свойства. Подкольцо. Характеристика кольца.
11. Гомоморфизмы колец.
12. Идеалы и операции над ними. Сравнения и классы вычетов по идеалу. Фактор-кольцо.
13. Делимость идеалов. НОД и НОК идеалов. Их существование.
14. Поле частных ОЦ.
15. Главные идеалы. Кольца главных идеалов. Свойства. Факториальность колец главных идеалов. Евклидовы кольца.
16. Поля. Свойства поля.
9 семестр
1. Аксиоматический метод. Аксиоматическая теория
2. Аксиоматическая теория натуральных чисел.
3. Свойства натуральных чисел
4. Категоричность аксиоматической теории натуральных чисел
5. Независимость аксиомы индукции в аксиоматической системе натуральных чисел.
6. Аксиоматическая теория целых чисел.
7. Свойства целых чисел
8. Аксиоматическая теория рациональных чисел.
9. Свойства рациональных чисел.
10. Последовательности в нормированных полях.
11. Аксиоматическая теория действительных чисел.
12. Действительное число как предел последовательности рациональных чисел, существование корня натуральной степени из положительного действительного числа
13. Аксиоматическая теория комплексных чисел.
14. Свойства комплексных чисел.
15. Непротиворечивость аксиоматической теории комплексных чисел.
16. Категоричность аксиоматической теории комплексных чисел.
17. Гиперкомплексные числа. Теорема Фробениуса.
Примерный перечень вопросов к ГЭК
1. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиение на классы, фактор-множество.
2. Группа. Примеры групп. Простейшие свойства групп. Подгруппы. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.
3. Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства кольца. Подкольцо. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.
4. Система натуральных чисел. Принцип математической индукции.
5. Кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное целых чисел.
6. Поле. Простейшие свойства поля. Поле рациональных чисел. Примеры полей. упорядоченное поле. Система действительных чисел.
7. Поле комплексных чисел. Числовое поле. Геометрическое представление комплексных чисел и операций над ними. Тригонометрическая форма комплексного числа.
8. Векторное пространство. Примеры и простейшие свойства векторных пространств. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис ранг конечной системы векторов.
9. Следствие системы линейных уравнений. Равносильные системы линейных уравнений. Критерий совместности системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных.
10. Базис и размерность конечномерного векторного пространства. Подпространства. Линейные многообразия. Изоморфизмы векторных пространств.
11. Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение составного числа и его единственность.
12. Основные свойства сравнений. Полная и приведенная система вычетов. Теоремы Эйлера и Ферма. Линейные сравнения с одной переменной.
13. Приложение теории сравнений к выводу признаков делимости. Обращение обыкновенной дроби в десятичную и определение длины периода десятичной дроби.
14. Полиномы над полем. Наибольший общий делитель двух полиномов и алгоритм Евклида. Разложение полинома в произведение неприводимых множителей, его единственность.
15. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Сопряженность мнимых корней полинома с действительными коэффициентами. Неприводимые над полем действительных числе полиномы.
16. Строение простого алгебраического расширения поля. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.
17. Линейные операторы. Определение и задание линейного оператора. Матрица линейного оператора. Образ, ранг, ядро и дефект линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
18. Скалярное произведение векторов. Определение и основные свойства скалярного произведения. Ортогональные векторы, процесс ортогонализации. Евклидово векторное пространство. Основные задачи: нахождение ортогонального дополнения к пространству, ортогональной проекции одного вектора на другой, угла между векторами.
Б.3.9. Геометрия
Тематика контрольных работ
1 курс, 1 семестр
1) Элементы векторной алгебры в пространстве.
2) Метод координат на плоскости.
3) Линии второго порядка. Преобразования плоскости.
1 курс, 2 семестр
4) Метод координат в пространстве. Плоскости и прямые в пространстве.
5). Поверхности второго порядка.
2 курс, 3 семестр
6) Многомерные пространства.
7) Проективная геометрия.
8) Методы изображений.
2 курс, 4 семестр
9) Элементы топологии
10) Линии в евклидовом пространстве.
11) Поверхности в евклидовом пространстве.
3 курс, 5 семестр
12) Основания геометрии.
13) Геометрические построения на плоскости.
Примерные варианты контрольных работ.
1 курс, 1 семестр.
Контрольная работа №1
(Элементы векторной алгебры)
Вариант 1
1. Точки K и L служат серединами сторон BC и CD параллелограмма ABCD. Полагая 
и 
выразите через 
и 
векторы 
и 
.
как линейную комбинацию векторов 
и 
: 
Найдите: 
. 
, 
. При каком значении z вектор 
коллинеарен оси OY? Вариант 2
Докажите, что сумма векторов, начала которых находятся в центре правильного многоугольника, а концы – в его вершинах, равен нулевому вектору. Докажите, что вектор
- 
ортогонален вектору . 
, 
, 
а) Будут ли векторы 
и линейно зависимы?
б) Если “да”, то выразите вектор через другие векторы.
4. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если 
Контрольная работа №2
(Метод координат, прямая линия на плоскости)
Вариант 1
1. В репере R: 
. Найдите формулы преобразования: 
.
2. Запишите в общем виде уравнение прямой, заданной параметрически:
3. Изобразите фигуры:
а) 
и б) 
4. Дан правильный шестиугольник : ABCDEF. В 
. Найдите координаты: 
и 
.
Вариант 2
1. Дан параллелограмм OACB. 
, 
, где K и L середины сторон AC и BC. Найдите вершины параллелограмма в 
.
2. В ACK составьте уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки 3 и 5.
3. Пусть G и 
– центроиды 
и 
. Докажите: 
4. Установите взаимное расположение прямых: 
и 
Домашняя контрольная работа.
(Линии второго порядка, преобразования плоскости):
(Каждый студент решает свой вариант из перечня вариантов, составленных на
кафедре.)
1 курс, 2 семестр
Контрольная работа № 1
(Плоскости и прямые в пространстве).
Вариант 1
1. На оси Oy найдите точку, равноудаленную от двух точек 
и 
2. Тетраэдр ABCD: A(0;0;2), B(3;0;5), C(1;1;0), D(4;1;2). Вычислите длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.
3. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку пересечения плоскости
с прямой 
, лежащей в этой плоскости и перпендикулярную к
данной прямой.
4.Докажите, что сферы, определяемые уравнениями: 
и 
касаются внешним образом.
Вариант 2
1. Дан тетраэдр ABCD. E – середина BC, F – точка пересечения медиан 
. Найдите координаты относительно базиса (
.
2. Составьте общее уравнение плоскости: 
, 
и изобразите её в некоторой 
.
3. Определите координаты точки 
, симметричной точке 
относительно прямой: 
4. Определите расположение плоскости 
относительно сферы 
.
Домашняя контрольная работа
(Линии второго порядка преобразования плоскости).
(Каждый студент решает свой вариант из перечня вариантов, составленных на кафедре.)
2 курс, 3 семестр
Контрольная работа № 1
(Многомерные пространства, квадратичные формы и квадрики).
Вариант 1
1. 
Найдите угол 
2. 
Докажите: 
трапеция.
3. Составьте параметрические уравнения плоскости пространства 
заданного общими уравнениями :
4. Найдите все значения 
при которых квадратичная форма 
положительно определена :
5. Найдите нормальный вид квадрики в 
Установите её вид и формы преобразования координат:
.
Вариант 2
1. Докажите, что множество векторов, у которых координаты с нечетными номерами равны нулю, являются подпространством 
Найдите размер этого пространства.
2. 
Найдите координаты точки 
3. Напишите уравнение плоскости, имеющей максимальную размерность в 
и проходящую через точку 
ортогонально плоскости: 
4. Является ли квадратичная форма знакопеременной: 
5. Определите вид и формулы преобразования координат квадрики 
Контрольная работа № 2
(Проективная геометрия)
Вариант 1
1. Покажите (на примере), что при центральном проектировании отрезок 
можно отобразить в два луча 
и 
2. Точки 
порождены соответственно векторами:
а) Будет ли 
репером?
б) Если ”да”, то согласована ли система: 
в) Если ”нет”, то найдите систему 
которая будет согласована относительно 
3. 
а) Найдите координаты прямой 
; б) Будет ли 
4. Докажите: 
Вариант 2
1. Покажите (на примере), что свойство точек 
и 
лежать по разные стороны от прямой 
при центральной проекции может не сохраниться ( т. е. данное свойство не является проективным).
2. Составьте формулы преобразования координат: 
если в 
и 
3. 
. Найдите координаты точки 
4. 
попарно различные точки проективной прямой. Докажите: 
Домашняя контрольная работа
(Методы изображений)
(Каждый студент решает свой вариант из перечня вариантов, составленных на кафедре.)
2 курс. 4 семестр
Контрольная работа № 1
(Элементы топологии)
Вариант 1
1. 
Rn , 
Докажите: (
- метрическое пространство.
2. 
, 
.
а) Докажите :
топологическое пространство.
б) Определите все открытые и замкнутые множества (их вид).
3. Будет ли график уравнения: 
многообразием?
4. Дан квадрат на R2 : 
Выполнена “склейка”: 
Определите: а) вид многообразия; б) размерность и край; в) нормальную форму; г) 
Вариант 2
1. 
Будет ли 
метрическим пространством?
2. Докажите, что замыкание графика функции 
связано, но не линейно связано.
3. 
а) Докажите: топологическое пространство; б) Будет ли 
замкнуто, открыто? в) Найдите: 
4. Известно, что 
: а) докажите; б) можно ли утверждать, что тор гомеоморфен кольцу? в) запишите нормальные формы тора и кольца.
Контрольная работа № 2
( Дифференциальная геометрия).
Вариант 1
1. 
Определите: а) класс регулярности функций 
, 
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
