Контрольные вопросы для самостоятельной работы студентов (стр. 7 )

б) будет ли регулярной кривой?

Все ответы обосновать.

2. Составьте уравнение касательной к , в точке

3. Дана поверхность: Вычислите длину дуги линии между точками её пересечения с линиями

Вариант 2

1.  Можно ли утверждать, что для функции имеет место равенство:

2.  Найдите кривизну и кручение кривой ,

3.  Докажите, что на поверхности дифференциальное уравнение задает ортогональную сеть.

Домашняя контрольная работа

(Поверхности, внутренняя геометрия поверхности) .

(Каждый студент решает свой вариант из перечня вариантов, составленных на кафедре.)

3 курс, 5 семестр

Контрольная работа № 1

(Основания геометрии)

Вариант 1

1.  Докажите, что в плоскости Лобачевского 2 в прямоугольном треугольнике величина хотя бы одного из острых углов меньше .

2.  В теории Вейля докажите, что в медиана

3.  На модели Кэли-Клейна постройте угол параллельности.

4.  Докажите, что V постулат Евклида справедлив тогда и только тогда, когда сумма углов любого треугольника равна 2.

Вариант 2

1.  Докажите, что в плоскости Лобачевского 2 сумма углов выпуклого четырехугольника меньше 4.

2.  В теории Вейля докажите признак перпендикулярности прямой и плоскости.

3.  На модели Кэли-Клейна покажите, что существует треугольник, у которого высоты не пересекаются в одной точке.

4.  Пользуясь только аксиомами I, II гр. Гильберта, докажите, что множество внутренних точек отрезка не пусто.

Контрольная работа № 2

(Элементы конструктивной геометрии)

Вариант 1

1.  Используя только аксиомы построений , отложите от данного луча в данную полуплоскость угол, равный данному (основное построение).

2.  Постройте треугольник, если дана описанная окружность и на ней точки через которые проходят прямые, содержащие высоту, биссектрису и медиану треугольника, проведенные из одной точки.

3.  Постройте отрезки, заданные формулами: а) , б)

Вариант 2

1.  Используя только аксиомы , постройте треугольник по трем сторонам (основное построение)

2.  Постройте треугольник по углу, высоте, проведенной из вершины данного угла, и периметру.

3.  Постройте абсолютные величины корней квадратного уравнения:

отрезки и даны.

Домашняя контрольная работа

(Каждый студент решает свой вариант из перечня вариантов, составленных на кафедре.)

Вопросы промежуточной аттестации и итогового контроля

1 курс, 1 семестр.

1. Параллельность прямых, отрезков, лучей, плоскостей. Направленные отрезки.

2. Векторы.

3. Сложение и вычитание векторов.

4. Умножение вектора на число.

5. Коллинеарные и компланарные векторы.

6. Линейная зависимость векторов. Свойства.

7. Векторное пространство. Подпространство. Примеры.

8. Базис векторного пространства. Координаты вектора.

9. Ортонормированный базис. Длина вектора.

10. Скалярное произведение векторов. Вычисление скалярного произведения векторов по их координатам.

11. Основные свойства скалярного произведения. Геометрический смысл координат вектора в ортонормированном базисе.

12. Аффинная система координат на плоскости. Координаты точки. Координаты вектора по заданным координатам точек.

13. Прямоугольная декартова система координат на плоскости. Расстояние между двумя точками.

14. Деление отрезка в данном отношении. Свойства. Координаты точки.

15. Определитель матрицы перехода от одного базиса к другому. Свойства.

16. Ориентация плоскости.

17. Угол между векторами.

18. Формулы преобразования аффинной системы координат.

19. Формулы преобразования прямоугольной декартовой системы координат.

20. Полярные координаты.

21. Метод координат на плоскости.

22. Алгебраическая линия. Окружность.

23. Уравнения прямой. Различные способы задания прямой.

24. Общее уравнение прямой. Лемма о параллельности вектора прямой.

25. Исследование общего уравнения прямой. Построение прямой.

26. Геометрический смысл знака трехчлена . Лемма.

27. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

28. Расстояние от точки до прямой. Лемма.

29. Расстояние между двумя параллельными прямыми.

30. Уравнение прямой, заданной точкой и вектором нормали. Нормальное уравнение прямой.

31. Угол между двумя прямыми на плоскости.

32. Пучок прямых.

33. Основные задачи на прямую.

34. Эллипс (определение, каноническое уравнение).

35. Эллипс как результат равномерного сжатия окружности к ее диаметру. Эксцентриситет. Параметрическое уравнение эллипса. Построение эллипса.

36. Гипербола.

37. Парабола.

38. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах..

39. Общее уравнение линии второго порядка. Пересечение линии второго порядка с прямой.

40. Асимптотические направления линии второго порядка.

41. Центр линии второго порядка.

42. Касательная к линии второго порядка.

43. Диаметры линии второго порядка. Сопряженные направления.

44. Главные направления. Главные диаметры.

45. Классификация линий второго порядка.

46. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду. Построение линии второго порядка.

47. Движения плоскости. Основная теорема. Свойства. Аналитическое выражение движения.

48. Виды движений. Группа движений и ее подгруппы.

49. Преобразование подобия. Группа подобия и ее подгруппы.

50. Аффинные преобразования. Группа аффинных преобразований и ее подгруппы.

1 курс, 2 семестр.

1. Координаты точек в пространстве. Аффинная и прямоугольная системы координат.

2. Ориентация пространства. Векторное произведение векторов. Свойства.

3. Смешанное произведение векторов. Свойства.

4. Метод координат в пространстве. Уравнение поверхности.

5. Различные способы задания плоскости.

6. Общее уравнение плоскости. Геометрический смысл знака четырехчлена .

7. Взаимное расположение двух и трех плоскостей.

8. Расстояние от точки до плоскости и между двумя параллельными плоскостями. Угол между двумя плоскостями.

9. Различные способы задания прямой в пространстве.

10. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой и между двумя скрещивающимися прямыми.

11. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.

12. Движения пространства. Основная теорема. Свойства движения. Два вида движений.

13. Типы движений. Понятие о классификации движений в пространстве. Аналитическое выражение движения.

14. Подобие пространства. Гомотетия. Свойства. Аналитическое выражение подобия.

15. Аффинные преобразования пространства. Основная теорема. Свойства. Аналитическое выражение аффинного преобразования.

16. Группа аффинных преобразовании и ее подгруппы. Групповой подход к геометрии.

17. Поверхности второго порядка (квадрики). Метод сечений. Поверхности вращения.

18. Цилиндрические поверхности.

19. Конические поверхности.

20. Эллипсоид.

21. Гиперболоиды.

22. Параболоиды.

23. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.

24. Изучение поверхностей второго порядка по каноническим уравнениям. Классификация поверхностей второго порядка в трехмерном пространстве.

2 курс, 3 семестр

1. Векторное n-мерное пространство.

2. Линейные и билинейные формы. Положительно определенные билинейные формы.

3. Евклидово векторное n-мерное пространство.

4. Аффинное n-мерное пространство.

5. k-мерные плоскости. Различные способы задания.

6. Гиперплоскости и прямые пространства A n . Фигуры в A n .

7. Преобразование аффинного n-мерного пространства. Группа аффинных преобразований.

8. Евклидово n-мерное пространство.

9. Движения пространства Е n. Свойства. Группа движений

10. Подобие пространства Е n. Свойства. Группа подобий.

11. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду.

12. Закон инерции вещественных квадратичных форм. Положительно-определенные квадратичные формы.

13. Квадрики в аффинном пространстве A n .

14. Приведение уравнения квадрики к нормальному виду. Понятие о классификации квадрик.

15. Квадрики в евклидовом пространстве Е n..

16. Центральное проектирование.

17. Расширенная прямая.

18. Понятие проективного пространства.

19. Проективная плоскость. Проективная прямая. Координаты точек.

20. Модели проективной плоскости.

21. Уравнение прямой на проективной плоскости. Координаты прямой.

22. Принцип двойственности. Теорема Дезарга.

23. Сложное отношение четырех точек. Свойства.

24. Сложное отношение четырех прямых. Свойства.

25. Проективное преобразование плоскости. Гомология.

26. Полный четырехвершинник.

27. Проективное преобразование прямой. Инволюции.

28. Мнимые точки проективной плоскости. Вещественная и мнимая прямые.

29. Линии второго порядка. Классификация.

30. Полюс. Поляра. Автополярные трехвершинники первого и второго рода.

31. Овальная линия второго порядка. Теорема Штейнера.

32. Задачи на построения, связанные с овальной линией. Теорема существования и единственности.

33. Параллельное проектирование. Аффинные отображения. Свойства.

34. Изображение фигур при параллельном проектировании. Изображение плоских фигур в параллельной проекции.

35. Изображение правильных многоугольников. Вписанные и описанные многоугольники в параллельной проекции.

36. Изображение многогранников в параллельной проекции. Теорема Польке-Шварца.

37. Изображение цилиндра, конуса.

38. Изображение шара.

39. Построение сечений многогранников.

40. Построение некоторых фигур, вписанных в шар (описанных). Примеры.

2 курс, 4 семестр

1. Метрические пространства.

2. Топологические пространства

3. Непрерывность и гомеоморфизм.

5. Компактность.

6. Связность. Отделимость.

7. Топологические многообразия.

8. Многообразие с краем.

9. Эйлерова характеристика компактного многообразия.

10. Ориентируемые и неориентируемые многообразия.

11. Сфера с r-дырами.

12. Сфера с р-ручками.

13. Топологическая классификация одномерных и двумерных многообразий. Нормальная форма.

14. Неориентируемые многообразия и их классификация. Топологические свойства листа Мебиуса и проективной плоскости.

15. Простейшие топологические инварианты. Предмет топологии.

16. Векторная функция скалярного аргумента. Свойства.

17. Производная и интеграл от векторной функции скалярного аргумента. Свойства.

18. Понятие кривой. Аналитическое задание кривой.

19. Регулярные (гладкие) кривые. Допустимая параметризация.

20. Касательная гладкой кривой. Теорема существования единственности.

21. Длина дуги кривой. Естественная параметризация.

22. Соприкасающаяся плоскость. Теорема.

23. Нормаль, главная нормаль, бинормаль. Уравнения.

24. Кривизна кривой.

25. Кручение кривой.

26. Канонический репер. Формулы Френе. Натуральное уравнение кривой.

27. Понятие поверхности. Уравнение поверхности. Дифференцирование и интегрирование векторной функции двух аргументов.

28. Регулярная поверхность. Допустимая параметризация. Гладкие кривые и сети на поверхности. Координатная сеть.

29. Касательная плоскость и нормаль к гладкой поверхности.

30. Первая квадратичная форма поверхности.

31. Вторая квадратичная форма поверхности.

32. Кривизна кривой на поверхности. Нормальная кривизна.

33. Индикатриса Дюпена. Классификация точек поверхности.

34. Главные кривизны. Линии кривизны.

35. Формула Родрига. Полная и средняя кривизны поверхности.

36. Асимптотические и сопряженные сети. Формула Эйлера.

37. Геометрическое тело. Выпуклое тело. Свойства.

38. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера. Свойства многогранников.

39. Топологически правильные многогранники. Теорема.

40. Метрически правильные многогранники.

41. Группы симметрий правильных многогранников (обзор).

42. Понятие о внутренней геометрии поверхности. Деривационные формулы.

43. Основные уравнения теории поверхности. Теорема Бонне.

44 Теорема Гаусса.

45. Геодезическая кривизна линии на поверхности.

46. Изометрические поверхности. Изгибание поверхности.

47. Геодезические линии.

48. Полугеодезическая координатная система. Кратчайшие на поверхности.

49. Теорема Гаусса – Бонне. Дефект геодезического треугольника.

50. Поверхности постоянной гауссовой кривизны. Реализация в малом геометрии Лобачевского.

51. Эйлерова характеристика гладкой поверхности, гомеоморфной сфере с р – ручками. Теорема.

3 курс, 5 семестр

1. Геометрия до Евклида. «Начала» Евклида. Критика системы Евклида.

2. V постулат Евклида. Теоремы, доказываемые без помощи V постулата.

3. V постулат Евклида. Теоремы, эквивалентные V постулату.

4. Исследования Саккери, Ламберта, Лежандра.

5. и его геометрия.

6. Система аксиом Гильберта. (I–II группы). Следствия.

7. Система аксиом Гильберта. (III группа). Следствия.

8. Система аксиом Гильберта. (IV–V группы). Следствия. Абсолютная геометрия.

9. Аксиома Лобачевского. Параллельные прямые по Лобачевскому.

10. Угол параллельности. Функция Лобачевского.

11. Треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского.

12. Взаимное расположение двух прямых на плоскости Лобачевского.

13. Расстояние между параллельными прямыми и расходящимися прямыми на плоскости Лобачевского.

14. Окружность, эквидистанта, орицикл. Свойства.

15. Основания геометрии. Понятие геометрического пространства. Задачи оснований геометрии.

16. Понятие о математической структуре.

17. Интерпретации систем аксиом. Изоморфизм структур.

18. Непротиворечивость, независимость и полнота систем аксиом.

19. Доказательство логической непротиворечивости геометрии Лобачевского. Модель Кели-Клейна.

20. Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства.

21. Аксиоматика школьного курса геометрии.

22. Длина отрезка. Теорема существования

23. Измерение отрезков. Теорема единственности.

24. Площадь многоугольника. Теорема существования.

25. Площадь многоугольника. Теорема единственности. Равновеликие и равносоставленные многоугольники.

26. Объем многогранника (обзор).

27. Задачи на построение с помощью циркуля и линейки. Аксиоматика. Постановка задачи на построение циркулем и линейкой.

28. Схема решения задач на построение.

29. Основные построения.

30. Признак разрешимости задач на построение циркулем и линейкой. Примеры классических задач на построение, не разрешимых циркулем и линейкой.

31. Методы геометрических построений. Метод пересечений. Примеры.

32. Методы геометрических построений. Метод преобразований плоскости (метод движения, метод подобия). Примеры.

Тематика курсовых и дипломных (выпускных) работ

1.Элементы тензорного анализа и римановой геометрии.

2.Элементы алгебраической (комбинаторной) топологии.

3.Некоторые обобщения теории аналитических функций, сохраняющие их топологические свойства.

4.Элементы теории гомотопий.

5.Элементы метрической геометрии.

6.Связь между внутренней и внешней геометрией выпуклых поверхностей.

7.Связь между внутренней и внешней геометрией полных седловых поверхностей.

8.Метрики на многообразиях.

9.Сферическое и нормальное отображение поверхности и его применение при исследовании поверхностей и сетей на них.

10.  Преобразование Лежандра и его применение при исследовании поверхностей и сетей на них.

11.  О правильности в целом сетей на поверхности.

12.  Векторные поля и их приложения при исследовании топологической структуры сетей на поверхности.

13.  Применение внешних форм при исследовании поверхностей и сетей на них.

14.  Геометрические методы исследования некоторых дифференциальных уравнений (уравнение синус – Гордона, многомерное уравнение Монжа – Ампера).

15.  Теорема Жордана.

16.  Элементы конструктивной геометрии.

17.  Николай Иванович Лобачевский (жизнь и деятельность).

18.  Геометрия Лобачевского.

19.  Сферическая геометрия.

20.  Некоторые вопросы оснований геометрии (аксиоматика Гильберта, Вейля, школьного курса геометрии).

21.  О некоторых метрических соотношениях на плоскости Лобачевского.

22.  Преобразования плоскости (пространства)и их приложения:

а) аффинные преобразования;

б) движение;

в) подобие;

г) инверсия;

д) конформное отображение в пространстве.

23.  Метод координат.

24.  Элементы дифференциальной геометрии в школьном курсе математики.

25.  Элементы топологии в школьном курсе математики.

26.  Многоугольники. Правильные многоугольники. Паркеты.

27.  Элементы теории выпуклых многогранников и тел.

28.  Элементы комбинаторной геометрии.

29.  Графы.

30.  Узлы.

31.  Исследование линий, заданных явно, неявно и параметрически.

Б.3.11 Теория функций комплексного переменного

Вопросы к экзамену

1.  Понятие комплексного числа. Действия над комплексными числами и их геометрическое истолкование. Примеры.

2.  Тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел. Возведение комплексно-го числа в степень и извлечение корня из комплексного числа. Примеры.

3.  Сфера Римана. Расширенная комплексная плоскость. Множества точек на комплексной плоскости.

4.  Функция комплексного переменного и ее предел.

5.  Непрерывность функции комплексного переменного.

6.  Производная функции комплексного переменного. Правила дифференцирования функции.

7.  Производная функции комплексного переменного. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции (теорема).

8.  Аналитическая функция, ее свойства.

9.  Гармонические функции. Связь гармонической и аналитической функции (теорема).

10.  Производная функции комплексного переменного. Геометрический смысл модуля и аргу-мента производной функции.

11.  Конформное отображение. Примеры.

12.  Элементарные функции комплексного переменного. Линейная функция.

13.  Элементарные функции комплексного переменного. Дробно-линейная функция.

14.  Элементарные функции комплексного переменного. Степенная функция.

15.  Элементарные функции комплексного переменного. Показательная и логарифмическая функции.

16.  Интеграл от функции комплексного переменного, его свойства.

17.  Интегральная теорема Коши.

18.  Интегральная формула Коши.

19.  Теорема о среднем. Принцип максимума модуля аналитической функции. Теорема Морера.

20.  Числовые ряды. Общий критерий сходимости рядов. Абсолютно сходящиеся ряды. Пере-становка членов ряда.

21.  Числовые ряды. Общий критерий сходимости рядов. Сложение и умножение рядов.

22.  Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Примеры.

23.  Степенные ряды. Теорема Абеля. Примеры.

24.  Ряд Тейлора. Теорема Тейлора. Примеры.

25.  Ряд Лорана. Теорема Лорана. Примеры.

26.  Устранимые особые точки. Примеры.

27.  Нули аналитической функции. Полюсы. Существенно особые точки. Примеры.

28.  Целая функция. Теорема Лиувилля. Мероморфная функция.

29.  Вычеты функции. Основная теорема теории вычетов.

30.  Вычисление вычетов функции.

31.  Вычисление интегралов по замкнутому контуру с помощью вычетов.

32.  Логарифмический вычет. Вычисление интеграла

33.  Применение вычетов к вычислению несобственных интегралов.

34.  Применение вычетов к вычислению интегралов от тригонометрических функций.

Б.3.13 Дискретная математика

Тематика докладов

Комбинаторные правила. Размещения. Сочетания. Разбиения множеств на части. Формула включений – исключений. Способы задания графов. Изоморфизм графов. Непланарность графов K33 и A5. Критерий планарности графов. Пути и циклы в графах. Транзитивное замыкание графов. Деревья и их свойства. Циклы Эйлера. Теорема Эйлера (необходимость). Циклы Эйлера (достаточность). Циклы Гамильтона. Переборный алгоритм. Достаточное условие существования циклов Гамильтона. Суммы графов. Фундаментальное семейство циклов (построение). Фундаментальное семейство циклов (доказательство фундаментальности) Ядра графов. Хроматическое число графов. Критерий 2-хроматичности. Способы заданий конечных автоматов. Функции автоматов. Невычислимость функции умножения. Теорема о переработке периодических сверхслов. Отличимость состояний автоматов. Свойства отношений k – неотличимости. Теорема о длине кратчайшего слов, на котором различаются отличимые состояния. Минимальные автоматы. Эквивалентность автоматов. Теорема существования минимального автомата, эквивалентного заданному. Распознавание слов конечными автоматами. Операции суперпозиции и обратной связи. Автоматные схемы. Построение автоматной схемы, эквивалентной заданному автомату. Элементарные и примитивно рекурсивные функции. Частично рекурсивные функции. Тезис Черча. Представление частично рекурсивных функций нагруженными деревьями. Нумерация частично-рекурсивных функций. Универсальные функции. Рекурсивные множества. Неразрешимость проблемы остановки. Неразрешимость проблемы всюду определенности. Неразрешимость проблемы эквивалентности. Транспортные сети и потоки в сетях. Теорема о величине потока. Сечения сети и их связь с максимальным потоком. Теорема о существовании максимального потока. Алфавитное кодирование. Однозначность декодирования. Оптимальное кодирование. Помехоустойчивое кодирование.

Тест по комбинаторике

1.  Сколькими способами 5 мальчиков могут стать в очередь в кафе?

2.  Сколько четырехзначных чисел можно составить, используя только четные цифры?

3.  Сколько четырехзначных чисел можно составить, используя только четные цифры, причем каждую не более одного раза?

4.  Парламент Цветочного города обсуждает всевозможные проекты национального флага. В соответствии с Конституцией флаг должен состоять из 3 вертикальных разноцветных полос (цвета могут и повторяться, но не подряд). Фабрика выпускает ткань 7 цветов. Сколько времени займет обсуждение этой проблемы, если парламент способен обсудить каждый проект за неделю?

5.  Сколько диагоналей у правильного 8-угольника?

6.  Сколько различных слов (в том числе, абсолютно бессмысленных) можно составить, используя все буквы слова а) КРОЛИК; б) ОГОРОД; в) ПРОПОЛОЛ?

7.  В команде на матбое 6 человек. Сколькими способами можно выбрать капитана и его заместителя?

8.  Сколько различных команд из 6 человек для участия в матбое можно выбрать из 58 школьников?

9.  Сколько различных команд (произвольной численности) можно составить из 58 человек?

10.  В столовой 6 видов закусок, 2 вида супа, 4 вида вторых и 3 вида третьих. Вася решил сегодня ограничиться 3 блюдами (разумеется, разных типов). Сколько различных меню возможно для Васи?

Вопросы к зачету

1.  Конечные суммы. Способы записи конечных сумм. Арифметическая и геометрическая прогрессии.

2.  Конечные последовательности, их применение для вывода некоторых конечных сумм.

3.  Рекуррентные соотношения и возвратные последовательности. Нахождение общего решения линейного однородного рекуррентного уравнения.

4.  Рекуррентные соотношения и возвратные последовательности. Нахождение общего решения линейного неоднородного рекуррентного уравнения.

5.  Биномиальные коэффициенты. Элементарные тождества. Доказательство одного из них (по указанию преподавателя). Треугольник Паскаля.

6.  Доказательство бинома Ньютона.

7.  Свойства биномиальных коэффициентов. Доказательство свойства .

8.  Свойства биномиальных коэффициентов. Доказательство тождества Коши.

9.  Числа Стирлинга первого и второго рода. Формула чисел Стирлинга второго рода. Число Белла.

10.  Символы o, O. Свойства отношений o и O.

11.  Символ ~. Формула Стирлинга. Асимптотика n! и .

12.  Размещения с повторениями и без повторений, их число.

13.  Сочетания с повторениями и без повторений, их число.

14.  Подстановки и перестановки.

15.  Разбиения. Комбинаторный смысл полиномиальных коэффициентов, чисел Стирлинга и числа Белла.

16.  Принцип включения и исключения, его применение.

17.  Теорема обращения. Формулы обращения для биномиальных коэффициентов.

18.  Производящие функции, их применение.

19.  Функция Мёбиуса. Формула обращения Мёбиуса.

20.  Графы и орграфы. Реализации графов. Изоморфизм графов.

21.  Подграфы. Регулярные графы. Цепи. Циклы. Связность.

22.  Тривиальные, полные и двудольные графы. Критерий двудольного графа.

23.  Операции над графами.

24.  Направленные орграфы и сети. n-мерный единичный куб.

25.  Способы представления графов в ЭВМ.

26.  Связность в орграфах. КСС. Матрица связности и матрица контрдостижимости.

27.  Расстояния в графах. Матрица расстояний. Диаметр и радиус графа.

28.  Деревья. Цикломатическое и коцикломатическое числа. Алгоритм нахождения остова минимального веса во взвешенном графе.

29.  Обходы графа по глубине и ширине.

30.  Эйлеровы графы. Теорема Эйлера. Алгоритм построения эйлерова цикла в эйлеровом графе.

31.  Гамильтоновы графы.

32.  Раскраска вершин графа. Хроматическое число графа.

33.  Планарные графы. Укладка графа. Формула Эйлера и её следствия.

34.  Теоремы о пяти и о четырёх красках.

Б. 3. 14. Математическая логика

Вопросы к экзамену

1. Предмет и метод математической логики.

2. Высказывание. Виды препозиционных операций.

3. Понятие формулы. Виды формул. Основные равносильности.

4. Нормальные формы формул логики высказываний.

5. Совершенные нормальные формы.

6. Методы приведения формулы с СНФ.

7. Применение логики высказываний к анализу и синтезу РКС.

8. Схемы, содержащие функциональные элементы. Сумматоры. Многополюсники.

9. Закон Двойственности.

10. Задача аксиоматического построения логики высказываний.

11. Доказуемые формулы. Доказательство.

12. Выводимость из формул. Примеры выводимости.

13. Теорема дедукции и ее применение.

14. Равносильные формулы исчисления высказываний.

15. Требования к системам аксиом исчисления высказываний.

16. Независимость аксиом исчисления высказываний.

17. Логика предикатов. Основные понятия.

18. Равносильные формулы логики предикатов.

19. Запись теорем школьной математики с помощью формул логики предикатов.

20. Нормальные формы логики предикатов.

21. Предваренная нормальная форма в логике предикатов.

22. Проблема разрешения в логике предикатов.

23. Исчисления предикатов.

24. Алгоритм и его основные свойства.

25. Уточнение понятия алгоритма.

26. Машина Тъюринга.

27. Понятие рекурсивных функций.

28. Примитивно-рекурсивные функции.

29. Нормальные алгоритмы Маркова.

30. Представление о тезисе Черча.

Б.3.15.Теория алгоритмов

Лабораторная работа № 1

Написание и сдача программы каждым из студентов на тему «Линейный список».

Лабораторная работа № 2

Написание и сдача программы каждым из студентов на тему «Деревья».

Лабораторная работа № 3

Написание и сдача программы каждым из студентов на тему «Решение NP-полных задач».

Лабораторная работа № 4

Написание и сдача программы каждым из студентов на тему «Поиск в тексте».

Лабораторная работа № 5

Написание и сдача программы каждым из студентов на тему «Сортировка».

Лабораторная работа № 6

Написание и сдача программы каждым из студентов на тему «Представление графов в виде матриц».

Лабораторная работа № 7

Написание и сдача программы каждым из студентов на тему «Представление графов с помощью динамических структур данных».

Лабораторная работа № 8

Написание и сдача программы каждым из студентов на тему «Генерация комбинаторных объектов».

Б.3.16 Теория вероятностей и математическая статистика

Вопросы к экзамену

1.  Вероятностное пространство. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Вероятность.

2.  Классическое определение вероятности.

3.  Геометрическое определение вероятности.

4.  Статистическое определение вероятности.

5.  Случайные числа.

6.  Условные вероятности. Вероятность произведения событий. Формула полной вероятности.

7.  Схема Бернулли. Полиномиальная схема.

8.  Схема Бернулли. Наиболее вероятностное число появления событий.

9.  Теорема Пуассона.

10.  Локальная теорема Муавра–Лапласа.

11.  Интегральная теорема Муавра–Лапласа.

12.  Функция распределения и её свойства.

13.  Дискретные и абсолютно непрерывные распределения.

14.  Совместные распределения нескольких случайных величин.

15.  Независимость случайных величин.

16.  Математическое ожидание. Свойства математического ожидания.

17.  Дисперсия. Ковариация. Коэффициент корреляции.

18.  Неравенство Чебышёва. Теорема Чебышёва. Закон больших чисел.

19.  Закон больших чисел. Теорема Бернулли.

20.  Цепи Маркова.

21.  Понятие о выборке. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма. Выборочное среднее и выборочная дисперсия.

22.  Оценивание неизвестных параметров распределения. Метод наименьших квадратов.

23.  Хи-квадрат распределение.

24.  Распределение Стьюдента.

25.  Доверительное оценивание параметров нормальных выборок.

26.  Критерий согласия Пирсона.

27.  Критерий проверки статистических гипотез.

Б.3.23 Введение в алгебру и анализ

Контрольная работа № 1

Примерный вариант

  1.  Если человек произносит фразу: ”Я лжец”, то может ли он быть уроженцем острова рыцарей и лжецов?

  2.  Мы попали на развилку двух дорог. Какой вопрос нужно задать аборигену, чтобы узнать, куда ведет каждая из дорог – в город лжецов или в город рыцарей?

  3.  На местном языке слова “да” и “нет” звучат как “тип” и “топ”, но неизвестно, какое из них чему соответствует. Как, задав аборигену один вопрос, выяснить, лжец он или рыцарь?

  4.  Какой вопрос нужно задать аборигену, чтобы он обязательно ответил “тип”?

  5.  В комнате находятся 12 человек. Некоторые из них всегда лгут, а остальные всегда говорят правду. Один из них сказал: “Здесь нет ни одного честного человека”, второй: “Здесь не более одного честного человека”, третий: “Здесь не более двух честных людей” и т. д., двенадцатый: “Здесь не более одиннадцати честных людей”. Сколько в комнате честных людей?