Контрольные вопросы для самостоятельной работы студентов (стр. 8 )

  6.  За круглым столом сидят 12 человек (лжецы и рыцари).

а) Каждый сидящий за столом произнес два высказывания: 1) слева от меня сидит рыцарь; 2) справа от меня сидит лжец. Могло ли такое быть?

б) Каждый из сидящих за столом произнес: «Напротив меня сидит лжец». Сколько лжецов за столом?

  7.  Предположим, вам встретились близнецы, которые либо лгут, либо говорят правду. Вы хотите узнать, кто из них Коля. Каждому из них разрешается задать только один вопрос, на который можно ответить только «да» или «нет». Сам вопрос должен состоять из трех слов. Какой вопрос Вы задали бы?

  8.  На столе стоят два одинаковых ящика. В каждом находится либо белый, либо черный шарик. На первом ящике надпись: “По крайней мере, в одном из этих ящиков находится белый шарик”. На втором: “Черный шарик находится в другом ящике”. Известно, что, либо обе эти надписи истинны, либо обе ложны. Есть ли в каком-нибудь ящике белый шарик и если есть, то в каком именно?

  9.  Пять пловцов - Андрей, Боря, Вася, Дима и Женя - были членами одного спортивного клуба. Однажды в отсутствие тренера они устроили между собой соревнование. Когда же тренер, вернувшись, спросил их о результатах, то услышал следующее.

Андрей. (1) Дима занял второе место, (2) а я оказался на третьем.

Боря. (3) Я показал самый лучший результат, (4) а Вася занял второе место.

Вася. (5) Я был третьим, (6) а Боря - последним.

Дима. (7) Я занял второе место, (8) а Женя - четвёртое.

Женя. (9) Мне удалось опередить лишь одного пловца.(10) Соревнование выиграл Андрей.

Увидев изумленное лицо тренера, ребята признались, что пошутили: сведения, сообщенные тренеру каждым из них, содержали одно истинное и одно ложное утверждение. Кто же какое место занял?

10.  спит, все что он считает во сне истинным на самом деле ложно и наоборот. Наяву он обо всем судит здраво, то есть считает истинное истинным, а ложное – ложным. Вчера вечером в 23 часа Дмитрий Вячеславович считал, что он и Михаил Александрович уже спят. Спал ли Михаил Александрович в это время?

11.  «Я, как и Дмитрий Вячеславович, – сказал Михаил Александрович, во сне обо всем сужу превратно, а наяву здраво. Вчера вечером, незадолго до полуночи, Дмитрий Вячеславович думал, что я сплю. Я же в это самое время либо думал, что он спит, либо думал, что он бодрствует. Что я думал?»

12.  На перепутье трех дорог a, b, c, ведущих в Правдычино, Кривдино и Середину-на-половине, стоят три человека А, В, С соответственно. Наш корреспондент задал им несколько вопросов и получил такие ответы.

А: каждая из трех дорог ведет в какое-нибудь село – либо в Правдычино, либо в Кривдино, либо в Середину-на-половине.

В: Я житель Середины-на-половине.

А: Все дороги ведут в различные села.

С: Я живу в том же селе, что и В.

А: Мы все трое живем в различных селах.

В: Дорога, проходящая рядом с каждым человеком, ведет не в то село, где он живет.

С: Дорога а ведет не в то село, где я живу.

А: Дорога а ведет в то село, где я живу.

В: За все время разговора С ни разу не сказал правду.

А: Последнее утверждение В ложно.

С: Дорога с ведет не в то селение, где я живу.

Установите, кто где живет, куда ведет каждая дорога.

Контрольная работа № 2

Примерный вариант

У Тани есть 5 разных фломастеров, 7 разных карандашей и 11 разных тетрадей. Сколькими способами она может подарить Коле набор из 1 фломастера, 1 карандаша и 1 тетради? В стране ABCD из города A в город B ведут 11 дорог, из города B в город C – 7 дорог, из города A в город D ведут 5 дорог, а из города D в город C ведут 13 дорог. Сколькими различными способами можно добраться из города A в город C? а) В алфавите племени Тумба-Бомба 5 букв: a, b, c, d, e. Сколько слов в словаре этого племени, если словом считать любую последовательность из 4 букв?

б) Сколько из этих слов не имеют повторяющихся букв?

в) Сколько из этих слов имеют хотя бы одну гласную букву (гласные буквы – a, e)?

а) Сколько существует натуральных 10-значных чисел, в десятичной записи которых нет цифры 0?

б) Сколько существует натуральных 10-значных чисел, в десятичной записи которых нет цифры 5?

в) Сколько существует натуральных 10-значных чисел, в десятичной записи которых есть цифра 5?

а) Сколькими способами можно разбить 12 школьников на две команды по 6 человек в каждой для участия в матбое?

б) Тот же вопрос, если нужно выбрать еще капитанов команд?

На плоскости даны 10 точек, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в данных точках? На одной из параллельных прямых отмечено 7 точек, а на другой – 8 точек. Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках? а) Имеется 3 гласных и 5 согласных букв. Сколько существует перестановок этих букв, в которых никакие 2 согласные буквы не стоят рядом?

б) Имеется 3 гласных и 4 согласных буквы. Сколько существует перестановок этих букв, в которых никакие 2 согласные буквы не стоят рядом?

в) Имеется 3 гласных и 3 согласных буквы. Сколько существует перестановок этих букв, в которых никакие 2 согласные буквы не стоят рядом?

Докажите, что

а) ; б) .

Игра «Ханойская башня». Имеется пирамида с n кольцами возрастающего диаметра (внизу самое большое) и ещё два пустых стержня той же высоты. Разрешается перекладывать кольца с одного стержня на другой, но при этом запрещается класть большее кольцо на меньшее. Докажите, что можно а) переложить все кольца на один из имеющихся пустых стержней; б) это можно сделать не более чем за 2n–1 перекладывание. Фермер Вася хочет заплатить за обучение своего сына в ЛМШ пачками мороженого, которые у него хранятся в ящиках по 3 или 5 штук. Путевка в ЛМШ стоит больше 8 пачек мороженого. Докажите, что фермер Вася сможет заплатить требуемую сумму без сдачи. Докажите, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9. На плоскости проведены n прямых, проходящих через одну точку. Докажите, что они разбивают плоскость на 2n областей. Докажите, что число 11…1 (81 единица) делится на 81. Докажите по индукции, что в графе четное число вершин нечетной степени.

Вопросы к экзамену

1.  Множества. Подмножества. Диаграммы Эйлера-Венна. Примеры.

2.  Операции над множествами. Свойства.

3.  Прямое произведение множеств, n-арные отношения. Отношение эквивалентности.

4.  Числовые множества. Числовые промежутки.

5.  Отображения. Виды отображений. Счетные и несчетные множества.

6.  Высказывания. Логические операции над высказываниями.

7.  Предикаты, операции над ними.

8.  Кванторы. Запись высказываний с помощью логического языка.

9.  Теоремы. Виды теорем. Примеры.

10.  Теоремы. Методы доказательств. Примеры.

11.  Методы математической индукции. Примеры.

12.  Размещения, перестановки и сочетания. Примеры.

13.  Модуль действительного числа. Свойства.

14.  Уравнения и неравенства с модулем.

15.  Метод интервалов.

16.  Упорядоченные множества. Закон сложения и умножения.

17.  Бином Ньютона. Свойства.

18.  Таблицы истинности.

19.  Элементарные функции, их свойства

20.  Графики функций. Преобразование графиков функций.

21.  Графическое решение уравнений и неравенств.

Б. 3. 23. Вводный курс математики

Контрольная работа № 1

Примерный вариант

13.  Если человек произносит фразу: ”Я лжец”, то может ли он быть уроженцем острова рыцарей и лжецов?

14.  Мы попали на развилку двух дорог. Какой вопрос нужно задать аборигену, чтобы узнать, куда ведет каждая из дорог – в город лжецов или в город рыцарей?

15.  На местном языке слова “да” и “нет” звучат как “тип” и “топ”, но неизвестно, какое из них чему соответствует. Как, задав аборигену один вопрос, выяснить, лжец он или рыцарь?

16.  Какой вопрос нужно задать аборигену, чтобы он обязательно ответил “тип”?

17.  В комнате находятся 12 человек. Некоторые из них всегда лгут, а остальные всегда говорят правду. Один из них сказал: “Здесь нет ни одного честного человека”, второй: “Здесь не более одного честного человека”, третий: “Здесь не более двух честных людей” и т. д., двенадцатый: “Здесь не более одиннадцати честных людей”. Сколько в комнате честных людей?

18.  За круглым столом сидят 12 человек (лжецы и рыцари).

а) Каждый сидящий за столом произнес два высказывания: 1) слева от меня сидит рыцарь; 2) справа от меня сидит лжец. Могло ли такое быть?

б) Каждый из сидящих за столом произнес: «Напротив меня сидит лжец». Сколько лжецов за столом?

19.  Предположим, вам встретились близнецы, которые либо лгут, либо говорят правду. Вы хотите узнать, кто из них Коля. Каждому из них разрешается задать только один вопрос, на который можно ответить только «да» или «нет». Сам вопрос должен состоять из трех слов. Какой вопрос Вы задали бы?

20.  На столе стоят два одинаковых ящика. В каждом находится либо белый, либо черный шарик. На первом ящике надпись: “По крайней мере, в одном из этих ящиков находится белый шарик”. На втором: “Черный шарик находится в другом ящике”. Известно, что либо обе эти надписи истинны, либо обе ложны. Есть ли в каком-нибудь ящике белый шарик и если есть, то в каком именно?

21.  Пять пловцов - Андрей, Боря, Вася, Дима и Женя - были членами одного спортивного клуба. Однажды в отсутствие тренера они устроили между собой соревнование. Когда же тренер, вернувшись, спросил их о результатах, то услышал следующее:

Андрей – (1) Дима занял второе место, (2) а я оказался на третьем.

Боря – (3) Я показал самый лучший результат, (4) а Вася занял второе место.

Вася – (5) Я был третьим, (6) а Боря - последним.

Дима – (7) Я занял второе место, (8) а Женя - четвёртое.

Женя – (9) Мне удалось опередить лишь одного пловца.(10) Соревнование выиграл Андрей.

Увидев изумленное лицо тренера, ребята признались, что пошутили: сведения, сообщенные тренеру каждым из них, содержали одно истинное и одно ложное утверждение. Кто же какое место занял?

22.  спит, все что он считает во сне истинным, на самом деле ложно, и наоборот. Наяву он обо всем судит здраво, то есть, считает истинное истинным, а ложное – ложным. Вчера вечером в 23 часа Дмитрий Вячеславович считал, что он и Михаил Александрович уже спят. Спал ли Михаил Александрович в это время?

23.  «Я, как и Дмитрий Вячеславович, – сказал Михаил Александрович, во сне обо всем сужу превратно, а наяву здраво. Вчера вечером, незадолго до полуночи, Дмитрий Вячеславович думал, что я сплю. Я же в это самое время либо думал, что он спит, либо думал, что он бодрствует. Что я думал?»

24.  На перепутье трех дорог a, b, c, ведущих в Правдычино, Кривдино и Середину-на-половине, стоят три человека А, В, С соответственно. Наш корреспондент задал им несколько вопросов и получил такие ответы.

А: каждая из трех дорог ведет в какое-нибудь село – либо в Правдычино, либо в Кривдино, либо в Середину-на-половине.

В: Я житель Середины-на-половине.

А: Все дороги ведут в различные села.

С: Я живу в том же селе, что и В.

А: Мы все трое живем в различных селах.

В: Дорога, проходящая рядом с каждым человеком, ведет не в то село, где он живет.

С: Дорога а ведет не в то село, где я живу.

А: Дорога а ведет в то село, где я живу.

В: За все время разговора С ни разу не сказал правду.

А: Последнее утверждение В ложно.

С: Дорога с ведет не в то селение, где я живу.

Установите, кто где живет, куда ведет каждая дорога.

Контрольная работа № 2

Примерный вариант

У Тани есть 5 разных фломастеров, 7 разных карандашей и 11 разных тетрадей. Сколькими способами она может подарить Коле набор из 1 фломастера, 1 карандаша и 1 тетради? В стране ABCD из города A в город B ведут 11 дорог, из города B в город C – 7 дорог, из города A в город D ведут 5 дорог, а из города D в город C ведут 13 дорог. Сколькими различными способами можно добраться из города A в город C? а) В алфавите племени Тумба-Бомба 5 букв: a, b, c, d, e. Сколько слов в словаре этого племени, если словом считать любую последовательность из 4 букв?

б) Сколько из этих слов не имеют повторяющихся букв?

в) Сколько из этих слов имеют хотя бы одну гласную букву (гласные буквы – a, e)?

а) Сколько существует натуральных 10-значных чисел, в десятичной записи которых нет цифры 0?

б) Сколько существует натуральных 10-значных чисел, в десятичной записи которых нет цифры 5?

в) Сколько существует натуральных 10-значных чисел, в десятичной записи которых есть цифра 5?

а) Сколькими способами можно разбить 12 школьников на две команды по 6 человек в каждой для участия в матбое?

б) Тот же вопрос, если нужно выбрать еще капитанов команд?

На плоскости даны 10 точек, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в данных точках? На одной из параллельных прямых отмечено 7 точек, а на другой – 8 точек. Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках? а) Имеется 3 гласных и 5 согласных букв. Сколько существует перестановок этих букв, в которых никакие 2 согласные буквы не стоят рядом?

б) Имеется 3 гласных и 4 согласных буквы. Сколько существует перестановок этих букв, в которых никакие 2 согласные буквы не стоят рядом?

в) Имеется 3 гласных и 3 согласных буквы. Сколько существует перестановок этих букв, в которых никакие 2 согласные буквы не стоят рядом?

Докажите, что

а) ; б) .

Игра «Ханойская башня». Имеется пирамида с n кольцами возрастающего диаметра (внизу самое большое) и ещё два пустых стержня той же высоты. Разрешается перекладывать кольца с одного стержня на другой, но при этом запрещается класть большее кольцо на меньшее. Докажите, что можно а) переложить все кольца на один из имеющихся пустых стержней; б) это можно сделать не более чем за 2n–1 перекладывание. Фермер Вася хочет заплатить за обучение своего сына в ЛМШ пачками мороженого, которые у него хранятся в ящиках по 3 или 5 штук. Путевка в ЛМШ стоит больше 8 пачек мороженого. Докажите, что фермер Вася сможет заплатить требуемую сумму без сдачи. Докажите, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9. На плоскости проведены n прямых, проходящих через одну точку. Докажите, что они разбивают плоскость на 2n областей. Докажите, что число 11…1 (81 единица) делится на 81. Докажите по индукции, что в графе четное число вершин нечетной степени.

Вопросы к экзамену

22.  Множества. Подмножества. Диаграммы Эйлера-Венна. Примеры.

23.  Операции над множествами. Свойства.

24.  Прямое произведение множеств, -арные отношения. Отношение эквивалентности.

25.  Числовые множества. Числовые промежутки.

26.  Отображения. Виды отображений. Счетные и несчетные множества.

27.  Высказывания. Логические операции над высказываниями.

28.  Предикаты, операции над ними.

29.  Кванторы. Запись высказываний с помощью логического языка.

30.  Теоремы. Виды теорем. Примеры.

31.  Теоремы. Методы доказательств. Примеры.

32.  Методы математической индукции. Примеры.

33.  Размещения, перестановки и сочетания. Примеры.

34.  Модуль действительного числа. Свойства.

35.  Уравнения и неравенства с модулем.

36.  Метод интервалов.

37.  Упорядоченные множества. Закон сложения и умножения.

38.  Бином Ньютона. Свойства.

39.  Таблицы истинности.

40.  Элементарные функции, их свойства

41.  Графики функций. Преобразование графиков функций.

42.  Графическое решение уравнений и неравенств.

Б.3.25. Элементарная математика с примерами решения задач

Контрольная работа № 1. Арифметика. Комбинаторика.

Контрольная работа № 2. Элементарные функции

Контрольная работа № 3. Уравнения и неравенства без параметров.

Контрольная работа № 4. Уравнения и неравенства с параметрами.

Контрольная работа № 5. Геометрия. Введение. Аксиоматика. Планиметрия. Стереометрия.

Контрольная работа № 6. Координатный и векторный методы в геометрии.

Вопросы к экзамену

Вопросы к экзамену 7 семестр

45.  Делимость целых чисел. Свойства. Основная теорема арифметики.

46.  НОД и НОК. Алгоритм Евклида.

47.  Метод математической индукции.

48.  Размещения, перестановки и сочетания.

49.  Комбинаторные задачи на вычисление вероятности.

50.  Линейная, квадратичная, дробно-линейная функции.

51.  Степная функция.

52.  Тригонометрические функции.

53.  Обратные тригонометрические функции.

Вопросы к экзамену 8 семестр

33.  Тождественные преобразования алгебраических выражений.

34.  Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений.

35.  Тождественные преобразования тригонометрических выражений.

36.  Тождественные преобразования, содержащие обратные тригонометрические функции.

37.  Рациональные уравнения и их системы.

38.  Рациональные неравенства. Метод интервалов.

39.  Иррациональные уравнения и неравенства.

40.  Показательные уравнения и неравенства.

41.  Логарифмические уравнения и неравенства.

42.  Тригонометрические уравнения.

43.  Тригонометрические неравенства.

44.  Уравнения с параметрами.

45.  Неравенства с параметрами.

Вопросы к экзамену 9 семестр

1. Виды понятий. Обозначения. Схематическая запись задач. Свойства и признаки фигур.

2. Виды теорем и методы доказательства.

3. Аксиомы и теоремы абсолютной геометрии. Аксиоматика школьного курса геометрии

4. Треугольники. Замечательные точки в треугольнике.

5. Четырехугольники.

6. Многоугольники

7. Окружность. Свойства.

8. Вписанные и описанные многоугольники.

9. Площади.

10. Аксиомы стереометрии. Следствие.

11. Параллельное проецирование. Свойства.

12. Геометрические построения в пространстве.

13. Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.

14. Скрещивающиеся прямые. Угол прямой с плоскостью.

15. Угол между плоскостями. Двугранные и многогранные углы.

16. Многогранники.

17. Сечения многогранников. Площади сечений.

18. Тела и поверхности вращения. Площади поверхностей.

19. Объемы.

20. Векторно-координатный метод в геометрии.

Б.3.28 Обучение математике в классах с углубленным изучением

Контрольная работа № 1

Дан остроугольный треугольник ABC и точка D на высоте AH. Из точки H опущены перпендикуляры на AB, AC, BD, CD. Докажите что основания этих перпендикуляров лежат на одной окружности или прямой

5)  Даны натуральные числа a, b, c. Докажите, что если число рационально, то число - целое.

6)  Шесть точек расположены на плоскости так, что любые три из них служат вершинами треугольника со сторонами различной длины. Докажите, что наименьшая сторона одного из треугольников одновременно является наибольшей стороной другого треугольника.

7)  Докажите, что если целые числа a и b удовлетворяют соотношению 2a2+a=3b2+b, то a–b и 2a+2b+1 – квадраты целых чисел.

8)  Пусть a, b, с – положительные числа такие, что abc=1. Докажите неравенство:

9)  Пусть x, y, z >0 и . Найдите xy+2yz+3xz.

10)  Пятиугольник ABCDE описан около окружности, центр O которой находится на пересечении диагоналей AD и BE. Докажите, что прямые CO и AE перпендикулярны.

11)  Петя и Вася по очереди выписывают делители натурального числа N. Делитель можно выписать, только если он не выписывался ранее и взаимно прост со всеми ранее выписанными числами. Начинает Петя, проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может победить, независимо от игры противника?

Контрольная работа № 2

1.  На доске выписаны N различных иррациональных чисел. Известно, что для любых выписанных a и b хотя бы одно из чисел , рационально. Каково наибольшее значение N?

2.  Двум разумным муравьям заранее объявили, что их ночью высадят одновременно в какие-то две вершины находящегося в невесомости прямоугольного параллелепипеда 1×1×2 м. Муравьи ползают только по ребрам, их максимальная скорость 1м/мин. Могут ли они договориться действовать так, чтобы гарантированно встретиться ранее чем через 9 минут после высадки? (Муравьи отличают вершины от не вершин, но все вершины изначально для них равноправны и направления тоже. Муравей знает, сколько он прополз, и сможет отличить длинное ребро от короткого, добравшись до его середины. Муравей запоминает направления поворотов в пространстве и направления ребер, выходящих из вершин, где он бывал. Друг друга муравьи заметят только оказавшись в одной точке).

3.  Три бегуна стартовали одновременно из пункта и бегут каждый со своей постоянной скоростью. Вслед им выехал через некоторое время тренер на мотороллере, догнал переднего бегуна, развернулся, доехал до заднего бегуна, развернулся и еще раз догнал переднего бегуна. Таким образом, тренер трижды проезжал мимо среднего бегуна, и по 2 раза был возле остальных бегунов. Скорость мотороллера была постоянной. Известно, что в первый раз время тренера на езду от среднего бегуна до переднего равно времени от разворота возле заднего бегуна до обгона среднего. Докажите, что тренер обгонял (встречал) среднего бегуна через равные промежутки времени.

4.  ux+uy+uz=ut. Найдите все решения уравнения в натуральных числах.

5.  В треугольнике ABC углы B и C равны по 40°; BD – биссектриса угла B. Докажите, что BD+DA=BC.

6.  S – сумма четырех натуральных чисел a, b, c, d. Докажите, что если ab–cd делится на S, то S – составное

7.  Дан граф, вершины которого раскрашены в два цвета. За ход мы находим все вершины, у которых соседей противоположного цвета больше, чем своего, и одновременно все их перекрашиваем в противоположные цвета. Докажите что когда-нибудь граф перестанет перекрашиваться, или будет восстанавливать раскраску каждым вторым ходом.

8.  Докажите, что для любой биекции f: Z→Z множества целых чисел в себя найдутся еще две биекции g и h из Z в себя, что f(x)=g(x)+h(x) для всех xÎ Z.

Вопросы к зачету

Теория чисел

1.  Деление с остатком. Признаки равноостаточности по модулям 3, 9, 11.

2.  Определение и свойства сравнений. Основные свойства сравнений по модулю.

3.  Полная и приведенная система вычетов. Умножение на элементы, взаимно простые с модулем.

4.  Деление в Zp. Действия с дробями.

5.  Отношения. Отношения эквивалентности.

6.  Граф умножения по модулю, зацикливание.

7.  Отношения. Отношения эквивалентности.

8.  Алгоритм Евклида. Линейное представление НОД.

9.  Решение линейных диофантовых уравнений.

10.  Малая теорема Ферма. Доказательство двумя способами.

11.  Теорема Вильсона.

12.  Теорема Виета. Основная теорема о симметрических многочленах (формулировка в общем виде и доказательство для двух переменных).

13.  Теорема Безу и ее следствия. Функция Эйлера. Мультипликативность и формула для функции Эйлера.

14.  Теорема Эйлера. Сумма значений функции Эйлера по всем делителям натурального числа.

15.  Китайская теорема об остатках.

16.  Подсчет показателей в разложении факториала на простые множители.

17.  Теорема Безу и ее следствия.

18.  Алгоритм Евклида для многочленов.

19.  Линейное представление НОД двух многочленов.

20.  Неприводимые многочлены. Основная теорема арифметики в кольце многочленов над числовым полем.

21.  Количество корней многочлена в Zp.

22.  Теорема Виета.

23.  Лемма Гаусса. Совпадение неприводимости над Z и над Q.

24.  Критерий Эйзенштейна неприводимости многочлена.

25.  Квадратичные вычеты. Свойства умножения.

26.  Символ Лежандра. Выражение для символа Лежандра, его мультипликативность.

27.  Теорема Жирара.

28.  Многочлены, принимающие целые значения, их общий вид.

Математический анализ

1.  Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом для n чисел.

2.  Транс-неравенство. Неравенство Чебышева.

3.  Неравенство Коши-Буняковского.

4.  Неравенство Бернулли.

5.  Интерполяционный многочлен Ньютона.

6.  Интерполяционный многочлен Лагранжа.

Комбинаторика

1.  Правило умножения и сложения.

2.  Количество элементов в объединении двух, трех, …, n множеств.

3.  Перестановки, размещение, сочетания без повторений.

4.  Перестановки. Теорема об инверсиях.

5.  Треугольник Паскаля. Почему в его строках находятся биномиальные коэффициенты?

6.  Бином Ньютона. Нахождение суммы элементов n-ой строки треугольника Паскаля и знакопеременной суммы этих же элементов.

7.  Доказательство формул для сочетаний с помощью треугольника Паскаля, комбинаторного смысла числа сочетаний и формулы числа сочетаний.

8.  «Шары и перегородки». Сколькими способами можно представить натуральное число n в виде суммы k а) натуральных; б) целых неотрицательных слагаемых?

9.  Перестановки, размещение, сочетания с повторениями.

10.  Комбинаторное доказательство малой теоремы Ферма.

Теория графов

1.  Определение графа. Степень вершины. Полный граф. Теорема о количестве ребер в графе. Лемма о рукопожатиях.

2.  Циклы, мосты, деревья. Равносильность определений дерева.

3.  Минимальное остовное дерево. Алгоритм Прима. Алгоритм Краскала.

4.  Остовные деревья. Теорема Кэли.

5.  Эйлеровы пути и циклы. Необходимое и достаточное условие существования эйлеровых путей и циклов.

6.  Минимальное число реберно-непересекающихся цепей.

7.  Двудольные графы. Теорема Кенига.

8.  Плоские графы и многогранники. Формула Эйлера.

9.  Гамильтоновы графы. Теорема Дирака.

10.  Раскраска планарного графа в 6, 5, 4 цвета.

11.  Раскраски графов. Критерии раскрашиваемости графа в d цветов. Теорема Брукса (формулировка).

12.  Теорема Турана.

13.  Непланарность K5 и K3,3. Теорема Куратовского (формулировка).

14.  Классификация правильных многогранников.

15.  Критерий существования правильной раскраски в два цвета стран плоского графа.

16.  Теорема о пяти красках.

17.  Двусвязные графы. Теорема Менгера для двусвязных графов.

18.  Реберный вариант теоремы Менгера для графов без мостов.

19.  Блоки. Дерево блоков и точек сочленения.

20.  Лемма Холла. Лемма Холла для арабских стран.

Разное

1.  Иррациональность корней из неточных квадратов.

2.  Сопряженные числа. Свойства. Парное вхождение в множество корней многочлена с целыми коэффициентами.

3.  Метод математической индукции.

4.  Решение задач с помощью поиска инвариантов и полуинвариантов.

5.  Решение задач с помощью идеи дискретной непрерывности (маленькими шагами пропасть не перепрыгнуть).

6.  Числа Фибоначчи. Задачи, в которых они возникают. Реккурентное соотношение. Свойства, связанные с делимостью чисел Фибоначчи. Суммирование чисел Фибоначчи. Доказательство того, что для любого числа m существует такое число n, что F(n) делится на m.

7.  Принцип узких мест.

8.  Рекуррентные последовательности: нахождение формулы общего члена в случае положительного дискриминанта характеристического уравнения.

9.  Количество информации.

10.  Принцип Дирихле.

11.  Конструкции.

12.  Оценка+пример.

Б.3.28 Решение олимпиадных задач по математике

Контрольная работа № 1

Дан остроугольный треугольник ABC и точка D на высоте AH. Из точки H опущены перпендикуляры на AB, AC, BD, CD. Докажите что основания этих перпендикуляров лежат на одной окружности или прямой

12)  Даны натуральные числа a, b, c. Докажите, что если число рационально, то число - целое.

13)  Шесть точек расположены на плоскости так, что любые три из них служат вершинами треугольника со сторонами различной длины. Докажите, что наименьшая сторона одного из треугольников одновременно является наибольшей стороной другого треугольника.

14)  Докажите, что если целые числа a и b удовлетворяют соотношению 2a2+a=3b2+b, то a–b и 2a+2b+1 – квадраты целых чисел.

15)  Пусть a, b, с – положительные числа такие, что abc=1. Докажите неравенство:

16)  Пусть x, y, z >0 и . Найдите xy+2yz+3xz.

17)  Пятиугольник ABCDE описан около окружности, центр O которой находится на пересечении диагоналей AD и BE. Докажите, что прямые CO и AE перпендикулярны.

18)  Петя и Вася по очереди выписывают делители натурального числа N. Делитель можно выписать, только если он не выписывался ранее и взаимно прост со всеми ранее выписанными числами. Начинает Петя, проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может победить, независимо от игры противника?

Контрольная работа № 2

9.  На доске выписаны N различных иррациональных чисел. Известно, что для любых выписанных a и b хотя бы одно из чисел , рационально. Каково наибольшее значение N?

10.  Двум разумным муравьям заранее объявили, что их ночью высадят одновременно в какие-то две вершины находящегося в невесомости прямоугольного параллелепипеда 1×1×2 м. Муравьи ползают только по ребрам, их максимальная скорость 1м/мин. Могут ли они договориться действовать так, чтобы гарантированно встретиться ранее чем через 9 минут после высадки? (Муравьи отличают вершины от не вершин, но все вершины изначально для них равноправны и направления тоже. Муравей знает, сколько он прополз, и сможет отличить длинное ребро от короткого, добравшись до его середины. Муравей запоминает направления поворотов в пространстве и направления ребер, выходящих из вершин, где он бывал. Друг друга муравьи заметят только оказавшись в одной точке).

11.  Три бегуна стартовали одновременно из пункта и бегут каждый со своей постоянной скоростью. Вслед им выехал через некоторое время тренер на мотороллере, догнал переднего бегуна, развернулся, доехал до заднего бегуна, развернулся и еще раз догнал переднего бегуна. Таким образом, тренер трижды проезжал мимо среднего бегуна, и по 2 раза был возле остальных бегунов. Скорость мотороллера была постоянной. Известно, что в первый раз время тренера на езду от среднего бегуна до переднего равно времени от разворота возле заднего бегуна до обгона среднего. Докажите, что тренер обгонял (встречал) среднего бегуна через равные промежутки времени.

12.  ux+uy+uz=ut. Найдите все решения уравнения в натуральных числах.

13.  В треугольнике ABC углы B и C равны по 40°; BD – биссектриса угла B. Докажите, что BD+DA=BC.

14.  S – сумма четырех натуральных чисел a, b, c, d. Докажите, что если ab–cd делится на S, то S – составное

15.  Дан граф, вершины которого раскрашены в два цвета. За ход мы находим все вершины, у которых соседей противоположного цвета больше, чем своего, и одновременно все их перекрашиваем в противоположные цвета. Докажите что когда-нибудь граф перестанет перекрашиваться, или будет восстанавливать раскраску каждым вторым ходом.

16.  Докажите, что для любой биекции f: Z→Z множества целых чисел в себя найдутся еще две биекции g и h из Z в себя, что f(x)=g(x)+h(x) для всех xÎ Z.

Вопросы к зачету

Теория чисел

29.  Деление с остатком. Признаки равноостаточности по модулям 3, 9, 11.

30.  Определение и свойства сравнений. Основные свойства сравнений по модулю.

31.  Полная и приведенная система вычетов. Умножение на элементы, взаимно простые с модулем.

32.  Деление в Zp. Действия с дробями.

33.  Отношения. Отношения эквивалентности.

34.  Граф умножения по модулю, зацикливание.

35.  Отношения. Отношения эквивалентности.

36.  Алгоритм Евклида. Линейное представление НОД.

37.  Решение линейных диофантовых уравнений.

38.  Малая теорема Ферма. Доказательство двумя способами.

39.  Теорема Вильсона.

40.  Теорема Виета. Основная теорема о симметрических многочленах (формулировка в общем виде и доказательство для двух переменных).

41.  Теорема Безу и ее следствия. Функция Эйлера. Мультипликативность и формула для функции Эйлера.