Введение. Спутниковые методы в геодезии (стр. 13 )

ssss - 4-х символьное имя станции,

ddd - день года для начальной записи в файле,

f - номер сеанса в течение суток.

Временем измерений является время приемника для принятых сигналов. Оно одинаково для измерений фаз и псевдодальностей для всех спутников, наблюдавшихся в данную эпоху.

Псевдодальность (PR) - расстояние от антенны приемника до антенны спутника, включающее смещения за счет сдвигов часов спутника и приемника (а также другие сдвиги, в том числе атмосферные задержки):

. (5.8)

Псевдодальность отражает действительное поведение часов приемника и спутника. Приводится в метрах.

Фаза - измеренная фаза несущей в полных циклах как на частоте L1 так и на частоте L2. Фаза, измеренная в полуциклах приемниками квадратурного типа должна конвертироваться в полные циклы и должна отмечаться флагом длинноволнового фактора в заголовке раздела. Фаза изменяется в том же смысле (в ту же сторону), что и дальность (отрицательный доплер). Наблюденные фазы между эпохами должны быть связаны включением целого числа циклов (непрерывной фазы) и не должны содержать каких-либо систематических дрейфов от сдвигов опорных осцилляторов.

Все наблюденные величины не исправляются за влияние каких-либо факторов (атмосферная рефракция, сдвиги часов и т. п.). Если программное обеспечение приемника или конвертера производит уравнивание измерений, используя выведенные в реальном времени сдвиги часов приемника , то должно поддерживаться взаимное соответствие трех параметров: времени, псевдодальности и фазы, т. е.

, (5.9)

где комментарии (corr.) и (rec.)соответственно обозначают исправленное и принятое значение параметра.

Определенные сложности возникают при использовании наблюдений приемников, работающих как по ГЛОНАСС, так и по NAVSTAR. Поскольку метки времени в системе ГЛОНАСС даются в системе UTC(SU), а не в GPS-Time, связанным с UTC(USNO), как в системе НАВСТАР, то для исключения неоднозначности в определение RINEX-формата ввели идентификатор системы времени. Чистые GPS-файлы содержат только время GPS, а чистые ГЛОНАСС-файлы только время UTC(SU). Две возможных системы времени различаются на текущее значение величины скачка секунд, которое вводится в строку заголовка RINEX-файла. Небольшие сдвиги между системами времени в дробные доли секунды должны учитываться при постобработке, а не в RINEX-преобразовании. Подробную информацию о RINEX-формате, о преобразованиях файлов можно найти в Интернете на сайте МГС (http://igscb. jpl. nasa. gov).

Эфемериды спутников и информация об их часах в формате SP3 даются в виде ASCII-файлов в трех вариантах: предсказанные (predicted), быстрые (rapid) и точные (precise). Они несколько различаются по точности и оперативности. Предсказанные эфемериды появляются за 30 мин. до начала суток, на которые они рассчитывались, быстрые – через 17 часов после обработки наблюдений, а точные – примерно через две недели. Использование этих эфемерид, более точных, чем данные навигационного сообщения, целесообразно при обработке средних и длинных базовых линий.

МГС постоянно повышает точность своих продуктов и разрабатывает их новые виды. Появился формат обмена решениями SINEX (Solution Independent Exchange), разрабатывается формат IONEX (Ionosphere Map Exchange) обмена картами TEC (Total Electron Content) – полного содержания электронов в ионосфере и другие научные продукты [91].

5 .2. Уравнивание GPS-сетей

5.2.1. Способы уравнивания

Уравнивание геодезических сетей, построенных с применением спутниковых технологий, является необходимым этапом технологии геодезических работ. Задачами уравнивания является:

1. Согласование совокупности всех измерений в сети,

2. Минимизация и фильтрация случайных ошибок измерений,

3. Выявление и отбраковка грубых измерений, исключение систематических ошибок,

4. Получение набора уравненных координат и соответствующих им элементов базовых линий с оценкой точности в виде ошибок или ковариационных матриц,

5. Трансформирование координат в требуемую координатную систему,

6. Преобразование геодезических высот в нормальные высоты над квазигеоидом.

Таким образом, главная цель уравнивания – повышение точности и представление результатов в необходимой системе координат с оценкой точности. Для достижения этих целей используются известные теоретические и практические методы, имеющие достоверное статистическое обоснование.

Возможно два подхода к проблеме уравнивания GPS-измерений. Можно производить уравнивание непосредственно измеренных фаз, или их одинарных, двойных или тройных разностей для всей совокупности пунктов сети. В этом случае из уравнивания получают не только уточненные геоцентрические координаты пунктов наблюдений, но также элементы орбит спутников, параметры вращения Земли и некоторые другие данные [76, 80, 91, 104, 116].

В другом способе обработки GPS-измерений вначале производится решение отдельных базовых линий, а затем выполняется уравнивание пространственной сети, образованной совокупностью векторов. При такой методике уточнение геоцентрических координат пунктов не происходит, поэтому их приходится задавать хотя бы для одного пункта сети. Это вовсе не означает, что геодезическая сеть окажется грубой. При отсутствии грубых ошибок измерений вся сеть окажется смещенной относительно геоцентра. Внутренняя точность сети обычно достаточна для ее вставки в государственную сеть. Тем не менее, отсутствие точных геоцентрических координат при решении базовых линий и последующем уравнивании не позволит достичь предела точности, доступного GPS-измерениям. В дальнейшем будет рассматриваться именно второй метод уравнивания сети.

Обработка некоторой базовой линии 12 дает в результате вектор между двумя станциями с компонентами в виде разностей координат , которые рассматриваются теперь как результаты измерений. Им соответствует ковариационная матрица размера 3´3. В такой форме результаты съемки получаются, если работали только два приемника. Если совместно обрабатывались результаты сессии из R приемников и получено R-1 независимых базовых линий, то им соответствует полная ковариационная матрица размера 3(R-1)´3(R-1).

Дополнительными исходными данными для уравнивания СГС являются:

- координаты опорных пунктов в геоцентрической системе WGS-84, ПЗ-90 или ITRF с необходимой точностью,

- координаты (плановые и высотные) опорных пунктов в новой системе при переводе пространственных координат.

Различают свободное, минимально ограниченное и ограниченное (несвободное) уравнивание. В свободном уравнивании неизвестными считаются все пункты сети, и положение сети относительно геоцентра известно с той же точностью, что координаты начальной точки сети. В этом случае матрица системы уравнений поправок (матрица измерений, плана) будет иметь дефект ранга, равный трем. Однако использование аппарата псевдообращения матриц позволяет провести уравнивание. При фиксировании координат одного пункта получаем минимально ограниченное уравнивание, в котором матрица плана оказывается невырожденной. При фиксировании более чем трех координат, будет ограниченное уравнивание в том смысле, что наложены дополнительные ограничения по отношению к минимально необходимым. Свободное и минимально ограниченное уравнивание применяются для решения первых трех задач, перечисленных в начале раздела. Его результаты отражают внутреннюю точность сети, не деформированной ошибками исходных данных. Ограниченное уравнивание выполняется после успешного выполнения минимально ограниченного уравнивания для включения вновь построенной сети в существующую сеть, в ее координатную систему, в том числе систему высот.

Особая проблема, - это совместное уравнивание спутниковых и обычных геодезических измерений. Суть ее в том, что классические геодезические измерения (измерения углов, нивелировки, астрономические определения и др.) выполняются с использованием уровня, т. е. в качестве поверхности относимоси используется геоид. Измерения базовых линий производятся в системе осей общеземного эллипсоида. Для корректного приведения данных к одной какой-либо системе необходимо знать высоты геоида над эллипсоидом с соответствующей точностью.

Уравнивание небольших сетей выполняется обычно по программам, входящим в состав фирменного коммерческого обеспечения. Примером таких программ может служить модуль TRIMNET Plus, входящий в состав программ GPSurvey и Trimble Geomatics Office американской фирмы Trimble Navigation [118] и др. Из российских разработок отметим комплекс программ [35].

Круг задач, входящих в уравнивание включает следующее:

- выбор метода уравнивания,

- обоснование математической модели уравнивания,

- выбор стохастической модели,

- выбор способа решения уравнений,

- статистическое тестирование результатов уравнивания.

Для уравнивания может использоваться как параметрический, так и коррелатный метод. Параметрический метод проще реализуется в компьютерных алгоритмах. В нем каждое измерение дает одно уравнение поправок, и при этом легче избежать лишних уравнений поправок и не пропустить требуемых. В коррелатном методе проще отыскиваются грубые измерения, поскольку свободные члены условных уравнений равны невязкам.

5.2.2. Математические модели уравнивания

Уравнение связи или математическая модель уравнивания спутниковой геодезической сети (СГС) определяет соотношение между измеренными величинами (компонентами векторов базовых линий) и параметрами сети, в качестве которых здесь выступают координаты пунктов наблюдений. Уравнивание СГС можно производить в прямоугольных пространственных координатах X, Y, Z, в геодезических координатах B, L, H на эллипсоиде, или в плоских координатах в некоторой проекции. Если уравнивание производится в прямоугольных пространственных координатах параметрическим методом, то математической моделью измерений является обычная модель уравнений наблюдений:

, (5.10)

где - уравненный вектор наблюдений, а - уравненные координаты станций. Такая математическая модель от природы линейна. Вектор наблюдений между станциями 1 и 2 записывается:

. (5.11)

Выразим координаты станций через их предварительные (априорные) значения и поправки к ним :

, (5.12)

Теперь уравнение поправок для одной базовой линии можно записать в виде:

, (5.13)

или

, (5.14)

где - вектор поправок (матрица-столбец) в измеренные компоненты вектора базовой линии :

, (5.15)

а - свободный член, определяемый выражением:

. (5.16)

Система уравнений поправок для всей сети записывается в виде:

. (5.17)

Матрица плана А для модели (5.10) состоит из 1, -1 и 0, ее фрагмент для линии 12 выглядит следующим образом:

. (5.18)

Вектор неизвестных поправок в параметры состоит из векторов поправок в координаты пунктов:

,

, (5.19)

а вектор свободных членов l и вектор поправок v состоят соответственно из отдельных векторов свободных членов и векторов поправок в компоненты базовых линий.

При ограниченном уравнивании в качестве дополнительных неизвестных в параметрические уравнения могут вставляться параметры связи между системами координат и высот (см. разделы 5.2.6, 5.2.7). Уравнивание в геодезических координатах позволяет разделять влияние ошибок в плане и по высоте и в необходимых случаях локализовать грубые ошибки центрирования или измерения высоты антенны. Для уравнивания на эллипсоиде компоненты векторов базовых линий преобразуются в длины геодезических линий, их геодезические азимуты и приращения эллипсоидальных высот. Для этого вычисляются приращения координат E, N, U в локальной геодезической системе [104]:

(5.20)

где матрица задается формулой (1.65).

Геодезический азимут с пункта 1 на пункт 2 вычисляется по формуле:

, (5.21)

где - поправка за высоту наблюдаемого пункта 2 вычисляемая по азимуту А12 и радиусу кривизны нормального сечения эллипсоида в этом азимуте:

(5.22)

. (5.23)

В формуле (5.23) N1 – радиус кривизны эллипсоида в первом вертикале в точке 1, - второй эксцентриситет эллипсоида, Bm – средняя широта между пунктами.

Высота точки 2 над эллипсоидом вычисляется по формулам:

(5.24)

(5.25)

а расстояние между пунктами на эллипсоиде по геодезической:

, (5.26)

где угол определяется из выражения:

(5.27)

Уравнения поправок для геодезического азимута, длины геодезической и приращения эллипсоидальных высот можно найти в книге [12]. Описания других математических моделей уравнивания, применяемых для GPS-измерений, см. в работах [83, 91, 104, 116].

5.2.3. Стохастические модели

Важность стохастической модели сети очевидна: она дает информацию об ее точности. Тем самым достигается исправление более грубых измерений большими поправками, а более точных измерений – меньшими поправками. Если же стохастическая модель сети содержит ошибочную информацию, то результаты уравнивания и заключение о нем будут ненадежны.

Стохастическая модель GPS-сети представляется ковариационными матрицами, получаемыми при решении отдельных базовых линий:

, (5.28)

в которых диагональные члены – дисперсии приращений координат базовых линий, а недиагональные члены – их ковариации. Основной недостаток этих матриц заключается в том, что они характеризуют точность базовых линий по внутренней сходимости. Здесь не учитывается влияние ошибок центрирования, измерения высоты антенны, могопутности и ошибок положений фазовых центров, некоррелированных ошибок тропосферной и ионосферной задержек и других немоделируемых ошибок. Хотя ковариационные матрицы векторов базовых линий не дают возможности судить о реальной точности их координат, по ним можно составить некоторые выводы об условиях наблюдений.

Обычно используется один из трех способов корректировки ковариационных матриц, для того чтобы сделать их более адекватными реальным условиям измерений.

Можно вычислить невязки в замкнутых фигурах и по ним рассчитать среднюю квадратическую ошибку m любой из разностей координат по формуле (5.7), т. е. сделать оценку по внешней сходимости. Обычно эта ошибка в 5 – 10 раз больше ошибок, представленных в ковариационных матрицах базовых линий. В то же время матрицы КXYZ позволяют учесть взаимозависимость между разностями координат. Для установления такого соответствия предлагается выбирать в каждой матрице три диагональных элемента K11, K22, K33 и вычислять по ним . Для сети из всех определяется среднее арифметическое значение:

. (5.29)

После этого каждая ковариационная матрица умножается на величину . Полученные таким образом ковариационные матрицы

(5.30)

используются для уравнивания в прямоугольных координатах. Описанный прием операции масштабирования ковариационных матриц приводится в [14].

Другой прием корректировки стохастической модели сети – стратегия станций [118]. Этот метод заключается в добавлении в масштабированную ковариационную матрицу априорных ошибок центрирования mc и измерения высоты антенны mah. Ошибку mc можно разложить на составляющие mc, E и mc, N соответственно вдоль координатных осей E и N:

. (5.31)

Полагая, что обе составляющие равны между собой, поскольку нет оснований считать, что ошибка центрирования в некотором направлении будет больше, вводят дополнительные составляющие в ковариационную матрицу локальных геодезических координат KENU:

, (5.32)

Ковариационные матрицы получаются из матриц (или ) разностей прямоугольных координат по известной схеме:

, (5.33)

где матрица R определяется в соответствии с формулой (1.65)

Далее матрицы KDENU: конвертируются в ковариационные матрицы для геодезических азимутов, длин геодезических линий и приращений геодезических координат:

. (5.34)

Выражение для матрицы J (матрица Якоби) находится путем дифференцирования функций для A, S, DH:

(5.35)

Выражения для частных производных для (5.35) в явном виде можно найти в [12, 104].

Поскольку А и S не зависят от U, то в итоге дополнительная ошибка центрирования mc увеличивает дисперсии в азимуте и длине геодезической, а дополнительная ошибка высоты антенны увеличивает дисперсию в DН.

Можно сразу разложить ошибку mc на дополнительную ошибку азимута mA и ошибку длины геодезической mS и ввести соответствующие дополнительные дисперсии в матрицу .

В третьем приеме корректировки ковариационной матрица величины, называемом стратегией суммирования назначаются дополнительные ошибки для азимутов, длин геодезических и приращений эллипсоидальных высот. Эти дополнительные ошибки возводятся в квадрат и складываются с соответствующими дисперсиями в ковариационных матрицах . Суммирование может производиться либо для одного какого-либо вида параметров, либо для их комбинаций. Величина дополнительной ошибки для каждой базовой линии может назначаться индивидуально, либо можно назначать одинаковые ошибки для всех базовых линий [12, 104, 113, 118].

5.2.4. Решение системы уравнений поправок

Решение составленной системы уравнений поправок (5.17) с ковариационной матрицей (5.29) решается в следующем порядке:

- находится весовая матрица

, (5.36)

-составляется система нормальных уравнений

, (5.37)

в которой

, (5.38)

- находится вектор оцениваемых параметров

, (5.39)

- находится апостериорная дисперсия единицы веса

, (5.40)

где r – число степеней свободы (число избыточных измерений), равное разности числа всех измерений и числа неизвестных:

. (5.41)

Здесь n - число базовых линий, N – число определяемых пунктов.

Далее составляется апостериорная ковариационная матрица К уравненных прямоугольных или геодезических координат пунктов:

. (5.42)

Ее дополняет полная ковариационная матрица приращений координат, азимутов базовых линий и приращений высот для всех возможных комбинаций пунктов [12].

Ковариационные матрицы позволяют судить о качестве и надежности уравнивания. Высокая точность результатов уравнивания не всегда свидетельствует о его надежности: возможны необнаруженные грубые ошибки и систематические влияния, искажающие математическую модель уравнивания. Грубые модели уравнивания обнаруживаются тем надежнее, чем выше избыточность сети.

Для оценки качества уравнивания применяются различные статистические тесты. Вероятностный тест c2 основан на сумме взвешенных квадратов поправок , числе степеней свободы и уровне доверия (проценте вероятности). Назначение этого теста – отвергнуть или принять гипотезу о том, что предсказанные ошибки были точно оценены. Если тест не проходит, то это указывает на то, что все или несколько наблюдений необходимо проверить, или даже перенаблюдать. Если проверка вычислений не дает желаемого результата, то ошибочные измерения удаляют из уравнивания. Однако невыполнение теста c2 может быть также вызвано неадекватной стохастической моделью, или неадекватной математической моделью, или ими обеими.

Вероятностный t-тест (t-критерий), опирающийся на распределение Стьюдента, которое в свою очередь базируется на числе наблюдений, доверительной вероятности (95%) и числе степеней свободы, позволяет выявить грубые измерения. Дополнительную информацию для анализа дают гистограммы распределения нормализованных ошибок и эллипсы (эллипсоиды) ошибок [104, 118].

5.2.5.Некоторые особенности методов свободного и ограниченного уравнивания

Начальная стадия уравнивания сети – это свободное уравнивание. Оно дает возможность оценить внутреннюю точность сети, проверить оценки погрешностей отдельных определений базовых линий и выявить любые промахи в них. Система уравнений поправок для сети имеет вид (5.17), ей соответствует весовая матрица Р, получаемая либо непосредственно через ковариационные матрицы базовых линий, либо с привлечением некоторой стратегии взвешивания. При условии, что поправки измерений имеют гауссово распределение с нулевым средним, минимизация взвешенной суммы квадратов поправок дает наиболее вероятную оценку вектора неизвестных Х, определяемую из решения нормальных уравнений (5.38).

Для обращения нормальной матрицы и получения единственного решения нормальных уравнений необходимо определить начало координатной системы в геодезической сети, иначе матрица плана будет иметь дефект ранга. В этом случае возможно решение с применением псевдообращения матриц. Можно зафиксировать координаты одной из станций и выполнить минимально ограниченное уравнивание. Иногда фиксируется центр тяжести сети («центроид»), определенный по априорным координатам пунктов. Ковариационная матрица в таком решении имеет минимальный след и является удобным индикатором точности сети. Из этой ковариационной матрицы легко вычисляется эллипсоид ошибок для каждой станции. Независимо от выбора начала сети уравненные базовые векторы будут одними и теми же.

В свободном уравнивании к нормальным уравнениям добавляются внутренние ограничения:

, (5.43)

где Е – матрица размера 3´3N (N – число станций в сети), состоящая из единичных матриц I, каждая размером 3´3:

. (5.44)

Назначение этих ограничений сводится к тому, чтобы сумма координатных сдвигов и возможных смещений в ориентировке и длине базовых линий была равна нулю. Решение свободного уравнивания для поправок в координаты пунктов будет:

, (5.45)

а ковариационная матрица оцененных координат станций имеет вид:

. (5.46)

Апостериорная дисперсия находится по формуле (5.40), но число степеней свободы теперь равно:

. (5.47)

При ограниченном уравнивании все опорные точки фиксируются на их каталожных положениях, а остальная сеть подгоняетя под них. Эта этап уравнивания используется для вычисления окончательных координат и оценки ошибок на контрольных станциях. Кроме того, в процессе ограниченного уравнивания производится преобразование координат между системами относимости и перевод измеренных разностей геодезических высот в разности нормальных высот, о чем будет рассказано ниже

При уравнивании на эллипсоиде решение систем уравнений поправок выполняется методом итераций, в котором добиваются сходимости уравненных координат. Это объясняется тем, что коэффициенты в уравнениях наблюдений при поправках в координаты зависят от самих координат и точны только при малых координатных сдвигах [12, 35, 104, 118].

5.2.6. Локальные преобразования координат в GPS-технологиях

Построение геодезических сетей с применением GPS-технологий производится в системах координат, оси которых параллельны осям геоцентрической системы (WGS-84, ПЗ-90, ITRF), а начала имеют некоторое смещение относительно геоцентра, что происходит из-за грубого определения геоцентрических координат начальной точки сети. Практически получается, что каждая GPS-сеть развивается в своей локальной системе.

Классические геодезические сети и GPS-сети имеют близкие масштабы, ориентированы в пределах нескольких секунд дуги, так как при их построении вводятся поправки за приведение к Условному земному полюсу. Однако взаимные сдвиги координатных систем могут быть весьма значительными. В дополнение к ошибкам геоцентрических координат начальной точки в GPS-сети сказываются смещения из-за выбора начала референц-эллипсоида и локальные деформации классических геодезических сетей. Большие сдвиги и углы разворота также могут иметь место при трансформировании GPS-сетей в некоторые условные системы координат. В совокупности эти причины вынуждают применять методы локального трансформирования координат.

Чтобы преобразовать координаты из одной системы в другую, необходимо иметь параметры трансформирования. Для определения таких параметров, достаточно для нескольких точек иметь координаты в обеих системах. Составив уравнения связи координат в двух системах для известных (опорных) точек и определив из решения этих уравнений по методу наименьших квадратов (МНК) параметры трансформирования, можно перевести координаты остальных точек в нужную систему. Трехмерное трансформирование требует для общих станций либо эллипсоидальных высот, либо нормальных высот и высот квазигеоида над эллипсоидом.

В процессе преобразования должны решаться следующие задачи:

- нахождение максимально точных оценок для параметров трансформирования (т. е. параметров масштаба, сдвига и вращения),

- достижение такой комбинации координатных систем, которая уменьшает поправки к наблюдениям,

- учет стохастической модели сети.

В зависимости от требуемых результатов, наличия априорной информации и других факторов применяется классический или интерполяционный тип преобразования. Если необходимо сохранить геометрию существующей GPS-сети, то должно применяться классическое 7-параметрическое преобразование. Если же необходимо наилучшим образом подогнать GPS - сеть под уже существующую сеть, то адекватным является интерполяционный подход, в котором геометрия сети не сохраняется.

Математическая модель локального классического преобразования аналогична модели глобального преобразования (см. раздел 1.7), но параметры преобразования в нем определяются для каждой сети независимо.

Среди классических методов локального трансформирования координат чаще всего применяется преобразование подобия в декартовых или эллипсоидальных координатах (методы Гельмерта и Молоденского). В этом преобразовании масштабный коэффициент одинаков во всех направлениях, вследствие чего сохраняется форма сети, т. е. не искажаются углы, но длины линий и положения точек могут изменяться.

Среди интерполяционных методов локального трансформирования координат по произвольно расположенным точкам наиболее известны такие методы, как метод нелинейной многопараметрической регрессии, метод обобщенной средневзвешенной интерполяции, метод трендовых поверхностей, метод полиномиальной интерполяции, различные варианты сплайн-интерполяции, и т. д. В спутниковых технологиях для локального преобразования координат референцных систем широко используется метод нелинейной многопараметрической регрессии [82].

Преобразование подобия из координатной системы СК1 в систему СК2 выполняется с помощью вектора переноса T=(TX, TY, TZ)T, ортогональной матрицы Е вращения на малые углы wX,, wY, wZ вокруг соответствующих осей системы СК1 и масштабного коэффициента m:

, (5.48)

или

. (5.49)

Напомним, что компоненты переноса являются сдвигами, выраженными в системе СК2, и что система СК1 поворачивается и масштабируется. Параметры трансформирования определяются из решения по МНК. Декартовы координаты в обеих системах считаются наблюдениями, к ним должны отыскиваться поправки. Уравнения (5.48), (5.49) представляют смешанную модель уравнивания

(5.50)

или

, (5.51)

где Ra – уравненные наблюдения (координаты), Xa – уравненные параметры трансформирования, – наблюдения (координаты в системах СК1 и СК2), X0 – приближенные параметры трансформирования (обычно X0=0), V – невязки, dX – поправки в параметры.

Каждая станция A дает одно векторное уравнение. Обычная процедура уравнивания происходит под условием , применяемым к выражению

, (5.52)

где

. (5.53)

Символом Р обозначена весовая матрица наблюдений (координат общих станций). Каждая станция дает три уравнения (5.52). Например, для станции А с приближенными параметрами Х0 = 0 уравнения имеют вид:

, (5.54)

или

. (5.55)

Видоизменением модели (5.49), называемым иногда моделью Бурша-Вольфа, является модель Молоденского-Бадекаса:

, (5.56)

где R0=(X0, Y0, Z0)Т – вектор положений в системе СК1 для некоторой точки в сети, подлежащей трансформированию. Наиболее вероятный выбор для R0 - центр тяжести сети. Все другие обозначения в (5.56) - такие же, как в уравнении (5.49). Координаты центра тяжести сети получаются как среднее из координат N пунктов в системе СК1:

, , . (5.57)