Введение. Спутниковые методы в геодезии (стр. 9 )

Чтобы получить ошибки положения в плане, по высоте, или по времени необходимо умножить суммарную ошибку в псевдодальности на ожидаемую величину соответствующего геометрического фактора DOP. При наличии более чем 10 спутников, величина геометрических факторов не превышает единицы.

Разработаны и другие способы оценки точности положения в дифференциальном методе. В [16] приводится описание методов, дающих возможность оценивать сферическую среднюю квадратическую ошибку M положения пункта как функцию расстояния от базовой станции D и возраста дифференциальной поправки t:

, (4.43)

где M0 = 2.28 м, v = 1.32×10-3 м/с, b = 4.38×10-3 м/км.

Ошибка измерения псевдодальности при использовании формулы (4.43) аппроксимируется выражением:

, (4.44)

в котором m0 = 3.66 м, Т = 3847 с, Dc = 122.84 км. См. также [22, 38, 59, 70].

4.4.6. Определение координат в дифференциальном методе по фазовым измерениям

Приведем краткое изложение теории дифференциального фазового метода по книге А. Лейка [104].

Первый шаг при вычислении поправки для фазы несущей заключается в определении целого числа как

(4.45)

из наблюдений первой эпохи. В уравнении (4.45) для измеренной псевдодальности и фазы несущей, выраженной в единицах расстояния, используются обычные символы. Квадратные скобки здесь означают оператор округления к ближайшему целому числу. Поскольку неоднозначность невозможно определить в процессе измерения фазы, ее величина устанавливается произвольно регистром счетчика. Это и есть показание . Определим дальность по фазе несущей как

. (4.46)

Численное значение этой дальности близко к тому, что получено через псевдодальность из-за способа которым определено целое число по формуле (4.45).

Как обычно А обозначает опорную станцию, а В – движущийся приемник. Для каждого спутника, наблюдавшегося на опорной станции, можно вычислить дальность по фазе несущей и топоцентрическое расстояние . Последнее выводится по принятым (эталонным) координатам опорного приемника и эфемеридному положению спутника по формулам (4.8), (4.9). Невязка для дальности по фазе несущей равна

(4.47)

Член присутствует потому, что в (4.45) используется округление. Насколько мало , настолько будет мала невязка . Средняя невязка для всех наблюденных спутников на опорном пункте для эпохи 1 равна

, (4.48)

где через s обозначено число спутников. Поправка к фазе несущей в эпоху 1 равна

. (4.49)

Изменение невязки от одной эпохи к следующей получается как

(4.50)

Средняя невязка в эпоху t вычисляется по формуле

, (4.51)

а поправка к фазе для спутника i в эпоху t равна

. (4.52)

Вторая часть этого уравнения следует после подстановки (4.47) в формулу для фазовой дальности. Фазовая поправка (4.52) эпохи t передается на движущийся приемник В, в котором измеренная фаза несущей исправляется как

. (4.53)

Чтобы получить соответствующее выражения для координат приемника B, запишем вначале уравнение одинарной разности между приемниками А и В в виде

(4.54)

Из уравнения (4.52) можно найти и подставить в (4.54). После преобразования получается:

(4.55)

Левая часть этого уравнения равна исправленной фазе несущей с обратным знаком . Вычитание уравнений (4.55) между двумя спутниками дает выражение, соответствующее наблюдению двойной разности как

(4.56)

Теперь положение пункта B можно вычислить на самом пункте, используя исправленные наблюдения , по крайней мере до четырех спутников, образуя три уравнения вида (4.56). Это и есть решение по DGPS для фазы несущей. Оно отличается от обычного решения по двойным разностям из-за того, что вместо неоднозначностей двойных разностей оценивается модифицированная неоднозначность

. (4.57)

Положение точки В, вычисленное по (4.57), будет получено относительно опорной станции А, поскольку координаты именно этой станции использовались для вычисления поправки к фазе несущей . Однако положение движущегося приемника можно определить и без явного знания положения опорной станции А; достаточно знать поправки к фазе несущей. Пользователь на пункте В должен использовать те же самые эфемериды и ту же самую методику вычислений, что и на станции А, чтобы обеспечить согласованность в вычислениях топоцентрических расстояний и .

Одна из целей - получение малых значений для невязки и, следовательно, для средней невязки и для поправок к фазам несущей . Это выполняется через особый выбор в уравнении (4.45). Это свойство будет обеспечивать минимум телеметрической нагрузки. Телеметрическая нагрузка будет еще более снижена, если увеличить время между передачами поправок к фазе несущей. Например, если изменение в невязке от одной эпохи к следующей меньше, чем точность измерений у подвижного приемника, или если изменения в невязке слишком малы для того, чтобы ощутимо влиять на минимальную необходимую точность положения движущегося приемника, то можно усреднять поправки к фазе несущей и передавать их средние значения. Можно также пожелать передавать скорость изменения поправки . Если через t0 обозначить опорную эпоху, то пользователь может интерполировать поправки по времени как

. (4.58)

При разработке систем DGPS должны предприниматься предосторожности, чтобы убедиться, что такое простое моделирование фазовой поправки достаточно точно.

Один из способов уменьшения размера и скорости изменения невязки - использование наилучших доступных координат для фиксированного приемника и наилучших спутниковых эфемерид. Ошибки часов воздействуют на невязки непосредственно, как видно из уравнения (4.50). Ход часов и изменения в поправке часов приемника dtA можно эффективно контролировать, подсоединив к приемнику опорной станции рубидиевый генератор. Изменение в поправке часов спутника dti из-за режима выборочной доступности, вероятно, является определяющим фактором, который ограничивает допустимое время для усреднения.

Описанный здесь метод применим для фазы несущей как на L1, так и на L2.

4.4.7. WADGPS - дифференциальный метод GPS для широких зон

Поправки в фазы и в дальности представляют суммарный эффект от разных источников ошибок. Основная идея WADGPS – расширить пределы, до которых точные поправки остаются справедливыми, и, используя это, уменьшить число опорных станций так, чтобы охватить целые районы земного шара. Подход заключается в анализе индивидуальных источников ошибок, попытке моделировать их изменение во времени и пространстве и передаче индивидуальных для каждого спутника поправок пользователям GPS [16]. Пользователь учитывает влияние этих поправок в измерениях движущегося приемника с учетом его географического положения. WADGPS требуют расширения обычного формата (стандарта) RTCM-104.

В зависимости от предполагаемого применения есть много способов моделирования в проектируемых системах WADGPS. Большинство исследований, выполненных для цели расширения дифференциального метода GPS, связывают с точной навигацией. Хотя чаще всего используются псевдодальности, концепция WADGPS применима к расширению возможностей RTK – кинематических съемок в реальном времени, в которых фазы несущей являются обязательной частью решения.

В самом общем случае он должен был бы состоять из сети контрольных станций, распределенных равномерно по земному шару, которые бы немедленно передавали бы свои наблюдения на главную станцию. В зависимости от возможного применения контрольная сеть могла бы покрывать только континент, или отдельные страны, или даже небольшие регионы. Главная станция вычисляла бы поправки и передавала бы их пользователям через удобные линии связи, такие как спутник, телефон или навигационные радиомаяки. Все вычисления выполнялись бы последовательно почти в реальном времени, если сохранять на приемлемом уровне латенцию сигнала (latency - латенция, скрытность).

Как известно, влияние ошибок координат опорных станций и эфемерид повышается с увеличением расстояния между приемниками. Поэтому положения всех опорных станций должны быть хорошо известны. Эфемериды, вычисляемые в реальном времени на главной станции, должны быть точнее, чем бортовые эфемериды, ухудшенные режимом SA. Точные эфемериды становятся частью сообщения в WADGPS. Из-за пространственной и временной декорреляции ионосферы было бы важно, чтобы ионосферные задержки моделировались, оценивались и передавались пользователю. Чтобы иметь возможность следить за ионосферой, контрольные станции должны быть оборудованы двухчастотными приемниками. Использование внешней базы времени на основе рубидиевых стандартов частоты уменьшило бы ошибки часов приемника и дало возможность лучше оценивать часы спутников. Подробное описание одной из систем WADGPS см. в Интернете по адресу http://www. .

4.5. Относительный метод определения координат

4.5.1. Использование наблюдений фазы

Как уже было изложено в главе 3, измерения фазы и псевдодальностей подобны. Возьмем данные ранее соотношения в несколько упрощенном виде, опустив члены с аппаратурными задержками, влиянием многопутности и ряд других. С учетом этого соотношение для псевдодальности от спутника i до приемника A в эпоху t (см. формулы (3.7) и (4.5)) будет:

(4.59)

Уравнение для фазы (3.29) возьмем в виде:

. (4.60)

Напомним, что в этих уравнениях: с - скорость света в вакууме, l - длина волны несущих колебаний, dtA и dti - поправки часов соответственно для приемника и для спутника, - ионосферная и тропосферная поправки, - целочисленная неоднозначность фазовых циклов в момент первого измерения, - геометрическая дальность между спутником в момент выхода сигнала и антенной приемника в момент приема сигнала. Параметры и - случайные ошибки измерений. Величина представляет собой сумму дробной и непрерывной частей фазы. Здесь она, как и величина , подразумевается в циклах. В левых частях обоих уравнений приводятся измеренные параметры, в правых частях - их физические и геометрические выражения. Все члены уравнений даются в единицах длины. При необходимости уравнение (4.50) можно представить в циклах, разделив обе его части на длину волны, или в радианах, если после деления умножить его на 2p.

Сравнение уравнений (4.49) и (4.50) показывает, что различие между ними - в присутствии члена с начальной неоднозначностью фазы для каждого спутника, а также в противоположных знаках ионосферной поправки. Качественное же отличие значительно глубже. Так, уже сравнение величин ошибок измерений и дает прямую информацию о точности параметров и : первый имеет метровый уровень точности, второй - миллиметровый.

В практике позиционных определений поправку вычисляют в соответствии с некоторой моделью с точностью порядка дециметра. Точность вычисления ионосферной поправки для одночастотных измерений - несколько метров. Для двухчастотных измерений на коротких линиях ее можно почти полностью исключить. Поправка часов спутника также может быть учтена (см. подраздел 4.2.1). Геометрические дальности линеаризуются относительно приближенных координат пункта наблюдений , в результате чего получаются уравнения поправок для псевдодальности и фазы:

, i = 1, ... , s;. (4.61)

, i = 1, ... , s, (4.62)

где свободный член уравнений поправок для фазы представляет разность между предвычисленным значением фазы и измеренным значением:

. (4.63)

Формулы для единичных топоцентрических векторов и геометрических дальностей даны в подразделе 4.2.1.

При наличии не менее четырех спутников, наблюдаемых одновременно, можно используя уравнение (4.61) в каждую эпоху определять три координаты станции и точное время абсолютным методом. Уравнение (4.62) не позволяет это сделать из-за присутствия в нем неоднозначностей фаз. При наблюдении в одну эпоху одновременно s спутников система уравнений будет содержать s+4 неизвестных. Добавление уравнений наблюдений для второй эпохи позволяет в принципе решить задачу определения координат станции по фазовым измерениям абсолютным методом. Однако возникающие проблемы разрешения неоднозначности фаз не будут компенсированы повышением точности координат из-за неизбежных ошибок орбиты, ионосферы и ряда других погрешностей, и поэтому такой метод практически не применяется.

Уравнения (4.49) и (4.50) можно использовать для сглаживания более грубых псевдодальностей по фазе, имеющей большой постоянный сдвиг в виде неизвестной неоднозначности . Найдем из уравнений (4.59) и (4.60) выражения для приращения псевдодальности и фазы за промежуток от эпохи t1 до эпохи t:

(4.64)

Предположив, что равны нулю, мы получаем два уравнения с неизвестными и : одно измерение на метровом уровне точности, другое - на миллиметровом уровне точности. Ясно, что реальная информация есть во втором уравнении (4.54), которое дает миллиметровые «ограничения» на поведение и . Первое уравнение дает возможность определять вектор положения в каждую эпоху. В совокупности это позволяет строить эффективные алгоритмы для точной навигации в реальном времени и для геодезических работ невысокой точности, если псевдодальность в эпоху t находить в соответствии с уравнением:

. (4.65)

Проблему поправки за ионосферу решают ее моделированием. Более высокие точности можно получать по двухчастотным измерениям. Некоторые подробности об использовании псевдодальностей, сглаженных по фазам, см. в [116, 118].

В зависимости от типа приемника возможны различные наборы измерений псевдодальностей и фаз. Одночастотные приемники измеряют одну псевдодальность и фазу на частоте диапазона L1. Двухчастотные приемники с техникой квадратирования сигнала при включенном режиме Antispoofing получают псевдодальность по C/A - коду, фазу на частоте L1 и фазу на частоте L2 для половинной длины волны. Большинство же современных приемников дают возможность измерять P(Y)-кодовые псевдодальности и фазы с полной длиной волны. Набор уравнений наблюдений таких измерений для одного спутника в эпоху t записывается в виде системы:

, (4.66)

где

, (4.67)

а f1, f2 - частоты несущих колебаний.

Применение фазовых измерений в относительном методе дополняют измерением псевдодальностей. Определение вектора базовой линии DAB между пунктами А и В основано на совместном использовании уравнений первых, двойных или тройных разностей. Уравнения двойных разностей псевдодальностей и фаз, измеренных на одной несущей частоте, имеют вид:

, (4.65)

(4.66)

В этих уравнениях: r – геометрические дальности, - комбинации двойных разностей соответственно для ионосферной и тропосферной поправок и для фазовых неоднозначностей. Через и обозначены ошибки двойных разностей псевдодальностей и фаз. Они показывают, во-первых, что уравнения имеют различную точность, и, во-вторых, что ошибки разностей больше ошибок исходных измерений.

Линеаризация уравнений (4.65) и (4.66) производится из предположения, что координаты пункта A известны, а координаты пункта B нуждаются в уточнении:

. (4.67)

Тогда получаются следующие уравнения поправок:

, (4.68)

. (4.69)

Первое уравнение позволяет определить вектор базовой линии при наличии наблюдений не менее 4-х спутников с точностью кодовых измерений. Второе уравнение не позволяет сделать этого теоретически, хотя бы потому, что число неизвестных превышает число измерений. При одновременном наблюдении с двух пунктов s спутников система из 2s уравнений содержит 2s+3 неизвестных. При переходе к двойным разностям число уравнений становится s-1, а неизвестных – s+2, т. е. попрежнему наблюдается дефект ранга системы. Решение возможно, если наблюдается k эпох. Тогда число уравнений двойных разностей равно k(s-1), а число неизвестных сохраняется тем же. Нетрудно видеть, что минимальное число спутников равно четырем.

Если интервал между эпохами наблюдений фазовых разностей невелик, скажем несколько секунд, то направляющие косинусы в единичных векторах e будут очень близкими между собой из-за медленного движения спутников, и нормальные матрицы уравнений окажутся вырожденными. Отсюда следует, что фазовые измерения должны производиться достаточно длительное время, чтобы спутники могли переместиться на небесной сфере на достаточное расстояние. Качество решения будет зависеть от геометрических факторов DOP и от количества наблюдаемых спутников. Минимальное количество одновременно спутников равно четырем. Кроме того, объем измерений будет зависеть от расстояния между приемниками: чем длиннее базовая линия, тем продолжительнее сеанс. Для коротких базовых линий обязательно решение с определением неоднозначностей.

4.5.2. Использование кодовых измерений в относительном методе

Для кодовых измерений, выполненных на пунктах А и В, из которых А – опорная станция, а В –полевой приемник, можно выполнить пост-обработку, используя двойные разности псевдодальностей . При наблюдениях спутников i, j с пунктов из уравнения (4.5) вначале получают одинарные разности псевдодальностей:

, (4.70)

, (4.71)

а затем двойную разность , равную разности одинарных разностей:

. (4.72)

Уравнение (4.44) приводится к линейному виду с тремя неизвестными – поправками в координаты полевого приемника:

. (4.73)

Уравнение решается при числе спутников . Свободный член в (4.73) вычисляется с точными координатами базового приемника и предварительными координатами полевого приемника, которые входят в выражения для предварительных значений псевдодальностей:

. (4.74)

Поскольку для вычисления направляющих косинусов нужны координаты полевого приемника, то уравнение (4.45) решается методом приближений,. В качестве априорной позиции ПП можно использовать результат абсолютного определения. При использовании двухчастотного приемника, работающего по точному коду, для решения целесообразно использовать комбинацию псевдодальностей, свободную от влияния ионосферы [91].

4.5.3. Статические съемки с фазовыми приемниками

В процессе развития GPS-технологий было разработано три способа статических съемок с применением фазовых приемников. Первый из них, появившийся как модификация интерферометрического метода радиоастрономии, называют классической статикой или просто - статическим методом. Второй метод – быстрая статика (fast statiс или rapid static). Его принципиальное отличие от предыдущего метода заключается в уменьшении времени наблюдений на пункте, применении специальных алгоритмов для разрешения начальных неоднозначностей фаз, и как следствие от выигрыша времени, некоторую потерю точности. Третий метод получил название реоккупация. Иногда его называют псевдокинематикой или псевдостатикой, поскольку он имеет признаки как статики, так и кинематики. Если под "оккупацией" понимается период измерений на пункте, то реоккупация – это метод наблюдений с повторным посещением пункта, когда при первом наблюдении данных оказалось недостаточно для точного решения. В каждом из перечисленных методов возможно применение как одночастотной, так и двухчастотной аппаратуры. Двухчастотная статика – наиболее универсальный метод измерений, в котором возможно достижение самой высокой точности и на самых больших расстояниях, вплоть до нескольких тысяч километров. В этом методе иногда отдельно выделяется статика коротких, средних и длинных базовых линий. Четких количественных границ между этими понятиями не существует, и основной принцип деления основан на теоретических возможностях исключения определенных видов ошибок. На коротких базовых линиях почти польностью исключаются влияния ионосферы и тропосферы. В периоды минимума солнечной активности одночастотные приемники уверенно дают фиксированное решение на расстояниях до 60 км, в то время как в максимум солнечной активности с трудом дают решение на расстояние 10 км [116]. Ошибки тропосферы начинают значительно декоррелировать с расстояний около 15 км. В среднем можно считать, что под короткими расстояния понимаются обычные для классической триангуляции и полигонометрии расстояния в пределах до 15-25 км. По другому определению пределом для коротких расстояний является то расстояние, на котором заметно расхождение между результатами одночастотных и двухчастотных измерений. Подобным образом, верхний предел для средних расстояний можно определить как минимальное расстояние, на котором разрешение неоднозначностей на двух частотах не выполняется из-за доминирующего влияния ошибок опорных координат и орбиты [116]. Диапазон расстояний для средних базовых линий предполагается примерно от 01.01.01 км. Пределом расстояний для длинных базовых линий является возможность выполнения синхронных измерений. Чем длиннее расстояние между пунктами, тем меньше наблюдается общих спутников. Практическим пределом может быть расстояние в 5 – 7 тыс. км.

В статических методах одновременно работают, по крайней мере, два приемника, и ожидается точность сантиметрового уровня. Один из них располагается на точке с известными координатами (опорный или базовый приемник), координаты второго приемника подлежат определению. Синхронизация работы приемников на уровне минут обеспечивается наблюдателями, которые включают аппаратуру в заранее установленное время. Синхронизация на уровне секунд достигается выбором в приемнике одинаковых интервалов между измерениями (интервал между эпохами наблюдений). Наиболее распространенные интервалы в 1, 5, 10, 15 и 30 с. Если в приемниках установлены разные интервалы между эпохами, то некоторые наблюдения могут оказаться несинхронными. Более точная синхронизация часов приемников обеспечивается навигационным решением по C/A-коду. Если точность однократного абсолютного определения координат 100 м, а из осреднения 30 м, то это позволяет синхронизировать часы приемников на уровне 10-7 с. Этот уровень точности определения времени достаточен для обеспечения одновременности наблюдений фазы несущей волны на отдельных станциях.

Фазовый GPS-приемник измеряет разность фаз несущих колебаний между спутниковым сигналом и сформированным в приемнике опорным сигналом. Эта фазовая разность состоит дробной части фазы Dj и непрерывной фазы n - числа целых длин волн, которые приемник насчитывает с момента первого наблюдения каждого спутника. Если сигнал временно блокируется, не достигая антенны по какой-либо причине, то имеет место пропуск циклов (срыв фазы). После того, как измерения возобновляются, дробная фаза записывается правильно, а счет целых циклов оказывается нарушенным. Обработка таких данных в большинстве алгоритмов возможна только после восстановления непрерывной фазы.

Наиболее важная проблема обработки фазовых измерений заключается в определении целого числа длин волн N(1), которое не фиксируется приемником при первом измерении. Это число называют начальной целочисленной неоднозначностью фазовых измерений. Для установления правильного значения этого числа программа, обрабатывающая базовую линию – процессор базовых линий, производит его подробное исследование.

Точность определения базовой линии зависит также от компенсации остаточных погрешностей шкал времени спутника и приемника. Чтобы достичь миллиметровой точности, необходимо исключать ошибки времени на уровне долей наносекунды. Достигается это с помощью образования одинарных (или первых), двойных и тройных фазовых разностей (см. главу 3). В первых разностях (single difference) полностью исключаются ошибки часов спутника. В двойных разностях (double difference) исключается большая часть погрешности шкалы времени и задержки в каналах приемника. Главное свойство тройных разностей заключается в том, что они не зависят от начальных целочисленных неоднозначностей фазовых измерений. Поэтому тройные разности удобны для выявления и исправления срывов циклов. Они используются как отдельный этап в обработке, позволяющий устранить пропуски в счете циклов и получить первое решение для положения полевого приемника.

Дополнительное преимущество двухчастотных фазовых измерений заключается в возможности образовывать комбинации фаз, измеренных на первой и второй несущих частотах (см. главу 3). Разностная (широкополосная) комбинация эквивалентна измерениям на волне 86 см, или 31 см, если применялась техника квадратирования на второй частоте, которая приводит к измерениям на половинной длине волны. Эта комбинация позволяет выполнить более уверенное разрешение неоднозначности. Суммарная или узкополосная комбинация фаз эквивалентна измерениям на волне 10.2 см. Она также используется при уточнении целочисленных неоднозначностей. Наконец, комбинация фаз, свободная от влияния ионосферы, позволяет почти полностью исключить влияние этого слоя атмосферы при условии, что ее состояние в пунктах наблюдений одинаково.

В общем случае получаемые из решения неоднозначности не являются целыми из-за остаточных ошибок моделей, заключающихся в невозможности математически точно описать спутниковые орбиты, влияние ионосферы и тропосферы и т. п. Поскольку известно, что неоднозначности должны быть целыми, а не вещественными, можно усилить решение, получая целые оценки неоднозначностей. Если выполнить надежное округление до целого удается, говорят о «фиксированном решении» для базовой линии, в противоположность «плавающему решению». Для достижения сантиметровой точности всегда необходимо получать фиксированное решение.

Двухчастотные измерения почти всегда дают более точное решение, чем одночастотные измерения, за счет более строгого учета ионосферы, большего объема данных и возможности использования комбинаций фазовых отсчетов. Последнее обстоятельство чрезвычайно важно для уверенного разрешения неоднозначностей. Так, одночастотная статика имеет предел вкм, иногда при благоприятных условиях и при соблюдении некоторых требований - несколько больше, а одночастотная быстрая статика - в 5 – 10 км. В некоторых ситуациях двухчастотная аппаратура может просто не показать своих преимуществ. Например, при наблюдениях в лесу приемником с квадаратурной техникой преодоления режима AS сигнал на второй частоте очень слабый и имеет много срывов циклов, а поэтому получить фиксированное решение по двум частотам практически бывает невозможно.

4.5.4. Быстрая статика

Быстрая статика разработана на основе классической статической съемки [110]. Цель быстростатической съемки – точно определить базовую линию за максимально короткое время. Один приемник устанавливается на опорной точке и непрерывно следит за всеми видимыми спутниками. В это время со вторым приемником последовательно обходят все точки, оставаясь на каждой из них несколько минут (рис. 4.6). Использование процессоров базовых линий, специально разработанных для быстрой статики, позволяет разрешить неоднозначности по этим кратковременным измерениям. Техника быстрой статики идеально подходит для съемок, где необходимо определять много точек, расположенных поблизости от опорной точки, и где можно пренебречь влиянием ионосферы и тропосферы. Преимущество этой методики перед обычной статикой в сокращении времени в 2 - 4 раза, преимущество перед кинематикой Stop-and-Go в том, что не нужно поддерживать непрерывный захват спутников во время движения от точки к точке. Каждая точка наблюдается независимо от других, а при перемещении на другую точку приемник может выключаться. Это особенно важно при работе в городских условиях, где много препятствий и помех. Недостатком быстростатических решений базовых линий является плохое исключение многопутности из-за коротких сеансов наблюдений.