Предмет и задачи космической навигации (КН) (стр. 4 )

Показания высоты, определяемой средствами инерциальной навигационной системы (ИНС), принципиально неустойчивы. Поэтому многие бортовые системы инерциальной навигации показывают только широту и долготу, а высота, если она необходима, определяется иными средствами. Другой возможный вариант – применение альтиметра (барометрического или радиолокационного) для стабилизации показаний высоты ИНС.

Спутниковые навигационные системы. Радиопередатчики геостационарных и иных искусственных спутников Земли осуществляют навигационное вещание в глобальном, масштабе. Пользователь всякой спутниковой системы должен знать координаты спутника в момент определения своего местоположения. Поэтому наземные радиостанции определяют параметры орбит и координаты местоположения спутников и передают эти данные на спутники, откуда они в кодированном виде передаются пользователю. См. также СПУТНИК СВЯЗИ.

В США была создана спутниковая навигационная система ВМС «Трансит», которая позднее получила название «Навсат» (NAVSAT – Navy Navigation Satellite). К таким системам получили доступ и суда гражданского морского флота. В США в конце 20 в. насчитывалось свышегражданских пользователей системы «Навсат». Спутники системы «Навсат» выводились на околополярные орбиты высотой 965 км. Они непрерывно вещали на двух частотах, причем оборудование пользователя могло принимать либо один, либо оба сигнала. Преимущество двухчастотного приема в том, что он дает возможность вычислять поправку на задержку, связанную с распространением сигнала в атмосфере. Погрешность определения местоположения на одной частоте равна приблизительно 500 м, а на двух – 25 м. Такая система имеет сравнительно низкую стоимость приемного оборудования, однако не обеспечивает сплошного охвата. Поэтому система «Навсат» была непригодна для воздушной навигации.

В 1970-х годах министерство обороны США разработало глобальную спутниковую систему местоопределения «Навстар» (NAVSTAR – Navigation Satellite Providing Time And Range) или, короче, GPS (Global Positioning System), лишенную недостатков системы «Навсат». В конце 1990-х годов она стала доступной и для гражданских пользователей. Система основана на вычислении расстояния от пользователя до спутника по измеренному времени от передачи сигнала спутником до приема этого сигнала пользователем. Пользователю не требуется иметь точные часы, поскольку измеряется расстояние до четырех спутников и по данным этих измерений вычисляются не только три координаты, но и уход часов пользователя.

ГЛОБАЛЬНАЯ СИСТЕМА МЕСТООПРЕДЕЛЕНИЯ GPS, спутниковая навигационная система, в которую входят 24 спутника (21 рабочий и 3 резервных), передающих информацию о положении, скорости и времени военным и гражданским пользователям.

Спутники GPS непрерывно передают сигналы двух частот. Каждый из этих двух сигналов несет ряд модуляций, одна из которых служит для передачи эфемеридного времени спутника и данных ухода часов. Одна из модуляций, используемых для местоопределения, называется «сигналом C/A» (Code Acquisition – сигнал вхождения в синхронизм по кодовой комбинации). Средства для приема этого сигнала доступны любому пользователю. С учетом широкого распространения приемников, рассчитанных на прием только сигнала C/A, эта часть системы была названа стандартной службой местоопределения (SPS – Standard Positioning Service). Военные же приемники используют сигнал C/A для приема другой модуляции, называемой «кодом P» (Precision Code). Эта часть системы получила название службы точного местоопределения (PPS – Precise Positioning Service). При благоприятной конфигурации спутников служба SPS позволяет определять трехмерные координаты места с погрешностью около 30 м. По соображениям государственной безопасности погрешность системы GPS может быть намеренно увеличена примерно до 100 м. Для пользования сигналами службы PPS нужно знать определенную кодовую комбинацию. Погрешность «точного» местоопределения составляет около 15 м.

Двадцать четыре спутника системы GPS находятся на 12-часовых орбитах высотойкм с наклонением орбиты, равным 55°. Таким образом, в любой точке земного шара в пределах прямой видимости имеется не менее четырех спутников в конфигурации, благоприятной для местоопределения. Благодаря этому в наши дни водитель междугородного трейлера, автомашины медицинской скорой помощи, рулевой яхты может, имея миниатюрную антенну, считывать по цифровому дисплею навигационного приборчика размером с небольшую книжку постоянно меняющиеся координаты своего местоположения, указываемые с точностью до 15 м.

Комбинированная навигация. Коль скоро имеются разные навигационные системы, сама собой напрашивается мысль об их совместном использовании в целях реализации наилучших характеристик каждой из них. Очевидный вариант для мореходной навигации – сочетание систем «Омега» и «Лоран-С». Первая из них обеспечивает глобальный охват, а вторая – более точные данные там, где это возможно, т. е. вблизи побережья, где и требуется более точная навигация.

Наиболее совершенной в настоящее время представляется комбинация инерциальной навигационной системы со спутниковой системой GPS. Только ИНС способна отслеживать маневры высокоскоростного самолета и непрерывно выводить на дисплей изменяющиеся значения координат, скорости и ориентации. Данные же системы GPS можно было бы использовать для контроля за накоплением ошибки инерциальной системы, что позволило бы такой комбинированной навигационной системе точно указывать координаты и скорость за длительные интервалы времени и стабилизировать показания ИНС по высоте. См. также АЭРОНАВИГАЦИЯ; АЭРОПОРТ.

ЛЕКЦИЯ 2. ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ КОСМИЧЕСКОЙ НАВИГАЦИИ И ИХ РЕАЛИЗАЦИИ

2.1. Основы навигации.

Три области науки и техники являются сердцем систем позиционирования и навигации:

- геодезия, которая изучает размеры и форму Земли,

- хранение времени (или орология, искусство и наука об измерении времени),

- астрономия (а в 20 столетии и космонавтика, наука и технология космических полетов).

Чтобы грамотно вести навигацию от точки А к точке В, важно знать положение каждой из них в некоторой форме, идеально представляемой на карте. Для достижения этой цели люди потратили почти две тысячи лет – годы торговли и колонизации в 16 и 17 столетиях, горячие и холодные войны 20 столетия. Сейчас мы можем указывать положение точки на Земле с миллиметровым уровнем точности. Это заняло много поступательных шагов и гигантских скачков в развитии астрономии, математики, хранении времени, чтобы достичь этой точки.

Для определения времени и положения на Земле древние навигаторы и картографы полагались на наблюдения небесных явлений. Это соотношение обеспечивало движущую силу для изучения основных законов, которые управляют движением звезд и планет. Интересно также заметить, что навигация обеспечила также развитие точных часов в 17 и 18 столетиях. Их роль в развитии навигации была чрезвычайной и она повернула технологии хранения времени, стараясь отвечать технологиям индустрии телекоммуникаций, что привело к созданию нового класса радионавигационных систем, вершиной которых стали GPS и ГЛОНАСС.

Чтобы однозначно указать положение точки, необходима опорная система или координатный каркас. Эта идея не нова. Две тысячи лет назад Греки знали, что Земля имеет форму шара. У них видимо была хорошая идея об ее размерах, и они понимали концепцию представления положения в градусах к северу и к югу от экватора и к востоку или к западу от некоторого выбранного меридиана.

Колумб, подобно многим морякам, знал о широте, но не знал, как ее правильно определять. Измерение долготы, конечно, было несбыточной мечтой. Каким же образом они могли управлять судами в океане и возвращаться в их родной порт? Ответ заключается в том, что моряки знали dead reckoning (счисление) и кораблевождение. Древние моряки плавали, используя простую идею о том, что положение можно оценить относительно точки назначения, поддерживая направление движения и пройденное расстояние по каждой (широтной и долготной) составляющих пути. Способ Dead reckoning требует измерения направления, скорости и времени. Магнитный компас, изобретенный в 12 веке в Китае, обеспечивает направление. Расстояние оценивается по скорости корабля и времени. Способ Dead reckoning является простым упражнением на сложение векторов. Возникает, однако, проблема в расчетах на плоской поверхности (2D) и на сферической поверхности, поскольку движение с востока на запад невозможно повторить на различных широтах из-за эффекта сближения меридианов.

2.2. Астрономические методы

Идея использовать быстро изменяющиеся положения Луны относительно неподвижных звезд – метод лунных расстояний – применялся для определения даты и времени. Чтобы сделать метод практичным, потребовались таблицы, дающие на моменты местного времени расстояния между Луной и различными звездами для положения с известной долготой. Навигатор мог затем сравнить, к примеру, время, в которое он наблюдал касание Луной звезды со временем такого события, которое было предсказано для опорной точки. Проблема была в том, что положения звезд не были точно известны, а движение Луны было совершенно непонятно. Предсказание лунных орбит для их использования в навигации было движущей силой для основания Парижской обсерватории в 1675 г.

Для составления таблиц звезд была необходима теория движения Луны, которая соответствовала бы наблюдательным данным, и которую можно было бы использовать для предсказания положений Луны относительно звезд с необходимой точностью. Теория Ньютоны, основанная на задаче двух тел, давала ошибку порядка 5¢, что тогда было неприемлемо. Проблема движения Луны относится к задаче трех тел: движение Луны вокруг Земли, которая в свою очередь вращается вокруг Солнца. Разработка такой теории Леонардом Эйлером в 1748 г. является одним из величайших математических достижений 18 века. Эта идея никогда не стала применяться на море, хотя ее сторонники еще долгое время пытались ее применить, несмотря на победу хронометров, а позднее и телеграфа.

Другой метод определения местного времени – по наблюдениям затмений спутников Юпитера также не нашел применения в навигации. В 17 и 18 столетиях также были разработаны технологии для измерения углов на море, необходимые для астрономических методов навигации. Квадрант Роберта Хука и октант Ньютона, разработанные во второй половине 17 века были для своего времени революционными инструментами, которые позволяли одновременно наблюдать звезду и линию горизонта. Были разработаны квадранты, октанты и, в конечном счете, секстанты, снабженные телескопами, зеркалами, призмами и верньерами. В конце 18 столетия

Основными инструментами для точной астрономической навигации по звездам были: секстант, для измерения высоты светил над горизонтом, и точные часы, для определения точного момента наблюдений, альманах, для нахождения предсказанных положений небесных тел, и магнитный компас для определения азимута и поддержания постоянства курса в перерывах между наблюдениями.

В 19 столетии деревянные корабли уступили место кораблям из железа. Намагниченность корабли и его груза мешали работе магнитного компаса. Потребовался немагнитный компас. Проблема не была решена до тех пор, пока в 20 столетии не появились гирокомпасы.

2.3. Инерциальная навигация

Двадцатый век начался с бурного развития радио, авиации, подводный флот, ракетная техника. Это было невозможно без систем инерциальной навигации и радио навигации.

Системы навигации можно проклассифицировать следующим образом:

- системы счисления курса (dead reckoning), которые вычисляют положение по скорости, направлению и времени,

- системы наведения, которые обеспечивают пользователя курсом на пункт назначения без определения положения. Примером могут служить световые маяки и радио бакены. Инструментальная система посадки ILS и Микроволновая система посадки (MLS) – обе работающие в США, обеспечивают посадку воздушных судов в условиях плохой видимости, это системы радио наведения.

- системы определения положения, которые определяют положение пользователя в точной координатной системе. Примерами являются Loran, Omega, Transit, Цикада. Системы GPS и ГЛОНАСС, дают также скорость и время.

Гироскоп – это просто вращающаяся масса, обычно установленная на кардановом подвесе таким образом, что ось вращения может свободно поворачиваться в любом направлении. Если ось вращения гироскопа наведена на звезду, то она будет продолжать следить за звездой, в то время как Земли будет поворачиваться, а видимое положение звезды будет изменяться. Иными словами, ось вращения сохраняет свое направление в инерциальном пространстве. Идея гироскопа возникла в 19 столетии (опыты Фуко), но реализована с достаточной точностью только в начале 20 столетия. Гироскоп, отслеживающий направление на север, получил название гирокомпаса.

Способность гироскопа обеспечивать стабильное положение своей оси в инерциальном пространстве привело к появлению инерциальных систем навигации (ИНС, INS). Система ИНС состоит обычно из трех акселерометров, установленных вдоль трех взаимно ортогональных направлений на стабильной платформе. Инструмент чувствителен к вращениям и ускорениям и отслеживает их. Вращения судна (рысканье, тангаж и крен) более заметны, чем изменения в ориентировке стабильной платформы. Система производит численное интегрирование компонент ускорения в реальном времени, чтобы обеспечить компоненты скорости. Второе интегрирование обеспечивает текущие координаты.

Инерциальные системы относятся к типу систем счисления курса, и поэтому для них характерно накопление ошибок со временем. ИНС средней точности накапливают ошибку около 2 км за один час работы, поэтому им требуется достаточно частое обновление данных по точным оценкам положения, получаемым из некоторых других внешних источников, таких как визирование на звезды, или, в последние годы, спутниковые радио навигационные системы (СРНС). Технологии систем ИНС и СРНС взаимно дополняют друг друга в том смысле, что слабость одной компенсируется силой другой: СРНС подвержены влиянию помех и интерференции, к которым ИНС нечувствительны, но накопление ошибок в ИНС можно регулярно исключать, вводя данные от спутниковой аппаратуры, оценки которой свободны от дрейфа. Объединение СРНС и ИНС приводит к привлекательной и надежной системе, которая успешно работает при перерывах в работе СРНС, возникающих на короткие периоды из-за помех.

2.4. Радионавигация

Радионавигационные системы используют основные принципы распространения радиоволн. Радиоволны соответствуют диапазону частот электромагнитного излучения от 10 КГц до 300 ГГц. Радиочастоты классифицируются по диапазонам (табл. 1). Скорость с электромагнитных волн в пространстве равна примерно 3·108 м/с, а длина волны l получается как l=c/f, где f – частота излучения. Радиоволны в диапазоне 1 мм – 1 м называются микроволнами.

Таблица 1. Классификация радиочастот

Диапазон	Частота	Длина волны
Очень низкие частоты, ОНЧ, VLF	< 30 КГц	> 10 км
Низкие частоты, НЧ, LF	30 – 300 КГц	1 – 10 км
Средние частоты, СЧ, MF	300 КГц – 3 МГц	100 м – 1 км
Высокие частоты, ВЧ, HF	3 – 30 МГц	10 – 100 м
Очень высокие частоты, ОВЧ, VHF	30 – 300 МГц	1 м – 10 м
Ультра высокие частоты, УВЧ, UHF	300 – 3 ГГц	10 см – 1 м
Сверхвысокие частоты, СВЧ, SHF	3 – 30 ГГц	1 – 10 см

Радиосигналы распространяются в вакууме со скоростью света. Вакуум есть некоторая идеальная среда без электрических и магнитных полей и препятствий. Космическое пространство в некоторой степени отвечает этому идеалу, но земная атмосфера не является такой средой, и распространение сигналов в ней может быть очень сложным, в зависимости от частоты сигнала и окружения. Радиосигналы, распространяющиеся вблизи поверхности Земли, отражаются самой поверхностью, строениями, поверхностями воды или снега. Подобно свету радиоволны преломляются при переходе из одной среды в другую среду с отличающейся плотностью. Радиосигналы также рассеиваются и интерферируют один с другим. Кроме того, сигналы затухают в атмосфере.

Сигналы диапазона ОВЧ и с более высокими частотами распространяются только по прямой линии и не уходят под горизонт. Сигналы с более низкими частотами могут огибать земную поверхность.

2.5. Методы радионавигации

Использование радиоволн для получения оценок положений началось практически одновременно с использованием радио для связи. Вначале радио помогало в определении положения корабля или самолета путем измерения направлений на два или более радио маяков с помощью направленных антенн. Разработка методов и средств обеспечения радио навигации ускорилась во время Второй Мировой войны и после нее.

Для навигации на земной или морской поверхности обычно достаточно иметь оценки плановых координат. Однако для геодезистов и топографов при создании топографических карт необходимы также высоты над уровнем моря. Летчикам же необходимо иметь в реальном времени и плановые координаты, и высоты над поверхностью Земли. Во всех случаях плановые и высотные положения в прошлом определялись раздельно с использованием различных методов и технологий. Спутниковые системы навигации дают возможность определять трехмерное положение, т. е. находить все три координаты одновременно.

2.6. Методы решения навигационных задач

(по книге «ГЛОНАСС»)

2.6.1 Общие определения

Основное содержание навигационной задачи при использовании СРНС – определение пространственно - временных координат потребителя, а также составляющих его скорости. В итоге решения навигационной задачи должен быть определен расширенный вектор состояния потребителя. В инерциальной системе отсчета этот вектор можно представить в виде П=(R, dt, . Элементами данного вектора служат вектор пространственного положения потребителя , поправка шкалы часов времени потребителя относительно системной шкалы времени (СШВ), а также составляющие вектора скорости .

Компоненты вектора положения потребителя недоступны непосредственному измерению с помощью каких-либо средств навигации или геодезии. Измеряемый в целях навигации параметр называется навигационным параметром – НП. В радионавигации - радионавигационный параметр – РНП. Пример: задержка сигнала t и доплеровский сдвиг частоты fd являются радионавигационными параметрами, а соответствующие им дальность до объекта r и радиальная скорость сближения Vr – навигационными параметрами. Связь между ними дается соотношениями:

,

где l - длина волны излучаемого НС сигнала.

Геометрическое место точек пространства с одинаковым значением навигационного параметра называют поверхностью положения. Пересечение двух поверхностей положения определяет линию положения – геометрическое место точек, имеющих два определенных значения двух навигационных параметров. Местоположение определяется как точка пересечения трех поверхностей положения или двух линий положения. В ряде случаев поверхности положения могут пересекаться в двух точках. Тогда для однозначного определения местоположения используется либо дополнительная поверхность положения, либо дополнительная информация об объекте.

Для решения навигационной задачи, т. е. для нахождения местоположения потребителя R, используют функциональную связь между навигационными параметрами и компонентами вектора R. Соответствующие функциональные зависимости называют навигационными функциями.

2.6.2. Виды поверхностей положения

В навигационной астрономии (морской, авиационной) измеряют:

- высоту светила (угол места) h, ему соответствует поверхность положения конус h=const,

- азимут А направления на светило, поверхность положения – плоскость А=const,

2.6.3. Трилатерация

Простейший принцип распространения радиоволн состоит в том, что скорость их распространения известна. Если измерить время прохождения сигнала от передающей станции, то можно измерить расстояние между передатчиком и наблюдателем. Имея расстояния до трех передатчиков с известными положениями, можно однозначно вычислить положение наблюдателя. Оценивание положения, основанное на измерениях расстояний, называют трилатерацией. Радионавигационную систему, работающую по такому принципу, называют time-of-arrival (TOA) system, т. е. система, работающая по времени прибытия. К таким системам относится также системы GPS и ГЛОНАСС.

Идея метода трилатерации показана на рис. 1. Наблюдатель на плоскости измеряет расстояния (или дальности) ri от своего местоположения Р до станций Si (i = 1, 2, …). Это значит, что каждый раз наблюдатель должен находиться на некоторой окружности, центр которой совпадает с положением передающей станции, а радиус равен измеренному расстоянию. В навигации величину, по измерениям которой определяется положение наблюдателя, называют навигационным параметром. Линия, на которой должен находиться наблюдатель при измерении навигационного параметра, называют линией положения (в случае пространственных измерений это будет поверхность положения). Положение наблюдателя определяется как точка пересечения линий (или поверхностей) положения. При наличии двух окружностей получается два возможных положения наблюдателя P и Р¢, одно из которых может быть отвергнуто на основании некоторой предварительной информации или посредством добавления дополнительных измерений.

Уравнение, связывающее измеренные дальности, координаты станций xi, yi и координаты приемника x, y имеет вид:

.

Чтобы измерить время прохождения сигнала, необходимо, чтобы часы всех передатчиков и приемника были синхронизированы. При скорости сигнал около 300000 ка/с ошибка измерений времени в 1 нс будет соответствовать ошибке в 0.3 м. Часы передатчиков можно синхронизировать между собой, зная расстояния между ними. Однако, это невозможно произвести с часами приемника из-за требования низкой цены приемника, если система планируется для массового использования. В системах GPS и ГЛОНАСС требования к часам приемников снижены за счет некоторого увеличения вычислений, что оправдано при существующей микропроцессорной технике. Но в ранних навигационных системах это рассматривалось как их недостаток.

2.6.4. Гиперболическая засечка

В некоторых системах измеряются разности прихода сигналов от двух передающих станций. Часы передатчиков синхронизированы, а часы приемника, который должен измерять разность моментов прибытия сигналов, составляющую обычно несколько миллисекунд, точно синхронизировать нет необходимости. Разность моментов преобразуется в разность расстояний. Радио навигационные системы работающие по этому принципу называются системами time-difference-of-arrival (TDOA) system, т. е. системы, работающие по разности моментов прибытия сигнала.

На рис. 2 приведена схема плоского позиционирования по разностям моментов прибытия. Наблюдатель, находящийся в точке Р, измеряет разность расстояний до станций 1 и 2. Геометрическим местом точек, имеющих одну и ту же разность расстояний от пары неподвижных точек, является гипербола, т. е. в данном случае гипербола является линией положения. Измерив одновременно разность расстояний от пары других станций, например, 2 и 3, получают другую линию положения. Наблюдатель находится в точке пересечения двух гипербол, поэтому такой метод определения называют гиперболической засечкой или гиперболическим позиционированием. Минимальное количество опорных станций равно трем. Получающаяся неоднозначность решения из-за множества пересечений линий положения разрешается либо по априорным значениям координат наблюдателя, либо с помощью дополнительных измерений.

Для пар передатчиков (1, 2) и (2, 3) на рис. 2 показаны два семейства гиперболических поверхностей положения, соответствующих различным значениям разностей расстояний. Например, гипербола, отмеченная как xi, является геометрическим местом точек, которые на i единиц ближе к передатчику X, чем к передатчику М. У пользователя в положении H могут возникнуть трудности при выборе положения между вариантами P и P¢, что может потребовать дополнительных измерений. У пользователя в положении Q выбор правильного положения решается проще, т. е. играет роль геометрия взаимного расположения наблюдателя и передающих станций.

Координаты пользователя можно найти из решения системы нелинейных уравнений, соответствующих линиям положения:

(2)

где d – разности дальностей.

При пространственном позиционировании требуется, как минимум, еще одна опорная станция. Соответствующие этому случаю поверхности положения являются двухполостными гиперболоидами вращения.

2.6.5. Доплеровское позиционирование

Другой принцип распространения радиоволн, используемый для радионавигации, называется эффект Доплера: изменение частоты сигнала, принятого наблюдателем, из-за относительного движения между передатчиком и приемником. Доплеровский сдвиг частоты определяется как разность между частотой принятого сигнала и частотой радио источника. Переданная и принятая частоты, fT и fR, связаны соотношением:

, (3)

где r – изменяющееся расстояние между передатчиком и приемником, - скорость изменения этого расстояния или лучевая скорость, vs – скорость распространения радиоволны.

Поскольку

,

то его дифференцирование по времени дает:

.

В этом уравнении разности скоростей пункта и спутника представляют собой компоненты вектора лучевой скорости:

.

«Три кита» навигации

Три области науки и техники являются сердцем систем позиционирования и навигации:

- геодезия, которая изучает размеры и форму Земли,

- хранение времени (или орология, искусство и наука об измерении времени),

- астрономия (а в 20 столетии и космонавтика, наука и технология космических полетов).

Чтобы грамотно вести навигацию от точки А к точке В, важно знать положение каждой из них в некоторой форме, идеально представляемой на карте. Для достижения этой цели люди потратили почти две тысячи лет – годы торговли и колонизации в 16 и 17 столетиях, горячие и холодные войны 20 столетия. Сейчас мы можем указывать положение точки на Земле с миллиметровым уровнем точности. Это заняло много поступательных шагов и гигантских скачков в развитии астрономии, математики, хранении времени, чтобы достичь этой точки.

Для определения времени и положения на Земле древние навигаторы и картографы полагались на наблюдения небесных явлений. Это соотношение обеспечивало движущую силу для изучения основных законов, которые управляют движением звезд и планет. Интересно также заметить, что навигация обеспечила также развитие точных часов в 17 и 18 столетиях. Их роль в развитии навигации была чрезвычайной и она повернула технологии хранения времени, стараясь отвечать технологиям индустрии телекоммуникаций, что привело к созданию нового класса радионавигационных систем, вершиной которых стали GPS и ГЛОНАСС.

Чтобы однозначно указать положение точки, необходима опорная система или координатный каркас. Эта идея не нова. Две тысячи лет назад Греки знали, что Земля имеет форму шара. У них видимо была хорошая идея об ее размерах, и они понимали концепцию представления положения в градусах к северу и к югу от экватора и к востоку или к западу от некоторого выбранного меридиана.

Колумб, подобно многим морякам, знал о широте, но не знал, как ее правильно определять. Измерение долготы, конечно, было несбыточной мечтой. Каким же образом они могли управлять судами в океане и возвращаться в их родной порт? Ответ заключается в том, что моряки знали dead reckoning (счисление) и кораблевождение. Древние моряки плавали, используя простую идею о том, что положение можно оценить относительно точки назначения, поддерживая направление движения и пройденное расстояние по каждой (широтной и долготной) составляющих пути. Способ Dead reckoning требует измерения направления, скорости и времени. Магнитный компас, изобретенный в 12 веке в Китае, обеспечивает направление. Расстояние оценивается по скорости корабля и времени. Способ Dead reckoning является простым упражнением на сложение векторов. Возникает, однако, проблема в расчетах на плоской поверхности (2D) и на сферической поверхности, поскольку движение с востока на запад невозможно повторить на различных широтах из-за эффекта сближения меридианов.

Возникла также проблема в отображении поверхности Земли на плоской поверхности (карте). Нет совершенного решения, как нет способа воспроизводить особенности неровной поверхности на плоской поверхности. В 1569 г. голландский картограф разработал проекцию для отображения сферической Земли на цилиндрической поверхности. В этой проекции расстояния между меридианами по долготе и параллелями по широте остаются в одной и той же пропорции при перемещении от экватора к полюсу. В результате особенности местности сохраняют свою форму, но размеры нарушаются. Важное свойство этой проекции состоит в том, что линии с постоянным азимутом изображаются прямыми. Это преимущество дает навигаторам простой прибор для нанесения курса судна.

Время и долгота

Разность долгот между двумя точками непосредственно связана с разностью их местных времен. Земля поворачивается вокруг своей оси на 360º за 24 часа или на 15º за час. Поэтому разность долгот двух точек можно определить, если известна разность в их местных временах. Разность в один час в их местных временах можно перевести в разность долгот в 15º. Местное время можно измерить, используя Землю как часы: солнечные часы днем, звездные положения ночью. Проблема, однако, в том, как определить время в двух точках одновременно. Было разработано два подхода для решения этой проблемы: механические часы и астрономические наблюдения.