Выпускная квалификационная работа по теории и методике обучения математике (стр. 5 )

Результаты двукратного выполнения работы (в баллах) 15 учащимися запишем в форме таблицы (см. табл. 2).

Таблица 2

Учащиеся (№)	915
Первое выполнение
Второе выполнение
Знак разности отметок	0 + + + + - 0 + + 0 + + - + +

Проверяется гипотеза Н0: состояние знаний учащихся не повысилось после изучения пособия – при альтернативе Н1: состояние знаний учащихся повысилось после изучения пособия.

В соответствии с содержанием гипотез следует применить односторонний знаковый критерий. Подсчитаем значение статистики критерия Т, равное числу положительных разностей отметок, полученных учащимися. Согласно данным табл. 2, Т = 10. Из 15 пар в 3 случаях разность измерений равна нулю, следовательно, остается только 12 (15 – 3 = 12) пар, т. е. n = 12.

Для определения критических значений статистики критерия n - ta используем табл. 5, так как n < 100. Для уровня значимости a = 0,05 при n = 12 значение n - ta = 9. Следовательно, выполняется неравенство

Тнаблюд > n - ta

(10 > 9). Поэтому в соответствии с правилом принятия решения нулевая гипотеза отклоняется на уровне значимости a = 0,05 и принимается альтернативная гипотеза, что позволяет сделать вывод об улучшении знаний учащихся после самостоятельного изучения пособия.

Пример 2. Проводился эксперимент по проверке целесообразности системы упражнений некоторого раздела учебника. С этой целью выяснялось мнение учителей относительно числа данных упражнений в начале и в конце учебного года. В связи с тем что мнения отдельных учителей резко расходились в отношении числа упражнений (одни требовали значительного увеличения числа упражнений, другие – уменьшения), было решено результаты опроса каждого учителя распределять только по двум категориям: увеличить число таких упражнений и уменьшить число таких упражнений. Всего было дважды опрошено 200 одних и тех же учителей. Результаты двукратного измерения мнения каждого учителя представляют измерения по шкале порядка (двухбалльная шкала) такого качества, как отношение учителя к системе упражнений учебника. В этих условиях возможно применение знакового критерия для выявления тенденции изменения мнения учителей относительно необходимого числа упражнений.

В условиях принятой шкалы измерения изучаемого свойства знак “+” присваивается паре вида: уменьшить число упражнений (результат первого опроса), увеличить число упражнений (результат второго опроса); знак “–” присваивается паре вида: увеличить (результат первого опроса), уменьшить (результат второго опроса); во всех остальных случаях присваивался знак “0”.

В связи с большим объемом выборки и особенностью шкалы измерения результаты двукратного опроса 200 учителей удобно записать в форме таблицы (см. табл. 3).

Таблица 3

Первое мнение	Увеличить	Увеличить	Уменьшить	Уменьшить
Второе мнение	Увеличить	Уменьшить	Увеличить	Уменьшить
Знак разницы мнений	0	–	+	0
Число учителей	52	74	36	38

При составлении гипотез необходимо учесть, что мнения отдельных учителей, полученные до начала эксперимента, не позволили выявить тенденцию в отношении к числу упражнений. Поэтому в условиях проводимого эксперимента нулевая гипотеза будет иметь вид: Н0 – в течение учебного года мнение учителей в отношении числа упражнений учебника не изменится. Следовательно, альтернативная гипотеза должна быть сформулирована следующим образом:
Н1 – мнение учителей в отношении числа упражнений изменится в течение учебного года.

В соответствии с содержанием гипотез следует использовать двусторонний знаковый критерий для выборок большого объема. Значение статистики критерия Т равно числу пар со знаком “+”, т. е. Т = 36 (см. табл. 3). Из 200 пар 90 пар имеют знак “0” (52 + 38 = 90), значит, n = 200 – 90 = = 110.

Критическое значение статистики критерия ta определяем по формуле:

. Для a = 0,05 = - 1,96, поэтому при n = 110

ta = 0,5 (110 – 1,96 ) = 44,72; n - ta = 110 – 44,72 = 65,28.

Значение Тнаблюд = 36; следовательно, верно неравенство

Тнаблюд< ta. Поэтому нулевая гипотеза отклоняется на уровне значимости a = 0,05 и принимается альтернативная гипотеза. Результаты эксперимента позволяют не только утверждать, что мнение учителей изменилось в течение года, но и выявить тенденцию изменения в направлении уменьшения числа упражнений ( число пар со знаком “–” больше числа пар со знаком “+” в табл. 3).

Пример 3. Предполагается, что изучение курса математики способствует формированию у учащихся одного из приемов логического мышления (например, приема обобщения) даже в том случае, если его формирование не проводится целенаправленно. Для проверки этого предположения был проведен следующий эксперимент.

Учащимся VII класса было предложено 5 задач, решение которых основано на использовании данного приема мышления. Считалось, что учащийся владеет этим приемом, если он дает верный ответ на 3 и более задачи.

Была разработана следующая шкала измерений: верно решена 1 или 2 задачи – оценка “0”; верно решено 3 задачи – оценка “1”; верно решено 4 задачи – оценка “2”; верно решено 5 задач – оценка “3”.

Работа проводилась дважды: в конце сентября и конце мая следующего года. Ее писали 35 одних и тех же учащихся, отобранных методом случайного отбора из 7 разных школ. Результаты двукратного выполнения работы запишем в форме таблицы (см. табл.4.).

Таблица 4

Ученики, № п/п	Первая отметка	Вторая отметка	Знак разности	Ученики, № п/п	Первая отметка	Вторая отметка	Знак разности
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18	1 1 1 2 0 0 0 0 0 1 0 3 2 1 0 0 1 0	1 0 0 2 1 0 1 0 0 1 1 3 2 0 1 1 1 1	0 - - 0 + 0 + 0 0 0 + 0 0 - + + 0 +	19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35	1 0 0 1 2 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 3 0	1 1 1 2 1 1 1 2 0 0 0 1 0 2 0 2 1	0 + + + - + + + 0 - - + 0 + - - +

В соответствии с целями эксперимента формулируем нулевую гипотезу следующим образом: Н0 – изучение математики не способствует формированию изучаемого приема мышления. Тогда альтернативная гипотеза будет иметь вид: Н1 – изучение математики способствует овладению этим приемом мышления.

Характер гипотез приводит к необходимости применения одностороннего знакового критерия для их проверки. Согласно данным табл.4, значение статистики Т = 15 – число разностей со знаком “+”. Из 35 пар 12 имеют знак “0”; значит, n = 35 – 12 = 23. По таблице 5 для n=23 и уровня значимости a = 0,025 находим критическое значение статистики критерия n - ta, равное 16. Следовательно, верно неравенство Тнаблюд< n - ta (15 < 16). Поэтому в соответствии с правилом принятия решений приходится сделать вывод о том, что полученные разультаты не дают достаточных оснований для отклонения нулевой гипотезы, т. е. мы не располагаем достаточными основаниями для отклонения утверждения о том, что изучение математики само по себе не способствует овладению выделенным приемом мышления.

Таблица 5

Критические значения статистики критерия знаков

N	Уровень значимости для одностороннего критерия
a=0,025	a=0,01	a=0,005
5	0 5	0 5	0 5
6	1 5	0 6	0 6
7	1 6	1 6	0 7
8	1 7	1 7	1 7
9	2 7	1 8	1 8
10	2 8	1 9	1 9
11	2 9	2 9	1 10
12	3 9	2 10	2 10
13	3 10	2 11	2 11
14	3 11	3 11	2 12
15	4 11	3 12	3 12
16	4 12	3 13	3 13
17	5 12	4 13	3 14
18	5 13	4 14	4 14
19	5 14	5 14	4 15
20	6 14	5 15	4 16
21	6 15	5 16	5 16
22	6 16	6 16	5 17
23	7 16	6 17	5 18
24	7 17	6 18	6 18
25	8 17	7 18	6 19
26	8 18	7 19	7 19
27	8 19	8 19	7 20
28	9 19	8 20	7 21
29	9 20	8 21	8 21
30	10 20	9 21	8 22
31	10 21	9 22	8 23
32	10 22	9 23	9 23
33	11 22	10 23	9 24
34	11 23	10 24	10 24
35	12 23	11 24	10 25
36	12 24	11 25	10 26
37	13 24	11 26	11 26
38	13 25	12 26	11 27
39	13 26	12 27	12 27
40	14 26	13 27	12 28
41	14 27	13 28	12 29
42	15 27	14 28	13 29
43	15 28	14 29	13 30
45	16 28	14 30	14 30
45	16 29	15 30	14 31
46	16 30	15 31	14 32
47	17 30	16 31	15 32
48	17 31	16 32	15 33
49	18 31	16 33	16 33
50	18 32	17 33	16 34
51	19 32	17 34	16 35
52	19 33	18 34	17 35
53	19 34	18 35	17 36
54	20 34	19 35	18 36
55	20 35	19 36	18 37
56	21 35	19 37	18 38
57	21 36	20 37	19 38
58	22 36	20 38	19 39
59	22 37	21 38	20 39
60	22 38	21 39	20 40
61	23 38	21 40	21 40
62	23 39	22 40	21 41
63	24 39	22 41	21 42
64	24 40	23 41	22 42
65	25 40	23 42	22 43
66	25 41	24 42	23 43
67	26 41	24 43	23 44
68	26 42	24 44	23 45
69	26 43	25 44	24 45
70	27 43	25 45	24 46
71	27 44	26 45	25 46
72	28 44	26 46	25 47
73	28 45	27 46	26 47
74	29 45	27 47	26 48
75	29 46	27 48	26 49
76	29 47	28 48	27 49
77	30 37	28 49	27 50
78	30 48	29 49	28 50
79	31 48	29 50	28 51
80	31 49	30 50	29 51
81	32 49	30 51	29 52
82	32 50	31 51	29 53
83	33 50	31 52	30 53
84	33 51	31 53	30 54
85	33 52	32 53	31 54
86	34 52	32 54	31 55
87	34 53	33 54	32 55
88	35 53	33 55	32 56
89	35 54	34 55	32 57
90	36 54	34 56	33 57
91	36 55	34 57	33 58
92	37 55	35 57	34 58
93	37 56	35 58	34 59
94	38 56	36 58	35 59
95	38 57	36 59	35 60
96	38 58	37 59	35 61
97	39 58	37 60	36 61
98	39 59	38 60	36 62
99	40 59	38 61	37 62
100	40 60	38 62	37 63
Уровень значимости для двустороннего критерия
	a=0,05	a=0,02	a=0,01

Лекция 8. Требования к оформлению работы