Геометрия точки (стр. 2 )

·  Точка и Прямая являют собой целостную формальную Систему двух изначальных противоположных Форм одного и того же Начала (Окружности), лежащую в основе всей Геометрии. Поэтому, учитывая соответствие всего бесконечного числового ряда Форме Прямой, по большому счету, можно сказать, что Арифметика и Геометрия (полностью исчерпывающую) формальную Систему Математики;

·  Точка и Прямая, по своей сути, являют собой результат созерцания (видения) одной и той же бесконечности Окружности с двух различных (противоположных) относительно неё самой точек зрения, соответственно, с внешней и внутренней точки зрения. Поэтому постижение (познание) этой бесконечности всего лишь с внешней точки зрения (одной из этих двух точек зрения), т. е. в Форме Точки, позволяет познать всю необъятную бесконечность (с внутренней точки зрения) в своей целостной и конечной проявленной Форме Точки. Несмотря на свою кажущуюся парадоксальность, это достаточно тонкая и наиважнейшая идея, по своей сути, позволяет объять необъятное или созерцать бесконечность всю целиком, как любую обычную ограниченную вещь. В этом смысле, по своим потенциальным возможностям, Геометрия Точки является уникальным направлением (областью) в Геометрии и Математике, в её целом, обеспечивающим системное обретение разнообразных Математических знаний и построения (интегрирования) их в единую и целостную Систему.

В связи с этим, Геометрию Точки вполне можно уподобить своеобразной Математической реализации знаменитого и таинственного изречения дельфийского оракула «Познай самого себя», которое древнегреческий философ Хилон развил так: «Познай самого себя, и ты познаешь богов и Вселенную». Ибо Геометрия Точки заключает в себе весь бесконечный Математический мир целиком так же, как и наше «Я» - такая же по своей сути «Точка» - Часть, заключает в себе всю бесконечную Вселенную целиком. Поэтому Точка в бесконечной Геометрической (Математической) Вселенной, и наше «Я» в окружающей нас бесконечной Вселенной, представляют собой подобные уникальные отдельные частицы этих самых своих Вселенных, обладающие одновременно особым голографическим или нелокальным свойством, отождествляющим их с целой бесконечной Вселенной!

Именно об этих удивительных свойствах и возможностях Геометрии Точки и пойдет речь ниже.

Говоря о неком универсальном агенте, позволяющем в одной и той же Точке получить слияние всего бесконечного множества её разнообразных отдельных Форм, в её одну универсальную Форму, у читателя может сложиться впечатление о том, что я здесь иду одному мне уже откуда-то известным путем и как заправский иллюзионист из ниоткуда достаю какие-то непонятные и странные вещи … И отчасти такое впечатление является небезосновательным, поскольку здесь я действительно намерен представить лишь непосредственный результат и саму основную суть своих исследований, вынуждено опуская все многочисленные тонкие и, зачатую, невыразимые моменты и нюансы того, каким образом мне удалось ко всему этому прийти. Поэтому прошу уважаемого читателя отнестись с терпимостью и пониманием к тому, что я уже знаю куда идти, но испытываю существенные трудности в ясном и адекватном описании дороги к нему.

Итак, что же представляет собой упомянутый выше агент?

Прежде всего, этот универсальный агент должен позволять сливать (соединять) все бесконечное множество разнообразных отдельных Форм, в одну универсальную (единую или всеобщую) Форму Точки. Другими словами, этот агент должен позволять получать из любой отдельной Формы, одну и ту же универсальную Форму Точки, являющую собой тотальное тождество всего бесконечного множества разнообразных отдельных Форм. Кроме того, этот же агент, самим своим актом действия этого необычного слияния, и определяет ту самую одну универсальную Форму Точки, с которой сливаются (соединяются или отождествляются) все иные отдельные Формы.

Вообще, мысль об этом агенте пришла ко мне достаточно давно, в связи с многим известной древней задачей «о квадратуре круга». Еще более пяти лет назад я пришел к тому, что эта задача была вовсе не на построение с помощью линейки и циркуля круга и квадрата, равных по своей площади, а на получение из них одного и того же, их тождества в одном и том же или слияние этих двух различных Форм, в одну Форму. Ниже я ещё вернусь к рассмотрению этой очень интересной задачи. Сейчас же наступил момент представления того универсального агента, о котором до сих пор я так пространно пытался говорить.

Таким таинственным агентом слияния двух Форм в одну является ВРАЩЕНИЕ! Думаю, что в качестве вполне достаточных пояснений к сказанному послужит графический образ, представленный на рис. 3.

 

Рис. 3 Квадрат и круг, сливающиеся (преВРАЩАЮЩИЕСЯ!) в один

и тот же Круг посредством их центрального вращения

Дело в том, что если взять такой квадрат, который вписан в круговую Форму Точки, то при своем центральном вращении он превращается в круг, который совершенно совпадет или тождественен этой самой исходной круговой Форме Точки. При этом, сама круговая Форма Точки, в результате этого же центрального вращения, превращается в саму себя, т. е. – не изменяет своей исходной статической Формы и продолжает неизменно оставаться круговой.

Другими словами, круг и вписанный в него квадрат, при их совместном центральном вращении, соответственно, не изменяет и изменяет свою Форму таким образом, что становятся (превращаются) в одну и ту же Форму круга, т. е. круг и квадрат в результате их совместного центрального вращения являются тождественными друг другу в Форме круга.

Именно так и выглядит простейшее решение достаточно широко известной древней задачи «о квадратуре круга». И как тут не задуматься над тем, что, возможно, древнегреческие (или какие-то другие) математики самой этой задачей пытались донести до нас сквозь века одну из драгоценностей мысли человеческой, которой они обладали ещё в свое время, а мы сегодняшние, просвещенные и цивилизованные, лишь кое-как доходим до этого же только сейчас. Однако более подробно остановимся на этой мысли в своем месте, несколько позже.

Так, эта древняя и, как многим сегодня кажется, бесполезная задача позволила обрести идею о том, что любая плоская Форма в результате своего центрального вращения становится тождественной одной и той же Форме круга. Поэтому круг, в этом смысле, для всего бесконечного разнообразия различных плоских Форм, воплощает собой одну-единственную универсальную Форму, которая заключает в самой себе любые плоские Формы и через которую все плоские Формы обретают свое тотальное и парадоксальное тождество. Поэтому для всего целого бесконечного множества всевозможных плоских Форм, изначальная и тотальная «бесформенная» Форма Точки обретает свою частную универсальную Форму в виде круга.

Стоит отметить, что процедура (действие) вращения (в наиболее общем виде, - движения) в традиционной геометрии используется издревле. Однако эта, в некотором роде физическая (механическая) процедура или действие, использовалось лишь для получения из одних Форм, каких-то уже других Форм. В Геометрии Точки, напротив, вращение используется как особый и универсальный агент (средство или инструмент) тотального (всеобщего) синтеза, позволяющий из любой Формы получить одну-единственную Форму Точки.

Например, издавна наиболее известен образ того, как прямолинейное движение Точки (ноль-мерного пространства одной-единственной «бесформенной» Формы) позволяет получить Прямую линию (одно-мерное пространство различных Форм), в свою очередь, прямолинейное движение Прямой линии позволяет получить Плоскость (дву-мерное пространство различных Форм), наконец, прямолинейное движение Плоскости позволяет получить трех-мерное пространство различных Форм.

Точно так же вращение Точки вокруг некоего центра, позволяет получить линию окружности; вращение отрезка линии относительно своего центра (или одного из своих концов), позволяет получить круг; вращение окружности относительно оси, совпадающей с её диаметром, позволяет получить сферу; вращение круга относительно оси, совпадающей с его диаметром, позволяет получить шар; вращение круга относительно оси, несовпадающей с его диаметром, позволяет получить тор и т. д.

Наверное, уже совсем не трудно догадаться о том, что среди всего бесконечного множества разнообразных отдельных Форм существует лишь несколько, которые в результате своего центрального вращения превращаются в самих себя. Именно они и представляют собой те самые частные универсальные Формы Точки, с которыми сливаются в одно любые иные её разнообразные Формы. К таким частным универсальным Формам Точки, прежде всего, относятся:

­  окружность;

­  круг;

­  сфера;

­  шар.

Соответственно:

­  любые Формы линии (одно-мерные Формы), посредством своего центрального вращения, превращаются в одну и ту же окружность. Тождество любой одно-мерной Формы с Формой окружности в дальнейшем условно будем называть её сигнатурой;

­  любые Формы поверхности - площади (дву-мерные Формы), посредством своего центрального вращения, превращаются в один и тот же круг или сферу. Тождество любой дву-мерной Формы с Формой круга или сферы в дальнейшем условно будем называть её квадратурой;

­  любые Формы тела - объема (трех-мерные Формы), посредством своего центрального вращения, превращаются в один и тот же шар. Тождество любой трех-мерной Формы с Формой шара в дальнейшем условно будем называть её кубатурой.

Необходимо заметить, что в качестве частных универсальных Форм Точки могут быть использованы так же и другие Формы вращения, например, такие, как конус, цилиндр, тор. Однако, в любом случае, речь будет вестись лишь об относительной сигнатуре, квадратуре или кубатуре рассматриваемой отдельной Формы Точки.

Сигнатура, квадратура и кубатура любой отдельной Формы Точки выражается определенным характеристическим числом, подобным числу π окружности (круга, сферы, шара), которое представляет собой целостную числовую характеристику рассматриваемой отдельной Формы.

Здесь следует обратить внимание на то, что сигнатура, квадратура и кубатура, по своему внешнему образу подобны, соответственно, таким обычным и привычным характеристикам различных Форм, как их периметр, площадь и объем. Однако, поскольку в Форме Точки речь идет не о каких-то величинах (размерах) различных её Форм, а исключительно о Формах, в их так сказать целостном и «чистом» виде, относительно определенных частных универсальных Форм Точки (окружности, круга, сферы, шара), то их периметр, площадь и объем в таком случае обретают свой новый, относительный смысл, приведенный к одной из частных универсальных Форм Точки (геометрической производной). Таким образом, сигнатура, квадратура и кубатура различных Форм, по своей сути, представляет собой не что иное, как своеобразную периметральную, площадную и объемную характеристику (геометрическую производную) именно целостных Форм, а не их каких-то величин (размеров).

Рассмотрим несколько примеров определения величины сигнатуры - π(I), квадратуры - π(II) и кубатуры - π(III) нескольких различных Форм.

Пример 1

Порядок определения сигнатуры равностороннего треугольника:

На рис. 4 представлен графический образ – схема, предназначенная для определения сигнатуры равностороннего треугольника.

Рис. 4 Схема для определения сигнатуры

равностороннего треугольника

1). Пусть

|AB| = |BC| = |AC| = a,

2). Значение величины периметра треугольника определяется формулой:

P∆ = a+a+a = 3 • a

3). Значение величины длинны окружности определяется формулой:

C = 2 • π • R = (2 • π • a)/√3

4). Значение величины сигнатуры треугольника определяется из тождества величин длинны окружности и периметра треугольника:

C = P∆

(2 • π(I) • a)/√3 = 3 • a

π(I) = (3 • √3)/2

Сигнатура равностороннего треугольника определяется числом:

π(I) = (3• √3)/2

Пример 2

Порядок определения квадратуры квадрата:

На рис. 5 представлен графический образ – схема, предназначенная для определения квадратуры квадрата.

 

Рис. 5 Схема для определения квадратуры квадрата

1). Пусть

|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = a,

2). Значение величины площади квадрата определяется формулой:

S□ = a • a = a2

3). Значение величины площади круга определяется формулой:

S○ = π • R2 = π • (a/√2)2 = π • (a2/2)

4). Значение квадратуры квадрата определяется из тождества величин площади круга и площади квадрата:

S○ = S□

π(II)□ • (a2/2) = a2

π(II)□ = 2

Квадратура квадрата определяется числом:

π(II)□ = 2

Пример 3

Порядок определения кубатуры куба:

1). Пусть

a – сторона куба

2). Значение величины объема куба определяется формулой:

V□ = a • a • a = a3

3). Значение величины объема шара определяется формулой:

V○ = 4/3 • π • R3 = 4/3 • π • (a • √3/2)3 = 4/3 • π • a3 • 3 • √3/8 = π • a3 • √3/2

4). Значение кубатуры куба определяется из тождества величин объема шара и объема куба:

V○ = V□

π(III)□ • a3 • √3/2 = a3

π(III)□ = √3/2

Кубатура куба определяется числом:

π(III)□ = √3/2

Сигнатуры, квадратуры и кубатуры представляют собой не только соответствующее числовое выражение различных целостных Форм, но и предоставляют возможность для оперирования целыми Формами, как обычными числами.

Так, например, квадратура равнобедренного прямоугольного треугольника соответствует половине квадратуры квадрата.

Сегодня мне еще трудно говорить о каких-то перспективах развития и использования характеристических чисел разнообразных Форм, но, вполне возможно, что они займут свое соответствующее место в математической науке.

3. СИСТЕМА РАЗНОВИДНОСТЕЙ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Как уже отмечалось выше, Геометрия Точки создает уникальные условия, позволяющие рассматривать, исследовать и оперировать всем бесконечным множеством разнообразных различных Форм в пределах одной-единственной универсальной Формы. Причем, и это обстоятельство следует особо отметить, речь здесь идет именно о Формах, в их, так сказать, «чистом» и целостном виде, без применения какого-либо разделения их на отдельные части и их количественных (числовых) оценок. Хотя числовые характеристики и их закономерности в различных Формах, отнюдь, не исключаются из рассмотрения в Геометрии Точки, а лишь обретают статус своеобразных вторичных методов, в некотором роде, обслуживающих основную идею.

Так, Круг представляет собой ту самую универсальную Форму, в рамках которой можно рассмотреть все целое бесконечное множество разнообразных различных треугольных Форм (треугольников). В этом случае, тождество одного-единственного Круга и бесконечного разнообразия различных треугольников позволяет использовать ограниченную Форму Круга в качестве некоего конечного и универсального поля (пространства), для буквального и непосредственного рассмотрения всего бесконечного разнообразия различных треугольников!

Думаю, что не будет преувеличением, если скажу, что сегодня практически каждый школьник знает о том, что все возможные треугольники по своей форме подразделяются на три разновидности, - остроугольные, тупоугольные и прямоугольные. Эти знания кажутся настолько тривиальными, очевидными и незыблемыми, что сами названия этих разновидностей являются вполне исчерпывающими для их определения и отнесения того или иного треугольника к соответствующей разновидности.

Однако Геометрия Точки позволяет не только представить альтернативный критерий (вариант) разделения всех треугольников на их три известных различных разновидности, но и буквально увидеть это собственными глазами! Увидеть то, что среди всего бесконечного разнообразия различных треугольников, существует лишь две противоположные их разновидности, - остроугольные и тупоугольные, разделяющиеся относительно уникальной, экстремальной (граничной или серединной) и третьей прямоугольной разновидностью. На рис. 6 представлена графическая схема целостной Системы распределения в поле Круга остроугольных, прямоугольных и тупоугольных разновидностей треугольников.

Остроугольные треугольники различаются от тупоугольных в формате одного и того же Круга лишь тем, что если через любую одну из трех вершин треугольника (кроме вершины при тупом угле) провести диаметр Круга, в который они вписаны, то две его оставшиеся вершины будут лежать, соответственно, либо по обе, либо по одну сторону от этого самого диаметра. Экстремальность (уникальность) же прямоугольных треугольников заключается в том, что две его вершины (при острых углах) лежат на одном диаметре Круга (или гипотенуза совпадает с диаметром). Иначе говоря, с точки зрения остроугольных или тупоугольных треугольников, две оставшиеся вершины прямоугольного треугольника (одна – при прямом угле, а другая – при оставшемся втором остром угле) одновременно лежат и по обе, и по одну сторону от диаметра, проходящего через одну из его вершин (при любом из двух его острых углов).

 

Рис. 6 Схема целостной Системы распределения различных

разновидностей треугольников

На рис. 7, представлена упрощенная графическая схема, демонстрирующая Систему разделения всего бесконечного разнообразия различных треугольников на их отдельные разновидности.

 

Рис. 7 Схема разделения треугольников на свои

различные (противоположные) разновидности

В связи с такой естественной и очевидной экстремальностью Формы прямоугольных треугольников, они и обладают известными уникальными свойствами.

Так, существует теорема, гласящая о том, что вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Одним из следствий этой теоремы является то, что вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, является прямым, так как он опирается на половину окружности.

Возможно, что это покажется странным и необоснованным (с привычной точки зрения), но из рассмотренной целостной Системы разделения (разграничения) всех треугольников на различные их разновидности с абсолютной точностью и необходимостью следует, а также не нуждается ни в каких специальных дополнительных доказательствах справедливость того, что если одна из сторон вписанного в круг (окружность) треугольника совпадает с его диаметром, то такой треугольник однозначно является прямоугольным, а его сторона, совпадающая с диаметром, – гипотенузой. Справедливо так же и обратное, - что если прямоугольный треугольник вписан в круг (окружность), то его гипотенуза совпадает с диаметром этого круга (окружности).

Однако наиболее ярким и глубоким (в самом широком смысле, включая философский смысл) свойством прямоугольных треугольников является, конечно же, широко известная теорема Пифагора. Эта теорема интересна и уникальна, прежде всего, тем, что её конечная количественная формула заключает в себе все бесконечное разнообразие различных прямоугольных треугольников. Т. е. формула теоремы Пифагора представляет собой ни что иное как конечную и уникальную количественную (числовую) форму упаковки бесконечности, - бесконечного множества различных прямоугольных треугольников:

a2 + b2 = c2

Кстати, используя возможности Геометрии Точки, можно получить аналогичную, геометрическую «формулу» - Форму, заключающую в себе все бесконечное множество различных прямоугольных треугольников (см. рис. 8).

 

Рис. 8 Геометрическая «формула» - Форма всех

различных прямоугольных треугольников

Необычность такого круглого прямоугольного треугольника заключается в том, что одна из его сторон представляет собой дугу в четверть окружности, определяемой тремя предельными точками-вершинами равнобедренного прямоугольного треугольника и соответствующей геометрическому месту его третьей вершины. Поэтому такой смешанный прямоугольный треугольник, вполне может олицетворять собой своеобразную геометрическую ФОРМУлу, заключающую в своей явной и ограниченной Форме все бесконечное множество различных Форм прямоугольных треугольников!

В завершение этого раздела, хотелось бы обратить внимание ещё на одно известное свойство всех треугольников, которое в рамках Геометрии Точки приобретает качественно иной «привкус».

Речь идет о теореме, гласящей о том, что через любые три различные точки, не лежащие на одной прямой, можно провести лишь одну-единственную окружность.

Из рассмотрения целостной, исчерпывающей и единой Системы разделения всех треугольников на их различные разновидности (остроугольные, прямоугольные и тупоугольные), с абсолютной точностью и необходимостью следует, а также не нуждается ни в каких специальных дополнительных доказательствах справедливость того, что любые три различные точки, не лежащие на одной прямой, совершенно точно и однозначно определяют соответствующий им треугольник (треугольную Форму). Этот треугольник может быть вписан в один-единственный Круг (Окружность), поскольку один и тот же треугольник не может обладать двумя различными своими формами!

Уже второй раз в этом разделе, в рамках рассмотрения Геометрии Точки, применительно к треугольникам, представлены некие, кажущиеся странными, утверждения (формулировки), которые характеризуются совершенно точными, необходимыми и не нуждающихся в каких-то специальных дополнительных доказательствах. Речь идет о свойствах любого прямоугольного треугольника, вписанного в Круг (Окружность), а так же о единственности Круга (Окружности), описывающего любой треугольник.

Эти формулировки требуют особого внимания, поскольку сам формат их построения представляется достаточно непривычным и необычным, а их статус (т. н. своеобразная доказательная сила) кажется каким-то неопределенным и неправильным. Всё это, на мой взгляд, существенно отличает их от аксиом и теорем, в их привычных и общепринятых смыслах.

С одной стороны, эти формулировки не столь просты, как аксиомы, а, с другой стороны, они не столь сложны и не столь строго логически увязаны, как теоремы. Однако самым главным и удивительным их качеством является то, что они являются естественным результатом целостного и единого рассмотрения (видения) всей Системы бесконечного множества различных Форм (в данном случае треугольников). Очень трудно выразить правильными словами ту совершенно удивительную (на мой взгляд) идею, которую пытаюсь сейчас представить.

Как это не странно прозвучит, но сегодня я бы назвал подобные формулировки своеобразными «эмпирическими геометрическими фактами»! Ведь целостное видение (вЕдение), для своих составляющих отдельных (локальных) частей, в их естественном единстве, не нуждается ни в каких доказательствах (подобно теоремам), ни в достаточно произвольных бездоказательных началах (подобно аксиомам). Само одно-единственное Целое необходимо определяется в своих бесконечно разнообразных Частях (в их целостной Системе), а целостная Система этих самых бесконечно разнообразных Частей – с такой же необходимостью определяется их Целым …

Кроме того, необходимо отметить, что любой воспринятый физический факт никогда не станет исчерпывающим, ибо никакая их ограниченная совокупность просто не способна охватить собой всю бесконечность их бытия …

Геометрические же факты, как, впрочем, и вся Математика в целом, напротив, представляет собой уникальный формальный познавательный инструмент, способный охватить (объять) собой разом весь бесконечный Математический мир. И, в этом смысле, Геометрия Точки представляет собой совершенно уникальное и мощное средство обретения самых разнообразных своих фактов.

4. Квадрат и противоположные «прямоугольники»

Круг являет собой не только универсальную геометрическую формулу бесконечного множества разнообразных различных треугольников, но и четырехугольников, как, впрочем, и других многоугольников. И эта универсальная и ограниченная круглая формула позволила буквально рассмотреть и выявить среди всего бесконечного разнообразия различных треугольников их своеобразную экстремальную (Серединную) разновидность Формы, - прямоугольного треугольника, относительно которой все остальные разделяются на две большие и противоположные разновидности Форм, - остроугольных и тупоугольных треугольников.

В связи с этим, возникло предположение о том, что, возможно, и все бесконечное разнообразие различных четырехугольников аналогичным образом может быть разделено на какие-то две противоположные разновидности Форм, относительно некой экстремальной их разновидности. Однако всевозможные поиски такого разделения четырехугольников поначалу ни к чему не привели.

Вместе с тем, скорее всего, интуитивно ощущалось, что если среди всевозможных четырехугольников и существует некая их экстремальная Форма, то ей, скорее всего, должен быть квадрат …

Как мне виделось, камнем преткновения в возникшей ситуации стало то достаточно простое и очевидное обстоятельство, что четырёхугольники никоим образом не могут быть разделены по тому же принципу, что и треугольники, т. е. не могут быть разделены на остроугольные и тупоугольные четырехугольники. Дело в том, что если хотя бы один из углов четырехугольника будет острым, то неизбежно и необходимо будет получаться, что хотя бы один из трех оставшихся углов будет тупым, и наоборот. А четырехугольник, который одновременно заключает в себе и острый, и тупой угол, не может быть отнесен ни к остроугольным, ни к тупоугольным, или может быть отнесен разом к обеим этим разновидностям, что, по большому счету, не меняет сути дела. Поэтому остроугольность и тупоугольность, начиная с четырехугольника, и далее для всех остальных многоугольников, уже изначально и принципиально неприменимы в качестве критерия их разделения на некие противоположные разновидности Форм.

Так или иначе, но, в конечном счете, я был вынужден вернуться обратно к квадрату, в надежде отыскать в нем самом какой-то иной критерий, который мог бы позволить разделить все бесконечное разнообразие различных четырехугольников. Ибо если такой критерий в действительности и существует, то он обязательно каким-то образом должен присутствовать в квадрате, как предположительно экстремальной Форме разнообразных четырехугольников. Данная предпосылка представляется вполне обоснованной и закономерной, поскольку именно квадрат, как предположительная уникальная (экстремальная или Серединная) граница между двумя противоположными разновидностями Форм разнообразных четырехугольников, должен одновременно заключать в себе нечто, характерное для обеих противоположностей и отсутствующее в них же (выпадающее за границы этих самых противоположностей). Такое уникальное и парадоксальное свойство, характерное для Середины между двумя любыми противоположностями будет рассмотрено подробнее несколько ниже.

На основании того, что квадрат – это, прежде всего, частный и уникальный случай (разновидность) разнообразных прямоугольников, мое внимание привлекла прямоугольная форма четырехугольников. То, что одинаково заключено и в квадрате, и в любом прямоугольнике, является вполне очевидным, - это равенство всех четырех углов величине прямого угла. Оставалось лишь отыскать то, что их различает.

В связи с этим, первое, что приходит в голову – это то, что у квадрата все его стороны равны, а у прямоугольника равны только попарно противолежащие его стороны, т. е. противолежащие стороны у прямоугольника попарно равны, а смежные – так же попарно неравны. Однако этот очевидный критерий различения квадрата и прямоугольника, к сожалению, не позволяет с такой же очевидностью определить (выявить или проявить) некий таинственный «прямоугольник», противоположный по своей Форме обычному прямоугольнику. Ибо просто не существует никакого иного, противоположного прямоугольника, у которого, наоборот, его противолежащие стороны были бы попарно неравны, а смежные – попарно равны.

Что же ещё можно использовать в качестве критерия различения квадрата и прямоугольника?

Углы и стороны, - всё это есть и у треугольников.

А что такого есть у четырехугольников, чего нет у треугольников?

Диагонали!

Как только эта простая мысль пришла ко мне, так сразу же все стало ясным и понятным …

Прежде всего, стало очевидным, что у квадрата все четыре угла – прямые и диагонали (своеобразная внутренняя его Форма) так же пересекаются под прямым углом, а у прямоугольника все четыре угла – тоже прямые, но диагонали пересекаются уже не под прямым углом! Исходя из этих сходств и различий, можно достаточно просто прийти к идее особого «прямоугольника», Форма которого является противоположной Форме обычного и привычного прямоугольника. Для осуществления этого действа достаточно определить такую, казалось бы, невыразимую Форму «прямоугольника», у которого диагонали пересекались бы под прямым углом (как у квадрата), а все четыре его угла были бы лишь отчасти прямыми (почти как у прямоугольника и квадрата!), но позволяющие ему, в некотором смысле, все же, считаться «прямоугольником», хотя и особенным …

Конечно, прийти к подобной идее, возможно, действительно и не сложно, однако поистине ложкой дегтя в этой бочке меда является, наверняка вызывающий у многих бурю негодования, образ необычного «прямоугольника», который, в общем-то, не совсем и прямоугольник, в привычном смысле, поскольку все четыре его угла являются «лишь отчасти прямыми».

В отличие от уважаемого читателя, сейчас мне уже известно то, о чем я пишу, однако я достаточно хорошо представляю себе то состояние, которое могут испытывать, наверное, многие (особенно, профессионалы), кто таки дочитал до этого места и уже, скорее всего, собирается отбросить эту бесполезную и абсурдную работу в мусорную корзину, столкнувшись с каким-то непонятным и мистическим «прямоугольником», углы которого «лишь отчасти прямые»! …

Всё это вовсе не трудно предвидеть, я бы и сам, наверное, поступил именно таким образом. И все же, я искренне надеюсь на то, что обязательно найдутся так же и те, пусть даже немногие, кого не отпугнут подобные нюансы и издержки изложения «вещей», зачастую даже трудно выразимых, не говоря уже о проникновении за покрывало всевозможных словес и схватывании некоего понимания.

Как раз здесь и приходит на помощь Геометрия Точки в лице Круга, который, как ограниченная и универсальная геометрическая формула всего бесконечного разнообразия различных прямоугольников, предоставляет возможность для целостного и системного рассмотрения их разновидностей. Думаю, что вовсе не сложно, используя Форму круга получить квадрат и различные прямоугольники, которые в результате их центрального вращения превращаются в этот самый исходный круг, т. е. становятся тождественны Кругу. По сути дела, для осуществления этого, необходимо просто вписать квадрат и различные прямоугольники в Круг (см. рис. 9).

 

Рис. 9 Схема тождества Круга с квадратом и различными прямоугольниками

в Точке (квадратуры квадрата и прямоугольников)

Теперь, по уже предварительно известным характеристикам, необходимо с помощью того же Круга получить искомый таинственный «прямоугольник», противоположный обычному прямоугольнику. А для этого, по меньшей мере, необходимо выполнить следующие условия:

­  диагонали искомого «прямоугольника» должны пересекаться под прямым углом;

­  смежные стороны искомого «прямоугольника» должны быть попарно равны, а противолежащие – попарно не равны.

Думаю, что, исходя из приведенных условий, будет не сложно догадаться о том, что искомый «прямоугольник» должен быть симметричным относительно одной из своих диагоналей, и эта диагональ должна совпадать с диаметром Круга. А, располагая столь конкретными данными, уже не составляет особого труда и получить целый противоположный «прямоугольник». На рис. 10, буквально пошагово представлен процесс получения одного из бесконечного множества таких «прямоугольников».

 

Рис. 10 Схема получения противоположного «прямоугольника»

Из рис. 10 совершенно очевидно, что полученный четырехугольник, претендующий на роль противоположного «прямоугольника», не очень-то и похож на прямоугольник. Однако не стоит спешить с выводами, поскольку формально все исходные требования к его Форме выполнены полностью, т. е. его диагонали пересекаются под прямым углом, противоположные стороны попарно неравны, а смежные – попарно равны, и даже четыре его угла действительно «лишь отчасти прямые», поскольку лишь два из них являются таковыми!

Кроме всего этого, на рис. 11 представлена графическая схема, которая, на мой взгляд, весьма убедительно демонстрирует, что полученная таким необычным образом Форма четырехугольника, все же, представляет собой прямоугольник, только, можно сказать, буквально противоположный обычному прямоугольнику.

 

Рис. 11 Схема трансформации обычного прямоугольника

в противоположный ему «прямоугольник»

С целью некоторой разгрузки текста, упрощения дальнейшего изложения материала, а так же во избежание излишней путаницы, назовем полученный «прямоугольник», прямодиагональником. Разумеется, что подобное название носит исключительно условный характер. На рис. 12 представлена графическая схема целостной Системы распределения в поле Круга прямоугольных, квадратного и прямодиаганальных разновидностей четырехугольников.