Геометрия точки (стр. 1 )

Алек Наконечный

ГЕОМЕТРИЯ ТОЧКИ

СОДЕРЖАНИЕ

	Предисловие ……………………………………………………………………	1
1.	Вместо начальных предпосылок ……………………………………………	5
2.	Делание «круглого квадрата» - тайный Ключ к Геометрии Точки …….	12
3.	Система разновидностей треугольников ………………………………….	20
4.	Квадрат и противоположные «прямоугольники» …………………………	24
5.	Прямодиагональник – Тетрада Геометрии Точки ………………………..	29
6.	Общая теорема Пифагора …………………………………………………...	33
7.	Некоторые идеи, связанные с Общей теоремой Пифагора ……………	38
8.	Об узости полей, не вместивших поистине чудесное доказательство теоремы Ферма ………………………………………………………………..	41
9.	Посвящение в тайны Великого Делания «круглого квадрата» ………..	52
	Заключение …………………………………………………………………….	61

ГЕОМЕТРИЯ ТОЧКИ

«Кто не ожидает неожиданного, тот не найдет сокровенного и трудно находимого»

Гераклит

ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта работа является фрагментом материалов одного из моих самостоятельных исследований, проведенных в октябре – декабре 2012 года, и возникших под впечатлением от прочтения книги В. Успенского «Апология математики».

Быть может, я бы никогда и не взялся за какое-то изложение, возникших у меня нескольких идей в связи с этой книгой, если бы не утверждения её автора о том, что математика является самой демократичной из всех наук. Уж очень хочется надеяться на то, что эта самая демократичность математики простирает свои границы хотя бы на волосок дальше, чем заканчивается круг так называемых профессиональных математиков.

Мне очень близок и понятен характер взаимоотношений, который сложился сегодня между т. н. «математиками» и «гуманитариями», которые В. Успенский позиционирует в качестве основания возникновения его книги. Конечно, подобное разделение всех людей на «математиков» и «гуманитариев» носит лишь условный характер, поэтому не нужно его воспринимать в буквальном смысле. Я глубоко разделяю мысли автора (хотя, скорее всего, он в этом и не нуждается) о том, что проникновение порядка и образа мышления, характерных для «математиков», в головы «гуманитариев», позволит в некоторой степени повысить их общий культурный уровень и внести определенную новизну в сферу их обычной и привычной деятельности. Вместе с тем, я не сомневаюсь так же и в том (и надеюсь, что В. Успенский вместе со своими коллегами меня в этом поддержит), что обратное, встречное проникновение хаоса (с точки зрения «математиков») и образа мышления, характерного для «гуманитариев», в головы «математиков», так же позволит обрести им аналогичные преимущества.

Я прекрасно понимаю ту проблему и оскомину, которую набили себе «математики» (и не только они) от достаточно длительного и непродуктивного (бесполезного) взаимодействия с т. н. фермистами и другими «гуманитариями-делетантами», однако хочется верить в то, что заявленная демократичность «математиков» от этого все же не рухнула окончательно. Поскольку, по-моему, любому здравомыслящему человеку должно быть совершенно ясно, что дальнейшее разделение, противостояние и дистанцирование «математиков» и «гуманитариев» лишь усугубит и обострит проблему, которая, по сути своей, являет собой естественную ответную реакцию жизни (бытия) на любые искусственные стремления как-то поддержать и сохранить (ужиться) такое разделенное состояние различных людей. Любое разделение целого на две свои противоположные части порождает соответствующее напряжение между ними, которое заключает в себе определенный запас энергии. И эта даденная естественная энергия может быть разрушительной или созидательной (творящей), в зависимости от самого характера взаимодействия противоположных частей. По большому счету, проблема, связанная с взаимодействием между «математиками» и «гуманитариями» заключается не в том, что последние попусту отвлекают внимание первых и общественное мнение на себя, создавая тем самым разнообразные проблемы в деятельности профессиональных ученых. А в том, что «математики», как профессионалы, до сих пор не сумели воспользоваться естественной и практически дармовой энергией этого явления (ситуации) для дальнейшего эффективного развития своей собственной сферы познавательной деятельности.

Таким образом, вовсе не противостояние «математиков» и «гуманитариев», а их взаимное согласованное и управляемое проникновение друг в друга, способствует их гармоничному и сбалансированному взаимодействию и целостному развитию. И самым неожиданным, удивительным, интересным и плодотворным в таком взаимовыгодном их взаимодействии как раз и является своеобразная граница их соприкосновения друг с другом, которую иногда называют междисциплинарной областью или стыком различных областей (отделов) познавательной деятельности человека.

Так или иначе, но все эти мысли убедили и вдохновили меня на написание этой работы, дабы реализовать собой упомянутую выше плодотворную границу и соблюсти определенную симметрию (гармонию) во взаимопроникающем взаимодействии между собой «математиков» и «гуманитариев».

Во избежание неминуемых недоразумений, хочу сразу же внести некоторую определенность и ясность в отношении к этой моей работе. В полном уме и здравии я заявляю о том, что представленное здесь видение математики является неправильным и потусторонним (в смысле – из области обитания «гуманитариев»), а многочисленные идеи – могут рассматриваться лишь в качестве неких необычных гипотез и их некоторого обоснования, но, отнюдь, не доказательства, в его общепринятом сегодня математическом смысле. Для тех же, для кого даже поддержание подобного легковесного отношения к этой работе покажется «слишком много», могу порекомендовать воспринимать всё это действо, хотя бы как околоматематическую занимательную сказочку «О неправильной математике», или вообще никак не воспринимать. Думаю, что к последнему варианту желающие смогут и сами прийти, без каких-либо моих рекомендаций. В любом случае, это заявление позволяет мне несколько развязать свои руки и оправдать некоторую произвольность и нечеткость в изложении материала.

Как и любой отдельный фрагмент, изъятый из некоего целого (целостного контекста), эта работа лишена своей предыстории и основания, изложение которых неизбежно привело бы к значительному увеличению объёма и трудностям её восприятия, а так же неизбежно отвлекло бы внимание от основных идей, которые я попытаюсь здесь изложить языком весьма ненаучным. В некотором смысле, можно сказать, что решение о публичном представлении этой работы, являет собой первый, пробный шаг, который, быть может, позволит мне получить определенную обратную связь, как от специалистов, так и от самодеятельных исследователей, достаточную для понимания целесообразности и планирования моих последующих действий, связанных с этим моим исследованием, в его целом.

Так или иначе, но за вынужденными рамками этой работы остался удивительный, красивый и целостный путь развития математики, закономерным образом ведущий от натуральных чисел и арифметики, через математический анализ и известные разновидности геометрии, к её новому и достаточно необычному направлению, которое я условно назвал «Геометрией Точки». Кстати, сегодня я испытываю достаточно ясное ощущение того, что это новое, по своей сути, является хорошо забытым старым … Конечно же, это всего лишь предположение, но я хочу обязательно сказать о нем в своем месте.

Должен сказать о том, что последовательность изложения материала, его структура, логические цепочки и связки, которые использованы и представлены в настоящей работе, существенно отличаются от того целостного процесса (точнее, - действа), в результате которого были обретены основные её идеи. Более того, все развивалось в противоположном направлении и, мягко говоря, таинственным образом. По большому счету, основные усилия были затрачены именно на оформление (своеобразное «овеществление») привычного, взаимно увязанного и логичного формального образа (картины) этих самых идей, создающего необходимые условия для их более или менее адекватного восприятия. Поэтому не стоит здесь рассматривать всевозможные логические построения в качестве некоего самодостаточного средства получения различных знаний, представленных в этой статье, и пытаться искать в них какие-то изъяны и недостатки, которые там, несомненно, имеются. Ибо эти знания были обретены совершенно иным, невыразимым образом, поэтому формализованная их составляющая, в этом смысле, подобна лишь малой, надводной части огромного айсберга.

Кроме того, прошу уважаемого читателя со снисхождением отнестись к автору настоящей статьи, который не заслуживает звания даже начинающего, за отсутствием какого-либо писательского опыта, не говоря уже об опыте какой-то, хотя бы околонаучной деятельности.

О том, насколько мне все это удалось воплотить в жизнь, пусть судит уважаемый читатель.

1. ВМЕСТО НАЧАЛЬНЫХ ПРЕДПОСЫЛОК

Форма геометрических фигур является другим (вторым) видом проявления двух универсальных и противоположных изначальных аспектов одного и того же Начала - Единственности и Множественности (Количества), порождающих в своем объединении (синтезе) различные числа. Иначе говоря, если число воплощает собой объединение Единственности и Множественности, которая, по сути, являет собой ту же Единственность, но уже в виде различных её Количеств в одном и том же, то форма воплощает собой подобное же объединение Единственности-Целого и Множественности-Частей, - тех же Целых, но уже в виде различных её составляющих форм, исследованием и изучением которых и занимается геометрия. Рассматривая в таком контексте Число и Форму, как две взаимосвязанные, взаимоопределяющие и взаимодополняющие противоположности одного и того же Начала, следует обратить внимание на то, что в Числе преобладающим и определяющим аспектом является его Множественность (Количество), а в Форме – её Единственность (Целое). Именно преобладание одного из двух противоположных аспектов (Единственности или Множественности) над другим в одном и том же, и обусловило существование таких двух противоположных видов проявления этого самого одного и того же, как Число и Форма. Поэтому Число и Форма являются двумя противоположными видами формальных средств, составляющих в своей совокупности целостную (полностью исчерпывающую) формальную систему, лежащую в основе единой Математической науки.

Все вышеприведенные рассуждения можно было начать не с чисел, а с форм, однако суть (содержание) рассматриваемой целостной картины от этого никак не изменилась бы. В любом случае, неизбежно получается один и тот же результат, – два противоположных вида проявления одного и того же Начала, в которых преобладает либо аспект Множественности (Количества), – Число, либо – аспект Единственности (Целого) – Форма.

Думаю, что никто не будет возражать против того, что «геометрическая точка» (далее – Точка) является наименьшей (предельно или бесконечно малой) формой, рассматриваемой в Геометрии. Конечно, такое представление Точки носит лишь весьма условный и, в некотором смысле, парадоксальный характер, поскольку, сама по себе, она одновременно и заключает в себе своеобразную предельную Форму, и лишена какой бы то ни было Формы, в привычном смысле этого геометрического понятия! Это удивительное обстоятельство создало в Геометрии типичную для современной науки ситуацию, в которой исследователи пытаются одно неизвестное познать (объяснить) посредством другого, такого же, по сути своей, неизвестного. Применительно к Точке, эта ситуация заключается в том, что, с одной стороны, все геометрические Формы могут быть дифференцированы (разделены), представлены и исследованы, как определенное множество отдельных Точек, а, с другой стороны, о Точке самой по себе, как таковой, в той же Геометрии, по большому счету, ничего не известно. В этом смысле, Точка в Геометрии обрела статус своеобразного «геометрического атома», неделимой предельно малой Формы или ФОРМАльной ПУСТОЙ Единственности, которая, сама по себе, является недоступной для привычных полноценных геометрических рассмотрений и исследований, однако в своем лице предоставляет в распоряжение исследователей универсальное средство для исследования и познания других всевозможных Форм.

В общем-то, те идеи, которые будут здесь представлены в моем весьма поверхностном наброске целостной картины «Геометрии Точки», по своей сути, представляют собой попытку проникновения и исследования «геометрического атома» - Точки. И в этом смысле, её Геометрию вполне можно называть «атомной» или даже «субатомной».

Должен признаться, что я намеренно провожу здесь, казалось бы, неуместную параллель между «Геометрией Точки» и атомной физикой. Дело в том, что заинтересованному читателю в этой работе придется столкнуться с достаточно парадоксальными, непривычными и весьма необычными «вещами», относительно тяжело вписывающимися в наши уже укоренившиеся и привычные представления. И эта ситуация вполне сродни той, в которой оказались современные физики, столкнувшись в своих исследованиях атома и его различных частиц с множеством парадоксальных и необъяснимых (с привычной точки зрения) феноменов, составивших в своей совокупности основу современной квантовой физики. К наиболее известным из таких удивительных феноменов квантовой физики, прежде всего, относятся:

­  дуализм природы электрона (и других элементарных частиц), заключающийся в том, что он способен проявлять свою природу, и как частица (локальность), и как волна (нелокальность);

­  воздействие наблюдателя на различные проявления электрона в ходе проведения экспериментов, заключающееся в том, что наличие или отсутствие наблюдателя за процессом эксперимента воздействует на проявление электроном своих локальных или нелокальных свойств.

Думаю, что здесь нет необходимости глубоко вдаваться в проблемы квантовой физики, поскольку уже сказанного будет вполне достаточно для того чтобы представить себе характер схожих проблем и трудностей, которые будут сопутствовать изложению дальнейшего материала.

Кроме того, необходимо отметить, что и в истории развития самой Математики имеются достаточно показательные примеры того, как возникновение нового, прорывного направления вызывало ответную реакцию непонимания и непринятия со стороны большинства профессиональных математиков. И требовалось некоторое время и определенные усилия отдельных ученых на то, чтобы необычные и непривычные идеи заняли свое достойное место в математической науке. Так, например, случилось с исчислением бесконечно малых величин, или дифференциальным исчислением Лейбница, или исчислением флюксий Ньютона.

Следует заметить, что упомянутое дифференциальное исчисление, представляет собой раздел математики, оперирующий бесконечно малыми величинами и, в этом контексте, является достаточно схожим с «Геометрией Точки», так же оперирующей бесконечно малыми, но уже не величинами Чисел (Количествами), а Формами. Кроме того, именно в дифференциальном исчислении, была продемонстрирована его геометрическая трактовка, в которой, пожалуй, впервые Точка линии графика функции обрела свою простейшую треугольную (прямоугольного треугольника) Форму (см. рис. 1).

Так, дифференциал (производная) функции в Точке, позволил эту самую бесформенную Точку оформить в прямоугольный треугольник! Точку, заключающую в себе Форму прямоугольного треугольника, по сути дела, можно считать предвестником проникновения в непроницаемые глубины её бесформенной Формы.

 

Рис. 1 Геометрическая трактовка сути дифференциала

(производной) функции в Точке

Таким образом, в основе дифференциального исчисления, наверное, впервые было введено и использовано представление о топологии (Форме) Точки в виде бесконечно малого прямоугольного треугольника, значение величин катетов которого связаны между собой некой функцией, производной от исходной функции.

Как можно сказать, что всё бесконечное множество арифметических натуральных чисел проявилось от Единственности в виде Единицы, посредством её различного Количества, так же можно сказать, что и всё бесконечное множество геометрических Форм проявилось (оформилось) от той же, по своей сути, Единственности в виде Точки, посредством её различных Форм.

Другими словами, можно сказать, что все бесконечное разнообразие различных геометрических Форм произошло (оформилось) от уникальной бесформенной Формы Точки! И в этом, кажущемся парадоксальном и бесполезном обстоятельстве, сокрыт глубочайший философский смысл, который заслуживает своего отдельного и внимательного исследования.

Поэтому, когда ко мне впервые пришла идея о том, что Точка – это окружность бесконечно малого диаметра, а «прямая линия» (далее – Прямая) – это та же окружность, но уже бесконечно большого диаметра, то я буквально ощутил и пережил всё парадоксальное единство Точки, Прямой и Окружности. При этом, поначалу, я даже не обратил своего внимания на то, что одну и ту же, целую бесконечность различных величин окружности разделил на два свои крайние противоположные проявления (полюса) в виде Точки и Прямой (рис. 2). По сути дела, я их облачил в единую (общую) Форму окружности, подобно тому, как в дифференциальном исчислении Точка линии графика функции была облачена в Форму прямоугольного треугольника.

 

Рис. 2 Точка и Прямая, как два крайних противоположных проявления

одной и той же окружности в её бесконечно малом

и бесконечно большом виде

Так, Точка в Форме окружности, стала моим первым и, по большей части, интуитивным шагом на пути рассмотрения (исчисления) бесконечно малой Формы.

Если попытаться как-то сопоставить и сравнить между собой две различные Формы (прямоугольный треугольник и окружность), по сути своей, одной и той же Точки, то можно заметить одно достаточно важное обстоятельство.

Дело в том, что в дифференциальном исчислении, производная функция между значениями величин катетов (отношение f′(x) = ∂y/∂x) бесконечно малого прямоугольного треугольника, полностью определяется характером отношения y/x в изначальной (первичной) функции. То есть такая треугольная Форма Точки применима лишь в рамках линии графика функции, как некоего целого, определяющего самим собой и все множество своих различных отдельных частей – Точек, составляющих её. Однако, как только Точка изымается из контекста линии графика функции и её производной, то любое её обособленное и автономное рассмотрение в виде аналогичного прямоугольного треугольника сразу же теряет всякий смысл и вырождается в неопределенность, пожалуй, всем известного вида – 0/0!

Думаю, что именно такое противоречивое видение одной и той же, треугольной Формы Точки, воспринимаемой в рамках линии графика некой функции и отдельной свободной автономии, и явилось причиной множества недоразумений, некоторой неразберихи и достаточно долгого непонимания тонкого смысла дифференциального исчисления.

В отличие от треугольной Формы Точки в дифференциальном исчислении, её представление в Форме окружности лишено подобных ограничений и неопределенности. Поэтому, в этом смысле, идея Точки, как бесконечно малой окружности, представляется достаточно универсальной. Однако, куда идти дальше из этого положения, мне было совершенно не видно. Интуитивно я ощущал, что за этой идеей обязательно что-то скрывается, и проникновение туда является делом лишь времени.

Итак, прежде чем приступить к дальнейшему оформлению Точки, рассмотрим решение одной интересной задачи, которую по воле случая и как нельзя вовремя я обнаружил на необъятных просторах Интернет (http://*****/geometry/chislo-pi-ravno-dvum).

Дано: окружность радиуса R. Кривая А (на рисунке красная) построена из двух полуокружностей радиуса R/2. Следовательно, длина кривой А равна π*R. Кривая B построена из четырёх полуокружностей радиуса R/4, её длина также равна π*R. Аналогично, кривая C построена из восьми полуокружностей радиуса R/8 и длина её так же составляет π*R. Продолжая построение, получим последовательность кривых, составленных из полуокружностей радиуса, стремящегося к нулю, длина всех этих кривых равна π*R.

Очевидно, что кривые, с увеличением числа составляющих полуокружностей и с уменьшением их радиуса, стремятся к отрезку MN, длина которого равна 2R. Таким образом, в пределе получаем:

π*R = 2R, следовательно,

π = 2

А теперь - вопрос: доказано, что число Пи равно двум. Почему же повсеместно используется более длинное и неудобное значение 3.1415...?

Задача, просто прекрасна, поскольку, по своей сути, совершенно уникальным образом использует метод дифференциального исчисления, адоптировав при этом свою привычную треугольную форму Точки, в Форму полуокружности. Однако общепринятый «правильный»! ответ на поставленный вопрос, просто убивает весь огромный потенциал этой задачи, сведя его к распространенной формуле, - «этого не может быть потому что, этого не может быть никогда». Поэтому и «правильный» ответ должен быть соответствующим этой формуле.

Ответ:

С уменьшением радиуса полуокружностей, составляющих кривую, она приближается к отрезку-диаметру MN, однако форма полуокружностей не меняется. Сколь "мелкими" они бы ни становились, их длина всё равно будет равняться π*R.

Поэтому, как это ни печально, число π не равно двум. А как было бы удобно, если бы это было правдой!

Да, такая высокомерная, однозначная и уничтожающая ирония в этом ответе, наверное, напрочь отбивает какое бы то ни было желание как-то самостоятельно хотя бы пошевелить собственными мозгами в каком-нибудь ином направлении. Вообще, у нас, зачастую, как-то принято демонстрировать способность шевеления собственными мозгами, вовсе не напрягая их и вообще не шевеля ими, а посредством подсматривания, запоминания и последующего озвучивания «правильных» ответов … Однако это уже другая, не менее интересная тема для отдельного исследования.

Не кажется ли вам, многоуважаемый читатель, что вся ситуация с решением этой задачи очень напоминает давнишнюю историю с изначальным непониманием смысла дифференциального исчисления. Ведь, значение функции и её производной, в одной и той же Точке (для одного и того же значения x), так же давали два различных результата! Поэтому, наверное, и потребовалось некоторое время на то, чтобы переосмыслить и понять то, что различие этих значений определяется различием точки зрения на одну и ту же Точку (прошу простить меня за вынужденную тавтологию) линии графика функции. В этом контексте, не могу здесь отказать себе в удовольствии и не упомянуть об удивительном подобии механизма исчисления производной в Точке графика функции и одной из основных тайн т. н. алхимического Великого Делания, которая может быть выражена в следующей формуле, -

«Всё сливается в Одно, делимое на Два»

Когда я впервые прочитал условие этой задачи, то буквально сразу же понял, как выглядит её «правильный» ответ. Я специально выделил здесь слово «выглядит», поскольку, по большому счету, именно так дело и обстоит, - «правильный» для нас тот ответ, который таковым выглядит!!!

Почему бы, например, хотя бы не предположить, что, в рамках рассматриваемой задачи, Форма Точки диаметра окружности является такой, что число π для неё обретает (выглядит!) значение двойки, т. е.

π/. = 2!

Стоп!

Вот где-то в этом месте меня озарила идея о том, что Форма Точки подобна окружности, раз она обладает, хотя и своим, но все-таки неким характеристическим числом π, суть которого заключается в отношении величины замкнутой периметральной (периферийной) линии (окружности), к её же, соответствующей максимальной прямолинейной величине (диаметру). По сути дела, значение этого отношения представляет собой ни что иное как своеобразную производную Формы окружности. Т. е. число π – это значение отношения величин двух различных линий, заключенных в одной и той же Форме окружности. Поэтому окружность, как целостная Форма, может быть рассматриваема, как своеобразная и вполне определенная топологическая функция, а число π – это значение её производной!

Все это, так или иначе, но привело меня к удивительной и необычной мысли о том, что существует некий универсальный агент, применимый в Геометрии, который позволяет в одной и той же Точке получить слияние всего бесконечного множества её разнообразных Форм, в её же одну-единственную, универсальную Форму. Тогда можно будет использовать возникающую связь между различными отдельными Формами и этой самой одной универсальной или опорной Формы Точки в качестве их некой функции, которая всецело определяет её соответствующую производную в Точке!

Иначе говоря, тогда можно будет использовать эту уникальную ситуацию одновременного различия и тождества с этой самой универсальной Формой Точки для того, чтобы определить свое характеристическое число для любой Формы, которое, по сути своей, будет иметь смысл производной функции, связывающей между собой любую отдельную Форму, с универсальной Формой Точки в их тождество друг другу!

Но все же, более всего меня поразило и впечатлило то обстоятельство, что, казалось бы, бесформенная Точка, вместе с тем, заключает в самой себе все бесконечное и разнообразное множество различных Форм. Причем, речь здесь идет о различных Формах, в их, так сказать, «чистом» виде, независимо от их размеров (величин), ибо все они обладают одной и той же, - Точечной (бесконечно малой) величиной. Поэтому и числа, используемые для описания разнообразных Форм Точки, обретают качественно иной и непривычный смысл. Поскольку своим количеством они характеризуют уже не какую-то отдельную величину или размер рассматриваемой Формы, а саму Форму, как таковую, в её целостности. В результате, такая уникальная особенность бесформенной формы Точки, позволяет сотворить такую же уникальную её Геометрию, - Геометрию Точки, которая, по меньшей мере, предоставляет в распоряжение исследователя следующие необычные возможности:

·  определение характеристических чисел (подобных числу π окружности) для различных отдельных Форм, позволяющих оперировать целыми Формами;

·  буквального целостного и системного рассмотрения всего бесконечного разнообразия различных отдельных Форм в пределах одной универсальной и ограниченной Формы Точки, т. е. рассмотрение всей целой бесконечности, упакованной в конечной Форме Точки.

Уже сегодня я уверен в том, что в ходе более детальной и основательной разработки теории Геометрии Точки, перечень её основных возможностей будет существенно расширен, детализирован и уточнен. Однако уже даже сейчас, пребывая лишь на пороге этой необычной Геометрии, вполне можно говорить об её универсальной уникальности и большом потенциале. И последующие материалы настоящей статьи, я надеюсь, послужат тому достаточным подтверждением.

2. Делание «круглого квадрата» - Тайный Ключ к Геометрии Точки

Прежде, чем продолжить дальнейшее изложение, хотелось бы ещё раз особо обратить внимание на уникальное свойство Точки, проявляющееся в том, что она отсутствием в себе какой бы то ни было Формы, - в своей «форменной пустоте» или «бесформенности», заключает всё бесконечное разнообразие различных Форм! И в этом смысле все они в ней тождественны друг другу!

Вместе с тем, рассматривая каждую из возможных частных Форм Точки, но уже в её отдельности, самой по себе как таковой, совершенно ясно видно её отличие от других, аналогичных Форм. Именно эти отличительные черты и позволяют различать их друг от друга в бесконечном множестве разнообразных Форм.

Таким образом, с одной стороны, все возможные Формы в Точке являются тождественными друг другу и одной-единственной «бесформенной» (пустой или неразличимой) Форме Точки. А, с другой стороны, эти же формы, сами по себе как таковые, являются различными друг от друга. Здесь имеется в виду различие в Форме, поскольку по своей величине (размеру) все они равны величине одной и той же Точки. Этот, кажущийся очевидным парадокс и его решение является ключевым для понимания основополагающего смысла (сути) Геометрии Точки.

Иначе говоря, в данном случае возникает уникальная и казалось бы безвыходная (тупиковая) ситуация, в которой, с одной стороны, все возможные различные Формы являются тождественными одной-единственной неразличимой Форме Точки, а, с другой стороны, кажется невозможным найти какой-то критерий (свойство), позволяющий на него опереться, чтобы суметь-таки различать эти же самые разнообразные отдельные Формы той же Точки между собой.

И здесь на помощь приходит уже достаточно отработанный и проверенный для меня метод, – выход из тупика через уже известный вход в него. Не вдаваясь в подробности, суть идеи заключается в том, что сами Числа (их знаки - цифры), а так же их разнообразные множества обладают своей вполне определенной Формой (топологией), которой в них, зачастую, отводится роль лишь вспомогательного и формального (выразительного) графического средства, обеспечивающего их целостное различение между собой и не имеющего никакого иного значения. Поэтому, если Числа обладают своей определенной Формой, позволяющей отличать их от аналогичных Форм других Чисел, то, думаю, что не сложно будет предположить так же и возможность обратного, т. е. того, что Формы обладают своим вполне определенным Числом, позволяющим отличать их от аналогичных Чисел других Форм.

Какой бы странной и, возможно, даже абсурдной не казалась эта идея, однако, пожалуй, любой школьник знает одно такое Число, которое помимо своей количественной величины, так же характеризует собой и вполне определенную целую Форму. Таким Числом является Число π = 3,14 …, которое являет собой неотъемлемую и целостную характеристику окружности, круга, сферы, шара и т. п. Поскольку в «бесформенной» Форме Точки любые Формы тождественны друг другу, в том числе и окружность, круг, сфера, шар и т. п., то другие Формы, отличные от них, также должны обладать неким своим целостным характеристическим («форменным») Числом, подобным Числу π.

Помимо того, что «бесформенная» Форма Точки проявила (породила) парадоксальное единство тождества и различия всевозможных разнообразных Форм, она так же проявила и аналогичное парадоксальное единство тождества и различия одной-единственной (конечной и универсальной) Формы Точки и бесконечного множества всевозможных различных Форм. То есть одна-единственная конечная (обозримая) «бесформенная» Форма Точки, парадоксальным образом заключает в самой себе целую бесконечность всевозможных различных Форм.

В связи с этим, хотелось бы обратить внимание так же на то, что все различные Числа, в своём естественном порядке, образуют бесконечный ряд, который обычно уподобляют т. н. «числовой шкале», «числовой оси» или «числовой прямой», олицетворяющей собой вполне конкретную Форму своеобразного бесконечного числового пространства (множества) Арифметики. То есть весь бесконечный числовой ряд (пространство) Арифметики по своей Форме соответствует бесконечной Прямой линии, которая уже изначально не может быть охвачена взором целиком, - не предоставляет возможности её непосредственного целостного рассмотрения.

Вместе с тем, Точка, в контексте Геометрии Точки, в своей естественной бесформенности (пустотности) и непосредственной целостной созерцаемости, целиком заключает в себе всё бесконечное множество различных Форм. То есть все бесконечное множество различных Форм Геометрии по своему Количеству соответствуют одной-единственной ограниченной Форме Точки, - Единице.

Поэтому, с точки зрения Геометрии, бесконечное числовое пространство Арифметики соответствует бесконечной Прямой, а бесконечное пространство различных Форм Геометрии Точки соответствует конечной Точке. Как уже отмечалось раннее, Точка и Прямая – это две противоположные Формы одной и той же окружности в своих крайних степенях проявления, - бесконечно малой и бесконечно большой окружности. В этом контексте, можно рассмотреть, по меньшей мере, две достаточно интересные идеи: