Геометрия точки (стр. 4 )

Если определить функциональную зависимость соотношения сторон (катетов) предыдущего и последующего (смежных) прямодиагональников, то можно получить число, определяющее прогрессию формы прямодиагональника:

Пусть a и b – это катеты предыдущего прямодиагональника, при этом

a < b

Тогда:

для предыдущего прямодиагональника отношение катетов, определяется формулой:

b/a

для последующего прямодиагональника, из Обобщенной теоремы Пифагора (a2 + b2 = (2 • a • b • с)/d) следует, что отношение катетов, определяется формулой:

c/d = (a2 + b2)/(2 • a • b)

Следовательно

(c/d)/(b/a) = (a2 + b2)/(2• b2) (2)

Из полученной функциональной зависимости между соответствующими отношениями катетов смежных прямодиаганальников в их прогрессии следует, что с каждым шагом, у каждого последующего прямодиагональника, его форма изменяется таким образом, что отношение большего к меньшему катету уменьшается в число раз, определяемым формулой (2). Иначе говоря, с ростом прогрессии Формы прямодиагональников, величины их катетов стремятся уровняться, т. е. Форма прямодиагональников стремится к квадратной Форме. С уменьшением же прогрессии формы прямодиагональников, величина отношения их катетов стремится к бесконечности и, соответственно, Форма прямодиагональников стремится к Форме своей гипотенузы, т. е. – к Форме отрезка (или диаметра круга).

8. Об узости полей, не вместивших ПОИСТИНЕ ЧУДЕСНОЕ доказательство теоремы Ферма

Известно, что свою знаменитую теорему, П. Ферма сформулировал напротив восьмой задачи Диофанта, на полях его книги II «Арифметика». Существует множество вариантов перевода и трактовки текста этой формулировки, однако я остановил свой выбор лишь на одной из них, представленной в книге «Творцы математики» (М. 1979 г. стр. 69):

«Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки»

Сегодня, по прошествии уже более чем 370 лет, можно лишь догадываться о том, что на самом деле имел в виду Ферма, когда упоминал о своем поистине чудесном доказательстве этой теоремы и этих полях, которые слишком узки для него.

Однако внимательное рассмотрение некоторых деталей текста формулировки теоремы, данной самим Ферма, в контексте, возможностей, предоставленных Геометрией Точки, позволяет сделать необычное предположение о главной идее, на которой могло бы быть построено его таинственное доказательство, которое он назвал поистине чудесным.

Прежде всего, привлекает внимание то, каким необычным для математика и всей математики образом сам Ферма охарактеризовал свое яко бы имеющееся у него доказательство, назвав его «поистине чудесным». Наверное, даже неискушенный в математике человек сумеет заметить и ощутить парадоксальность и несовместимость таких общеизвестных понятий, как математическое «доказательство» и «чудо». Быть может, автор этим бросающимся в глаза (но сегодня уже для большинства привычным) контрастом парадоксального образа «чудесного доказательства», пытался указать на то, что метод его доказательства настолько существенно отличается от общепринятых и используемых в то время, что в глазах традиционных математиков оно могло выглядеть поистине чудесным. Ибо всё, что есть непонятное, всегда представляется чудесным и таинственным.

А какие книжные поля могут вместить чудо?

Поля книги могут вместить в себя лишь формальную сторону доказательства (его своеобразную явную внешнюю форму), а чудо и таинство самого доказательства (его скрытое внутреннее содержание) может осуществиться (ожить) только в голове (сознании) каждого отдельного человека. Так, может быть, говоря об «этих полях», которые для «этого поистине чудесного доказательства» оказались «слишком узки», в действительности Ферма говорил не о какой-то нехватке места на бумаге для формального изложения своего доказательства, а намекал на более серьезную и тотальную проблему, - на узость полей сознания или привычных представлений традиционных математиков того времени, в отношении разнообразных математических задач и рассматриваемой теоремы, в частности.

А в отсутствии этой чудесной внутренней составляющей любого доказательства, поистине придающего ему необходимую доказательную силу, оно легко превращается в обычную жалкую и бессильную профанацию, со всеми, вытекающими отсюда последствиями.

В таком контексте, как мне кажется, вполне можно понять решение Ферма не приводить на узких полях книги своё «поистине чудесное доказательство», тем самым обезопасив себя и свою научную деятельность от неминуемых нападок всевозможных доброжелателей и коллег. Ибо возможная таинственная и чудесная составляющая его доказательства либо действительно потребовала бы значительно большего места для своего опять же формального представления, либо она была ведома самому Ферма лишь в той своей степени, которой было ещё недостаточно для формирования обоснованной системы, позволяющей другим математикам воспринимать её доказательство, в качестве доказательства.

Кроме этого, само место размещения заметки Ферма, - напротив восьмой задачи Диофанта, на полях его книги II «Арифметика», так же является, отнюдь, неслучайным. Именно в этой задаче рассматривается вопрос о том, как данный квадрат разделить на два квадрата. Так или иначе, но это обстоятельство достаточно ясно и четко указывает на очевидную и непосредственную связь, существующую между теоремой Ферма и теоремой Пифагора. Глубокий и необычный смысл этой связи будет представлен несколько ниже.

Наконец, в формулировке Ферма так же обращает на себя внимание противопоставляющий оборот («Напротив, …»), использованный им в самом начале формулировки своей теоремы. В некоторых вариантах перевода так же встречаются другие обороты, имеющие подобный смысл, например, такие как «С другой стороны …» (Г. Эдвардс «Последняя теорема Ферма, М. Издательство «МИР», 1980 г.) или «Между тем …» ( ). Конечно, я понимаю, что осуществление перевода текста с другого языка является достаточно тонкой, неоднозначной и творческой деятельностью и, все же, в тексте формулировки Ферма своей теоремы ощущается некий целостный и общий тон отрицания, обусловленный многократным использованием отрицающей частицы «ни» («Напротив, … ни … ни, ни … ни … и вообще никакую …»), который явно противополагает себя утверждающему характеру (звучанию) теоремы Пифагора. По сути дела, сам строй формулировки Ферма указывает на то, что его теорема является естественной и противоположной полярностью по отношению к теореме Пифагора. И что в своей совокупности они вместе составляют исчерпывающую, и потому целостную свою Систему. На мой взгляд, этот момент является наиболее важным в понимании той, более обобщенной проблемы, которая обрела свое частное воплощение в теореме Ферма.

Складывается такое впечатление, что Ферма в формулировке своей теоремы предпринял все возможные и доступные для него способы и средства для того, чтобы все-таки вместить на узких полях книги если не само «поистине чудесное доказательство», то, по крайней мере, достаточно ясные указания на его характер.

Сегодня считается, что большая теорема Ферма была доказана английским и американским математиком Эндрю Уайлсом в 1993 году. По информации, имеющейся в Интернет, объем его доказательства составляет около 200 страниц текста. Не хотелось бы судить, но, по-моему, вряд ли такое доказательство можно назвать «поистине чудесным» и хоть как-то соизмеримым с полями книги, чтобы об этом вообще имело бы какой-то смысл упоминать. Кроме того, нельзя забывать и об уровне математики того времени, в которое жил и творил Ферма. Если он действительно и располагал неким своим «поистине чудесным доказательством» своей теоремы, то оно, по меньшей мере, должно быть выполнено с использованием понятий и средств, приемлемых для математики времен Ферма.

Скорее всего, приблизительно таким образом и рассуждают т. н. «фермисты», многочисленные любители – энтузиасты, которые, отнюдь, не прекратили свои самостоятельные исследования и попытки доказать эту великую теорему более простым и ясным способом, явно претендующим на звание «поистине чудесного».

Я представляю себе, как защемило сердце у профессионалов от одного только упоминания о неиссякаемых и неугомонных фермистах. Ну, что же поделаешь, сегодня мы имеем то, что и имеем. Возможно, что в совсем недалеком и светлом нашем будущем, профессиональные ученные наконец-то обратят свое внимание и поймут, что всякая «вещь» (в самом широком смысле) всегда и неизбежно заключает в себе две свои противоположные стороны. Поэтому если изначально с какой-либо «вещью» возникают какие-то нежелательные проблемы, то не нужно спешить её забраковывать и выкидывать на свалку, хотя бы потому, что она уже есть. А вместо этого научиться разворачивать её своей другой, противоположной стороной (управлять ей) и эффективно использовать её естественные возможности (потенциал) в своих разнообразных целях. Все это справедливо и по отношению к такой «вещи» или феномену, как «фермисты».

В общем, как бы это страшно не звучало, но здесь я попытаюсь представить свою гипотезу о «поистине чудесном» доказательстве теоремы Ферма.

Сама внешняя формальная сторона этого доказательства выглядит настолько краткой, простой и ясной, что её способен понять, пожалуй, любой школьник (по меньшей мере, - девятиклассник). По большому счету, для представления формального образа этого доказательства достаточно будет всего несколько строк.

Однако для того, чтобы суметь схватить и понять его «поистине чудесную» доказательную силу, потребуется немного больше места на бумаге, а так же самое главное, - желание понять и соответствующие усилия для его самостоятельного обретения.

Итак, основная идея доказательства большой теоремы Ферма заключается в том, чтобы, прежде всего, перенести её рассмотрение в область Геометрии, а если быть еще более точным, то – в область Геометрии Точки. Думаю, что не потребует каких-то особых усилий понимание того, что в своей геометрической трактовке формулировка теоремы вполне может быть представлена в следующих своих видах:

Для любого треугольника со сторонами a, b и c, где с – его основание, не выполняется (несправедливо) равенство:

an + bn = cn, (3)

при n > 2

Для любого треугольника со сторонами a, b и c, где с – его основание, выполняется (справедливо) неравенство:

an + bn ≠ cn, (4)

при n > 2

Речь идет о целочисленных значениях a, b, c и n.

Казалось бы, что эти два различных вида формулировки и формулы одной и той же теоремы заключают в себе одинаковый смысл, однако несколько ниже будет показано и пояснено их достаточно тонкое, но важное различие.

Из предыдущего материала известно, что целостная и полностью исчерпывающая Система всего бесконечного множества различных треугольников разделяется на следующие три различные их разновидности:

­  остроугольные треугольники;

­  прямоугольные треугольники;

­  тупоугольные треугольники.

Следовательно, достаточно лишь доказать несправедливость равенства (3) (или справедливость неравенства (4)) для каждой из трех различных разновидностей треугольников, и теорема будет доказанной. Пусть это будет вариантом «Б» доказательства теоремы Ферма геометрическим способом. Все желающие могут попытаться его реализовать. Не сомневаюсь в том, что таковые попытки уже имели место быть.

Однако мы не пойдем этим очевидным и «легким» путем, поскольку в действительности он является и не таким уж и простым, каким кажется. Да и как-то не выглядит этот вариант «Б», как «поистине чудесный», поскольку слишком прямолинеен и груб. Поэтому мы пойдем другим путем, назовем его вариантом «А».

В основе этого варианта «А» лежит универсальный Принцип, который уже успешно использовался в настоящей работе выше, при формировании целостных и исчерпывающих Систем бесконечного множества различных разновидностей треугольников и четырехугольников. Может показаться необычным, неуместным и даже неправомочным использование мной здесь понятия «Принципа». Однако, по моему мнению, он здесь вполне приемлем, поскольку по своей сути, представляет собой некую целостную универсальную Систему, полностью характеризующую один из основополагающих аспектов любых двух противоположностей, образующих в своей совокупности двойственность (дуальность или бинер) и Диаду, в целом.

Для обеспечения необходимой ясности и правильного понимания последующего материала, примем несколько основополагающих определений.

Двойственность – это совокупность двух частных взаимосвязанных и взаимоопределяющих друг друга противоположностей. Так, противоположности в своей максимальной степени проявления, называются полярностями и в своей совокупности образуют дискретную (дилеммную) систему - двойственность.

Диада – это двойственность, в своем целом, т. е. – это целостная и континуально непрерывная совокупность бесконечного множества различных степеней проявления обеих противоположностей. Так, целостная и исчерпывающая Система разделения всего бесконечного множества различных треугольников на свои разновидности представляет собой Диаду всевозможных треугольных форм, образованную различными степенями проявлении двух противоположных форм (остроугольной и тупоугольной).

Степень проявления противоположности – это условная количественная оценка проявления противоположности относительно других, аналогичных ей проявлений. Так, остроугольный треугольник, содержащий более острый (меньший) угол, обладает большей степенью проявления остроугольности, а тупоугольный треугольник, содержащий более тупой (больший) угол, обладает большей степенью проявления тупоугольности.

Главная идея этого наиважнейшего Принципа заключается в определении целостной Системы закономерностей в соотношении между собой двух любых противоположностей (составляющих в своей целостной совокупности Диаду) и некоего третьего элемента - Середины, пребывающей между ними и являющей собой Границу, в которой противоположности «переходят» (трансформируются, соединяются, разделяются) друг в друга. Поскольку Система закономерностей соотношения между двумя противоположностями зачастую, называется Принципом Полярности (Противоположностей), то аналогичная Система закономерностей соотношения между противоположностями, в их целостной совокупности (Диадой), и их Серединой, как уникальной (экстремальной) части этого самого целого, назовем Принципом Середины (Монады). Если Принцип Полярности, в той или иной степени, является издревле известным и достаточно широко используемым практически во всех разнообразных областях человеческого познания, включая науку и математику, в частности, то Принцип Середины (Монады) нуждается в соответствующих пояснениях.

Монада - это некая противоположность целостной Диаде или тотальная (всеохватывающая) противоположность всем возможным степеням проявления противоположностей, образующим её, в своем целом. Монада, как противоположность Диаде (согласно Принципу Полярности), представляет собой (насколько этот оборот речи вообще применим к ней относительно или с точки зрения понятий Диады) нЕчто непроявленное, неизменное и вечное …, а так же всецело определяющее ВСЁ, что может быть проявлено в Диаде.

Непроявленное – это скрытое состояние некоего качества, которое не может быть выражено (представлено или описано) с использованием определяющего проявленного состояния соответствующего ему двойственного качества. В этом смысле, «проявленное» и «непроявленное» выступают в роли обычных противоположностей, поэтому они относительны, т. е. то, что является (воспринимается) непроявленным относительно проявленного, с точки зрения этого самого непровленного уже все воспринимается обратным образом. Относительно проявленной Диады (вместе со всевозможными степенями проявления её двух противоположностей), Монада – есть скрытая непроявленность. Необходимо заметить, что непроявленное вовсе не обязательно характеризуется абсолютной скрытностью, принципиально не позволяющей её воспринимать никаким иным образом. Так, для треугольников (Диады треугольной формы) в роли такого непроявленного качества их Монады выступает известная формула теоремы Пифагора. При этом, формула – это вовсе не прямоугольный треугольник, и вообще никакой не треугольник, т. е. формула не может быть описана в понятиях (средствами) треугольных Форм так же, как и треугольная Форма не может быть нарисована в понятиях (средствами) формулы, поэтому друг для друга они являются непроявленными.

В качестве дополнительных пояснений, а так же для формирования более ясных и наглядных представлений и образов основных понятий, определенных выше, на рис. 22 представлена условная схема Системы их соотношений и взаимосвязей на примере бесконечного множества различных треугольников.

 

Рис. 22 Схема Системы взаимосвязи основных понятий, используемых

для рассмотрения любых противоположностей

Со времен Пифагора известно так же и такое понятие, как «Неопределенная Диада». Для обеспечения необходимой полноты рассмотрения проблемы, следует сказать, что Неопределенная Диада отличается от представленной выше Диады лишь тем, что она не дифференцирована (не разделена) на свои две противоположности (противоположные области), и вместе с Монадой составляет обычную пару взаимосвязанных и взаимоопределяющих противоположностей, противостоящих друг другу по одному-единственному и универсальному своему признаку (свойству) – проявленности/непроявленности.

Принцип Середины

Прежде всего, следует обратить внимание на то совершенно очевидное обстоятельство, что Середина между двумя любыми противоположностями, одновременно (разом) заключает в себе обе эти самые противоположности, в своих одинаковых степенях проявления, ибо она есть Середина между ними! Т. е. Середина в равной степени являет (представляет) собой и одну, и другую противоположность. В этом смысле, Середина представляет собой воплощение парадоксального (противоречивого) раздельного присутствия двух исходных противоположностей в одном и том же.

Вместе с тем, из предыдущей посылки совершенно очевидно следует, что Середина так же заключает в себе и некую неопределенность относительно исходных двух противоположностей и составляющей ими Диады, поскольку сама по себе, в своем единстве (синтезе), она не является ни одной из них. Т. е. Середина представляет собой воплощение некоего уникального единства двух противоположностей (присутствия двух исходных противоположностей, как одного), Третьего элемента Диады, помимо двух её противоположностей. Уникальность этого самого Третьего элемента заключается в том, что являясь отдельной (Серединной) частью Диады, он одновременно (разом), своей неопределенностью в ней, воплощает собой так же и Монаду, пребывающую за пределами Диады, в оппозиции к ней и всецело определяющую её! В этом смысле, Середина представляет собой воплощение парадоксального (противоречивого) единства двух иных, более тотальных противоположностей в одном и том же, - Середины, как отдельной части Диады, и Середины, как Монады, определяющей собой всю целую Диаду.

Таким образом, если представить Диаду в виде бесконечного множества различных степеней проявления (элементов) двух противоположностей любой двойственности, то среди них всегда существует такая уникальная Серединная степень их проявления (Середина или Третий элемент), которая в своей проявленной частной и ограниченной форме одновременно заключает так же и непроявленную Монаду (является проявленной формой непроявленной Монады), которая, в свою очередь, всецело определяет Диаду, лишь частью которой эта самая Середина является!

Думаю, что для многих такое описание универсальных свойств Середины, может показаться весьма неясным, запутанным и противоречивым. Отчасти оно так и выглядит. Дело в том, что, по сути дела, описываемые свойства Середины, подобны известной проблеме множеств, в которой рассматривается возможность/невозможность существования в множестве всех подмножеств (множеств) некоего отдельного подмножества, которое заключает в самом себе всё целиком это самое множество, лишь подмножеством которого оно является. Подобную удивительную идею издревле представляли в самых разнообразных образах, наиболее ярким из которых является изображение (символ) змеи или дракона, закусывающего свой собственный хвост, именуемый Уроборосом (см. рис. 23).

Рассмотрим представленные выше свойства Середины на примере таких простых и издавна используемых противоположностей, как «Начало» и «Конец», образующих в своей совокупности Диаду.

Между «Началом» и «Концом», как двумя противоположностями, подобными двум концам одной и той же палки, существует некая «Середина». Поскольку Середина равноотстоит и от Начала, и от Конца и они в ней «соприкасаются», переходя одно в другое (образуют границу или мост), то она одновременно заключает в себе и Начало, и Конец в их равных степенях проявления. Однако, вместе с тем, эти же Начало и Конец, присутствующие в раздельном виде в Середине (как два в одном), образуют в ней так же и свое единство (синтез), являющееся относительно них некой неопределенностью – Третьим элементом исходной Диады, выпадающим за её двойственные пределы (поскольку является её Третьим, неопределенным элементом), но, как Монада, всецело определяющим всю эту самую исходную Диаду.

Таким образом, Середина, как Начало и Конец, присутствующие в одном, обладает всеми свойствами, характерными для этих двух противоположностей.

Вместе с тем, Середина, как одно единство равных степеней проявления двух - Начала и Конца, как Третий, неопределенный и непроявленный элемент Диады, т. е. – как Монада, обладает неким уникальным свойством, которое отсутствует у всей Диады и, соответственно, у обеих противоположностей (Начала и Конца).

а)	б)	в)
г)	д)	е)

а)	Изображение Уробороса в алхимическом трактате 1478 г. Автор - Теодор Пелеканос
б)	Изображение Уробороса из книги «Chrysopoeia of Cleopatra» (эллинистический период)
в)	Свёрнутая змея эпохи Шан
г)	Уроборос. Дженниса из книги алхимических эмблем «Философский камень».
д)	Эмблема Теософского общества
е)	Египетский Уроборос

Рис. 23 Различные символы Уробороса.

Теорема Пифагора так же является очень хорошей и ярчайшей демонстрацией справедливости вышеприведенных свойств Середины Диады. Ибо эта теорема применима исключительно для прямоугольных треугольников, являющихся Серединой между остроугольными и тупоугольными разновидностями треугольников. А формула этой теоремы, как уже отмечалось выше, представляет собой непроявленную Монаду, относительно проявленного бесконечного множества различных треугольных Форм (треугольной Диады).

Представленная здесь Общая теорема Пифагора, также вполне успешно демонстрирует справедливость наличия перечисленных свойств Середины Диады. Ибо эта теорема применима исключительно для прямодиагональников, являющихся Серединой всего бесконечного множества различных четырехугольников. Соответственно, формула этой теоремы так же представляет собой непроявленную Монаду, только уже относительно проявленного бесконечного множества различных четырехугольных Форм (четырехугольной Диады).

Таким образом, можно сформулировать целостную (полную и исчерпывающую) Систему закономерностей Принципа Середины (Монады):

·  Середина между двумя проявленными противоположностями любой Диады, как отдельная её часть, всегда и необходимо обладает всеми свойствами, характерными для этих противоположностей.

·  Середина между двумя проявленными противоположностями любой Диады, как непроявленная Монада, всегда и необходимо обладает неким уникальным свойством, отсутствующим у противоположностей.

·  Обе проявленные противоположности любой Диады, всегда и необходимо не обладают никакими свойствами, отсутствующими у Середины, в обоих её обличиях!

В контексте рассмотрения и доказательства теоремы Ферма, с учетом приведенного выше определения Принципа Середины (Монады), следует, что, с одной стороны, свойство Середины (прямоугольных треугольников), отрицающее её некое уникальное свойство (теорему Пифагора), само по себе, таковым (уникальным), в силу своего отрицания, уже не является. Поэтому такое свойство будет характерно так же и для обеих противоположностей (остроугольных и тупоугольных треугольников) и всей Диады в целом.

С другой стороны, отсутствие (отрицание наличия) любого свойства у Середины (прямоугольных треугольников), естественным и необходимым образом распространяется также и на такое же отсутствие этого свойства и у обеих противоположностей (остроугольных и тупоугольных треугольников) и всей Диады в целом.

Здесь намеренно сделан акцент на двух сторонах или аспектах одного и того же свойства Середины, поскольку это самое свойство вполне может быть представлено в своих двух взаимно противоположных видах, - утверждающем (положительном) и отрицающем (отрицательном). Дело в том, что сама формулировка теоремы Ферма явно была получена её автором с применением Принципа Полярности, т. е. – получена путем противоположения и отрицания исходной Форме (формуле) теоремы Пифагора. Поэтому если следовать оригинальному пути автора, то его теорема имеет вид отрицания, т. е. - отсутствия у Середины свойства, – выполнения (справедливости) равенства в соотношении, определяемом формулой теоремы Ферма, для всех степеней, превышающих квадратную степень. Иначе говоря, в этом случае отрицается справедливость равенства в соотношении, определяемом формулой теоремы Ферма (3), для всех степеней, превышающих квадратную степень (n > 2).

Однако сегодня, в современных трактовках формулировки и самой формуле теоремы Ферма можно заметить, что в них уже утверждается справедливость неравенства в соотношении, определяемом формулой теоремы Ферма (4), для всех степеней, превышающих квадратную степень (n > 2). Подобные перевертыши вполне характерны не только для процесса развития науки, а являются универсальными закономерностями любых изменений или перемен разнообразных двойственных Систем.

Поэтому, учитывая такие метаморфозы внешнего формального вида теоремы Ферма, пришлось говорить о двух различных сторонах одного и того же свойства Середины. Если формальный вид теоремы имеет отрицательный характер, т. е. некое свойство отрицается (отсутствует) для Середины, то оно (это же свойство) необходимо отрицается так же и для обеих противоположностей и Диады в целом. Если же формальный вид теоремы имеет положительный характер, то предварительно следует доказать, что рассматриваемое утверждаемое свойство для Середины не является уникальным и не выходит за рамки рассмотрения обеих противоположностей и Диады в целом, т. е. не представляет собой свойство Середины, как непроявленной Монады.

В дальнейшем будем придерживаться оригинальной авторской формулировки теоремы Ферма.

Таким образом, для доказательства справедливости теоремы Ферма, достаточно всего лишь доказать её справедливость для прямоугольных треугольников.

Для осуществления этого рассмотрим системно характер и динамику его изменения в соотношении величин суммы двух катетов и гипотенузы любого прямоугольного треугольника, в зависимости от показателя их степени n.

Для n = 1

a + b > c

Для n = 2

a2 + b2 = c2

Для n = 3

(a2• c) + (b2• c) = (c2 • c)

Поскольку для прямоугольного треугольника справедливы неравенства

a < c и b < c,

следовательно, справедливым будет и неравенство

a3 + b3 < c3

Для n = k

(ak-1• c) + (bk-1• c) < (ck-1 • c)

Поскольку для прямоугольного треугольника справедливы неравенства

a < c и b < c,

следовательно, справедливым будет и неравенство

ak + bk < ck

Следовательно, для любого n > 2, справедливым будет неравенство

an + bn < cn

Для наглядности сведем полученные результаты в таблицу 2.

Таблица 2

Для прямоугольных треугольников

n = 1	n = 2	n > 2
a + b > c	a2 + b2 = c2	an + bn < cn
a + b ≠ c	a2 + b2 = c2	an + bn ≠ cn

Возможно, следует так же рассмотреть и частный случай, когда все три вершины треугольника принадлежат одному и тому же отрезку прямой, т. е. когда все три «стороны треугольника» (a, b и c) принадлежат одному и тому же отрезку прямой (c), разделенному точкой на две свои произвольные части (a и b). Не вдаваясь повторно в подобные и столь же простые рассуждения, сразу сведем полученные результаты в таблицу 3.

Таблица 3

Для отрезка прямой, разделенного точкой

на две свои различные части

n = 1	n = 2	n > 2
a + b = c	a2 + b2 < c2	an + bn < cn
a + b = c	a2 + b2 ≠ c2	an + bn ≠ cn

Интересным является то, что в таблице 2 совершенно очевидно прослеживается и определяется Середина (реверс) свойств соотношения, определяемого формулой теоремы Ферма, в зависимости от показателя степени. И эта Середина соответствует квадратному показателю степени (n = 2). В таблице 3 подобной Середины (реверса) в явном виде уже не наблюдается. В этом смысле, представленный в ней частный, прямолинейный случай расположения трех вершин (точек), не выходит за рамки рассмотрения прямоугольных треугольников.