Геометрия точки (стр. 3 )

 

Рис. 12 Схема целостной Системы распределения различных

разновидностей прямоугольников

Аналогично треугольникам, для четырехугольных прямоугольников можно так же определить критерии их разделения на различные разновидности.

Однако, что полезного может дать такой прямодиагональник в совокупности с прямоугольником и квадратом?

Об этом речь пойдет в следующем разделе.

5. ПРЯМОДИАГАНАЛЬНИК – ТЕТРАДА ГЕОМЕТРИИ ТОЧКИ

На примере целостного и системного рассмотрения всего бесконечного разнообразия различных Форм четырехугольников было определено, что в отличие от треугольников, у четырехугольников произошло принципиальное изменение в Системе их разделения на различные разновидности.

Если у треугольников всё их бесконечное разнообразие успешно разделяется на две противоположные разновидности (остроугольную и тупоугольную) относительно их экстремальной (Серединной), прямоугольной Формы, то у четырехугольников подобное разделение оказалось применимым лишь для условных прямоугольников, разделяющихся на обычные прямоугольники и полученные здесь прямодиагональники относительно их экстремальной, квадратной Формы. Однако здесь не стоит забывать и то, что условные прямоугольники и все иные, непрямоугольные четырехугольники, - это такие же, только более глобальные разновидности всего бесконечного разнообразия различных четырехугольников. Назовем такую разновидность непрямоугольных четырехугольников, косоугольниками.

Кроме того, необходимо заметить, что у треугольников в качестве их экстремальной Формы выступает целое бесконечное множество разнообразных прямоугольных треугольников, а у прямоугольников – один-единственный квадрат. Что же касается всего бесконечного множества разнообразных четырехугольников и его разделения на прямоугольники и косоугольники, то разграничивающая их экстремальная Форма представляет собой прямодиагональник! Позволю себе не приводить здесь всевозможные доводы, как-то обосновывающие такое утверждение. Однако напомню о наиболее экстравагантной и туманной характеристике прямодиаганальника, заключающейся в том, что его четыре угла являются «лишь отчасти прямыми». Именно эта его характеристика, заключающая в себе одновременно (разом) свойства и прямоугольников, и косоугольников, как раз и указывает на экстремальный (граничный или Серединный) характер Формы прямодиагональника, относительно которого все бесконечное разнообразие различных четырехугольников и разделяется на прямоугольники и косоугольники. На рис. 13, представлена упрощенная графическая схема, демонстрирующая целостную Систему разделения всего бесконечного разнообразия различных треугольников и четырехугольников на различные их разновидности.

Глядя на Систему разделения четырехугольников на различные их разновидности (рис. 13), можно заметить, что она несколько дисгармонична и несбалансированна, поскольку между косоугольниками и прямодиагональниками отсутствует какая-либо проявленная экстремальная (Серединная) Форма, в то время как между прямодиагональниками и прямоугольниками она существует в виде квадрата. В связи с этим обстоятельством, возникло предположение о том, что между косоугольниками и прямодиагональниками так же существует некая экстремальная Форма четырехугольника, подобная квадрату и, вместе с тем, противоположная ему. Кроме того, она должна заключать в себе какие-то свойства и косоугольников, и прямодиагональников, а так же некое уникальное свойство, отсутствующие у них.

Пожалуй, предоставлю возможность уважаемому читателю поразмышлять на эту тему самостоятельно, ибо ничто не приносит столько пользы, сколько самостоятельное «шевеление» собственными мозгами …

 

Рис. 13 Схема Системы разделения треугольников и четырехугольников

на свои различные (противоположные) разновидности

Так или иначе, но все подобные размышления, в конце концов, должны привести к определению в качестве такого очередного искомого экстремального четырехугольника, ромба. Относительно ромба необходимо отметить, что не все его вершины лежат на Окружности, которая его описывает. И это обстоятельство наводит на мысль о том, что в отличие от треугольников, существуют четырехугольники, которые не могут быть описаны Окружностью, в классическом смысле т. е. все вершины которых не могут принадлежать одной и той же Окружности (см. рис. 14). Однако такие четырехугольники вполне могут целиком принадлежать области Круга, причем так, что наиболее отстоящие друг от друга его вершины, принадлежат Окружности этого самого Круга. Кстати, в этом смысле, квадрат, - это частный случай ромбов, все вершины которого принадлежат одной и той же окружности.

 

Рис. 14 Геометрическая «формула» - Форма всех

различных ромбов

Таким образом, целостная Система разделения всего бесконечного множества разнообразных четырехугольников на различные их разновидности, можно представить в уточненном виде, представленном на рис. 15.

 

Рис. 15 Схема Системы разделения четырехугольников

на свои различные разновидности

Теперь, уже располагая достаточно ясным и наглядным материалом относительно целостной Системы разделения (различения) бесконечного множества разнообразных треугольников и четырехугольников на их различные (противоположные) разновидности, можно перейти к рассмотрению, пожалуй, наиболее интересного момента. Дело в том, что, как я уже отмечал раннее, любые экстремальные или граничные (Серединные) Формы между двумя противоположностями неизбежно обладают неким уникальным свойством, которое отсутствуют в каких-либо других различных противоположных Формах.

Так, применительно к треугольникам, является достаточно широко известным то обстоятельство, что только для прямоугольных треугольников применима знаменитая теорема Пифагора. Конечно, теорема Пифагора с таким же успехом применима так же и к прямоугольникам (прямоугольникам, квадрату и прямодиаганальнику), которые разделяются на соответствующие прямоугольные треугольники. Однако мне хотелось бы здесь обратить внимание на качественно иной аспект рассматриваемой проблемы.

Дело в том, что существует явная связь между Формой прямоугольного треугольника и структурой самой формулы, описывающей теорему Пифагора. Т. е. два катета и гипотенуза прямоугольного треугольника (всего три его элемента) определяют известную и привычную трехчленную структуру формулы теоремы Пифагора:

a2 + b2 = c2

Кроме того, есть еще одна причина, которая подвигла меня к совершенно необычной мысли и предположению. Это идея о Тетраде (Четверице, Тетраксисе, Тетраграмотоне, Кватернере, Четырех первоэлементах, Четырех стихиях и т. п.). В настоящей работе эта идея не будет рассматриваться. Однако о самом главном и важном, в контексте затронутой проблемы, все же необходимо, хотя бы немного сказать.

Тетрада – это целостное единство неких первых Четырех «элементов», являющихся основой для своего последующего проявления (развертывания) в бесконечное множество разнообразных «вещей» (соответствующего Мира).

Я прекрасно понимаю, что столь краткое описание Тетрады выглядит весьма пространным, непонятным и туманным, однако из всего сказанного, сейчас важным является лишь то, что ограниченное целостное множество из неких Четырех «первоэлементов», уже изначально заключает в самом себе все бесконечное разнообразие различных «вещей», порождаемых ими или проистекающих из них.

В этом смысле, Тетрада, заключающая в себе Четыре первоэлемента, вместе с их естественными свойствами и закономерными связями, подобна некоему уникальному (экстремальному) четырехугольнику, который являет собой тотальную или наиболее общую границу (Середину) между одной-единственной универсальной Формой Круга и всем бесконечным разнообразием различных иных плоских Форм. И самое удивительное и ценное здесь заключается в том, что все эти различные Формы тождественны друг другу, и представляют собой одну и ту же Форму Точки! А это означает, что в ограниченном упомянутом экстремальном четырехугольнике, в своем сосредоточенном (локальном) виде, заключено всё, что уже в развернутом своем виде осуществляется во всем бесконечном (нелокальном) разнообразии различных иных Форм. Т. е. Тетрада, в образе экстремального четырехугольника, по своей сути, представляет собой конечность, в которой естественным образом упакована вся порождаемая ей разнообразная бесконечность …

В общем, так или иначе, но я пришел к мысли (предположению) о том, что, возможно, существует некий четырехчленный аналог теоремы Пифагора. Причем, по своей сути, он должен представлять собой своеобразную Тетрадную формулу теоремы, являющую собой целостную и единую Систему, которая всецело определяет собой все закономерности, характерные для всего бесконечного множества разнообразных различных Форм. А, значит, такая теорема должна иметь соответствующий целостный или общий (всеобщий) характер, по сравнению с известной теоремой Пифагора, которая в таком случае обращается лишь в частный, треугольный (трехчленный) случай.

Думаю, несложно заметить, что единственным подходящим на роль такого экстремального четырехугольника является полученный здесь прямодиаганальник, который, в отличие от прямоугольника и квадрата, как раз и заключает в своей уникальной форме четыре различных своих элемента.

6. ОБЩАЯ теоремА Пифагора

Из рис. 11 очевидно, что прямодиагональник – это тот же прямоугольник, один из двух одинаковых прямоугольных треугольников которого, полученных разделением последнего посредством одной из его диагоналей, перевернут. То есть две вершины этого треугольника, принадлежащие его гипотенузе, взаимно поменялись своими местами.

Казалось бы, что такая «манипуляция» с обычным прямоугольником не может дать ничего нового и полезного. Однако подобное восприятие ситуации является весьма поверхностным и фрагментарным, поскольку для её формирования потребовалось целостно и системно рассмотреть всю бесконечную совокупность разнообразных четырехугольников, разделяющихся на пять! своих различных разновидностей (косоугольники, ромбы, прямодиагональники, квадрат и прямоугольники). И, в этом смысле, прямодиаганальник является своеобразным уникальным (тотально экстремальным или Серединным) и таинственным «Пятым элементом», позволяющим получить наиболее целостные и ценные знания, заключенные в «Четырехугольной Тетраде», а так же в бесконечном множестве других разнообразных Форм.

Не могу здесь пройти мимо и не заметить то, что подобная аналогия является глубоко философской, если не более … Поскольку именно таинственный и скрытый (не воспринимаемый непосредственно) «Пятый элемент», каковой древние мудрецы называли так же «Эфиром», заключает в самом себе и единую тайну (Начало) универсальных «Четырех первоэлементов», и всего бесконечного разнообразия различных «вещей» Мироздания. Пятиконечная звезда, известная, в том числе, и как символ пифагорейцев (пифагорейской школы), скорее всего, и олицетворяет собой «Пятый элемент», возвышающийся над «Четырьмя первоэлементами».

На рис. 16 еще раз представлена условная схема трансформации прямоугольника в прямодиагональник, в результате которой проявляется четвертый элемент или характеристика (на рисунке обозначен буквой «d») любого прямоугольника, да, и любого прямоугольного треугольника.

 

Рис. 16 Схема получения прямодиагональника

и четвертого элемента прямоугольника

Сохраняя уже сложившуюся и привычную традицию, далее будем называть стороны прямодиагональника – катетами (a и b), его большую диагональ – гипотенузой (c), а его меньшую диагональ назовем хордой (d).

Таким образом, любой прямоугольник (прямоугольник и квадрат) и прямоугольный треугольник, в скрытом (непроявленном) виде, заключат в себе (наряду с двумя катетами и гипотенузой) так же соответствующий их форме и четвертую характеристику (параметр), - хорду, которая в явном виде присутствует лишь в прямодиагональнике!

Теперь, отдельно и внимательно рассмотрим прямодиагональник (см. рис. 17), не забывая о том, что, не смотря на различие Форм, по своим количественным – числовым характеристикам (периметру и площади) он равен соответствующему прямоугольнику.

 

Рис. 17 Схема прямодиагональника

Наверное, я уже достаточно хорошо сроднился и врос в рассматриваемую проблему, поскольку не составило особого труда догадаться о том, что искомая уникальная и, вместе с тем, универсальная закономерность, заключенная в прямодиагональнике, скрывается именно в его площади. Поэтому, по сути дела, все поиски общей закономерности всех четырехугольников, а так всех иных возможных Форм, сводится к простой задаче по определению площади прямодиагональника.

Задача № 1:

Дано:

Прямодиагональник ABDC, в котором

|AB| = a;

|AC| = b;

|BC| = c;

|AD| = d.

Найти:

Площадь прямодиагональника ABDC,

S ABDC - ?

Решение:

I. Площадь прямодиагональника ABDC может быть определена тремя различными способами:

1 – как площадь обычного прямоугольника (со сторонами a и b), соответствующего данному прямодиагональнику ABDC;

2 – как сумма площадей двух равных прямоугольных треугольников, ∆ABC и ∆DBC, или как удвоенная площадь одного из этих треугольников;

3 – как сумма площадей двух различных треугольников, ∆ABD и ∆ACD.

II. Определение площади прямодиагональника ABDC:

1 - SABDC/1 = a • b;

2 - SABDC/2 = (1/2 • d • c • 1/2) • 2 = (d • c)/2;

3 - SABDC/3 = S ∆ABD + S ∆ACD = 1/2 • (d • |BO|) + 1/2 • (d • |CO|);

SABDC/3 = (d • a2)/(2 • с) + (d • b2)/(2 • с);

SABDC/3 = (d • (a2 + b2))/(2 • с).

Ответ:

Площадь прямодиагональника ABDC определяется тремя различными формулами:

SABDC/1 = a • b;

SABDC/2 = (d • c)/2;

SABDC/3 = (d • (a2 + b2))/(2 • с).

Полученный ответ позволяет определить закономерности, связывающие между собой величины всех четырех параметров прямодиагональника.

Поскольку площадь одного и того же прямодиагональника определяется тремя различными формулами (или Системой формул), то справедливыми будут и следующие три возможных равенства:

SABDC/1 = SABDC/2 à a • b = (d • c)/2

SABDC/1 = SABDC/3 à a • b = (d • (a2 + b2))/(2 • с) à a2 + b2 = (2 • a • b • с)/d

SABDC/2 = SABDC/3 à (d • c)/2 = (d • (a2 + b2))/(2 • с) à a2 + b2 = c2!!!

Таким образом, определена Система из трех уравнений (формул), определяющая закономерности связей между собой величин всех четырех различных параметров прямодиагональника (двух катетов, гипотенузы и хорды):

 

a • b = (d • c)/2

a2 + b2 = (2 • a • b • с)/d (1)

a2 + b2 = c2

Причем, формула, выражающая собой известную и знаменитую теорему Пифагора, является в этой полной (целостной и исчерпывающей) Системе лишь одним из частных случаев!

Необходимо еще раз обратить специальное внимание на то обстоятельство, что любой прямоугольный треугольник и, соответственно, любой прямоугольник и квадрат необходимо заключают в самих себе четвертый параметр, - хорду. Поскольку относительно прямоугольного треугольника, его хорда представляет собой не что иное, как удвоенную высоту, опущенную из прямого угла на гипотенузу. В этом смысле, как уже отмечалось выше, форма любого прямоугольного треугольника, в наиболее общем виде, так же может быть описана (определена или охарактеризована) величинами четырёх его соответствующих параметров (двух катетов, гипотенузы и хорды). На рис. 18 показан прямоугольный треугольник с четырьмя своими формообразующими параметрами.

 

Рис. 18 Четыре формообразующих параметра

прямоугольного треугольника

Надеюсь, что уважаемый читатель с пониманием отнесется к моему неудержимому желанию ещё раз, уже акцентировано, представить количественную (числовую) и геометрическую формулы известной частной и полученной здесь Общей теоремы Пифагора, представленных, соответственно на рис. 19 и 20)

 

Рис. 19 Частная (треугольная) теорема Пифагора

 

Рис. 20 Общая теорема Пифагора

Исходя из системы формул Общей теоремы Пифагора, можно достаточно легко получить множество различных производных формул – следствий, которые вполне могут оказаться полезными для решения каких-либо частных задач. Например, определенной красотой обладает следующая производная формула:

(a + b)2 = с • (с + d).

В связи с получением (определением) формального образа (геометрического и количественного) Общей теоремы Пифагора, представляется так же достаточно интересным и то несколько неожиданное обстоятельство, что сам процесс этого получения, по сути дела, не являет собой доказательство (в общепринятом смысле) некоего изначально предполагаемого утверждения (формулы) или гипотезы. Вся целостная Система формул Общей теоремы Пифагора была получена (выведена или проявлена) без каких-либо предварительных оценок, естественным образом, исходя из простого рассмотрения и анализ величины площади прямодиагональника. Однако при этом, получилось так, что частная (треугольная) теорема Пифагора оказалась даже не просто доказанной, а естественным образом выведенной и формализованной (оформленной) из уникального свойства прямодиагональника.

Более того, по крайней мере, мне не известен такой необычный и оригинальный способ доказательства частной теоремы Пифагора. И мне кажется, что практически невозможно вообще какими-то обычными фрагментарными и логичными рассуждениями (построениями) прийти к идее прямодиагональника, как тотальной экстремальной (Серединной) Форме не только всех четырехугольников, но и всего бесконечного множества разнообразных Форм, а также к столь простому выводу известной формулы теоремы Пифагора.

7. Некоторые ИДЕИ, СВЯЗАННЫЕ С ОБЩЕЙ теоремОЙ Пифагора

Настоящая работа не претендует на какое-то полное, основательное и системное рассмотрение всевозможных идей, связанных с Общей теоремой Пифагора. Поэтому здесь будут представлены лишь несколько из них, которые лежат на поверхности и могут послужить неплохим примером в качестве получения некоторых новых знаний.

7.1. Пифагоровы четвёрки

Помимо существования т. н. целочисленных «пифагоровых троек», существуют так же и «пифагоровы четверки», удовлетворяющие системе формул Общей теоремы Пифагора.

«Пифагоровых четверок» гораздо меньше, чем «пифагоровых троек». Так, например, в пределах первой сотни существует достаточно широко известная первая примитивная «пифагорова тройка» (3-4-5). Она определяет Форму прямоугольного треугольника, а так же соответствующих ему прямоугольника и прямодиагональника, у которых величины их всех четырёх различных формообразующих параметров (двух катетов, гипотенузы и хорды) являются целочисленными, т. е. образуют «пифагорову четвёрку». И таким корневым прямоугольным треугольником является т. н. «египетский треугольник», у которого величины двух его катетов и гипотенузы, соответственно, равны числам 3, 4 и 5.

Думаю, что не лишним будет здесь упомянуть так же и о том, что, по сведениям историков, именно этот прямоугольный треугольник использовался древнеегипетскими строителями для получения прямых углов (судя по всему, отсюда и его название). В качестве простого инструмента, формирующего такой треугольник, использовалась веревка (или её подобие), с соединенными концами (замкнутая) и разделенная [узлами или иными маркерами] на двенадцать равных частей. В необходимом месте, с помощью трёх соответствующих растяжек, из этой верёвки формировался треугольник с величиной сторон в 3, 4 и 5 частей. При этом угол между сторонами в 3 и 4 части получался прямым. По большому счету, «египетский треугольник» является наиболее ярким и древним примером практического применения обратной теоремы Пифагора.

В таблице 1 представлен ряд «пифагоровых четверок», полученный на основе корневого, «египетского треугольника» путем использования ряда масштабных множителей, кратных пяти.

Таблица 1

Ряд «пифагоровых четверок»,

основанный на «пифагоровой тройке» 3-4-5

№	катет a	катет b	гипотенуза c	хорда d	Масштабный множитель K
1	3	4	5	4,8	1
2	15	20	25	24	5
3	30	40	50	48	10
4	45	60	75	72	15
5	60	80	100	96	20
6	75	100	125	120	25
7	90	120	150	144	30
…	…	…	…	…	…

7.2. Геометрическая прогрессия прямодиагональников

Как уже было установлено раннее, любой прямоугольный треугольник позволяет определить свой четвертый формообразующий параметр, - хорду, и соответствующий ему прямодиагональник.

В свою очередь, используя величины диагоналей (гипотенузы и хорды) этого исходного прямодиагональника в качестве сторон (катетов), можно достаточно просто получить иной, следующий прямодиагональник, форма которого будет функционально связана с формой исходного (предыдущего) прямодиагональника.

Аналогичную операцию можно проделать и в обратную сторону, когда используя величины сторон (катетов) того же исходного прямодиагональника в качестве уже диагоналей (гипотенузы и хорды), можно получить иной, предыдущий прямодиагональник, форма которого будет связана той же функциональной зависимостью с формой исходного (следующего) прямодиагональника.

На рис. 21 представлена схема «механизма» формирования последовательности соответствующих прямодиагональников, Формы которых связаны между собой определенной функциональной зависимостью.

 

Рис. 21 «Механизм» формирование геометрической

прогрессии прямодиагональников

В приведенном «механизме» формирования последовательности (ряда) различных прямодиагональников, мое внимание привлекло, отнюдь, не то их свойство, что площадь любого последующего прямодиагональника в два раза больше площади предыдущего (что можно считать очевидным следствием из Общей теоремы Пифагора, поскольку a • b = (d • c)/2), а то, что с увеличением или уменьшением размера (площади) прямодиагональников, так же функционально изменяется и их Форма. Поэтому подобный ряд прямодиагональников являет собой не только прогрессию их количественной характеристики (величины площади), но и аналогичную прогрессию их формы (в буквальном смысле, - форменную или геометрическую прогрессию). Причем, стоит заметить, что прогрессия Формы некоего конкретного прямодиагональника, вовсе не является произвольной, поскольку в нем самом, уже изначально, заключены параметры всех предыдущих и последующих прямодиагональников.