Учебно-методический комплекс «Математика» (стр. 3 )

1)  Вся математика в среде популярных математических пакетов

2)  Природа математических абстракций

3)  Содержание и значение математической символики

4)  Счётные множества

5)  Системы уравнений межотраслевого баланса

6)  Отношение сознания к материи: математика и объективная реальность

7)  Поверхности второго порядка

8)  Замечательные кривые в математике

9)  Моделирование экономических систем

10)  Математические модели и методы их расчета

11)  История становления и развития математического моделирования

12)  Математическое моделирование как философская проблема

13)  Об основаниях теории множеств

14)  Математика и проблема адекватного описания реальности

15)  Математика и математическое образование в современном мире

1.6.  УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

1.1  Основная литература

Перечень литературы

1.  Кремер математика для экономистов : учебник для вузов / - Москва : ЮНИТИ, 20c. 2.  Данко математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. : учебное пособие для вузов / , , - Москва : ОНИКС, 20c. 3. Соболь по высшей математики : учебная книга / , , - Ростов-на-Дону : Феникс, 20c.

1.2  Дополнительная литература

Перечень литературы

1.  Виленкин математика для студентов экономических, технических, естественно-научных специальностей вузов : пособие / , - Ростов-на-Дону : Феникс, 20c. 2.  Воронов математика для экономистов и менеджеров : учебное пособие / , - Ростов-на-Дону : Феникс, 20c. 3.  Красс для экономистов : учебное пособие / , - Санкт-Петербург : Питер, 20c. 4.  Кремер математика для экономистов : учебник для вузов / - Москва : ЮНИТИ, 20c. 5.  Макаров для экономистов : учебное пособие / - Москва : КноРус, 20c. 6.  Самаров математика: практический курс : учебное пособие / - Москва : Альфа-м, 20c.

1.7.  ИНформационно-методическое обеспечение (УМК, компьютерные программы, электронные учебники, Интернет-ресурсы)

№ п/п	Перечень
1.	MathCad 2001 Professional
2.	WWW. *****
3.	ЭУМК «Математика»/ СДО Прометей
4.	Математические web-сервисы. http://www. mathelp. *****/solver. htm

1.  Конспекты лекций

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Основные определения ~ Линейные операции ~ Произведение матриц ~ Единичная, скалярная матрицы ~ Возведение матрицы в степень ~ Транспонирование матрицы ~ Обратная матрица ~ Ортогональная матрица

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n:

расположенных в m строках и n столбцах. Матрица называется квадратной, если m=n (n - порядок матрицы).

Линейные матричные операции
По определению, чтобы умножить матрицу на число, нужно умножить на это число все элементы матрицы.
Суммой двух матриц одинаковой размерности, называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых.

Произведение матриц определяется следующим образом. Пусть заданы две матрицы A и B, причем число столбцов первой из них равно числу строк второй. Если

, ,

то произведением матриц A и B, называется матрица

,

элементы которой вычисляются по формуле

c ij =a i1 b 1j + a i2 b 2j + ... +a in b nj, i=1, ..., m, j=1, ..., k.

Произведение матриц A и B обозначается AB, т. е. C=AB.

ПРИМЕР 1. Действия с матрицами

Произведение матриц, вообще говоря, зависит от порядка сомножителей. Если AB=BA, то матрицы A и B называются перестановочными.

ПРИМЕР 2. Проверка перестановочности матриц.

Для квадратных матриц определена единичная матрица - квадратная матрица, все диагональные элементы которой единицы, а остальные - нули:

Единичная матрица чаще всего обозначается буквой E или E n, где n - порядок матрицы. Непосредственным вычислением легко проверить основное свойство единичной матрицы:

AE=EA=A.

Скалярной матрицей называется диагональная матрица с одинаковыми числами на главной диагонали; единичная матрица - частный случай скалярной матрицы.

ПРИМЕР 3. Умножение матрицы на матрицы специального вида

Для квадратных матриц определена операция возведения в целую неотрицательную степень:

A 0 =E, A 1 =A, A 2 =AA, ..., A n =A n-1 A, ....

ПРИМЕР 4. Возведение матрицы в степень.

Для прямоугольных матриц определена операция транспонирования. Рассмотрим произвольную прямоугольную матрицу A. Матрица, получающаяся из матрицы A заменой строк столбцами, называется транспонированной по отношению к матрице и обозначается A T:

, .

Верны соотношения:
(AT )T =A;
(A+B)T=AT +BT ;
(AB)T =BT AT.

Квадратная матрица A, для которой A T =A, называется симметричной. Элементы такой матрицы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны.

Квадратная матрица A называется обратимой, если существует такая матрица X, что
AX=XA=E.
Матрица X называется обратной к матрице A и обозначается A -1, т. е.
A A -1 =A -1A=E.

Известно, что если матрица A невырождена (т. е ее определитель отличен от нуля), то у нее существует обратная матрица A -1.

Верно соотношение: (A-1)T =(AT ) -1.

ПРИМЕР 5. Обращение матрицы.

Квадратная матрица U, для которой U -1 =U T, называется ортогональной матрицей.

Свойства ортогональной матрицы:

·  Модуль определителя ортогональной матрицы равен единице.

·  Сумма квадратов элементов любого столбца ортогональной матрицы равна единице.

·  Сумма произведений элементов любого столбца ортогональной матрицы на соответствующие элементы другого столбца равна нулю. Такими же свойствами обладают строки ортогональной матрицы.

ПРИМЕР 6. Ортогональная матрица.

Определения. Разложение определителя по 1-ой строке ~ Разложение определителя по i-ой строке и j-ому столбцу ~ Определители матриц 2 и 3 порядков

Пусть A квадратная матрица порядка n, n>1. Определителем квадратной матрицы A порядка n называется число

det A= = ,

где M1 <j> - определитель квадратной матрицы порядка n -1, полученной из матрицы A вычеркиванием первой строки и j - го столбца, называемый минором элемента a1j .

Формула
det A = 
называется формулой вычисления определителя разложением по первой строке.
Число (-1) j+1 M1 <j> называется алгебраическим дополнением элемента a1j.

Пусть Mi <j> - определитель квадратной матрицы порядка n-1, полученной из матрицы A вычеркиванием i-й строки и j-го столбца (минор элемента aij ).
Число (-1) j+i Mi <j> называется алгебраическим дополнением элемента aij матрицы A.
Справедливы формулы вычисления определителя квадратной матрицы A разложением по i-й строке и разложением по j-му столбцу:

det A= = =
=

для i=1,2,...,n, j=1,2,...,n.

ПРИМЕР 1. Вычисление определителя разложением по 1-ой строке.

Для квадратной матрицы второго порядка формула вычисления определителя упрощается:

det = = a11 a22 - a12 a21,

поскольку, например, в формуле разложения определителя по 1-ой строке 
M1 < 1> =a22 , M1 < 2> =a21.

Для квадратной матрицы третьего порядка формула вычисления определителя разложением по 1-ой строке имеет вид:

=-+.

ПРИМЕР 2. Вычисление определителей матриц 2 и 3 порядков.

СЛАУ ~ Матричная форма записи ~ Решение матричных уравнений ~ Формулы Крамера ~ Метод Гаусса

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно n неизвестных x1 , x2 , ..., xn:

Эта система в "свернутом" виде может быть записана так:

S ni=1aij xj = bi, i=1,2, ..., n.

В соответствии с правилом умножения матриц рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричной форме Ax=b, где

, , .

Матрица A, столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками - коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении называется матрицей системы. Матрица-столбец b, элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы. Матрица-столбец x, элементы которой - искомые неизвестные, называется решением системы.

Система линейных алгебраических уравнений, записанная в виде Ax=b, является матричным уравнением.

Если матрица системы невырождена, то у нее существует обратная матрица и тогда решение системы Ax=b дается формулой:

x=A -1 b.

ПРИМЕР 1. Решение матричного уравнения.

Справедливо следующее утверждение (формулы Крамера).

Если определитель D=det A матрицы системы Ax=b отличен от нуля, то система имеет единственное решение x1 , x2 , ..., xn, определяемое формулами Крамера

xi =Di / D, i=1,2, ..., n,

где Di - определитель матрицы n - го порядка, полученной из матрицы A системы заменой i - го столбца столбцом правых частей b.

ПРИМЕР 2. Вычисление решения системы линейных уравнений по формулам Крамера.

Метод Гаусса применим для решения системы линейных алгебраических уравнений c невырожденной матрицей системы. Идея метода Гаусса состоит в том, что систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных x1 , x2 , ..., xn

приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей

решение которой находят по рекуррентным формулам:

xn =dn, xi = di -S nk=i+1 cik xk , i=n-1, n-2, ...,1.

Матричная запись метода Гаусса.

1.  Прямой ход метода Гаусса: приведение расширенной матрицы системы

  
к ступенчатому виду

с помощью элементарных операций над строками матрицы (под элементарными операциями понимаются следующие операции:

o  перестановка строк;

o  умножение строки на число, отличное от нуля;

o  сложение строки матрицы с другой строкой, умноженной на отличное от нуля чиcло).

2.  Обратный ход метода Гаусса: преобразование полученной ступенчатой матрицы к матрице, в первых n столбцах которой содержится единичная матрица
,
последний, (n+1)-й, столбец этой матрицы содержит решение системы.

Система линейных уравнений ~ Решение системы ~ Совместные и несовместные системы ~ Однородная система ~ Совместность однородной системы ~ Ранг матрицы системы ~ Условие нетривиальной совместности ~ Фундаментальная система решений. Общее решение ~ Исследование однородной системы

Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных
x1 , x2 , ..., xn :

Решением системы называется совокупность n значений неизвестных

x1=x'1 , x2 =x'2 , ..., xn=x'n,

при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества.

Система линейных уравнений может быть записана в матричном виде:

где A — матрица системы, b — правая часть, x — искомое решение, Ap — расширенная матрица системы:

.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не имеющая ни одного решения — несовместной.

Однородной системой линейных уравнений называется система, правая часть которой равна нулю:

Матричный вид однородной системы: Ax=0.

Однородная система всегда  совместна, поскольку любая однородная линейная система имеет по крайней мере одно решение:

x1=0 , x2=0 , ..., xn=0.

Если однородная система имеет единственное решение, то это единственное решение — нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однородная система имеет более одного решения, то среди них есть и ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместной.

Доказано, что при m=n для нетривиальной совместности системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы системы был равен нулю.

ПРИМЕР 1. Нетривиальная совместность однородной системы линейных уравнений с квадратной матрицей.

Применив к матрице системы алгоритм гауссова исключения, приведем матрицу системы к ступенчатому виду

.

Число r ненулевых строк в ступенчатой форме матрицы называется рангом матрицы, обозначаем
r=rg(A)  или r=Rg(A).

Справедливо следующее утверждение.

Для того, чтобы однородная система была нетривиально совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг r матрицы системы был меньше числа неизвестных n.

ПРИМЕР 2. Нетривиальная совместность однородной системы трех линейных уравнений с четырьмя неизестными.

Если однородная система нетривиально совместна, то она имеет бесконечное множество решений, причем линейная комбинация любых решений системы тоже является ее решением.
Доказано, что среди бесконечного множества решений однородной системы можно выделить ровно n-r линейно независимых решений.
Совокупность n-r линейно независимых решений однородной системы называется фундаментальной системой решений. Любое решение системы линейно выражается через фундаментальную систему. Таким образом, если ранг r матрицы A однородной линейной системы Ax=0  меньше числа неизвестных n и векторы
e1 , e2 , ..., en-r  образуют ее фундаментальную систему решений (Aei =0, i=1,2, ..., n-r), то любое решение x системы Ax=0 можно записать в виде

x=c1 e1 + c2 e2 +  ... + cn-r en-r,

где c1 , c2 , ..., cn-r — произвольные постоянные. Записанное выражение называется общим решением однородной системы.

Исследовать однородную систему   — значит установить, является ли она нетривиально совместной, и если является, то найти фундаментальную систему решений и записать выражение для общего решения системы.

Исследуем однородную систему методом Гаусса.

Пусть

матрица исследуемой однородной системы, ранг которой r< n.

Такая матрица приводится Гауссовым исключением к ступенчатому виду

.

Соответствующая эквивалентная система имеет вид

Отсюда легко получить выражения для переменных x1 , x2 , ..., xr через xr+1 , xr+2 , ..., xn. Переменные
x1 , x2 , ..., xr  называют базисными переменными, а переменные xr+1 , xr+2 , ..., xn — свободными переменными.

Перенеся свободные переменные в правую часть, получим формулы

которые определяют общее решение системы.

Положим последовательно значения свободных переменных равными

и вычислим соответствующие значения базисных переменных. Полученные n-r решений линейно независимы и, следовательно, образуют фундаментальную систему решений исследуемой однородной системы:

ПРИМЕР 3.  Исследование однородной системы на совместность методом Гаусса.

Условие совместности ~ Исследование неоднородной системы. Частное решение

Рассмотрим неоднородную систему m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных
x1 , x2 , ..., xn:

В отличие от однородной системы, эта система совместна не всегда.
Справедливо следующее утверждение (теорема Кронекера-Капелли).

Для того, чтобы неоднородная система линейных алгебраических уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы совпадал с рангом матрицы системы.

ПРИМЕР 1. Проверка условия совместности неоднородной системы.

Исследовать неоднородную систему — это значит установить, является ли она совместной, и если является — найти выражение для общего решения системы.

Исследуем неоднородную систему методом Гаусса.

Пусть

расширенная матрица исследуемой системы, ранг которой r равен рангу матрицы системы и r< n.

Такая матрица приводится Гауссовым исключением к ступенчатому виду

.

Соответствующая эквивалентная система имеет вид

Отсюда легко получить выражения базисных переменных x1 , x2 , ..., xr через свободные переменные xr+1 , xr+2 , ..., xn. Формулы

определяют общее решение системы. Положив свободные переменные равными нулю, xr+1 =0, xr+2 =0, ..., xn=0, и вычислив соответствующие значения базисных переменных, получим частное решение исследуемой системы

x1 =d1 , x2 =d2 , ..., xr=dr, xr+1 =0, xr+2 =0, ..., xn=0.

ПРИМЕР 2. Исследование неоднородной системы для двух различных правых частей методом Гаусса.

Линейное пространство. Основные понятия ~ Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в заданном базисе ~ Исследование линейной зависимости. Ранг матрицы ~ Ортонормированные базисы и ортогональные матрицы

Линейное пространство. Основные понятия

Пусть множество элементов произвольной природы, для которых определены операции сложения и умножения на действительное число:

паре элементов множества , отвечает элемент , называемый суммой и ;

паре , отвечает элемент , называемый произведением числа и элемента .

Будем называть множество линейным пространством, если для всех его элементов определены операции сложения и умножения на действительное число и для любых элементов и произвольных чисел справедливо:

1.  , сложение коммутативно;

2.  , сложение ассоциативно;

3.  существует единственный нулевой элемент такой, что , ;

4.  для каждого элемента существует единственный противоположный элемент такой, что ,

5.  , умножение на число ассоциативно;

6.  , ;

7.  , умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;

8.  , умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел.

Равенства 1--8 называют аксиомами линейного пространства.

Линейное пространство часто называют векторным пространством, а его элементы -- векторами.

Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в заданном базисе

Говорят, что элемент (вектор) линейного пространства линейно выражается через элементы (векторы) , если его можно представить в виде линейной комбинации этих элементов, т. е. представить в виде .

Если любой вектор системы векторов линейного пространства линейно выражается через остальные векторы системы, то система векторов называется линейно зависимой.

Система векторов, которая не является линейно зависимой, называется линейно независимой.

Справедливо следующее утверждение.

Система векторов линейного пространства линейно независима тогда и только тогда, когда из равенства следует равенство нулю всех коэффициентов .

Если в линейном пространстве существует линейно независимая система из векторов, а любая система из -го вектора линейно зависима, то число называется размерностью пространства и обозначается . В этом случае пространство называют -мерным линейным пространством или -мерным векторным пространством.

Любая упорядоченная линейно независимая система векторов линейного пространства образует базис пространства и любой вектор единственным образом выражается через векторы базиса: .

Числа называют координатами вектора в базисе и обозначают . При этом для любых двух произвольных векторов -мерного линейного пространства , и произвольного числа справедливо:  и .

Это означает, что все -мерные линейные пространства “устроены” одинаково -- как пространство векторов-столбцов из действительных чисел, т. е. что все они изоморфны пространству .