Учебно-методический комплекс «Математика» (стр. 4 )

Линейные пространства и называются изоморфными, если между их элементами можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что если векторам и из соответствуют векторы и из , то вектору соответствует вектор и при любом вектору соответствует вектор .

Изоморфизм -мерных линейных пространств пространству означает, что соотношения между элементами -мерного линейного пространства и операции с ними можно изучать как соотношения между векторами из и операции с ними и что всякое утверждение относительно векторов из справедливо для соответствующих элементов любого -мерного линейного пространства.

Например, доказано, что система векторов  из 

, ,...,

образует базис в тогда и только тогда, когда отличен от нуля определитель матрицы, со столбцами :

Для векторов из это означает, что они образуют базис в тогда и только тогда, когда отличен от нуля определитель матрицы, столбцами которой являются компоненты векторов .

Пусть и -- два базиса в . Матрицей перехода от базиса к базису называется матрица , столбцами которой являются координаты векторов в базисе :

...	...

,

Вектор линейно выражается через векторы обоих базисов. Тогда, если , то координаты вектора в базисе , и его координаты в базисе связаны соотношениями

ПРИМЕР 1. Нахождение координат вектора в новом базисе.

Исследование линейной зависимости. Ранг матрицы

Пусть -- прямоугольная матрица размерности :

Столбцы матрицы можно рассматривать как векторы из :

, , 

и исследовать их на линейную зависимость. Исследовать систему векторов на линейную зависимость -- это значит установить является система векторов линейно зависимой или нет.

Доказано, что ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы. Это утверждение позволяет исследовать систему векторов на линейную зависимость следующим образом.

Пусть -- исследуемая система векторов. Запишем матрицу , столбцами которой являются векторы : , , и вычислим ее ранг . Если , то исследуемая система векторов линейно независима, если же , то она линейно зависима.

Более того, если матрица приведена к ступенчатому виду элементарными операциями со строками

то векторы-столбцы , входящие в базисный минор, образуют линейно независимую подсистему, а векторы  следующим образом линейно выражаются через базисные векторы:

...

ПРИМЕР 2. Исследование на линейную зависимость систем векторов. Выделение линейно независимой подсистемы векторов.

Ортонормированные базисы и ортогональные матрицы

Линейное пространство называется евклидовым, если каждой паре векторов , из этого пространства поставлено в соответствие действительное число , называемое скалярным произведением, и при этом для любых из и любого действительного числа справедливы следующие равенства:

1. ;

2. ;

3. ;

4. при , ,  -- нулевой вектор.

Число называется длиной вектора ; число -- расстоянием между векторами ; угол , косинус которого , -- углом между векторами , , , .

Векторы ,  из евклидова пространства называются ортогональными, если .

Система векторов евклидова пространства называется ортонормированной, если векторы системы попарно ортогональны и имеют единичную длину.

Базис конечномерного евклидова пространства называется ортонормированным базисом, если образующие его векторы попарно ортогональны и имеют единичную длину. Поскольку доказано, что в любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, будем рассматривать в -мерном евклидовом пространстве только ортонормированные базисы.

Простейший пример евклидова пространства дает нам пространство -- пространство столбцов, в котором скалярное произведение введено формулой .

Тогда для любых , из справедливы формулы:

Все евклидовы пространства размерности устроены так же, как пространство .

Величины , и характеризуют взаимное расположение векторов и не зависят от выбранного ортонормированного базиса.
Если  и -- два ортонормированных базиса в -мерном евклидовом пространстве, то матрица перехода от одного из этих базисов к другому -- ортогональная матрица.

ПРИМЕР 3. Скалярное произведение векторов, норма вектора, угол между векторами.

АЛГЕБРА

Линейный оператор и его матрица. Переход к другому базису ~ Образ и ядро линейного оператора ~ Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Пусть заданы линейные пространства и . Правило, по которому каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент , называется оператором, действующим в линейных пространствах . Результат действия оператора на элемент обозначают или . Если элементы и связаны соотношением , то называют образом элемента ; элемент прообразом элемента .

Множество элементов линейного пространства , для которых определено действие оператора , называют областью определения оператора и обозначают .

Множество элементов линейного пространства , которые являются образами элементов из области определения оператора , называют образом оператора и обозначают . Если , то .

Оператор , действующий в линейных пространствах называется линейным оператором, если и для любых и для любого числа .

Если пространства и совпадают, то говорят, что оператор действует в пространстве . В дальнейшем ограничимся рассмотрением линейных операторов, действующих в линейном пространстве .

Линейный оператор и его матрица. Переход к другому базису

Рассмотрим линейный оператор , действующий в конечномерном линейном пространстве , и пусть базис в . Обозначим через образы базисных векторов .

Матрица

столбцами которой являются координаты образов базисных векторов, называется матрицей линейного оператора в заданном базисе.

Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, отвечает единственная квадратная матрица порядка n; и обратно каждая квадратная матрица порядка n задает единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. При этом соотношения

с одной стороны, связывают координаты образа с координатами прообраза , с другой стороны, описывают действие оператора, заданного матрицей .

При изменении базиса линейного пространства матрица оператора, очевидно, изменяется. Пусть в пространстве произошел переход от базиса к базису . Связь между матрицей оператора в базисе  и матрицей этого оператора в базисе задается формулой.

Здесь  матрица перехода от базиса к базису и обратная к ней.

ПРИМЕР 1. Матрица оператора в новом базисе.

Образ и ядро линейного оператора

Рассмотрим линейный оператор , действующий в конечномерном линейном пространстве . Доказано, что образ линейного оператора линейное пространство. Размерность образа линейного оператора называется рангом оператора, обозначается .

Ядром линейного оператора называется множество элементов из , образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают : . Ядро линейного оператора линейное пространство; размерность ядра линейного оператора называется дефектом оператора, обозначается : .

Для линейного оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве , справедливы следующие утверждения:

сумма ранга и дефекта оператора равно размерности пространства, в котором действует оператор: ;

ранг оператора равен рангу его матрицы;

ядро оператора совпадает с множеством решений линейной однородной системы с матрицей , размерность пространства решений этой системы равна дефекту оператора, а ее фундаментальная система решений образует базис в ядре оператора;

столбцы, входящие в базисный минор матрицы оператора образуют базис в образе оператора.

Сформулированные утверждения позволяют описать структуру образа и ядра линейного оператора, заданного матрицей, используя язык матричных преобразований и общей теории линейных систем.

ПРИМЕР 2. Образ и ядро линейного оператора.

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Пусть линейный оператор, действующий в линейном пространстве.

Число называется собственным значением, а ненулевой вектор соответствующим собственным вектором линейного оператора , если они связаны между собой соотношением .

Пусть матрица оператора в некотором базисе.

Собственные значения оператора и соответствующие им собственные векторы связаны соотношением , где  единичная матрица, а нулевой элемент пространства . Это означает, что собственный вектор оператора является ненулевым решением линейной однородной системы , которое существует тогда и только тогда, когда . Следовательно, собственные значения линейного оператора могут быть вычислены как корни уравнения , а собственные векторы -- как решения соответствующих однородных систем.

Уравнение называется характеристическим уравнением оператора, а многочлен характеристическим многочленом оператора.

Для собственных значений и собственных векторов линейного оператора справедливы следующие утверждения:

характеристический многочлен оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве является многочленом n-й степени относительно ;

линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве имеет не более различных собственных значений;

собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы;

если линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве , имеет различных собственных значений, то собственные векторы оператора образуют базис в пространстве ; этот базис называют собственным базисом оператора;

матрица оператора в базисе из его собственных векторов имеет диагональную форму с собственными значениями на диагонали.

ПРИМЕР 3. Собственные значения и собственные векторы оператора.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПРЯМОЙ, ПЛОСКОСТИ И В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Каноническое уравнение плоскости ~ Канонические и параметрические уравнения прямой ~ Расстояние от точки до плоскости ~ Координаты точки, делящей отрезок в заданном соотношении

§ 1. Каноническое уравнение плоскости в пространстве

Пусть в декартовой системе координат дан вектор n={A, B,C} и точка М0=(x0,y0,z0).

Построим плоскость Π, проходящую через т. М0, перпендикулярную вектору n (этот вектор называют нормальным вектором или нормалью плоскости).