Учебно-методический комплекс «Математика» (стр. 7 )

ПРИМЕР 2. Вычисление односторонних производных

Секущая графика функции - Пусть — функция, определенная на промежутке . Прямая, проходящая через точки , , , называется секущей графика функции . Угловой коэффициент секущей равен  и ее уравнение имеет вид .

ПРИМЕР 3.  Построение секущей графика функции

Касательная и нормаль к графику функции - Касательной к графику функции в точке называется предельное положение секущей, проходящей через точки , , когда . Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке и ее уравнение имеет вид . Нормалью к графику функции в точке называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной. Угловой коэффициент нормали равен   и ее уравнение имеет вид  .

ПРИМЕР 4.  Построение касательной и нормали к графику  функции

2.  Практические занятия

3.1. Содержание практических работ

Матрицы. Действия с матрицами

1. Ортогональная матрица

Определители. Вычисление определителей

1. Вычисление определителей матриц 2 и 3 порядков

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

1. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Online-инструмент для решения линейных алгебраических систем уравнений

Общая теория систем линейных уравнений. Однородные системы

1. Нетривиальная совместность однородной системы линейных уравнений с квадратной матрицей

Общая теория систем линейных уравнений. Неоднородные системы

1. Проверка условия совместности неоднородной системы

2. Линейное пространство. Основные понятия

1. Нахождение координат вектора в новом базисе.

2. Исследование на линейную зависимость систем векторов. Выделение линейно независимой подсистемы векторов.

3. Скалярное произведение векторов, норма вектора, угол между векторами.

Элементарная теория линейных операторов

1. Собственные значения и собственные векторы оператора.

Геометрические векторы

1. Вычисление длин сторон треугольника

Ориентация пространства. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

1. Вычислить объем тетраэдра и его высоту

Предел числовой последовательности

1. Исследование сходимости последовательности

Методы вычисления пределов последовательностей

1. Методы раскрытия неопределенностей

Предел функции в точке

1. Функция, не имеющая предела в точке

Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых функций

1. Бесконечно малые функции

2. Сравнение бесконечно малых функций

3. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций

Методы вычисления пределов функции

1. Раскрытие неопределенностей с помощью формулы Тейлора

Непрерывность функции в точке, на отрезке

1. Доказательство непрерывности функции в точке

2. Нахождение наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке

3. Отделение корней уравнения f(x)=0 с непрерывной левой частью

4. Геометрический смысл формулы Лагранжа

Классификация точек разрыва

1. Доказательство непрерывности функции в точке

2. Вычисление односторонних пределов

3. Определение типа точки разрыва

Производная, ее вычисление, геометрический смысл

1. Построение касательной и нормали к графику функции

Производные сложных, обратных функций

1. Вычисление производных сложных функций

2. Вычисление производных обратной функции

Дифференцируемость, дифференциал

1. Вычисление дифференциала функции

Производные и дифференциалы высших порядков

1. Вычисление дифференциалов высших порядков

Исследование функций и построение графиков

1. Отыскание асимптот графика функции

2. Нахождение интервалов монотонности и экстремумов

3. Нахождение интервалов выпуклости, вогнутости и точек перегиба

Кривые на плоскости

1. Построение кривой, заданной параметрически

Неопределенный интеграл, простейшие методы интегрирования

1. Простейшие методы интегрирования

2. Замена переменной в неопределенном интеграле

3. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле

Интегрирование некоторых классов функций

1. Интегрирование иррациональных функций

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

1. Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы

Применение определенного интеграла для вычисления площадей и длин дуг

1. Вычисление площадей и длин дуг в декартовых координатах

2. Вычисление площадей и длин дуг при параметрическом задании кривых

3. Вычисление площадей и длин дуг в полярных координатах

Несобственные интегралы

1. Исследование функции, заданной интегралом

2. Вычисление несобственного интеграла с бесконечным пределом

3. Вычисление несобственного интеграла от неограниченной функции

4. Исследование несобственных интегралов на сходимость

Числовые ряды

1. Вычисление частичной суммы числового ряда.

2. Исследование сходящегося и расходящегося рядов.

3. Простейшие методы вычисления суммы ряда.

Сходимость знакоположительных рядов

1. Исследование сходимости ряда по первой теореме сравнения.

2. Исследование сходимости ряда по второй теореме сравнения.

3. Исследование сходимости ряда по признаку Даламбера.

4. Исследование сходимости ряда по признаку Коши.

Сходимость знакопеременных рядов

1. Исследование знакопеременного ряда на абсолютную сходимость.

2. Исследование сходимости знакочередующихся рядов.

Функциональные ряды, равномерная сходимость

1. Нахождение области сходимости функционального ряда.

2. Изучение сходимости функционального ряда.

3. Исследование функционального ряда на равномерную сходимость.

Ряд Тейлора

1. Нахождение области сходимости функционального ряда.

2. Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций.

3. Разложение в ряд Тейлора с использованием стандартных разложений.

Ряд Фурье

1. Разложение в ряд Фурье и исследование частичных сумм.

2. Разложение в ряд Фурье на произвольном отрезке.

Сходимость ряда Фурье

1. Исследование явления Гиббса.

2. Нахождение тригонометрического многочлена наилучшего приближения.

3. Исследование сходимости ряда Фурье в зависимости от гладкости функций.

Функции многих переменных

1. Построение графика функции двух переменных.

2. Построение линий и поверхностей уровня.

3. Нахождение экстремумов с помощью линий уровня.

Частные производные, градиент

1. Вычисление частных производных.

2. Вычисление производных по направлению.

3. Вычисление градиента функции.

4. Вычисление полного дифференциала.

5. Вычисление производных высших порядков.

Исследование на экстремум

1 . Исследование на экстремум по определению.

2 . Исследование на экстремум функции двух переменных.

Условный экстремум

1 . Нахождение условного экстремума функции двух и трех переменных.

2 . Нахождение условного экстремума функции двух переменных методом Лагранжа.

3 . Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных.

Скалярное поле

1 . Исследование скалярного поля с помощью линий уровня.

2 . Вычисление производной по направлению скалярного поля.

3 . Вычисление градиента скалярного поля.

Введение. Справочные сведения из теории вероятностей. Основные инструменты Mathcad для задач теории вероятностей.

1. Функция распределения, ее график

2. Определение в математическом пакете двумерного случайного вектора

3. Свойства нормального распределения

Функция распределения случайной величины. Дискретные случайные величины.

1. Вычисление вероятностей событий

2. Вычисление вероятностей событий

Функция распределения случайной величины. Непрерывные случайные величины.

1. Вычисление вероятностей событий

Предельные теоремы для биномиального распределения.

1. Точность формулы Пуассона

2. Точность формулы Муавра-Лапласа

3. Точность интегральных формул Муавра-Лапласа

4. Применение теоремы Бернулли

Функции распределения многомерных случайных величин.

1. Распределение координат случайного вектора

2. Распределение координат случайного вектора

Независимость случайных величин.

1. Независимость координат непрерывного случайного вектора

2. Независимость координат дискретного случайного вектора

Условные распределения дискретных случайных величин.

1. Условные и безусловные распределения компонент случайного вектора

Условные распределения непрерывных случайных величин.

1. Независимость компонент непрерывного случайного вектора

2. Независимость компонент нормально распределенного случайного вектора

Функции от случайных величин. Плотность вероятностей суммы двух случайных величин.

1. Плотность вероятностей случайной величины.

2. Плотность вероятности суммы двух стандартных нормальных распределений случайных величин.

3. Распределение произведения компонент двумерного дискретного случайного вектора с по известным распределениям его компонент.

Числовые характеристики случайных величин.

1. Найти характеристики случайной величины .

2. Вычислить коэффициент асимметрии распределения Рэлея.

3. Вычислить эксцесс для двух случайных величин.

4. Случайная величина x распределена равномерно на отрезке [2, 3]. Найдем для нее среднее гармоническое и среднее геометрическое.

Числовые характеристики двумерных случайных величин.

1. Вычислить математическое ожидание дискретного двумерного случайного вектора с заданным распределением.

2. Вычислим дисперсию двумерного случайного вектора, определенного в е 1.

3. Вычислим математические ожидания и условные математические ожидания компонент случайного вектора с заданным распределением.

Ковариация. Корреляция.

1. Вычислить ковариации компонент дискретного случайного вектора с заданным распределением.

2. Вычислим корреляционную матрицу дискретного случайного вектора.

3.2. Содержание лабораторных работ

Содержание лабораторных работ повторяет содержание практических. Лабораторные работы предполагают использование инструментария Mathcad и /или MS EXCEL при решении задач.

3.  План самостоятельной работы студентов

4.1. Содержание самостоятельной работы

Матрицы. Действия с матрицами

1. Действия с матрицами

2. Проверка перестановочности матриц

3. Умножение матрицы на матрицы специального вида

4. Возведение матрицы в степень

5. Обращение матрицы

6. Ортогональная матрица

Определители. Вычисление определителей

1. Вычисление определителя разложением по 1-ой строке

2. Вычисление определителей матриц 2 и 3 порядков

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

1. Решение матричного уравнения

2. Вычисление решения системы линейных уравнений по формулам Крамера

3. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Online-инструмент для решения линейных алгебраических систем уравнений

Общая теория систем линейных уравнений. Однородные системы

1. Нетривиальная совместность однородной системы линейных уравнений с квадратной матрицей

2. Нетривиальная совместность однородной системы трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными

3. Исследование однородной системы на совместность методом Гаусса

Общая теория систем линейных уравнений. Неоднородные системы

1. Проверка условия совместности неоднородной системы

2. Исследование неоднородной системы для двух различных правых частей методом Гаусса

Линейное пространство. Основные понятия

1. Нахождение координат вектора в новом базисе.

2. Исследование на линейную зависимость систем векторов. Выделение линейно независимой подсистемы векторов.

3. Скалярное произведение векторов, норма вектора, угол между векторами.

Элементарная теория линейных операторов

1. Матрица оператора в новом базисе.

2. Образ и ядро линейного оператора.

3. Собственные значения и собственные векторы оператора.

Геометрические векторы

1. Доказать свойство координат коллинеарных векторов

3. Проверка коллинеарности векторов

4. Найти координаты середины отрезка

5. Разложение вектора в заданном базисе

6. Вычислить координаты векторов

7. Вычислить длины сторон треугольника

Ориентация пространства. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

1. Найти угол между векторами

2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b.

3. Проверка компланарности векторов

4. Принадлежность 4 точек одной плоскости

5. Вычислить объем тетраэдра и его высоту

Предел числовой последовательности

1. Сходящаяся последовательность

2. Бесконечно малая последовательность

3. Бесконечно большая последовательность

4. Исследование процесса сходимости последовательности

Методы вычисления пределов последовательностей

1. Простейшие методы вычисления пределов последовательностей

2. Методы раскрытия неопределенностей

Предел функции в точке

1. Доказательство существования предела функции в точке

2. Доказательство того, что функция бесконечно большая

3. Функция, не имеющая предела в точке

Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых функций

1. Бесконечно малые функции

2. Сравнение бесконечно малых функций

3. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций

Методы вычисления пределов функции

1. Простейшие методы вычисления пределов

2. Простейшие методы раскрытия неопределенностей

3. Раскрытие неопределенностей с помощью эквивалентных бесконечно малых

4. Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя

5. Раскрытие неопределенностей с помощью формулы Тейлора

Непрерывность функции в точке, на отрезке

1. Доказательство непрерывности функции в точке

2. Нахождение наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке

3. Отделение корней уравнения f(x)=0 с непрерывной левой частью

4. Геометрический смысл формулы Лагранжа

Классификация точек разрыва

1. Доказательство непрерывности функции в точке

2. Вычисление односторонних пределов

3. Определение типа точки разрыва

Производные сложных, обратных функций

1. Вычисление производных сложных функций

2. Вычисление производных обратной функции

Дифференцируемость, дифференциал

1. Вычисление приращения функции в точке

2. Вычисление дифференциала функции по определению

3. Вычисление дифференциала функции

Производные и дифференциалы высших порядков

1. Вычисление производных высших порядков

2. Вычисление дифференциалов высших порядков

Исследование функций и построение графиков

1. Отыскание асимптот графика функции

2. Нахождение интервалов монотонности и экстремумов

3. Нахождение интервалов выпуклости, вогнутости и точек перегиба

Кривые на плоскости

1. Построение кривой в декартовых координатах

2. Построение кривой, заданной параметрически

3. Построение кривой в полярных координатах

Формула Тейлора

1. Оценка остаточного члена

2. Разложение функции в окрестности нуля

3. Разложение функции в окрестности произвольной точки

Неопределенный интеграл, простейшие методы интегрирования

1. Простейшие методы интегрирования

2. Замена переменной в неопределенном интеграле

3. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле

Интегрирование некоторых классов функций

1. Интегрирование рациональных функций

2. Интегрирование тригонометрических функций

3. Интегрирование иррациональных функций

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

1. Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы

2. Вычисление определенного интеграла

3. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле

Применение определенного интеграла для вычисления площадей и длин дуг

1. Вычисление площадей и длин дуг в декартовых координатах

2. Вычисление площадей и длин дуг при параметрическом задании кривых

3. Вычисление площадей и длин дуг в полярных координатах

Несобственные интегралы

1. Исследование функции, заданной интегралом

2. Вычисление несобственного интеграла с бесконечным пределом

3. Вычисление несобственного интеграла от неограниченной функции

4. Исследование несобственных интегралов на сходимость

Числовые ряды

1. Вычисление частичной суммы числового ряда.

2. Исследование сходящегося и расходящегося рядов.

3. Простейшие методы вычисления суммы ряда.

Сходимость знакоположительных рядов

1. Исследование сходимости ряда по первой теореме сравнения.

2. Исследование сходимости ряда по второй теореме сравнения.

3. Исследование сходимости ряда по признаку Даламбера.

4. Исследование сходимости ряда по признаку Коши.

Сходимость знакопеременных рядов

1. Исследование знакопеременного ряда на абсолютную сходимость.

2. Исследование сходимости знакочередующихся рядов.

Функциональные ряды, равномерная сходимость

1. Нахождение области сходимости функционального ряда.

2. Изучение сходимости функционального ряда.

3. Исследование функционального ряда на равномерную сходимость.

Ряд Тейлора

1. Нахождение области сходимости функционального ряда.

2. Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций.

3. Разложение в ряд Тейлора с использованием стандартных разложений.

Ряд Фурье

1. Разложение в ряд Фурье и исследование частичных сумм.

2. Разложение в ряд Фурье на произвольном отрезке.

Сходимость ряда Фурье

1. Исследование явления Гиббса.

2. Нахождение тригонометрического многочлена наилучшего приближения.

3. Исследование сходимости ряда Фурье в зависимости от гладкости функций.

Функции многих переменных

1. Построение графика функци двух переменных.

2. Построение линий и поверхностей уровня.

Исследование на экстремум

1 . Исследование на экстремум по определению.

2 . Исследование на экстремум функции двух переменных.

Условный экстремум

1 . Нахождение условного экстремума функции двух и трех переменных.

2 . Нахождение условного экстремума функции двух переменных методом Лагранжа.

3 . Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных.

Введение. Справочные сведения из теории вероятностей. Основные инструменты Mathcad для задач теории вероятностей.

1. Функция распределения, ее график

2. Определение в математическом пакете двумерного случайного вектора

3. Свойства нормального распределения

Функция распределения случайной величины. Дискретные случайные величины.

1. Вычисление вероятностей событий

2. Вычисление вероятностей событий

Функция распределения случайной величины. Непрерывные случайные величины.

1. Вычисление вероятностей событий

Предельные теоремы для биномиального распределения.

1. Точность формулы Пуассона

2. Точность формулы Муавра-Лапласа

3. Точность интегральных формул Муавра-Лапласа

4. Применение теоремы Бернулли

Функции распределения многомерных случайных величин.

1. Распределение координат случайного вектора

2. Распределение координат случайного вектора

Независимость случайных величин.

1. Независимость координат непрерывного случайного вектора

2. Независимость координат дискретного случайного вектора

Условные распределения дискретных случайных величин.

1. Условные и безусловные распределения компонент случайного вектора

Условные распределения непрерывных случайных величин.

1. Независимость компонент непрерывного случайного вектора

2. Независимость компонент нормально распределенного случайного вектора

Функции от случайных величин. Плотность вероятностей суммы двух случайных величин.

1. Плотность вероятностей случайной величины.

2. Плотность вероятности суммы двух стандартных нормальных распределений случайных величин.

3. Распределение произведения компонент двумерного дискретного случайного вектора с по известным распределениям его компонент.

Числовые характеристики случайных величин.

1. Найти характеристики случайной величины .

2. Вычислить коэффициент асимметрии распределения Рэлея.

3. Вычислить эксцесс для двух случайных величин.

4. Случайная величина x распределена равномерно на отрезке [2, 3]. Найдем для нее среднее гармоническое и среднее геометрическое.

·  Числовые характеристики двумерных случайных величин.

1. Вычислить математическое ожидание дискретного двумерного случайного вектора с заданным распределением.

2. Вычислим дисперсию двумерного случайного вектора, определенного в е 1.

3. Вычислим математические ожидания и условные математические ожидания компонент случайного вектора с заданным распределением.

Ковариация. Корреляция.

1. Вычислить ковариации компонент дискретного случайного вектора с заданным распределением.

2. Вычислим корреляционную матрицу дискретного случайного вектора.

4.  Контрольные работы (только для ЗО).

5.1  Методические рекомендации по выполнению и оформлению контрольных работ

Задания к контрольным работам составлены в соответствии с требованиями по математике Государственных образовательных стандартов по соответсвующим специальностям для подготовки специалистов с высшим образованием.

Контрольные работы выполняют по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой учебного шифра студента, и сдают для проверки преподавателю-рецензенту. В таблице указаны номера задач, которые студент должен решить при выполнении каждой контрольной работы в соответствующем семестре.

Преподаватель-рецензент проверяет правильность решения каждой задачи и отмечает ошибки решения или недостатки оформления контрольной работы. В конце работы преподаватель пишет рецензию на ее выполнение, где отмечает недостатки и достоинства решения задач, а также выносит окончательное заключение «Работа допущена к зачету» или «Работа не допущена к зачету». Во втором случае рецензент подробно указывает причины и дает рекомендации по исправлению ошибок. В той же тетради после рецензии преподавателя студент должен исправить решения указанных задач и вновь сдать контрольную работу на проверку. Зачет по контрольной работе студент может получить лишь после беседы с преподавателем.

5.2.  Перечень рекомендуемой литературы

1.  Кремер математика для экономистов : учебник для вузов / - Москва : ЮНИТИ, 20c.

2.  Данко математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. : учебное пособие для вузов / , , - Москва : ОНИКС, 20c.
3. Соболь по высшей математики : учебная книга / , , - Ростов-на-Дону : Феникс, 20c.

5.3.  Темы (варианты) контрольных работ

Задания к контрольным работам №1,2

Семестр	1	2
Вариант	Контрольная работа №1	Контрольная работа №2
01	1	611
02	2	622
03	3	633
04	4	644
05	5	655
06	6	666
07	7	677
08	8	688
09	9	699
10	10	7020

Контрольная работа №1