Учебно-методический комплекс «Математика» (стр. 6 )

Понятие множества ~Операции над множествами

Одно из основных понятий современной математики — понятие множества. Оно является первичным, т. е. не поддается определению через другие, более простые понятия. С понятием множества мы встречаемся довольно часто: множество студентов нашего института, множество преподавателей, множество изучаемых дисциплин и т. д.

Хотя в силу первичности понятия множества нельзя дать ему строгое определение, но можно воспользоваться описательным определением, предложенным одним из создателей теории множеств – немецким математиком Георгом Кантором (). Он сказал: «Множество есть многое, мыслимое нами как единое».

Приведенные примеры обладают одним существенным свойством: все эти множества состоят из определенного конечного числа объектов, которые мы будем называть элементами множества. При этом каждый из объектов данного вида либо принадлежит, либо не принадлежит рассматриваемому множеству. Например, если мы рассмотрим множество студентов некоторой учебной группы, то, обратившись к списку этой группы, мы можем утверждать, что студент Иванов принадлежит этому множеству, а студент Петров уже не принадлежит в связи с отчислением.

Множества, включающие только такие объекты, принадлежность или не принадлежность которых к тому или иному множеству не вызывает сомнения, называются четкими множествами. Поскольку каждый рассматриваемый объект либо принадлежит, либо не принадлежит к рассматриваемому четкому множеству, эти множества всегда имеют ясно очерченные границы. Четким множествам противопоставлены нечеткие или «лингвистические» множества, включающие такие объекты, которые могут быть отнесены к тому или иному множеству лишь с определенной степенью достоверности. Понятие нечетких множеств (fuzzy sets) было впервые введено в 1965 году американским математиком Л. Заде.

Понятие нечеткого множества можно проиллюстрировать на примере применения прилагательных детский, юношеский, молодой, среднего возраста, пожилой, старый. Разные люди вкладывают в эти понятия разные возрастные рамки. Например, период от 16 до 21 года может считаться либо как юношеский, либо как относящийся к молодому возрасту. Таким образом, каждое из рассмотренных определений представляет собой нечеткое подмножество с размытыми краями. Объекты, попадающие на эти размытые края, относятся к указанным множествам лишь с известной долей достоверности. Так, например, девятнадцатилетний мужчина может быть с достоверностью 50% отнесен к множеству юношей, и с той же достоверностью — к множеству молодых людей.

Аппарат нечетких множеств может применяться для описания процессов мышления, лингвистических явлений и вообще для моделирования человеческого поведения, при котором допускаются частичные истины, а строгий математический формализм не является категорически необходимым.

Множества, которые состоят из конечного числа элементов, называются конечными множествами. К числу конечных множеств относится также и пустое множество, т. е. множество, не содержащее ни одного элемента. Введение понятия пустого множества связано с тем, что, определяя тем или иным способом множество, мы не можем знать заранее, содержит ли оно хотя бы один элемент. Например, множество отличников в какой-либо учебной группе.

Множества, рассматриваемые при решении практических задач, чаще всего имеет дело с конечными множествами объектов. В качестве примеров бесконечных множеств можно привести множества, рассматриваемые в математике: множество всех натуральных чисел (N) и множество всех целых чисел (Z).

Способы задания множеств

Произвольные множества будем обозначать прописными, а элементы множества - строчными буквами латинского алфавита, пустое множество - символом Ø.

Существуют два различных способа задания множества. Можно дать полный перечень элементов этого множества. Этот способ называется перечислением множества. Элементы перечисляемого множества заключают обычно в фигурные скобки. Например, множество А, состоящее из букв русского алфавита, вместе с пробелом (его обозначают знаком ∆) запишется так: А = {а, б, в, ..., ю, я, ∆}. Множество студентов учебной группы определяется списком в соответствующем журнале. Понятно, что этот способ задания множества применим только для конечных множеств. Обычно его используют в тех случаях, когда число элементов множества не очень велико.

Другой способ состоит в том, что задается свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий рассматриваемому множеству, и не обладает ни один элемент, ему не принадлежащий. Этот способ называют описанием множества, а свойство, определяющее множество, характеристическим.

При описании множеств используются различные символы, операции. Если A есть некоторое множество, а x — входящий в него объект, то символическая запись x Î A означает, что x является элементом множества A; при этом говорят: «x входит в А», «x принадлежит А». Если x не принадлежит множеству А, то пишут x Ï А. Пусть, например, А есть множество букв русского алфавита, тогда, обозначив букву д как элемент х, а букву d как элемент y, можно записать х Î A, y Ï А. В том случае, когда речь идет о нечетком множестве, указывается степень достоверности, с которой x принадлежит множеству A, Это выражается записью P (x Î A). Например, пусть A — множество юношей, а x обозначает девятнадцатилетнего мужчину; тогда, исходя из приведенных выше рассуждений, можно записать 0,5 (x Î A).

Отношения между множествами

Чтобы наглядно изображать множества и отношения между ними, английский математик Джон Венн (1 предложил использовать замкнутые фигуры на плоскости. Намного раньше Леонард Эйлер (1 для этих целей использовал круги, при этом точки внутри круга считались элементами множества. Такие изображения сейчас называют диаграммами Эйлера - Венна.

Пусть даны два произвольных множества A и B, тогда возможны пять случаев отношений между ними:

Ø  Множества A и B не имеют общих элементов (см. рис. 1а).

Ø  Множества A и B имеют общие элементы, но не все элементы множества A принадлежат множеству B, и не все элементы множества B принадлежат множеству A. В этом случае говорят о пересечении множеств A и B (см. рис. 1б).

Ø  Все элементы множества B принадлежат множеству A, но не все элементы множества А принадлежат множеству В. В этом случае говорят о включении множества В во множество А

Определение: Если имеются два множества A и B, причем каждый элемент множества В принадлежит множеству А, то множество В называется подмножеством множества А. Записывается это так: В Ì А

Само множество A и пустое множество Ø называют несобственными подмножествами множества А. Все остальные подмножества называются собственными.

Все элементы множества A принадлежат множеству B, но не все элементы множества B принадлежат множеству A. В этом случае говорят о включении множества A во множество B (А Ì В) (см. рис. 1г).

Все элементы множества A принадлежат множеству B и все элементы множества B принадлежат множеству A. В этом случае говорят, что множества A и B равны.

Определение: Множество, относительно которого все множества, рассматриваемые в данной задаче, являются подмножествами, называется универсальным. Универсальное множество будем обозначать буквой U.

Основные операции над множествами

Основными операциями, осуществляемыми над множествами, являются сложение (объединение), умножение (пересечение) и вычитание. Эти операции, как мы увидим дальше, не тождественны одноименным операциям, производимым над числами.

Определение: Объединением (или суммой) двух множеств A и B называется множество, содержащее все такие и только такие элементы, которые являются элементами хотя бы одного из этих множеств. Объединение множеств A и B обозначают как A È B.

Это определение означает, что сложение множеств A и B есть объединение всех их элементов в одно множество A È B. Если одни и те же элементы содержатся в обоих множествах, то в объединение эти элементы входят только по одному разу.

Аналогично определяется объединение трёх и более множеств.

Определение : Пересечением (или умножением) двух множеств A и B называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству A и множеству В одновременно. Пересечение множеств A и B обозначают как A Ç B.

Аналогично определяется пересечение трёх и более множеств.

Разностью множеств A и B называется множество, состоящее из тех и только тех элементов множества A и которые не принадлежат множеству В. Разность множеств A и B обозначают как A \ B. Операция, при помощи которой находится разность множеств, называется вычитанием

Если В Ì А, то разность A \ B называется дополнением множества B до множества A. Если множество B является подмножеством универсального множества U, то дополнение B до U обозначается , то есть = U \ B.

Упражнения:

1)  Рассмотрим три множества N={0,2,4,5,6,7}, M={1,3,5,7,9} и P ={1,3,9,11}. Найти

a)  A = N È M

b)  B = N Ç M

c)  C = N Ç P

2)  Ответьте, какими из операций над заданными множествами следует воспользоваться для получения множеств, описанных ниже.

a)  Дано: А – множество всех студентов факультета, В – множество студентов, имеющих академические задолженности. Определить С – множество успевающих студентов факультета.

b)  Дано: А – множество всех отличников факультета, В – множество студентов, не имеющих академических задолженностей, С – множество успевающих студентов, имеющих хотя бы одну тройку. Определить D – множество студентов факультета, успевающих без троек.

c)  Дано: U – множество всех студентов учебной группы, А - множество студентов этой группы, получивших зачет по физкультуре, В – множество студентов той же группы, успешно сдавших зачет по истории Отечества. Определить С – множество студентов той же учебной группы, преуспевших в обеих дисциплинах, D – множество студентов той же группы, «заваливших» хотя бы один из зачетов.

Свойства объединения и пересечения множеств

Из определений объединения и пересечения множеств вытекают свойства этих операций, представленные в виде равенств, справедливых для любых множеств A, B и С .

1.  A È B = B È A — коммутативность объединения;

2.  A Ç B = B Ç A — коммутативность пересечения;

3.  A È (B ÈС) = (A È B) È С— ассоциативность объединения;

4.  A Ç (B ÇС) = (A Ç B) Ç С— ассоциативность пересечения;

5.  A Ç (B ÈС) = (A Ç B) È (A Ç С) — дистрибутивность пересечения относительно объединения;

6.  A È (B ÇС) = (A È B) Ç (A È С) — дистрибутивность объединения относительно пересечения;

Законы поглощения:

A È A = A

A Ç A = A

A È Ø = A

A Ç Ø = Ø

A È U = U

A Ç U = A

Следует заметить, что разность не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности, то есть A \ B ≠ B \ A и A \ (B \ С) ≠ (A \ B) \ С. В этом легко убедиться, построив диаграммы Эйлера - Венна.

Разбиение множества на классы. Классификация

В процессе изучения предметов и явлений окружающего мира мы постоянно сталкиваемся с классификацией. Классификация широко используется в биологии, химии, математике, языке и многих других науках. Она облегчает процесс усвоения знаний.

Классификация в любой области человеческой деятельности связана с разбиением множества на подмножества (классы). Например, классификация частей речи, членов предложения, чисел, геометрических фигур и так далее.

Полученные подмножества должны обладать следующими свойствами:

1) они не должны быть пустыми;

2) не должны содержать общих элементов;

3) объединение всех подмножеств должно равняться самому множеству.

Определение: Классификацией или разбиением множества на классы называется представление этого множества в виде объединения непустых попарно непересекающихся своих подмножеств.

Число элементов объединения и разности двух конечных множеств

Пусть A и B — конечные множества. Число элементов множества A условимся обозначать символом m(A) и называть численностью множества A.

Определим численность объединения множеств A и B.

Если множества A и B не пересекаются (см. рис. 1а), то m(AÈB) = m(A) + m(B). Таким образом, численность объединения конечных непересекающихся множеств равна сумме численностей этих множеств.

Если множества A и B пересекаются (см. рис. 1б), то в сумме m(A) + m(B) число элементов пересечения AÇB содержится дважды: один раз в m(A), а другой — в m(B). Поэтому, чтобы найти численность объединения m(AÈB) , нужно из указанной суммы вычесть m(AÇB). Таким образом:

m(AÈB) = m(A) + m(B) - m(AÇB)

Определим теперь численность разности множеств A и B.

Если множества A и B не пересекаются (см. рис. 1а), то A \ B = A, и поэтому m(A\B) = m(A).

Если множества A и B пересекаются (см. рис. 1б), то m(A\B) = m(A) - m(AÇB).

Если В Ì А (см. рис. 1в), то AÇB = B, и, следовательно, m(A\B) = m(A) - m(B).

Задача 1. Каждый студент первого курса обязан изучать хотя бы один иностранный язык. На юридическом факультете изучаются либо английский, либо немецкий язык. Из 94 первокурсников юридического факультета 76 человек изучают английский язык, 34 – изучают немецкий. Сколько студентов изучают два языка?

Решение. Обозначим А – множество студентов, изучающих английский язык; В – множество студентов, изучающих немецкий язык. Множество всех первокурсников равно АÈВ. Множество, изучающих два языка AÇB. Воспользуемся формулой

m(AÈB) = m(A) + m(B) - m(AÇB).

Из условия задачи m(A)=76, m(B)=34, m(AÈB) =94. Поэтому

m(AÇB)= 76+34-94=16.

Задача 2. В одном из городов Украины часть жителей говорит только по-русски, часть – только по-украински, часть говорит на обоих языках. Известно, что 90% жителей говорит по-русски, а 80% - по-украински. Какой процент жителей говорит на обоих языках? Какой процент говорит только по-русски? Какой процент говорит только по-украински?

Решение. Введем ряд обозначений. Пусть N – множество жителей, говорящих по-русски, а K – по-украински. По условию задачи m(N) = 90%, m(K) = 80%, а m(NÈK) = 100% - это общее число жителей. Процент двуязычных жителей m(NÇK) может быть определен из соотношения

m(NÈK) = m(N) + m(K) - m(NÇK)

100%=90%+80%- m(NÇK)

m(NÇK)=90%+80%-100%=70%.

Множества одноязычных жителей определяются следующими выражениями:

Русскоязычные - N\(NÇK), говорящие только по-украински - K\(NÇK). Поскольку в обоих случаях пересечение (NÇK) является подмножеством множеств N и K, то количество одноязычных жителей может быть получено по формулам

m(N\(NÇK))= m(N)- m(NÇK)=90%-70%=20%

m(K\(NÇK))= m(K)- m(NÇK)=80%-70%=10%

Задача 3. Итоговое рейтинговое задание по курсу «Математика и информатика» содержало три задания: по MS Office, по математике и по Справочной правовой системе (СПС). Результаты проверки задания у 40 студентов представлены ниже.

Выполнены задания	Количество выполнивших	Выполнены задания	Количество выполнивших
MS Office	20	MS Office и СПС	7
СПС	18	MS Office и математика	8
Математика	18	СПС и математика	9

Известно также, что ни одного задания не выполнили трое. Сколько студентов выполнили все три задания? Сколько студентов выполнили ровно два задания?

Решение. Введем обозначения: N– множество студентов, выполнивших задание по MS Office; K – выполнивших задание по СПС; P – выполнивших задание по математике; x – число студентов, выполнивших все три задания. Дадим графическое представление рассматриваемых множеств (Рис. 3).

Из рисунка можно отметить следующие данные: (7-x) – число студентов, выполнивших задания MS Office и СПС, но не по математике; (8-x) - число студентов, выполнивших задания MS Office и математике, но не по СПС, (9-x) – по СПС и математике, но не по MS Office.

Если n, k, p – количество студентов, выполнивших только одно задание соответственно по MS Office, СПС и математике, то можно записать следующие выражения:

m(N)=20=16+n-x; m(K)=18=15+k-x; m(P)=18=17+p-x,

в результате решения которых получим следующие соотношения:

n=4+x; k=3+x; p=1+x.

Всего в рейтинге участвовало 40 студентов, трое не выполнили ни одного задания, это означает, что, по крайней мере, одно задание выполнили 37 студентов.

Множество студентов, выполнивших, по крайней мере, по одному заданию - NÈKÈP.

m(NÈKÈP) = 37. В соответствии с рис.3 это выражение будет равно:

m(NÈKÈP) = n+k+p+24-2x,

подставив в него выражения n, k и p через x, получим

4+x+3+x+1+x+24-2x=37

x=37-32=5.

Таким образом, число студентов, выполнивших все три задания равно 5.

Для определения количества студентов, выполнивших ровно два задания, из рисунка 3 получается следующее выражение

9-x+8-x+7-x=24-3x=24-15=9.

Задача 4. В штучном отделе магазина посетители обычно покупают либо один торт, либо одну коробку конфет, либо один торт и одну коробку конфет, В один из дней было продано 57 тортов и 36 коробок конфет. Сколько было покупателей, если 12 человек купили и торт, и коробку конфет?

Решение.

Обозначим через T множество покупателей, купивших торт, а через К – множество покупателей коробки конфет. Тогда отношение между этими множествами может быть проиллюстрировано следующей диаграммой

Тогда множество всех покупателей определяется, как объединение вышеуказанных множеств Т È К. А множество покупателей, сделавших две покупки, получается в результате пересечения тех же множеств Т Ç К.

Их количество согласно условию задачи m(Т ÇК) = 12.

Согласно теории m(Т ÈК)=m(Т) + m(К) - m(Т Ç К).

Подставив в эту формулу данные из условия задачи, получим m(Т ÈК)= 57 + 36 – 12 = 81.

Элементы математического анализа

Основные определения ~ Бесконечно малая последовательность ~ Бесконечно большая последовательность

Основные определения.  Последовательность - это функция, заданная на множестве натуральных чисел . Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, существует такой номер, что для всех c номерами справедливо неравенство . Неравенство , эквивалентное неравенству , означает, что для любого существует такой номер , что все c номерами расположены между и . Последовательность, предел которой - конечное число , называется сходящейся, и ее предел обозначают. Если изобразить элементы последовательности на плоскости точками с координатами , то неравенства означают, что все точки с номерами расположены между параллельными оси абсцисс прямыми и .

ПРИМЕР 1. Сходящаяся последовательность

Бесконечно малая последовательность. Последовательность , предел которой равен нулю , называется бесконечно малой.  

ПРИМЕР 2. Бескнечно малая последовательность

Бесконечно большая последовательность. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа , как бы велико оно ни было, существует такой номер , что для всех с номерамисправедливо неравенство , записываем .

ПРИМЕР 3. Бесконечно большая последовательность

ПРИМЕР 4. Исследование процесса сходимости последовательности

Пределы суммы, произведения и частного последовательностей ~ Неопределенности и их раскрытие

Пределы суммы, произведения и частного последовательностей.

Пусть заданы две последовательности и . Если существуют и , то существуют и пределы суммы и произведения последовательностей, а при и предел частного, причем  , , . Для правильного применения этих теорем очень важно существование пределов каждой последовательности.

ПРИМЕР 1.  Простейшие методы вычисления пределов последовательностей

Неопределенности и их раскрытие.

Если   и  , то может существовать  . В этом случае говорят, что имеем неопределенность типа  . Также может существовать  , в этом случае имеем неопределенность типа  . Если  и  , то может существовать . В этом случае говорят, что имеем неопределенность типа  . Поскольку в перечисленных случаях не применимы теоремы о пределе суммы, произведения и частного, используют другие способы вычисления, которые называют методами раскрытия неопределенностей. Это, как правило, алгебраические преобразования, приводящие выражения к виду, при котором можно пользоваться упомянутыми теоремами.

ПРИМЕР 2.  Методы раскрытия неопределенностей

Производная функции в точке ~ Односторонние производные ~ Секущая графика функции
Касательная и нормаль к графику функции

Производная функции в точке - Пусть функция определена на промежутке . Точка — произвольная точка из области определения функции,   — приращение функции в точке , вызванное приращением независимой переменной .  Производной функции по независимой переменной в точке ,  называется предел отношения приращения функции к приращению при стремлении к нулю, т. е. 

, 

— производная функции в точке .

ПРИМЕР 1.  Вычисление производных

Односторонние производные - Если определена при , то можно определить правую производную функции в точке :

Аналогично, если определена при , определяется левая производная функции в точке :

 Функция имеет в точке производную тогда и только тогда, когда в точке совпадают ее левая и правая производные: .