Гироскопы (стр. 2 )

- (6.49)

Если B (6.49) пренебречь всеми составляющими, содержащими параметр Ω по сравнению C остающимися (жесткости торсионов), то получим:

(6.50)

Очевидно, равенство (6.50) выполняется при условиях:

(6.51)

Выполнение условий (6.51) обеспечивает приблизительную динамическую настройку ММГ.

6.1.4. Демпфирование колебаний

Будем полагать (см. формулы (4.8), (4.9)), что квадратная в плане пластинка при поступательном перемещении имеет абсолютный коэффициент демпфирования:

(6.52)

а при угловых колебаниях относительно оси кручения торсиона угловой коэффициент демпфирования равен:

(6.53)

где: lц, l∂ — расстояние от оси качаний пластинки до центра масс и центра давлений. Ha основании (6.52), (6.53) для внутренней рамки получим:

(6.54)

Для системы «внутренняя рамка + наружная рамка» коэффициенты демпфирования получим, полгая, что при ее движении по координате «y» демпфирование происходит только за счет сжатия слоя газа между корпусом и торцевыми поверхностями наружной рамки:

(6.55)

B выражении для «by» в (6.55) предполагается, что толщина сжимаемой пленки газа равна длине торсиона lТ2- Это же предположение относится и к выражению для <<bx2> в (6.54). Заметим также, что в выражениях (6.54), (6.55) не учитывается демпфирование за счет течения газа вдоль поверхности рамок.

Для круглой рамки имеем:

(6.56)

Формулы для остальных коэффициентов демпфирования имеют весьма приближенный характер, впрочем, также как и (6.54), (6.55), (6.56). Поэтому для круглых рамок коэффициенты bx2 , by, bα, bβ, вычисляемые по (6.54) и (6.55) при L1 = 2R1,L2 – 2R2 являются предельными «верхними» значениями.

Вычисления по формулам (6.54n-6.56) дают при малых зазорах p ≈ 1атм столь большие значения абсолютных коэффициентов демпфирования, при которых колебательное движение рамок практически невозможно. B п.6.2.3 будет показано, что если параметр вязкости μ заменить параметром μρ « μ, что справедливо при p « 1 атм, то возможно использова­ние зависимости вида (6.52). B приведенном ниже примере вязкое демпфирование вычис­лено npи p ≈ 1атм C целью иллюстрации порядка его величины.

Рассмотрим демпфирование колебаний гироскопа за счет рассеяния энергии в торсионах, так называемое «конструкционное» демпфирование.

Перепишем второе уравнение системы (6.20):

(6.57)

где bβ имеет смысл абсолютного коэффициента конструкционного демпфирования в торсионах внутренней рамки.

Собственные колебания рамки описываются левой частью уравнения (6.57):

корни характеристического уравнения которого равны:

где:

л ^

При ω02>b2 движение рамки носит характер затухающих колебаний с частотой

ωr=√ω02 –b2, а интенсивность уменьшения амплитуд колебаний определяется величи­ной «b» (рис. 6.9).

Декремент затухания представляет натуральный логарифм отношения амплитуд для двух следующих один за другим периодов

(6.58)

B соответствии с рис. 6.9 запишем выражения для амплитуд:

после подстановки которых в (6.58) получим:

(6.59)

Рис. 6.9. Затухающие колебания внутренней рамки

Запас энергии в торсионах при их закрутке на угол β определяется суммой потенциальной и кинетической энергий. При колебаниях рамки энергия переходит из потенциальной B кинетическую и наоборот при амплитудном отклонении рамки от положения равнове­сия скорость и кинетическая энергия равны нулю и запас потенциальной энергии (см. формулу 6.2) составляет:

(6.60)

Для максимальных амплитуд затухающих колебаний, следующих за период один за другим, имеем

Вычислим разницу:

и получим отношение рассеянной энергии к запасенной:

Для малых значений декремента затухания

(6.61)

Объединяя (6.61) и (6.59), получим формулу для вычисления абсолютного коэффициен­та конструкционного демпфирования торсионов внутренней рамки:

(6.62)

Преобразуем формулу (6.60), введя в нее параметры конструкции MMT. Из уравнения (6.57), полагая ά = p, выразим модуль максимального угла закрутки торсионов:

(6.63)

B формуле (6.45) положим l-2lТ1 ( lТ1— длина одного торсиона упругой подвески внутренней рамки) и получим:

(6.64)

где: Jk = 0,141bn4 [м4] — для квадратного сечения торсиона;

Jk = 0,1d4 [м4] — для круглого сечения торсиона. C учетом (6.63), (6.64) формула (6.60) принимает вид:

(6.65)

При неоднородном распределении деформаций потеря энергии ∆W является величиной, интегрально зависящей от распределения напряжений в торсионе при колебаниях (так­же как и общий запас энергии):

(6.66)

где: cτ ,m — коэффициенты, характеризующие материал торсиона; τ — переменные касательные напряжения;

ν — объем торсиона.

Предполагая близость характеристик кремния и стали, как конструкционных материалов, выполним дальнейшем анализ для обычно используемого значения m = 3.

Известно, что максимальное касательное напряжение в сечении упругого элемента определяется формулой:

(6.67)

где:— для торсиона с круглым сечением;

Wk ≈ 0,208bn3 — для торсиона с квадратным сечением; Mk — крутящий момент.

Для торсиона круглого сечения τмакс имеют место на его окружности радиуса rТ = d /2,

а для торсиона с квадратным сечением значения τмакс имеют место в середине каждой стороны его контура (в углах контура τ = 0).

Переменное касательное напряжение для круглого в сечении торсиона определяется известной формулой:

(6.68)

Для упрощения изложения и, имея в виду, что в углах квадратного в сечении торсиона τ = 0, будем полагать, что и для него справедлива формула (6.68), но величину rТ выразим

через размер bn из условия равенства значений τмакс для обеих форм сечений. Положим

0,208bn3 = 0,2d3 и найдем d = 2rТ = ΙТ 0,16bn, т. е. для квадратного в сечении торсиона в формуле (6.68) нужно полагать:

(6.69)

Запишем выражение для объема кольцевого элемента торсиона (рис. 6.10) dv = (2πr · dr)l и C учетом формулы (6.68) вычислим в соответствии с зависимостью (6.66) потерю энергии B торсионе:

*

Для двух торсионов внутренней рамки l=2lТ1 и получим:

(6.70)

Заметим, что при вычислении τмакс по формуле (6.67) величина крутящего момента для рассматриваемого случая определяется из второго уравнения системы (6.20):

(6.71)

Рис. 6.10. Элемент торсиона

Очевидно, что рассеяние энергии для торсионов подвеса наружной рамки также определяется формулой (6.70), B которой вместо lТ1, нужно использовать величину lТ2, а при вычислении τмакс считать Mk ≈ M0. При определении параметра cτ будем пользоваться

рекомендациями работы *, в которой приведены значения отношения ΔWp/σ3 (ΔWp — удельное рассеяние энергии при растяжении, σ — напряжение растяжения) и указано, что можно пользоваться соотношением

где: ΔWk — удельное рассеяние энергии при кручении.

B упомянутой работе* для малоуглеродистой стали (0,25%С), конструкционные пара

Метры которой близки к кремнию, приведено значение ΔWp/σ3 =0,1·10-20 [м4/Н2] Используем формулу (6.66) при m = 3 и получим:

(6.72)

Заметим, что приведенные оценки носят учебный характер.

* Справочник машиностроителя в шести томах. Т. З, под. ред. CB. Серенсена.-М.: Машгиз, 1955. —563c

Подставим (6.65) и (6.70) в (6.62) и получим формулу для вычисления декремента зату­хания торсионов внутренней рамки:

(6.73)

Подставим, наконец, формулу (6.67) в (6.73) и, имея ввиду выражение для Jk (см. (6.64)) и для Wk (см. (6.67)), получим:

(6.74)

Объединим формулы (6.59), (6.62) и получим:

(6.75)

Относительный коэффициент демпфирования для уравнения (6.57) равен:

(6.76)

Определим параметры демпфирования для торсионов наружной рамки. Запишем пер­вое уравнение системы (6.20) для случая Al = C1 :

Корни его характеристического уравнения равны:

где:

(6.77)

Запас потенциальной энергии при закрутке торсионов на угол α0 равен:

(6.78)

Декремент затухания определяется аналогично равенствам (6.59):

(6.79)

Объединяя (6.61), (6.79) и, имея в виду (6.77), получим:

(6.80)

Будем считать, что модуль максимального угла закрутки торсионов определяется выражением:

(6.81)

B формуле (6.45) положим l= 2lТ2 получим:

C учетом (6.81) и (6.82) выражение (6.78) принимает вид:

(6.82)

(6.83)

Рассеяние энергии в торсионах определяется формулой аналогичной (6.70):

(6.84)

где: τмакс=M0/Wk.

Имея выражения для функций W(6.78) и ΔW(6.84), по формуле (6.61) можно вычислить

значение декремента затухания υ = υα. Преобразуем формулу (6.80) с учетом (6.77) к виду:

(6.85)

Коэффициент относительного демпфирования равен:

(6.86)

Для частного случая Ω = O из формулы (6.85) следует:

(6.87)

Поступая аналогично предыдущему изложению материала, можно получить параметры затухания колебаний для поступательного движения рамок, значения которых оказывают­ся, по крайней мере, на порядок больше значений параметров затухания для крутильных движений рамок.

6.1.5. Пример расчета параметров гироскопа

Рассчитаем параметры гироскопа для исходных данных: чувствительный элемент по схеме рис. 6.1 изготовлен из кремниевой пластинки, ориентированной в плоскости (100) и имеющей E[110] = 1,68·1011 [Н/м2], G[110] = 6,17·1010 [Н/м2]. Квадратные рамки(рис. б.ба) имеют размеры: L2 =1,2·10-2 м; a2 = 8·10-3 м; L1 = l1 = 6·10-3 м; l2= 0,35·10-3 м. Зазор между поверхностями рамок и корпусом везде одинаков: h = 6·10-3 м. Плотность крем­ния ρ = 2,33·103 кг/м3. Частота принудительных колебаний наружной рамки ρ = 2π·500 [l/c]. Коэффициенты демпфирования рассчитаем для двух вариантов: 1) корпус заполнен азотом (μ = 1,67·10-5 [кг/м·с] под давлением ρ = 1 норм. атм. ≈105 Па; 2) конструкционное демпфирование (корпус вакуумирован настолько, что вязкостью газа можно пренебречь). Измеряемая угловая скорость Ω = [100; 200; 300; 400; 500]·2π [l/c]. Расчет выполним в следующей последовательности:

1. Вычислим массы и моменты инерции рамок по формулам (6.41).

2. По формулам (6.54) вычислим жесткости на кручение упругих элементов подвеса (торсионов), обеспечивающих приблизительную динамическую настройку гироскопа:

3. Определим геометрические размеры торсионов.

Длина внутреннего торсиона равна зазору между внутренней и наружными рамками

. По формуле (6.45), имея ввиду, что работают два торсиона,

Полагаем, что сечение торсиона квадратное, т. е. bn1 = cn1, k’ = 0,141 (см. табл. 6.1) и

получим

Для торсионов наружной рамки примем размеры сечения bn2 = cn2 = 0,35·10-3 м, вычислим и получим длину одного торсиона

4. Вычислим жесткости торсионов на изгиб.

Для внутренних торсионов имееми по формуле (6.43), получим

Для наружных торсионов имеем

При перемещении внутренней и наружной рамок в направление оси Y (см. рис. 6.6) на изгиб работает только пара наружных торсионов, следовательно, получим

При перемещении системы «наружная рамка + внутренняя рамка» в направлении оси Z на изгиб работают обе пары торсионов, т. е. их суммарная жесткость равна

5. Рассчитаем частоты колебаний гироскопа.

По формуле (6.37) вычислим частоты недемпфированных собственных колебаний систе­мы масс «т1 + т2» в направлении оси Z:

Откуда получим:

По формуле (6.38) вычислим частоты недемпфированных колебаний внутренней рамки в направлении оси х2 и системы обеих рамок в направлении оси у:

Если даже скорость вращения основания Ω = р = 2 π 500 (1/с) (Ω2= 107 (1/с7)), она практически не влияет на значения частот:

В соответствии с формулой (6.29) имеем:

Вычислим большую из собственных частот угловых колебаний гироскопа. По формуле (6.25) получим:

Частоты недемпфированных колебаний для различных значений угловой скорости Ω приведены в таблице:

Ω,∙2π[1/с]	0	100	200	300	400	500
ω10, 103[1/с]	3,14	3,38	3,64	3,93	4,22	4,54

6. Вычислим по формулам (6.48), (6.49) абсолютные коэффициенты демпфирования при заполнении корпуса азотом:

Полученные значения коэффициентов демпфирования настолько велики, что колеба­тельное движение внутренней рамки, вызываемое угловой скоростью Ω практически не­возможно и демпфирование за счет вязкости газа в рассчитываемом гироскопе неприемле­мо. Тем не менее, определим амплитудное значение электростатического момента, обеспе­чивающего колебания наружной рамки с частотой р = 2π 500 (1/с) и амплитудой

В соответствии с (6.56) запишем:

или

Даже в предположении, что Ω=р и = α, второе слагаемое в правой части неравенства составляет примерно 6% от требуемого значения М0, поэтому считаем М0 = 47,64 *10 -5 Нм.

Вычислим площадь электродов S = 1,2*10-2 * 2*10-3 = 2,4-10-5м2 и по формуле (6.55) получим:

Имеем значение величины р∙h = 105Па610-6м = 0,6Пам и по графику рис. 6.8 находим допустимое напряжение на электродах Ud = 300В. Очевидно Ud> Uэ и пробоя при Uэ = 116В не будет.

7. Вычислим параметры конструкционного демпфирования для торсионов внутренней рамки.

и по формулам (6.74), (6,75), (6,76) для Ω, = 2π100 (1/с) рассчитаем параметры:

Имеем: bп = 0,2810-3м, rг= 0,1410-3м, G[110] = 6,171010Н/м2, А1 = 310-9 кг*м2. Вычислим

Jk = 9,410-16м4, примем ct = 0,91020 м2/Н2, получим

Выполним аналогичные вычисления для скоростей Ω=2π (200÷900) 1/с и результаты представим в таблице:

Ω, 2 π [1/с]	100	200	300	400	500	600	700	800	900
υβ, безр.	0,736	1,472	2,206	2,944	3,66	4,416	5,152	5,886	6,624
bβ, 10-6[Н м с}	2,172	4,258	6,184	7,92	9,395	10,73	11,836	12,95	13,541
ξβ, безр.	0,116	0,228	0,331	0,424	0,503	0,575	0,634	0,693	0,725

8. Вычислим параметры конструкционного демпфирования для торсионов наружной рамки.