Гироскопы (стр. 6 )

Из результатов (6.139) следует, что для рассматриваемого варианта движения пластин имеется составляющая электростатической силы вдоль оси х , которая не зависит от этой координаты. Составляющая вдоль оси z отсутствует, а составляющая вдоль оси у представляет нелинейную силу электростатического притяжения, которая зависит от переме­щений по координатам х, у. Очевидно, что электростатическое притяжение между плас­тинами конденсаторов уменьшает жесткость торсионого подвеса чувствительной массы

гироскопа.

При исследовании динамики ММГ с учетом перекрестных связей между движениями ЧЭ по координатам х, у может быть использована следующая матрица жесткостей, обусловленных электростатическими силами:

(6.140)

где: ;;

Определим электростатическое взаимодействие между «пальцами» гребенчатых

структур.

Зависимости, приведенные выше, без учета окружающих полей и, учитывая только противоположные поверхности перемещающихся относительно друг друга элементов «гребе­нок», могут быть применены для анализа электростатического взаимодействия гребенча­тых структур ММГ. На рис.6.22 в соответствии со схемами рис.6.18 и 6.21 приведена про­стейшая схема ММГ с двумя одинарными гребенчатыми структурами, предназначенного для измерения угловой скорости Ωz.

Рис. 6.22. Схема ММГ с двумя одинарными гребенчатыми электростатическими структурами:

1 — ЧЭ (показан условно); 2 — упругий подвес; 3 — корпус; 4 — одинарная гребенчатая

структура; РД, РЧ — направления перемещений ЧЭ в режимах движения

и чувствительности соответственно

В корпусе 3 сформированы ЧЭ1, упругие подвесы 2 и гребенчатые структуры 4. Измеряемая угловая скорость Ωz и движение ЧЭ в направлении РД (режим движения) приводят к информативным движениям ЧЭ в направлении РЧ (режим чувствительности). Гребенча­тые структуры находятся под напряжениями U1 и U2 и образованы пальцами (b, с — шири­на и толщина пальца соответственно) и элементами гребенки. Начальный зазор между паль­цами и элементами гребенки в направлении оси y-∆у0 . Линейный размер взаимного пере­крытия пальца и элемента гребенки — а.

Имея в виду (6.136-6.139) запишем работу электростатических сил на возможных перемещениях ЧЭ ∆х в направлении оси х и ∆у в направлении оси у:

В равенствах (6.141) выражения перед возможными перемещениями определяют элек­тростатические силы в направлении осей х и у.

Напряжения Ux и U2 могут иметь следующий вид:

где: U0, Ux — постоянная и изменяющаяся во времени составляющие напряжений. Равенства (6.141) принимают вид:

(6.142)

Если величина ∆у составляет единицы процентов от ∆у0, то выражение (6.142) упрощается:

и из него следует выражение электростатической силы в направлении оси х:

(6.143)

Матрица коэффициентов жесткости для рассматриваемого случая, вычисленная аналогично (6.140), имеет вид:

(6.144)

Для малых значений перемещений ∆у матрица (6.144) упрощается:

(6.145)

Из сравнения матриц (6.144), (6.145) и (6.140) следует, что электростатическая сила в направлении оси х в обоих случаях отсутствует ( кэхх ≈ 0 ), а жесткости в направлении оси у (кэyy ≠ 0) отрицательны и уменьшают механическую жесткость упругих подвесов.

Нулевые диагональные коэффициенты матрицы (6.145) свидетельствуют об отсутствии электростатических сил, которые могли бы вызвать квадратурную составляющую выходного сигнала.

На рис 6.23 приведена схема ММГ с одинарными гребенчатыми электростатическими структурами, элементы которых включены в дифференциальные цепи с источниками напряжений U1 U3 и U2, U4. Предполагается, что как и в схеме по рис. 6.22 измеряется угловая скорость Ωz, а перемещения ЧЭ в режимах движения РД и чувствительности РЧ про­исходят соответственно в направлении осей х и у.

Рис.6.23. Схема ММГ с дифференциальным включением элементов электростатических гребенчатых структур

Работа электростатических сил на возможных перемещениях ∆х и ∆у аналогично пре­дыдущему, может быть представлена следующими выражениями:

Напряжения U1,U2,U3,U4 представляют следующую комбинацию напряжений [119]:

где Ux — переменная составляющая;

Uq — составляющая для компенсации квадратурной ошибки;

Uy — составляющая для устранения поперечного тяжения электродов.

Знаки составляющих напряжений определены исходя из их функционального назначения.

С учетом (6.147) запишем следующие равенства:

Работу электростатических сил (6.146) с учетом полученных равенств для случая Δy<<Δyo представить в упрощенном виде:

Запишем элементы матрицы жесткости, вычисляемые в соответствии с (6.146):

Для случая Δy<<Δyo выражения (6.149) упрощаются и матрица коэффициентов жесткости принимает вид:

Несмотря на явное упрощение элементов матрицы (6.150) по сравнению с матрицей

(6.149), все элементы и, кроме того, они зависят сразу от четырех изменяемых па­раметров (напряжений). Обнулить(устранить) эти элементы можно, если положитьUq =0, Uy = 0. В таком случае матрица (6.150) совпадает с матрицей (6.145). Если требуется пре­дотвратить возможное появление квадратурной ошибки, очевидно , но можно по­требовать выполнения равенства Uy=0 и, следовательно, тем самым уменьшить число параметров, от которых зависят внедиагональные элементы матрицы жесткости.

Элементы матрицы жесткости электростатических сил (6.149) являются нелинейными

функциями перемещений Δy и сложным, трудно прогнозируемым образом, влияют на ди­намику гироскопа. Определим характер нелинейностей элементов матрицы жесткости

(6.149), полагая Δy<<Δyo. Имеем следующие равенства:

Аналогично может быть получено выражение

В выражениях (6.151),(6.152) являются соответствующими элементами матрицы (6:150), которая отвечает условию Δy = 0. Наличие нелинейностей в сочета­нии с большими перемещениями элементов гироскопа может привести к их столкнове­нию. Следует отметить, что настройка частот резонансных режимов напрямую связана с ограничениями на возможные перемещения элементов гироскопа. Если, например, движе­ние по координате у (при измерении угловой скорости Ωz ) происходит с амплитудой всего

лишь в 1% от зазора, т. е. Δy = 0,01Δyo и с частотой ωy для режима чувствительности, то амплитуда ускорения этого движения ау = 0,01 Δyo •ω2у и при ωy = 105 рад/с, Δyo =10 -6м

она равна ау = 100м/с2 ≈ 10g . Это ускорение достаточно большое и может быть соизмеримо с ускорениями, действующими на корпус гироскопа. Резонансная частота режима чувствительности из условий настройки гироскопа не отличается существенно от резонан­сной частоты режима движения, т. е. она является большой и имеет порядок указанной выше величины. Следовательно, из условий минимизации нелинейностей элементов матрицы жесткости и ограничения ускорений движения структур ММГ перемещения Δy (измере­ние Ωz) или Δz (измерение Ωy) должны находиться в пределах 1% от первоначальных зазоров. Обратим внимание также на то, что демпфирование должно обеспечить устране­ние (сглаживание) нелинейностей в коэффициентах кэxy,(6.151).Очевидно также, что коэф­фициент кэyy (6.152) обладает большей нелинейностью, чем кэxy (6.151) и, кроме того, опре­деляемая им электростатическая жесткость направлена против механической жесткости Gy упругого подвеса. Исходя из этого, необходимо выполнение условия:

Очевидно, аналогичное уоловие может быть записано и для режима чувствительности в направлении оси z (измерение Ωy ):

Неравенства (6.153),(6.154) могут быть использованы для определения предельных (кри­тических) величин смещений, при которых не происходит электростатический «захват»

элементов с их возможным столкновением. Обозначим кэyy(Δу=0) = кэyy (0) и перепишем ус

ловие (6.153) с учетом (6.152):

откуда, заменив знак неравенства — равенством, найдем предельную Δy = Δyкр величину перемещений:

Рассмотрим вопрос о влиянии электростатических сил жесткости на перегрузочную способность ММГ по отношению к внешнему ускорению. В установившемся режиме сила инерции внешнего ускорения ау уравновешивается силой механической жесткости упруго­го подвеса. Полагая для предельного случая Δy = Δyо, получим: тау = GyΔyо. Обозначим максимальное ускорение, которое может выдержать ММГ с учетом «отрицательной» электростатической жесткости ауэ и запишем равенство сил: тауэ = {Gy –кэуу) Δyкр.Разделим второе из приведенных равенств на первое и, пренебрегая в выражении (6.152) вторым слагаемым числителя по сравнению с единицей, получим отношение, характеризующее пе­регрузочную способность гироскопа по отношению к внешнему ускорению:

Из выражения (6.157) следует, что перегрузочная способность ММГ уменьшается при наличии «электростатической» жесткости.

Отметим также, что при расчете электростатических сил в направлении оси y не учитывались различные «паразитные» емкости, а также возможность появления сил в направле­нии оси z. Эти упрощения, видимо, допустимы т. к. ширина пластин конденсаторов на гре­бенчатых структурах соизмерима с зазорами между ними, а силы в направлении оси z не изменяют жесткость системы.

Напомним, что причиной квадратурной погрешности гироскопа является несовпадение вектора скорости чувствительного элемента с вектором электростатических сил, вызываю­щих режим движения. Физической причиной этого может быть наличие перекрестных жесткостей Gxy упругого подвеса. Добавим к элементам матрицы (6.150) электростатической жесткости элементы матрицы механической жесткости упругого подвеса и получим матрицу, которую назовем эффективной матрицей жесткостей гироскопа:

где:Gx,Gy,Gxy —жесткости механического упругого подвеса; С0 — номинальная емкость элементов гребенчатых структур; а — линейное перекрытие элементов «гребенки» (см. рис.6.22). Очевидно, если подобрать напряжение

матрица (6.158) принимает вид:

в соответствии с которой причина (Gxy), приводящая к квадратурной ошибке гироскопа, устранена.

6.2.3. Демпфирование колебаний

В камертонном ММГ, также как и в ММГ с кардановым подвесом рассеяние энергии колебательных движений происходит за счет сил внутрикристаллического трения в торсионах («конструкционное» демпфирование) и сил вязкого трения газовой среды («вязкое» демпфирование). Подход к расчету коэффициентов конструкционного демпфирования, из­ложенный в п.6.1.4, может быть использован и в рассматриваемом случае.

Расчет коэффициентов вязкого демпфирования по сравнению с изложенным в п.6.1.4 требует уточнения. В соответствии с рис.6.17,6.18 в камертонном ММГ помимо движений, связанных с изменением зазоров между элементами его конструкции существуют и параллельные смещения элементов. Кроме того, представляет практический интерес учет зави­симости вязкости газов от давления.

Рассмотрим эти уточнения.

Для определения вязкости, газа Больцман предложил формулу

где: р — плотность газа; V, X — средняя скорость и длина свободного пробега молекулы соответственно.

Длиной свободного пробега называется средняя длина пути, проходимого молекулой между соударениями с другими молекулами. Для газа она определяется зависимостью:

где к =1.38066 • 10-23 ДжIК; (постоянная Больцмана); Т— температура по шкале Кельвина (°К = °С+273); р — давление; d — диаметр молекул газа.

Пример 5.

Рассчитаем длину свободного пробега молекулы азота при Т= 20°С и давлении р = 1 атм; 0,1атм; 1 Торр = 1/760 атмосферы.

Имеем d = 3,7•10-10м; 1 нормальная атм = 760 мм. рт. ст. = 1,013•105Н/м2. Для р = 1 атм получим:

Для р = 0,1 атм получим λ = 0,656 • 10-6 м, а для р= 1 Торр λ = 49,916•10-6м ≈ 50 микрон.

Из приведенного примера следует, что средний пробег молекулы азота при стандартной температуре и давлении р = 1атм примерно составляет 70 Нм. При падении давления до 0,1 атм его значение приближается к 1 микрону, а при падении давления до 1 Торр пробег возрастает до 50 микрон. Отсюда следует, во-первых, что при р < 0,1 атм вязкость газа не является постоянной и, во-вторых, средний пробег молекулы газа соизмерим не только с перемещениями ЧЭ, но и с размерами гироскопа.

В работе [119] приведена зависимость:

где h — расстояние (зазор) между пластинами;

μ р — параметр вязкости, соответствующий низкому (p<<0,1 атм) давлению (для азотной среды μ р =2,776•10-6 [с/м])

Из основного закона Ньютона вязкого течения жидкости между параллельными пластинками запишем выражение для тангенциальной силы, вызывающей сдвиг слоев жидкости

где: ΔV — разность скоростей слоев в зазоре;

S — площадь слоя, по которому происходит сдвиг.

Абсолютный коэффициент демпфирования (вязкого трения) между пластинами с площадью перекрытия S равен:

учетом выражения для μ получим:

Откуда следует, что абсолютный коэффициент демпфирования для параллельно перемещающихся пластинок не зависит от зазора h, т. к. λ >> h

Формулы (6.52), (6.53) для случая p<<0,1 атм становятся пригодными, если в них вели­чину μ полагать рекомендуемой в [119]. В частности, формула (6.52) принимает вид:

Аналогично могут быть получены зависимости для вычисления коэффициентов демпфирования прямоугольных пластинок при их поступательном (с изменением зазора h) и вращательном движениях с учетом (4.8), (4.9).

6.2.4. Жесткости подвеса и резонансные частоты

Для упругих элементов подвеса (торсионов) ЧЭ с жестким закреплением концов и отсутствием осевого напряжения вдоль торсионов справедливы зависимости (6.43), (6.44), (6.45). Наличие осевого напряжения приводит к изменению жесткости вдоль торсиона. При выводе уравнений движения предполагалось, что имеет место либо изгибная, либо крутильная деформация торсионов. В действительности движение ЧЭ обладает большой ва­риативностью и торсионы в динамике могут иметь и осевое напряжение, и сочетание из-гибных и крутильных деформаций. Поэтому формулы (6.43), (6.44), (6.45) и приводимые ниже имеют частный характер. Тем не менее, порядок значений, вычисляемых по ним ве­личин, следует считать верным.

Жесткость подвеса и резонансные частоты гироскопа зависят от конкретной схемы ММГ и варианта информативного движения ЧЭ. На рис.6.24 приведена схема ММГ, соответствующая рис.6.18, с одним ЧЭ массой т, который подвешен в корпусе на четырех «точках» крепления 3 с помощью одинарных торсионов 1 и 2.

Если измеряется угловая скорость Ωz, то ЧЭ под действием силы Кориолиса 2mΩzV перемещается в плоскости ху в направлении оси y. Жесткость подвеса в направлении оси х

(режим движения) равна жесткости четырех торсионов 2: Gx = 4G2x,(G2x — жесткость

торсиона 2 в направлении оси х), а резонансная частота

 

Жесткость четырех торсионов 1 в направлении оси у (режим информативных колебаний, или режим чувствительности): Gy =4G1y (G1y — жесткость торсиона 1 в направлении оси у), а резонансная частота

 

Рис.6.24. Схема подвеса ЧЭ с помощью 4-х пар одинарных торсионов: 1,2 — торсионы; 3 — «точка» крепления

При измерении угловой скорости Ωy информативное движение ЧЭ происходит под

действием силы Кориолиса 2mΩyV в направлении оси z (из плоскости ху). При этом жес­ткости параллельно включенных торсионов 1 и 2 соединены последовательно по отноше­нию друг к другу. Следовательно, суммарная жесткость подвеса в направлении оси z и ре­зонансная частота определяются формулами:

где: G1z,G2z — соответственно жесткости торсионов 1 и 2 в направлении оси z.

Следует обратить внимание на то, что линейные колебания ЧЭ вдоль оси у и его кру­тильные колебания вокруг оси z (в плоскости ху) не должны приводить к столкновению элементов «гребенки» двигателей привода.

Основной недостаток схемы упругой подвески ЧЭ по рис. 6.24 заключается в непосред­ственном креплении системы торсионов 2 к системе торсионов 1, что приводит к взаимно­му влиянию их жесткостей. Этот недостаток устранен в схеме двойного подвеса ЧЭ, пока­занной на рис.6.25.

Рис.6.25. Схема двойного подвеса ЧЭ: 1,2 — торсионы; 3 — «точка» крепления

ЧЭ массой m с помощью 4-х пар торсионов 2 подвешен в рамке массой mp, которая, в свою очередь, подвешена в корпусе на четырех «точках» крепления 3 с помощью 4-х пар торсионов 1.

Жесткости каждой пары торсионов 1 или 2 по отношению друг к другу «включены» параллельно, а жесткости торсионов в паре — последовательно.

Следовательно, жесткость подвеса рамки в направлении осей у, z определяется зависи­мостью

где G1y,G1z — соответственно жесткость торсиона 1 в направлении осей у и z. Аналогично вычисляется жесткость подвеса ЧЭ в направлении осей х, z:

где G2x,G2z — соответственно жесткость торсиона 2 в направлении осей х и z.

При измерении угловой скорости Ωz ЧЭ вместе с рамкой под действием силы Кориоли-са на системе торсионов 1 совершает информативные колебания в направлении оси у. Резо­нансная частота этих колебаний определяется выражением:

Аналогично могут быть вычислены резонансные частоты и для других вариантов сис­тем упругих подвесов.

6.2.5.Настройка режимов колебаний

ММГ, как колебательная система, может быть охарактеризован резонансной частотой

(ωx = р вынужденных колебаний, частотами ωy, z информативных колебаний для схем по

рис.6.24, 6.25 или частотой ωα для схемы по рис.6.17 и показателем качества, или доброт­ностью Q по демпфированию (см. формулы 5.57, 5.61).

Кроме добротности по демпфированию для характеристики качества механического осциллятора используется параметр добротности как отношение амплитуды его колебаний при резонансе к полосе пропускаемых частот измеряемого сигнала.

Т. к. ускорение Кориолиса — это сигнал узкой полосы частот с центром на частоте режи­ма возбуждения колебаний, механический коэффициент усиления режима чувствительно­сти может быть настроен соответствием или приблизительным соответствием резонанс­ных частот режимов возбуждения колебаний и чувствительности.

Существует несколько способов установки резонансных частот режимов возбуждения колебаний и чувствительности, показанных на рис.6.26.

С0Д. ffly

Рис.6.26. К пояснению режимов настройки ММГ: а — нормированная амплитудная и фазовая частотные характеристики;

б — режимы настройки.

На рис.6.26 а) показаны зависимости отношения амплитуды у колебаний по информа­тивной оси к амплитуде А ускорения Кориолиса и фазы этих колебаний от частоты, а на рис.6.26 б) — возможные режимы настройки ММГ.

Когда резонансные частоты совпадают ωx=ωy, механический коэффициент усиления ММГ очень высок, но полоса частот входного (измеряемой скорости) сигнала уменьшается и существует фазовый сдвиг на выходе. Если частота возбуждаемых колебаний намного меньше частоты колебаний режима чувствительности ωx<<ωy, гироскоп имеет большую полосу пропускания и не имеет фазового сдвига. Наконец, если резонансные частоты не совпадают на небольшом отрезке (например, в 10%), механический коэффициент усиле­ния ММГ будет небольшим, полоса пропускания по сравнению с первым случаем умень­шится незначительно.

Настройка частоты ωx вынужденных движений осуществляется соответствующим под­бором частоты питающего напряжения приводов. Настройка частоты информативных ко­лебаний (режим чувствительности) осуществляется изменением жесткости подвеса в на­правлении этих колебаний за счет использования электростатических сил на электродах «гребенок».

На рис.6.27 в качестве примера для схемы подвеса по рис. 6.24 показано смещение Δу

ЧЭ при его вынужденном движении со скоростью V измерении угловой скорости Ωz. В дополнение к торсионам 1, 2 и «точкам» закрепления 3, соответствующим рис. 6.24, здесь показаны неподвижные элементы 4 и подвижный палец 5, связанный с ЧЭ. На элементах «гребенки» размещены электроды, включенные в электрическую цепь и создающие элект­ростатические силы. Очевидно, упругая сила Fуnp торсионов направлена против смещения

Δу, а электростатическая сила Fэy электродов «гребенки» — в сторону этого смещения. Суммарная сила, действующая на ЧЭ: Fynp - Fэy < Fynp и, следовательно, уменьшается жес­ткость подвеса и резонансная частота информативных колебаний.

В общем случае «гребенки» могут содержать п пар конденсаторов и тогда для схемы подвеса по рис.6.27 с учетом (6.139) резонансная частота для режима чувствительности (в направлении оси у) определяется формулой:

где: Gоy,Δуоу— емкость i-ой пары конденсаторов и зазор между «пальцем» и электродом «гребенки»;

U0 — напряжение на конденсаторе.

Точная настройка резонансных частот возможна при соблюдении геометрических раз­меров элементов упругого подвеса, что при их малых размерах весьма затруднительно. При этом нужно иметь в виду, что длина упругих элементов определяется только литографией и поэтому соблюдается с большой точностью. Ширина и толщина упругих элементов опре­деляется не только литографией, но и процессом травления. Относительные размеры упру­гих элементов соотносятся между собой следующим образом:

где: ΔLT,Δbп,Δсп — погрешности изготовления длины торсиона, ширины и толщины его поперечного размера (см. рис.6.7).

Рис. 6.27. К пояснению настройки ММГ в режиме чувствительности: 1,2 — торсионы; 3 — «точка» крепления; 4, 5 — элементы «гребенки»

Анализ рис.6.26 показывает, что для динамики ММГ гораздо важнее отношение частот, чем их абсолютные значения. Рассмотрим зависимости отношения частот информативных движений к частоте вынужденных движений от геометрических размеров упругих элемен­тов. Рассмотрим вначале случай измерения угловой скорости Ωz с подвесом ЧЭ по схеме рис.6.24. Запишем отношение резонансных частот информативного и вынужденного дви­жений соответственно вдоль осей у и х:

где:

bn i, cni, lTi — соответственно ширина, толщина и длина первого (i = 1) и второго (i = 2) торсионов.

После подстановки (6.162) в (6.161) получим:

откуда, полагая bn1 = bn2 ,сn1 = сn2 имеем:

Рассмотрим теперь вариант измерения угловой скорости Ωy . В этом случае информа­тивное движение ЧЭ происходит в направлении оси z и отношение резонансных частот равно:

где:

Заметим, что формулы (6.165) записаны в предположении меньшей жесткости подве­сов 1 в направлении оси z и торсионов 2 в направлении оси х.

После подстановки величин (6.165) в отношение (6.164) получим:

откуда, полагая bn1 ≈ bn2 ≈ bn, сn1 ≈ сn2 ≈ сn, следует:

Из сравнительного анализа отношений (6.163) и (6.166) следует, что ввиду технологи­ческой сложности точного соблюдения отношений сп/bп при измерении угловой скорости

Ωy, будет иметь место большая вариативность в относительном расположении резонанс­ных частот по сравнению с измерением угловой скорости Ωz.

Аналогично может быть выполнен анализ влияния размеров торсионов на точность настройки резонансных режимов и для других схем упругих подвесов.

6.2.6. Электроника

Электроника, использующаяся в ММГ, относительно проста, т. к. все используемые напряжения - это различные линейные сочетания опорного напряжения и напряжений yправления (6.147).

Электростатические силы, используемые для движения ЧЭ чрезвычайно малы, поэтому ММГ работает в резонансных режимах и, кроме того, требуется тщательный контроль при работе гироскопа за электрическими и механическими параметрами его движения В част­ности, для контроля скорости ЧЭ в режиме движения может быть использован ток смеще­ния (рис.6.28), равный:

где емкость гребенчатой структуры С определяется по формуле (6.138).

Рис. 6.28. К возникновению тока смещения

Заметим, что если элементы гребенчатой структуры слева и справа от ЧЭ полностью идентичны, суммарный ток смещения отсутствует.

Следует обратить внимание, что контроль и поддержание (регулирование) тока смещения на заданном постоянном уровне принципиально важно для гироскопа, т к ускорение Кориолиса зависит от линейной скорости (dx/dt) ЧЭ. Следовательно, в режиме движения должна быть обеспечена постоянная амплитуда скорости ЧЭ, с помощью канала обратной связи.

Гармоническое движение ЧЭ в направлении оси x может быть обеспечено схемой с усилителем. Функциональная схема, поясняющая работу ММГ в режиме движения, приведена на рис. 6.29.