Гироскопы (стр. 1 )

ГЛАВА VI ГИРОСКОПЫ

Новый класс инерциальных датчиков — микромеханические гироскопы (ММГ), появился в результате исследований и научно-технических разработок, выполненных в лабо­ратории им. Ч. Дрейпера Массачузетского технологического института (США). С отстава­нием по времени начались поисковые и опытно-конструкторские работы в России. В на­стоящее время отечественные разработчики получили действующие образцы ММГ, испы­тания которых показали обнадеживающие результаты. В главе рассмотрены некоторые схемы ММГ, которые исторически были предложены первыми и, кроме того, позволяют в наи­большей степени обсудить основные проблемы, связанные с разработкой гироскопов.

6.1. Гироскоп с кардановым подвесом

ММГ, конструктивная схема чувствительного элемента (ЧЭ) которого показана на рис. 6.1, был создан одним из первых в Лаборатории им. Ч. Дрейпера.

Рис. 6.1. Конструктивная схема ЧЭ ММГ с кардановым подвесом:

1 — внутренняя рамка; 2 — наружная рамка; 3 — инертная масса; 4 — корпус; 5 — электроды

емкостного датчика перемещений; 6 — электроды электростатического датчика момента.
ЧЭ гироскопа представляет вытравленную в кремниевой пластине конфигурацию карданова подвеса, состоящего из внутренней 1 и наружной 2 рамок, которые с помощью пары торсионов Т (внутренние торсионы) соединены между собой, а с помощью другой пары торсионов (наружные торсионы) — наружная рамка соединена с корпусом 4. На площадке внутренней рамки размещена масса 3, увеличивающая инерционность рамок. Жесткость на кручение торсионов вокруг осей ОХ и OY должна быть значительно мень­ше их жестокостей на изгиб. Электростатический моментный двигатель (датчик момен­та), подвижные электроды 6 которого размещены на наружной рамке (с противополож­ной стороны также размещена пара электродов), вокруг оси ОХ развивает переменный момент M0сospt (M0, p — амплитуда и частота момента), вследствие чего появляется пе­ременный кинетический момент, направленный вдоль оси ОХ. Ось OZ является осью чув­ствительности, вокруг которой ММГ вращается с постоянной скоростью, которую нужно измерять. Вследствие наличия переносной скорости, вокруг оси OY развивается пере­менный гироскопический момент, вызывающий угловые колебания внутренней рамки вокруг оси OY. Амплитуда и фаза угловых колебаний внутренней рамки содержат инфор­мацию о скоростии измеряются емкостным датчиком перемещений, подвижные элек­троды 5 которого размещены на внутренней рамке, с противоположной стороны которой также размещена пара электродов.

6.1.1. Уравнения движения

При выводе уравнений движения будем учитывать конечную жесткость торсионов на кручение и изгиб, статическую несбалансированность рамок и будем полагать, что основание перемещается с линейными ускорениями. Введем следующие системы координат и обозначения (рис. 6.2). С корпусом связана система координат OXYZ, причем ось ОХ совпа­дает с осью кручения первой пары торсионов, а ось OY в начальный момент — с осью кручения второй пары торсионов. Основание вращается вокруг оси OZ с постоянной ско­ростью О, и, кроме того, поступательно перемещается с ускорениями ах, ау, az. Направление

вектора ах в «отрицательную» сторону обусловлено удобством изображения систем координат. Первый разворот карданова подвеса выполнен вокруг оси ОХ, на угол а и получена

промежуточная система координат Ох'2у'2z'2.

В силу конечной жесткости на изгиб первой пары торсионов в направлении осей OZ и

0Y под действием сил инерции, обусловленных ускорениями аz, и аy произошло смещение геометрического центра наружной рамки (т. 02), радиус — вектор ρ2 которого опре­делен координатами у и z, т. е.. С началом в т. 02 разместим систему коорди­нат О2х2у2z2, одноименные оси которой параллельны осям системы координат О2’х2’у2’z2. Ось О2у2 совпадает с осью кручения второй пары торсинов, вокруг которой выполнен разворот на уголи получена система координат О2’х1’у1’z1, которая определяла бы поло­жение внутренней рамки относительно корпуса, если бы торсионы ее подвеса обладали бесконечной жесткостью на изгиб. Однако, в силу их конечной жесткости, под действием сил инерции, обусловленных ускорениями ах и аz, произошло смещение внутренней рам­ки таким образом, что ее геометрический центр сместился в т. О1, определенную радиу­сом-вектором. Одноименные оси системы координат О1х1у1z1 параллель­ны осям О2’х1’у1’z1.

Рис. 6.2. Системы координат

Полагаем далее, что масса т2 наружной рамки сосредоточена в точке, определяемой

радиус-вектором г20 в системе координат О2х2у2z2: а масса m1внутреннейенней рамки — в точке, определяемой радиусом-вектором r10 в системе координат O1xlylzl:

. Заметим также, что компонента ускорения

содержит и величину

т. е.(U — ускорение поступательного перемещения основания в направлении

оси Oz).

Уравнения движения ММГ получим с помощью уравнений Лагранжа второго рода. В качестве обобщенных координат выберем для наружной рамки угловую α и линейные y и z, а для внутренней рамки — угловуюи линейные х2 и z2.

Если пренебречь динамической несимметрией рамок, то выражение для кинетической энергии ММГ имеет вид:

(6.1)

где: А2, В2, С2 — главные моменты инерции наружной рамки относительно осей

О2х2, О2у2, О2z2 соответственно;

А1, В1, С1, — главные моменты инерции внутренней рамки относительно осей О1х1, О1у1, O1z1 соответственно;

pn , qn , rn (n=2,1)— проекции абсолютных угловых скоростей наружной рамки (п = 2) на оси системы О2х2у2z2и внутренней рамки (п = 1) на оси системы O1x1y1z1;

υx2> υy2> υz2 — проекции абсолютных линейных скоростей центра масс наружной рамки на соответствующие оси;

υx1 ,υy1 ,υz1 — проекции абсолютных линейных скоростей центра масс внутренней рам­ки на соответствующие оси.

Потенциальную энергию ММГ определим через упругую деформацию торсионов, пренебрегая влиянием электростатического поля электродов:

(6.2)

где: Gα, Gβ — жесткости торсионов на кручение по соответствующим координатам;

Gy, Gz — жесткости при изгибе торсионов подвески наружной рамки по соответствующим координатам;

Gx2, Gz2 — жесткости при изгибе торсионов подвески внутренней рамки по соответствующим координатам.

Диссипативную функцию рассеяния энергии представим в виде:

(6.3)

где bα, bβ — коэффициенты «вязкого» трения при вращении наружной и внутренней рамок соответственно вокруг осей ОХ и O2Y2;

by, bz, bx2, bz2 — коэффициенты «вязкого» трения при поступательном движении наружной рамки по координатам y,zи внутренней рамки по координатам х2, z2.

Запишем систему уравнений Лагранжа 2-го рода.

Для наружной рамки:

(6.4)

Для внутренней рамки:

(6.5)

Определим обобщенные силы. Для наружной рамки:

(6.6)

где:

Мн — момент сил, обусловленных разбалансом ММГ относительно оси Оух. Для внутренней рамки:

(6.7)

где:

Mв — момент сил, обусловленных разбалансом ММГ относительно оси O2Y2 . В дополнение к рис. 6.2 воспользуемся рис. 6.3 и определим моменты, обусловленные упругим и статическим смещением центров масс рамок ММГ:

(6.8)

Для малых значений угловвыражения (6.8) принимают вид: (6.9)

Рис. 6.3. К определению моментов разбаланса (общий случай)

*

Если в зависимостях (6.9) пренебречь составляющими, имеющими множителями величины, то из них следуют выражения, которые легко проверить с помощью

рис. 6.4:

Рис. 6.4. К определению моментов разбаланса (частный случай)

Запишем проекции абсолютных скоростей гироскопа на соответствующие оси (рис. 6.2):

(6.11)

(6.12)

(6.13)

Выполним операции дифференцирования в соответствии с уравнениями Лагранжа (6.4,

6.5) с учетоми, полгая малыми значения величин α, β, запишем уравнения движения:

- для наружной рамки

(6.13)

(6.14)

(6.15)

(6.16)

- для внутренней рамки

(6.17)

(6.18)

(6.19)

Система уравнений (6.14÷6.го порядка описывает динамику ММГ со смещенными центрами масс рамок, находящегося на вращающемся основании, перемещающемся с постоянными ускорениями. Заметим, что величины смещений δxί; δyί; δzί (i= 1,2) центров масс рамок могут быть вызваны как температурным возмущением, так и технологически­ми погрешностями при изготовлении рамок и сборке ММГ.

Перекрестные связи уравнений системы (6.14÷6.19) обусловлены, прежде всего, смещениями δxί; δyί; δzί (ι = 1,2) центров масс рамок. Предположим, что указанные смещения отсутствуют δxί=δyί=δzί = 0 и из системы (6.14÷6.19) получим следующие уравнения:

(6.20)

(6.21)

(6.22)

(6.23)

Левая часть уравнений (6.20) идентична уравнениям движения двухколечного роторного вибрационного гироскопа и достаточно полно исследована, в том числе и для гироско­пов в микромеханическом исполнении [47, 48]. Величины Z и Z2 определяются из совмест­ного решения системы (6.21). Очевидно, что они приводят к изменению зазоров между электродами датчика момента и емкостного датчика перемещений. Решение уравнения (6.22) может быть найдено независимо от других, а результат его решения в виде 2 используется при решении уравнения (6.23). Очевидно, что движение внутренней рамки по координате x2 и вместе с наружной рамкой по координате у может привести к изменению площадей взаимного перекрытия подвижных электродов (см. рис. 6.1) и неподвижных, размещенных в корпусе ММГ.

6.1.2. Собственные частоты и устойчивость

Запишем уравнения (6.20) без правой части в виде:

(6.24)

где:

(6.25)

Характер собственного движения гироскопа определяется корнями характеристическо­го уравнения, которое для системы (6.24) имеет вид:

где:

(6.26)

(6.27)

Если вязкое трение в гироскопе отсутствует (ζα = ζβ = 0), то уравнение (6.26) вырождается в биквадратное, корни которого:

где частоты незатухающих колебаний гироскопа определяются выражениями:

(6.28)

Решения (6.28) представим в форме:

(6.29]

где: j = 1,2; ω10 >ω20.

Из выражений (6.29) следует, что частоты свободных незатухающих колебаний ММГ имеют соизмеримые друг с другом значения и зависят от угловой скорости Ω основания

(рис. 6.5). В областях частот ωj0≈Ω даже при значительном изменении Ω расстройка

частот ωj0 - Ω будет незначительной.

Оценим влияние вязкого трения на частоту собственных колебаний ММГ. Представим характеристическое уравнение гироскопа в виде:

(6.30)

Рис. 6.5. Зависимости ωj0 =f(Ω)

Раскроем скобки и приравняем коэффициенты в уравнениях (6.26) и (6.30) при одинаковых степенях оператора s:

(6.31)

Для малых значений величин ζα,ζβ из (6.28) следует d2≈d20 и при условиях ω11 = ω10; ω22 ≈ ω20 с большой точностью выполняется вторая пара равенств. Тогда, имея

в виду приближенные равенства: ω11≈ ω10; ω22 ≈ ω20, из первых двух равенств (6.31) по­лучим параметры:

(6.32)

Запишем корни уравнения (6.30):

где частоты собственных колебаний ММГ при малом демпфировании определяются соотношениями:

(6.33)

Можно считать, что с точностью до значений hi2 (i = 1,2) частоты затухающих колебаний ММГ близки к частотам его незатухающих колебаний: ω1 ≈ ω10, ω2≈ω20.

Поступая аналогично, получим частоты собственных колебаний ММГ в его поступательных перемещениях.

Запишем характеристическое уравнение системы (6.21):

(6.34)

где:

(6.35)

Если пренебречь демпфированием (bz = bz2 = 0), то из (6.34) следует биквадратное уравнение, корни которого s1,2 = ±i; s3,4 = ±i; (i2=-1), а частоты незатухающих колебаний гироскопа в направлении оси OZ определяются выражениями:

(6.36)

Выражения (6.36) представим в форме:

(6.37)

где:

Из выражений (6.37)! также как из уравнений (6.21) следует, что частоты собственных незатухающих колебаний ММГ по вертикальной координате OZ не зависят от угловой ско­рости Ω основания, а их числовые значения могут быть довольно значительно разнесены относительно друг друга. Например, если тх = m2, Gz = Gz2, то из (6.37) следует, что

Если справедливы предположения, что для слабого демпфирования: е2 ≈ е20 , ≈ , ≈ то частоты собственных колебаний ММГ могут быть рассчитаны по формулам

(6.33), B которых следует положить d1 = e1, d3 = e3, а частоты ωz10 и ωz20 рассчитать по формулам (6.37).

Из уравнений (6.22), (6.23) следует, что частоты слабо демпфированных собственных колебаний гироскопа по координате у и x2 мало отличаются от собственных частот недемпфированных колебаний и зависят от угловой скорости Ω основания:

(6.38)

Очевидно, при соблюдении условия Gx2 ≈ Gy соблюдается неравенство ω0 x2 > ω0y.

Для определения соотношений между параметрами ММГ, обеспечивающими его устойчивость, воспользуемся критериями Гурвица, которые получим из характеристического уравнения системы (6.20), представленного в виде:

где коэффициенты q: (j = O,... ,4) при условиях bα≈ bβ, A1 = B1, A2 = B2 определяются равенствами:

(6.39)

Условия устойчивости ММГ по Гурвицу определяются неравенствами:

(6.40)

Очевидно, условия qj > O выполняются всегда, а соблюдение других условий (6.40) в случае ММГ целесообразно проверять в процессе его расчета.

6.1.3. Конструктивные параметры и динамическая настройка

Определим расчетные зависимости для вычисления моментов инерции рамок, жесткости упругих элементов, параметров электростатического датчика моментов и условия ди­намической настройки.

(6.41)

Будем считать, что форма рамок в плане может быть либо квадратная, либо круглая, а поперечные сечения рамок — прямоугольник (рис. 6.6). Для квадратных рамок (рис. 6.6 а) моменты инерции вычисляются по формулам:

Рис. 6.6. Конструкция ММГ: а — C квадратными рамками; б — с круглыми рамками.

Для круглых рамок (рис. 6.6 б) моменты инерции вычисляются по формулам:

(6.42)

Определим отношения моментов инерции для квадратных рамок:

Отношения моментов инерции для круглых рамок:

Для внутренних рамок возможно выполнение равенства A1 = C1, если l1 =A1 (квадратная рамка), либо l1 = √3R1 (круглая рамка).

Будем полагать, что упругий элемент (торсион) длиной lT имеет прямоугольное сечение

(bn х сn)фис.6.7.)

Рис. 6.7. Упругий элемент

Для такого элемента, жестко защемленного по концам (монолитное исполнение с рамками и корпусом), если пренебречь влиянием растягивающих сил в направлении оси X, жесткости на изгиб в направлении оси Z и Y определяются по формулам:

(6.43)

где: E — модуль упругости в соответствующем кристаллографическом направлении.

Подставим величины моментов инерции поперечного сечения

B (6.43) и получим:

(6.44)

Жесткость упругих элементов на кручение определяется формулой:

(6.45)

где: σ — модуль сдвига для кристаллографической плоскости, совпадающей с поперечным сечением элемента;

Jk = k'bncn3, (bn/cn = n ≥ l), коэффициент k' определяется из табл. 6.1.

Таблица 6.1.

Принудительные колебания наружной рамки обеспечиваются электростатическим моментом:

(6.46)

где: ε0 = 8,8·10-12 [Ф/м] ; S — площадь электродов наружной рамки;

Uэ — напряжение на электродах;

L2 — линейный размер рамки («плечо» силы).

Предельную оценку необходимого значения электростатического момента можно получить на основании первого уравнения системы (6.20):

(6.47)

где: E, p — амплитуда и частота колебаний наружной рамки.

Так как значение электростатической силы невелико, а ее увеличение возможно за счет уменьшения зазора h и увеличения напряжения Uэ, то необходимо выполнение условия Uэ < Uд (Uд — напряжение пробоя на электродах). Ha рис. 6.8 приведена зависимость*

* , Ширкевич по элементарной физике. М.:Наука, 1980. с. 205.

(p — давление среды, h — зазор между электродами) для воздуха, которая справедлива также и для азота.

Рис. 6.8. Зависимость напряжения пробоя

для плоских металлических электродов

от величиныp-h (кПа-мм = Пам)

Для ММГ C кардановым подвесом условие динамической настройки заключается в таком подборе его параметров, при котором большая собственная частота ω10 (6.29) совпада­ет C частотой p принудительных (возбуждаемых) колебаний наружной рамки:

(6.48)

Перепишем равенство (6.48) с учетом (6.25):